Repeated Measures Anova.

Repeated Measures Anova.

Vi bruker oppgave-5 som eksempel. I en evalueringsstudie av en terapeutisk intervensjon valgte man et pre-post med kontrollgruppe design. Alle personer ble undersøkt tre ganger - før terapi (pre), umiddelbart etter terapi (post), og tre måneder senere (oppfølging). Tolv pasienter ble tilfeldig tilordnet to grupper: en kontrollgruppe (her kodet "0"), og en intervensjonsgruppe (her kodet "1"). Resultatene for et av symptommålene som ble anvendt så slik ut: I første omgang er vi her bare interesserte i hovedeffekten av Tid.

Vi kan tenke på dette designet som et variansanalyse-design med to uavhengige variabler (Person og Tid) og med bare en observasjon i hver celle. Da vil det være tre forhold som kan skape variasjon i de observerte skårene: forskjeller mellom tidspunkter (hovedeffekt av Tid), forskjeller mellom personer (hovedeffekt av Person), og at forskjeller mellom tidspunkter varierer fra person til person (en Tid*Person interaksjon). Forklart varians for de to hovedeffektene beregnes som tidligere.

Vi kan nå estimere alle verdier ut fra de to hovedeffektene: yˆ ijk y ( y j y) ( y k y) og vi ser at vi får en tabell helt uten Person*Tid interaksjon!

Forskjellen mellom de observerte verdiene og verdiene estimert fra de to hovedeffektene skyldes at effekten av Tid ikke er den samme for alle personene. Vi har altså en Person*Tid interaksjon. Hvor mye denne bidrar til variasjonen kan vi finne ved å beregne forskjellen mellom observerte og estimerte verdier:

I denne tabellen med bare en observasjon i hver celle, er det tre mulig kilder til variasjon: forskjeller mellom personer (hovedeffekt av person), forskjeller mellom tidspunkter (hovedeffekt av tid), og en tidspunkt*person interaksjon (tid*person). Vi er her primært interesserte i hovedeffekten av Tid, og feil i forhold til denne er at den kan variere fra person til person (tid*person interaksjonen). Generelle gjennomsnittsforskjeller mellom personer er helt irrelevante for denne effekten, og vi lager en signifikanstest hvor vi tester hovedeffekten av Tid mot Person*Tid interaksjonen. og fra SPSS: Skal dere få denne analysen riktig med SPSS, må dere bruke: Analyse, General Linear Model, Repeated Measures

Sett fra et rent statistisk synspunkt er det stort sett alltid fordelaktig å benytte et repeated measures design. Dette gjør det mulig å se bort fra en kilde til variasjon som vi ikke er interesserte i her: effekten av person, og vi får dermed høyere statistisk styrke. I mange tilfeller er det imidlertid ikke mulig å benytte et slikt design og i andre tilfeller er det ikke særlig smart fordi det vil gi oss tolkningsproblemer dvs. problemer knyttet til indre validitet.

Nå var jo dette designet litt mer komplisert: vi har egentlig et to-veis design med en mellom-person variabel (Gruppe) og en innen-person variabel (Tid). Da blir beregningene mer kompliserte, og vi lar foreløpig SPSS ta seg av det

Multiple Comparisons.

Eksemplet fra tidligere med tilfeldige, ukorrelerte tall: A B B-A 1 53.54 65.31 11.76 2 39.15 69.53 30.38 3 67.33 63.98-3.36 4 46.81 58.63 11.82 5 54.10 61.09 6.99 6 48.33 60.75 12.43 7 62.21 57.86-4.35 8 38.63 64.73 26.10 9 50.85 58.42 7.56 10 57.84 51.46-6.39 11 56.16 64.95 8.79 12 42.28 54.41 12.12 13 50.43 62.06 11.63 14 35.09 54.75 19.67 15 52.30 55.90 3.59 16 43.98 59.39 15.41 17 40.16 35.97-4.19........ 99999 50.73 60.03 9.30 100000 52.41 76.57 24.16 Mean: 49.97 59.98 10.00 Sd: 10.03 10.04 14.18 Varians: 100.64 100.78 200.96 Trekker 100000 tilfeldige tall fra to fordelinger. Den ene (A) har gjennomsnitt 50 og varians=100. Den andre (B) har gjennomsnitt=60 og varians=100. Tallene A og B er trukket helt uavhengige av hverandre, og korrelasjonen (kovariansen) mellom dem er dermed 0. Beregner differansen mellom A og B. Vi så at: var(a-b) = var(a) + var(b) 2*Kov(A,B) Men siden tallene var ukorrelerte var kovariansen 0, og det hele forenklet seg til: var(a-b) = var(a) + var(b)

