Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () For å gi et inntrkk a integrasjonsrekkefølgens betdning er oppgaene fra asnitt løst på begge måtene Vi får forskjellige ttrkk ahengig a integrasjonsrekkefølgen og i kan ende opp med generaliserte integraler sel om den opprinnelige integranden er definert på hele integrasjonsområdet Oppgae 7 (7 ) Vi skal løse integralet dd ) Ved integrasjon i ariabelen er ariabelen konstant Vi løser først integralet d d d ed sbstitsjonsmetoden som gir d ( ) Ne integrasjonsgrenser blir Nedre: og Øre: ette gir ermed er d d d ln ln( ) ln ln( ) dd hor i derierer bort logaritmen Setter U U d og elis integrasjon gir ln( ) d Integralet løses som anlig ed delis integrasjon ln( ) d ln( ) d V ln( ) V ln( ) d ln( ) d ln ln d ln ln( ) ln ( ln ( ln)) ln, Hor i har brkt at, som også kan finnes ed polnomdiisjon Omskriingen er nødendig siden telleren ikke har laere grad enn neneren ) Integralet kan også beregnes ed å btte rekkefølgen: dd dd
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () Nå har telleren samme grad som neneren og i må polnomdiidere I polnomdiisjonen i ariabelen betraktes som konstant iisjonen gir: : ( ) ln( ) Innsatt får i dd dd d ln( ) d et siste integralet løses ed delis integrasjon og delbrøkoppspalting I ln( ) d lar i U U d og V ln( ) V Innsatt i formelen for delis integrasjon finner i ln( ) d ln( ) d ln( ) d ( ) Vi bentter delbrøkoppspalting på det siste integralet og finner A B A( ) B Valget gir A og alget gir B ( ) ermed er ( ) et siste integralet blir ( ) d d ln( ) ln( ) Totalt gir integrasjonen ln( ) d ln ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) Siden integranden ikke er definert i er ln( ) d et generalisert integral Verdien bestemmes som en grense: ln( ) d lim ln( ) d A A A lim ln( ) ln( ) lim ln( ) ln( ) ( ln( A) ln( A )) A ln ln lim A ln( ) ln ln lim A ln( ) A A A A A A
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () en siste grensen er et bestemt ttrkk a tpen og bestemmes fra L Hopitals regel som ln( A) A lim lim, A A A med resltat dd lim ln( ) d ln A A et er enklere å løse integralet ed først å integrere i ariabelen, siden en slipper hele problematikken med generalisert integral Integranden i dobbelintegralet er definert på hele området, men integrasjon først i ariabelen gjør at integranden ikke er definert i Vi ser at ttrkkene kan endre karakter ed å btte integrasjonsrekkefølge Oppgae 6 (6 ) ) Integralet blir etter at i har beskreet integrasjonsområdet som enkelt: sin( ) da sin( ) dd Vi brker delis integrasjon i ariabelen U U og V sin( ) V sin( ) d cos( ) Innsatt gir dette sin( ) d cos( ) ( cos( )) d cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) sin Vi kan brke trigonometriske formler til å forenkle ttrkket til cos sin ikke nødendig, men det er sin( ) dd cos( ) sin( ) sin d sin( ) cos( ) cos sin( ) cos( ) cos ( sin( ) cos( ) cos( ) ) Integralet blir etter at i har beskreet integrasjonsområdet som enkelt: sin( ) da sin( ) dd cos( ) d
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () cos cos( ) d (cos( ) cos ) d Igjen kan ttrkket forenkles, nå til cos, men heller ikke dette er nødendig elis integrasjon gir U U og V cos( ) cos V cos( ) cos d sin( ) sin (cos( ) cos ) d (sin( ) sin ) (sin( ) sin ) d cos( ) cos cos cos cos( ) cos Oppgae ( ) ) Integrasjonsområdet beskries som enkelt og integralet blir da dd Vi ser først på d Variabelskiftet ( sbstitsjonen ) d d d d gir ( ) Ne grenser Nedre: og Øre: ermed d d d ln ln( ) (ln( ) ln) Integralet blir ln( ) ln( ) dd d d ette er et generalisert integral sel om dobbelintegralet ikke er det Følgelig får i en grenseberegning i tillegg til innsettingene Vi brker delis integrasjon for å kitte oss med logaritmedelen:
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () U U d V ln( ) V og Innsatt ln( ) ln( ) dd d d ln( ) ln( ) lim d ln lim tan ln tan tan ln ) Området beskreet som enkelt gir integralet da dd Vi ser først på d Variabelskiftet ( sbstitsjonen ) gir d d d d ( ) Ne grenser Nedre: og Øre: ermed er d d d tan tan tan tan Innsatt tan tan dd d d Vi kitter oss med iners tangens ed hjelp a delis integrasjon: U U d og V tan V Vi får tan d tan d ln tan tan ln( ), 5
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () hor i benttet sbstitsjonen d d d d ln ln( ) d d med Oppgae 5 ( 7) Vi skal btte integrasjonsrekkefølgen i integralet dd Når i btter integrasjons- rekkefølgen må integrasjonsområdet beskries på ntt obbelintegralet er gitt ed iterert integrasjon og i finner først likhetene for integrasjonsområdet isse er integrasjons- grensene i ariabelen som det integreres oer i hert enkelt integral Integrasjonsområdet er beskreet som enkelt og er Vi bestemmer først randa til området enne er gitt ed finne som fnksjon a e to første likningene gir gir at og Kadrering a den siste gir, Vi trenger å,, obbellikheten Samlet gir dette Området er agrenset a en parabel og en rett linje En figr iser at er mlig å resonnere seg fram til dette også, men det er esentlig enklere med figr etter btte a integrasjonsrekkefølge blir da som enkelt område et Vi får 6 dd dd d d Oppgae 7 (5) Problemet med integralet sin dd er at i ikke kjenner noen antideriert til sin d I stedet er det slik at integralet definerer en n fnksjon, på samme måte som d definerer logaritmefnksjonen ln Fnksjonen sin d er ikke iktig nok til å ha eget nan 6
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () ermed kan ikke integrasjonen tføres Vi merker oss at integrasjonsområdet beskreet som enkelt gjør at integralet er løselig ette er den tterste ersjon a at integrasjonen ahenger a integrasjonsrekkefølgen Vi skal btte integrasjonsrekkefølge og må beskrie integrasjonsområdet på ntt Fra integralet finner i den enkle beskrielsen a området: Btte a integrasjonsrekkefølgen kreer at i bestemmer området som enkelt Vi finner som den ene randkren Videre har i at Siden må den andre ære ermed er, noe som enkelt finnes fra en figr ermed er sin sin sin dd d d d sin d cos cos cos, hor i har benttet at sin er konstant når det integreres i Merk at integralet ar løselig kn fordi området ar så spesielt at i fikk forkortet i neneren Andre former på området, f eks et kadrat, mliggjør forkortingen og integralet forblir løselig ansett integrasjonsrekkefølge Oppgae 57 (5) Oenfra er legemet agrenset a paraboloiden Øre Nedenfra er legemet agrenset a planet Nedre I planet er projeksjonen a legemet agrenset a linjene, og Vi bestemmer agrensingen langs aksen ed å bestemme skjæringspnktet til linjene: ermed har i beskreet projeksjonen a legemet som en øerste likheten framkommer ed å bestemme hem a linjene som gir størst erdi i Volmet a legemet er ( ) da da Øre Nedre d d d ( ) ( ) ( ) d 7 7 7 6 ( ) ( ) d Kommentar: Volmet a et legeme er alltid gitt ed ( ) dv ette gjelder ahengig 7
