Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert formelsamling). Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling (bakerst i oppgavesettet). Kontroller at du har fått alle arkene. Les oppgavetekstene nøye. Bruk egne ark på hver oppgave. Begrunn alle svar. Alle delspørsmål teller like mye. Oppgave 1 a) Finn funksjonsuttrykket/ligningen til den rette linjen som går gjennom punktene (1, 3) og (2,1). b) Nedenfor ser du grafen til en annengradsfunksjon. Skriv ned funksjonsuttrykket til denne funksjonen. Skriv uttrykket på formen. 1
c) Skriv uttrykket du fant i spørsmål b) på formen d) Bruk derivasjon til å bestemme lokale topp- og bunnpunkter for funksjonen 2 9 2440. e) Finn asymptotene til funksjonen Tegn også en skisse av funksjonen. 64 3 Oppgave 2 a) En person tenker at han skal begynne å spare til en ny bil. Han bestemmer seg for å spare penger i 5 år. Han vurderer to alternative spareformer. Den ene er å starte med å spare 100 kroner første måneden. Deretter økes sparebeløpet med 100 kroner hver måned fremover. Vi tenker oss at han starter sparingen den 1. januar 2015 og siste gang han setter penger i banken er 1. desember 2019. Finn ut hvor mye han totalt satte inn i banken i løpet av denne tiden. b) Det andre sparealternativet er å sette 1000 kroner i banken den 1. januar 2015. Deretter skal det beløpet som settes inn økes med 3% hver måned. Også med dette alternativet settes siste beløpet inn i banken den 1. desember 2019. Hvor mye har han totalt satt inn i banken med dette alternativet? c) Til konfirmasjonen din fikk du 3000 kroner av din bestemor. Pengene ble satt inn på en konto i banken. Bestemoren din inngikk en avtale med banken om at det skulle være fastrente på kontoen så lenge den eksisterte. Etter konfirmasjonen glemte du hele kontoen, men etter 30 år får du beskjed fra banken om at det nå står 9000 kroner på kontoen. Finn ut hva renten er på kontoen. 2
Oppgave 3 a) Bruk substitusjon til å regne ut integralet b) Regn ut integralet sin c) Nedenfor er det vist grafen til en funksjon på formen sin. Bestem konstantene a og b. Oppgave 4 Funksjonen er gitt ved 33 a) Hva er funksjonens største mulige definisjonsområde? b) Har funksjonen asymptote? c) Finn eventuelle nullpunkter til funksjonen. d) Deriver og bruk den deriverte til å bestemme funksjonens (lokale) ekstremalpunkter. Oppgave 5 Vi tenker oss at når en bil bremser så er akselerasjonen 6. Når akselerasjonen er negativ kalles den gjerne for retardasjon. En bil kjører med en hastighet på 30 /. Bilisten bestemmer seg for å stoppe. Han trakker på bremsen og bilen begynner å bremse. a) Forklar at farten sekunder etter oppbremsingen har startet, kan skrives som 306. Hvor lang tid tar det før bilen har stoppet helt opp? b) Finn hvor mange meter bilen har kjørt fra den begynner å bremse til den har stoppet helt opp. 3
c) Generelt kan en si at ved jevn oppbremsing så er hastigheten etter sekunder gitt ved, der er hastigheten vi har når vi starter å bremse og er en konstant (retardasjonen). En kan ofte lese forskjellige steder at bremselengden er proporsjonal med kvadratet av farten en har i utgangspunktet. Vis at dette er riktig. Oppgave 6 Vi har gitt funksjonen, 23 a) Regn ut de partiellderiverte av første orden. b) Finn de stasjonære punktene til funksjonen. NB. Det er ikke nødvendig å klassifisere dem. c) Likningen 234 gir en nivåkurve. Punktet 4,1 ligger på denne kurven. Bruk implisitt derivasjon til å finne likningen til tangenten til kurven i dette punktet. Oppgave 7 Forskere i Canada har over lengre tid drevet telling av en hjort. På bakgrunn av dette har de også fremsatt forslag til jaktkvoter. Vi lar i det følgende være størrelsen av hjortebestanden ved tidspunkt t år. Tellingene viser at dersom forskernes forslag til jaktkvoter blir fulgt vil bestandens vekstrate ved ethvert tidspunkt t være 2 % av 10000. a) Sett opp en differensialligning som modellerer opplysningene i oppgaveteksten, og løs ligningen med initialbetingelsen: 0 8000. b) Hvor stor er bestanden etter 20 år? c) Hvordan vil det gå med bestanden på lang sikt? d) Lag en grov skisse av hvordan grafen til funksjonen ser ut. 4
Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning Formelsamling for Matematikk 2, Modul 1 Generelt FORMEL FOR LØSNINGENE TIL ANNENGRADSLIGNINGEN Ligningen 0 har løsninger gitt ved 4 2 KONTINUERLIG FUNKSJON er kontinuerlig i c dersom lim INVERS FUNKSJON er invers til dersom. Den inverse skrives ofte. Rekker GEOMETRISK REKKE 1 1 1 Rekken er konvergent dersom 1 1, og da er 1 1 lim 1 1 1 Summen av geometrisk rekke kan også skrives slik 1 1 ARITMETISK REKKE La være den faste differensen mellom leddene. Da er 2 Derivasjon hvor PRODUKTREGELEN: så er KJERNEREGELEN: Hvis, så er 5
KVOTIENTREGELEN Hvis,så er POTENSREGELEN: Hvis så er, hvor,. DERIVASJON AV EKSPONENTIALFUNKSJONER: Hvis, så er ln, hvor 0. (spesialtilfelle:, siden ln 1). DERIVASJON AV LOGARITMER: Hvis ln, så er 1, hvor 0. DERIVASJON AV TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER sin cos og cos sin PARTIELT DERIVERTE: For en funksjon, skriver vi eller, for den partielt deriverte med hensyn på x. Tilsvarende for derivasjon med hensyn på y. Annenderiverttesten Hvis 0 og 0, så er, et lokalt maksimumspunkt, og en lokal maksimumsverdi. Hvis 0 og 0, så er, et lokalt minimumspunkt, og en lokal minimumsverdi. L Hôpitals regel L HÔPITALS REGEL FOR 0/0 : Forutsatt at 0 har vi lim lim. Regelen kan brukes til å bestemme grensen i tilfeller hvor vi har lim " ". L HÔPITALS REGEL FOR / : Dersom lim lim, da er lim lim forutsatt at lim eksisterer, eller er. Regneregler for logaritmer ln ln lnln ln ln ln 6
Integrasjon DELVIS INTEGRASJON INTEGRASJON VED SUBSTITUSJON Dersom, så er, hvor G er en antiderivert til g. Ved beregning av bestemte integraler: SPESIELLE INTEGRALER 1 1 1 ln ln sin cos cos sin Funksjoner i flere variable TANGENTPLAN Dersom, er en partielt deriverbar funksjon, er tangentplanet for grafen til i punktet, gitt ved,,,. STASJONÆRT PUNKT Dersom, 0 og, 0 kalles, et stasjonært punkt. Løsninger av differensialligninger Ligninger på formen, har løsning. Konstanten bestemmes av initialbetingelsen. Ligninger på formen, 0, har løsning Konstanten bestemmes av initialbetingelsen. 7