Samme eksempel, men med tilfeldige, korrelerte tall: A B B-A 1 68.78 74.83 6.05 2 59.48 71.93 12.46 3 36.52 57.05 20.53 4 29.48 42.97 13.49 5 50.27 66.84 16.57 6 50.46 46.48-3.98 7 42.78 74.93 32.16 8 36.98 56.11 19.13 9 60.23 71.02 10.79 10 30.12 60.32 30.20 11 44.10 56.62 12.53 12 25.61 37.70 12.09 13 51.55 53.95 2.40 14 50.64 66.38 15.74 15 49.04 44.30-4.74 16 58.82 51.15-7.67 17 34.14 44.61 10.47........ 99999 48.03 55.36 7.33 100000 60.12 59.90-0.22 Mean: 50.00 59.97 9.97 Sd: 10.02 10.00 10.02 Varians: 100.36 100.08 100.44 Kovarians: 49.99 Korrelasjon: 0.50 Trekker 100000 tilfeldige tall fra to fordelinger. Den ene (A) har gjennomsnitt 50 og varians=100. Den andre (B) har gjennomsnitt=60 og varians=100. Tallene A og B er trukket slik at kovariansen mellom dem er 50. Beregner differansen mellom A og B. var(a-b) = var(a) + var(b) 2*Kov(A,B) Som skulle bli: var(a-b) = 100 + 100 2*50 = 100 At variasjonen til en differanse avhenger av kovariansen (korrelasjonen), kan vi dra nytte av i et design med repeterte målinger!

Eksempel på enveis repetert design. 8 personer er målt to ganger (under to ulike betingelser). Treatment Treatment Person A B B-A Kov(A,B) Person A B B-A Kov(A,B) 1 5 7 2 1 1 5 7 2 1 2 4 6 2 0 2 4 6 2 0 3 6 8 2 4 3 6 5-1 -2 4 3 5 2 1 4 3 5 2 1 5 4 6 2 0 5 4 6 2 0 6 5 7 2 1 6 5 7 2 1 7 3 5 2 1 7 3 8 5-2 8 2 4 2 4 8 2 4 2 4 Mean 4.00 6.00 Mean 4.00 6.00 Sd 1.31 1.31 0.00 Sd 1.31 1.31 1.60 Varians 1.71 1.71 0.00 Varians 1.71 1.71 2.57 Kovarians 1.71 Kovarians 0.43 Variansen til B-A: 0.00 Variansen til B-A: 2.57 Vi ser at variansen til differansen avhenger av kovariansen mellom A og B!

Her kunne vi testet differansen mellom de to gjennomsnittene ved en enkel t-test for differansen mellom korrelerte gjennomsnitt (paired samples t-test i Spss): Det vil imidlertid bare fungere dersom vi som her har bare to repeterte målinger og en uavhengig variabel. Vi kunne hatt flere målinger og/eller flere uavhengige variabler. Da må vi finne en mer generell fremgangsmåte!

Vi går tilbake til eksemplet vi startet med. Der fikk vi følgende resultat:

Effect-size.

For differanser mellom gjennomsnitt («kontraster») kan vi bruke: Cohen s d = X 1 X 2 σ X 1 X 2 Sd = X 1 X 2 Mean(Var) = X 1 X 2 2.51 Cohen's Standard d r r 2 2.00 0.71 0.50 1.90 0.69 0.47 1.80 0.67 0.45 1.70 0.65 0.42 1.60 0.63 0.39 1.50 0.60 0.36 1.40 0.57 0.33 1.30 0.55 0.30 1.20 0.51 0.27 1.10 0.48 0.23 1.00 0.45 0.20 0.90 0.41 0.17 LARGE 0.80 0.37 0.14 0.70 0.33 0.11 0.60 0.29 0.08 MEDIUM 0.50 0.24 0.06 0.40 0.20 0.04 0.30 0.15 0.02 SMALL 0.20 0.10 0.01 0.10 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00