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () a koordinatsstem Her integreres den konstante fnksjonen f (,, ), og denne har samme erdi i alle koordinatsstemer Beskrielsen a legemet er Trippelintegralet gir ( ) d d d d d d d, som er dobbelintegralet oer a Øre Nedre, i oerensstemmelse med olmformelen fra dobbelintegral Oppgae 5 () Vi nøer oss med å beregne integralet fra sin cos tan tan () cos sin Integrasjon gir d d Skjæringspnktet til krene bestemmes cos cos sin sin d d d cos sin d sin cos sin cos (sin cos ) Oppgae (7) Gjennomsnittet a en fnksjon i to ariable er f f (, ) da Gjennomsnittshøden a ( ) 8 er h h(, ) da dd d d a ( ) 8 8 Oppgae () Fra integrasjonsgrensene i integralet d d følger at området er Vi har at området ære i kadrant Området er dermed kartsirkelen Siden både og er positie må r Med 8
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () r blir integralet 8 d d r r dr d r d Oppgae 8 (8) Arealet a et område er a( ) da, som gjelder ahengig a koordinatsstem Siden randa til området er beskreet i polare koordinater beskrier i området direkte i polare koordinater Krene skjærer herandre når cos cos () ette gir r cos Arealet blir cos cos a ( ) rdrd r d ( cos ) d cos cos d cos ( cos ) d sin ( sin ) {sin ( sin ) sin( ) ( sin( )} ( ) Oppgae () Integralet d d er et generalisert integral siden integrasjonsområdet er ( ) begrenset Integrasjonsområdet er polare koordinater blir området integralet r, som i kjenner igjen som hele kadrant I Med ( ) d d ( r ) r og dd da rdrd blir r dr d Vi ser på r integralet for seg Vi hadde opprinnelig to generaliserte integraler, men etter d ariabelskiftet er det kn ett igjen Vi sbstiterer r dr e ne grensene blir r r og r Integralet blir d r dr r d ( r ) r 9
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () Egentlig skal integralet beregnes som en grenseerdi d (lim B ) Siden B grensen ikke er bestemt og har erdi så brkes samme innsettingsnotasjon som for bestemte integral, sel om dette strengt tatt ikke er riktig Vi får ( ) d d d Oppgae 57 (57) cos( w) d d dw sin( w) d dw sin( w) sin( w) d dw cos( w) cos( w) dw cos( w) cos( w) cos( w) cos( w) dw cos( w) cos wdw sin( w) sin w (sin( ) sin sin( ) sin) Vi har kn integrert i en ariabel a gangen og satt inn grenseerdiene for denne et er intet poeng å forsøke å forenkle ttrkket ed å brke addisjonsformlene for sins og cosins Videre har i brkt at perioden er Oppgae 55 (55) I oktant er alle tre ariablene positie Planet ermed er agrensingen ertikalt Slinderen gir agrensingen Vi trenger projeksjonen a legemet i planet Vi trenger agrensingen langs aksen Fra planet har i med at Fra slinderen har i at med samme resltat som for planet siden legemet er i oktant ermed er Vi har fnnet følgende beskrielse a legemet: Vi ser at integrasjonsrekkefølgen aiker noe fra standard, dette for å slippe å løse som fnksjon a som gir en kadratrot Volmet blir ( ) dv d d d ( ) ( )( ) d d d d d d
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () 6 8 d 8 6 8 Oppgae 67 (67) Massen til et område i planet med tetthet ( er, ) m (, ) da M M Massesentret, som er legemets balansepnkt i et homogent tngdefelt, er C, m m, med momentene M (, ) da og M (, ) da Treghetsmomentene om aksene er I (, ) da, I (, ) da og I da Vi ser at ( ) (, ) I I I Groradiene, som er astanden fra rotasjonsaksen til en ekialent pnktmasse, ds at pnktmassen har samme treghetsmoment om aksen som hele legemet, er I m og I Merk at treghetsmomentene og dermed groradiene anligis er m forskjellige for de forskjellige aksene Vi skal beregne c, I og Vi må først beregne massen til den tnne platen Området er gitt som Med tettheten (, ) 7 blir massen ed innsetting a ttrkket for tettheten 7 7 7 5 7 5 m d d d d Massesentrets koordinat er M C (, ) da M (, ) da m m 7 7 6 7 5 (7 ) 5 d d d d Massesentrets koordinat er Treghetsmomentet om aksen er C 5 5 I (, ) da 7 7 6 7 5 7 (7 ) 5 5 d d d d Groradien blir da I m 7 5 5 8 I m,
