Matematikk for lærere 2 Henvisninger og ressurser Kapittel 8 Geometri former og figurer Grunnleggende kunnskaper Egenskaper og relasjoner i ulike figurer hører med til grunnleggende kunnskaper om geometri. Se mer på: http://matematikk.org/side/vis.html?tid=68986 Geometri i naturen Naturen viser en rekke eksempler på geometriske mønstre og geometriske former. Leting etter geometriske former i trær, planter, frø og frukter, etter geografiske, atmosfæriske mønstre eller et søk på internett bekrefter det. Se eksempler på geometri i naturen: http://www.google.no/search?q=geometry+in+nature&hl=no&biw=1044&bih= 953&prmd=imvns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=KbZxToWfKM7sO b6fmfsc&sqi=2&ved=0ccuqsaq Se på geometri i blomster og frukter: http://www.xtec.es/centres/b7004955/ciencia/english/natu2.htm Eller se på geometri knyttet til vær og vind: http://photography.nationalgeographic.com/photography/photos/patterns- nature- rainbows/
Datateknologi og geometri i skolen Dynamiske geometriprogrammer, eller konstruksjonsprogrammer, fins tilgjengelig på internett. De mest aktuelle er følgende: Cabri II+ eller Cabri 3D. Se http://www.cabri.com/ Norske språkfiler og norsk håndbok fins her: http://www.uia.no/no/portaler/om_universitetet/teknologi_og_realfag/- _matematiske_fag/- - _diverse_programvare/cabri Geogebra i norsk versjon kan lastes gratis ned fra nettet: http://www.geogebra.org/cms/nb The Geometer's Sketchpad er mye brukt i skoler i USA: http://dynamicgeometry.com/ Kapittel 8.1-8.2 Elevers utvikling av geometriske begreper kan vi se i relasjon til van Hieles modell. Se ressurser laget av Bjørn Smestad: http://www.caspar.no/tangenten/2008/smestad108.pdf http://eleviki.wikidot.com/van- hieles- teorier Et aksiomsystem består av udefinerte termer og aksiomer (postulater). Disse bevises ikke. Dette blir grunnlaget for videre definisjoner og for nye setninger som bevises. Matematikeren David Hilbert har laget et aksiomsystem for geometri som er vist her: http://userpages.umbc.edu/~rcampbel/math306/axioms/hilbert.html Oppgave 8.1-8.5 Elever kan gjøre erfaringer med geometri ved å bruke ulike konkrete undervisningsressurser. Her er noen eksempler: Om vinkler: http://www.education.vic.gov.au/studentlearning/teachingresources/maths/m athscontinuum/space/sp32502p.htm Om papirbretting: http://www.graficaobscura.com/fold/page001.html http://www.folds.net/tutorial/index.html Om speilografen: http://bedrift.okani.no/display.aspx?menuid=507991&prodid=2778 Kapittel 8.3
Sirkelen er en spesiell figur som har tiltrukket seg interesse og som er sentral i skolens geometri. Se: http://www.norsknettskole.no/fag/ressurser/itstud/v00/leremiddel_om_geom etri/sirkelside.html http://www.matematikk.net/emne/sirkelu.php#sec14 Kapittel 8.6-8.7 Noen geometriske setninger har tilknytning til en bestemt person eller kultur. Thales og Pytagoras, fra tidlig i den greske storhetstida, er eksempler på det. Vi kan finne biografisk bakgrunnstoff om slike. Søk gjerne på nettet, gjerne på Wikipedia: http://no.wikipedia.org/wiki/thales http://no.wikipedia.org/wiki/pythagoras http://no.wikipedia.org/wiki/pythagoras _læresetning Ved det skotske universitetet St. Andrews har forskere laget en rik kilde av matematikk- historisk stoff. Vi finner på deres nettsted rikelig stoff for interesserte elever og studenter, og også profesjonelle matematikere. Vi kan se mer om både biografier og om hva disse menneskene kom til å bety for matematikkens utvikling. Om Thales av Milet: http://www- gap.dcs.st- and.ac.uk/~history/biographies/thales.html Og om Pytagoras av Samos: http://www- gap.dcs.st- and.ac.uk/~history/biographies/pythagoras.html Kapittel 9 Geometriske avbildninger Symmetri Symmetri- programmer lar oss analysere figurer med tanke på hvilke symmetrier hver figur har: punktsymmetri, båndsymmetri og tapetsymmetri. Om de 17 forskjellige tapetsymmetrimønstrene, se her: http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/ Og her: http://kmr.nada.kth.se/vml/matematik- inscannat/geometri/symmetri/wallpaper- symmetry- chart.jpg Det fins programmer som lar oss tegne symmetriske mønstre. De lar oss først velge typen symmetri. Vi velger symmetrigruppa vi vil benytte. Så kan vi tegne en grunnfigur. Denne figuren dupliseres i tråd med den valgte symmetrigruppa. Se: http://www.matemania.no/matemania_m/verksted_kaleidoskop/index.html http://www.mathsisfun.com/geometry/symmetry- artist.html