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () Oppgae 6 Kn komponenten Vi må finne en beskrielse a legemet Fra opplsningene om har i gjenstår å bestemme projeksjonen i planet Vi har at for å slippe kadratroten som følger his i løser for Paraboloiden planet i Legemet er i første oktant og dermed er minsløsningen er telkket Videre er kren et og ønsker å beholde denne skjærer, mindre enn siden den går gjennom origo a gjenstår agrensingen langs aksen Vi har at krene skjærer herandre når Første oktant gir Legemet blir Vi skal beregne C, I og Til dette trenger i massen m dv ( ) k d d d k d d k d d k d 5 9 6 8 5 k d k k( ) k Massesentrets komponent er C M m M (,, ) dv k d d d k k 5 k d d ( ) dd (6 8 ) dd k 6 5 9 6 6 8 6 d k 8 6 d k 5 8 k ( ) k 8 56 5 8 5 Massesentrets koordinat er C M m 56 5 5 k k 8 7 Merk at både massen og momentet ahenger a proporsjonalitetsfaktoren k, mens massesentret er ahengig a proporsjonalitetsfaktoren, k Massesentret ahenger kn a hordan massen er fordelt i legemet ette er rimelig siden to legemer med samme massefordeling har massesentret på samme sted sel om det ene legemet har dobbelt så stor masse som det andre, ds har dobbel så stor k
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () Treghetsmomentet om aksen er I dv ( ) (,, ) ( ) ( ) k d d d k d d 5 k ( )( ) d d k ( ) ( ) d d 6 6 9 7 ( 6 ) ( ) 6 k d k d 8 8 6 8 6 5 8 8 8 8 5 k k( ) k Groradien er I m 5 5 5 k k 5 56 Igjen er treghetsmomentet ahengig a proporsjonalitetsfaktoren, k, mens groradien ikke ahenger a k Groradien er ahengig a massefordelingen og ikke a skaleringsfaktoren Oppgae 76 (76) Vi skal stille opp f ( r,, ) dv som et iterert integral oer det gitte området, som er en slinder Vi bør a den grnn elge slinderkoordinater Vi har at 5 Siden ttrkket inneholder koordinaten må i brke r cos, r sin for å skrie om ttrkket Slinderkoordinater kan kn inneholde r,, som ariable Omskriingen blir 5 r cos Projeksjonen er gitt ed r cos Siden sirkelen går gjennom origo blir likningen for inklene r cos ette kan også ses direkte a figren, når i merker oss a aksen peker t a papirplanet ermed er 5 rcos r cos Integralet på iterert form blir cos 5 r cos (,, ) (,, ) f r dv f r r d dr d Vi skal som spesialtilfelle beregne olmet a slinderen a er f ( r,, ) som gir cos 5 r cos cos cos 5 ( ) r dr d r (5 r cos ) dr d r r cos d cos 9 cos d cos d 9 cos d Vi må beregne integralene for seg 5 5
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () cos ( cos ) sin d d og cos d cos ( sin ) d cos ( cos sin ) d sin ( ) d ( cos ) 8 sin 8 8 d 5 9 7 6 Volmet blir ( ) 9 8 8 8 Oppgae 78 (78) Her er det natrig å brke klekoordinater siden deler a oerflaten til legemet er en kleflate Igjen må i beskrie området i rommet Legemet er mellom kjegleflaten og planet ette gir, siden inkelen langs den positie aksen ermed er Volmet er ( ) sin dv d d d 8 8 8 sin cos ( cos cos ) d d d ette gir en oppdeling a halklen i to deler med samme olm eleinkelen fra toppen er 6 Oppgae 766 (766) Gjennomsnittet er f ( ) f (,, ) dv cos sin d d d cos sin d d 6 sin 6 cos ( cos cos ) 8 d d d Merk at siden cos så har i beregnet gjennomsnittshøden til halkleflaten oer planet For en generell halkle er den h 8, noe som innses direkte fra beregningene
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () Oppgae 89 (89) Vi skal beregne integralet da hor integrasjonsområdet er agrenset a, 9,, hor de to første krene er hperbler og de to siste er rette 9 linjer Løst for blir hperblene, Vi skal skifte til ne ariable, med, Her kjenner i de gamle koordinatene som fnksjon a de ne, så i slipper å løse likningene for de gamle ttrkt ed de ne Vi finner først den ne integranden ;, Vi må finne det ne integrasjonsområdet G Vi et at koordinatskiftet tar randa til G på randa til og ice ersa Vi skifter derfor ariable i likningene for randkrene til området Innsatt i den første hperbelen gir dette Siden tilsarende randkren for området G en andre hperbelen gir 9 Siden rette linjen gir er den blir tilhørende randkre for G en første og med er den tilsarende randkren for G en andre linja gir den siste randkren for det ne området G: som med er, et ne integrasjonsområdet blir G og dette gir de ne integrasjonsgrensene Variabelskifteformelen er f (, ) da f ( (, ), (, )) J (, ) da Vi må beregne jacobideterminanten til ariabelskiftet/koordinattransformasjonen ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) J Innsatt i integralet blir dette (, ) ( ) ln G f da da d d d G 5 ln d ln 8ln 9 ln ln 8 Oppgae 8 (8) Integralet ( ) ( ) e d d skal løses ed å bentte koordinattransformasjonen 5
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel (), Området er beskreet som enkelt og integrasjonsgrensene er gitt Integrasjonsområdet er Vi må bestemme det ne området G ed å bentte at koordinattransformasjonen oerfører på G og omendt Vi har ( ) Vi setter transformasjonslikningene inn i likningene for randa til området Likningene oerføres da til de ne koordinatene, og siden rendene er i en til en korrespondanse, så er dette likningene for randa til det ne området, G Vi setter inn i likningene etter tr:, ( ), og Vi har fnnet Med dette er de ne integrasjonsgrensene aklart og det ne området er G G Vi trenger å bestemme integranden i de ne koordinatene Vi må først omforme ( ) Integranden i de ne koordinatene blir ( ) ( ) ( ) e ( ) e e Til sltt trenger i jacobideterminanten til koordinattransformasjonen (, ) J (, ) Innsatt blir integralet i ne (, ) koordinater ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e d d ( ) 8 e d d e d e d dw dw dw et siste integralet løser i ed sbstitsjon i en ariabel Lar w d e ne integrasjonsgrensene blir: Nedre grense: w 6 ermed er integralet ( ) 8 w og Øre grense: 6 w 6 w 6 6 8 e d d 8 e d 8 e e dw e e e 6
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () Oppgae 8 (8) Vi skal beregne trippelintegralet dv oer området agrenset a,, ed å bentte ariabelskiftet/koordinattransformasjonen,, w Her kjenner i de ne koordinatene,, w som fnksjoner a de gamle koordinatene,, ette gjør at i må løse likningene for å finne de gamle koordinatene som fnksjoner a de ne Med G som området beskreet i de ne koordinatene gir ariabelskifteformelen for trippelintegral f (,, ) dv g(,, w) J (,, w) dv, hor den ne integranden bestemmes ed å sette inn for de gamle koordinatene i f (,, ) Vi starter med å finne integrasjonsområdet G I stedet for å bestemme randa til så setter i inn de ne ariablene direkte i likhetene ette gir w (,, ) (,, w ) Fra likhetene har i det ne integrasjonsområdet G w Her ar opplsningene slik at det ikke lønte seg å gå ia randa til, sel om også dette hadde ført fram Vi trenger de gamle koordinatene som fnksjoner a de ne Fra ttrkkene har i direkte at, w et gjenstår å bestemme Vi har Transformasjonen er w Jcobideterminanten er G w ù w w (,, ) ( ) ( ) ( ) (,, w) w w ( w) ( w) ( w) w w J (,, w), siden determinanten er øre trianglær Ìntegranden bestemmes ed direkte innsetting f (,, ) w w g(,, w ) Trippelintegralet blir w dv ( w) dwd d ( ) dwd d w 9 ( ( ) ( ) w d d d d d d ln ( ln ( ln)) ln 7