http://illuminations.nctm.org/activitydetail.aspx?id=168 http://www.jcrystal.com/steffenweber/java/jwallpaper/j2dspg.html Tesselleringer Programmet Kaleido Tile gir oss mulighet til å arbeide kreativt og lekende med tesselleringer. Programmet lar oss velge en trekant som enhet, der vi velger de tre vinklene i trekanten. Resultatet blir en tessellering i planet, en fantastisk figur bygd opp av trekanter slik vi har valgt. Vi kan dekorere figuren ved å jobbe inni enhetstrekanten. Om vi velger slik at vinkelsummen ikke blir 180 grader, blir figuren likevel en tessellering men ikke i det euklidske planet! Det er bare å prøve og kanskje bli overrasket... http://www.geometrygames.org/kaleidotile/index.html Vi kan for eksempel starte enkelt med å velge de tre vinklene lik 60 grader. Vi har da valgt en 3, 3, 3- trekant, og figuren blir da bygd opp av likesidede trekanter. Eller vi kan velge å starte med en trekant med vinkler 90, 45 og 45 grader, en 2, 4, 4- trekant eller en med 30, 60, 90 grader, en 6, 3, 2- trekant. Kapittel 10 Perspektivtegning Bjørnar Alseth og Grete H. Lindegaard skriver om perspektivtegning i småskolen. Vi finner bidraget deres på: http://www.caspar.no/tangenten/2004/perspektiv204.pdf 10.1 Regler for perspektivtegning Innføring i perspektivtegning på nettstedet matematikk.net: http://www.matematikk.net/emne/perspektiv.php#sec3 Noen glimt fra en enkel innføring i perspektivtegning på Bjørn Smestads nettsted eleviki, se: http://eleviki.wikidot.com/perspektivtegning 10.2 Problemet i kunsten Kunstverk av Matthew Paris er gjengitt på: http://www.google.no/search?q=matthew+paris&hl=no&biw=1069&bih=941& prmd=imvnsb&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=x&ei=v3- etvfngmpataac7- SmCQ&sqi=2&ved=0CFwQsAQ Duccios nattverdsbilde, figur 10.15, kan vi se her: http://cgfa.acropolisinc.com/duccio/p- duccio13.htm
Figur 10.18, Dürers kopperstikk Mann med lutt, kan vi se nøyere på: http://virtualterritory.wordpress.com/category/durer/ Den hellige Hieronymus, fordypet i sitt studerkammer, også i et kopperstikk av Albrecht Dürer. Se: http://de.wikipedia.org/wiki/der_heilige_hieronymus_im_gehäus Om matematikk og kunst og spesielt om perspektiv i et historisk lys, se: http://www- gap.dcs.st- and.ac.uk/~history/histtopics/art.html Om avstandsforkortelse: Den nederlandske arkitekten og kunstneren Jan Vredeman de Vries (1527 1606) har laget detaljerte tegninger der han viser hvordan spesielle linjer brukes til perspektivtegning og til å få fram avstandsforkortelse. Kapittel 11 Kombinatorikk Ressurser for undervisningen om Pascals talltrekant, se: http://www.matematikk.org/uopplegg/vis.html?tid=52741 http://www.matematikk.org/artikkel/vis.html?tid=64742 Kapittel 12 Sannsynlighet Et frekvensdiagram, som er introdusert i Eksempel 12.18, er gjengitt i dokumentet kalt Arbeidsark. Kapittel 13 Statistikk Til oppgave 13.29: Her kan vi lage et instrument for å måle reaksjonstid. Klipp ut skalaen du finner på dokumentet Arbeidsark. Lim den på en linjal. En elev A holder linjalen loddrett mellom tommelen og pekefingeren til en annen elev B. Uten signal slipper A linjalen slik at den faller loddrett nedover. B griper den, og da kan de sammen lese av reaksjonstida i hundredels sekund. Kapittel 14 Matematikk i ulike sammenhenger Matematikk i andre fag Stortingsmelding nr 30: http://www.regjeringen.no/nb/dep/kd/dok/regpubl/stmeld/20032004/stmel d- nr- 030-2003- 2004-.html?id=404433 http://www.matematikksenteret.no/content/1208/regning- i- alle- fag > Til eksempel 14.4 (om idrett) - Tyrvingtabellen finner vi her:
http://www.friidrett.no/stevner/poeng/tyrving/sider/default.aspx Om Stortingsvalg (eksempel 14.10 og oppgavene 14.17-21): I dokumentet Arbeidsark finner vi en tabell som kan brukes for å beregne antall distriktsrepresentanter til Stortinget fra hvert fylke. Vi kan kopiere tabellen og lime den inn på et regneark. Derfra kan vi jobbe videre med den. Stortingsvalget i 2005: http://odin.dep.no/krd/html/valgresultat2005/frameset.html Stortingsvalget i 2009: http://www.regjeringen.no/krd/html/valg2009/bs5.html http://no.wikipedia.org/wiki/stortingsvalget_2009#.c3.98stfold Se dette på Statistisk sentralbyrås nettside: http://www.ssb.no/emner/00/01/10/ Kapittel 15 Undervisning og læring av matematikk A15.1 Hundrearket Til å undersøke ulike tallmønstre kan vi bruke et eget ark, som ligger i dokumentet Arbeidsark. A15.3 Prikkpapir til å undersøke hvordan dette mønsteret vokser med antall tråder i kabelen. Trekantet prikkpapir er laget som et Arbeidsark. A15.4 Kvadratisk prikkark. Dette ligger også på dokumentet Arbeidsark. 15.5 Om nasjonale prøver for faget matematikk: http://www.udir.no/vurdering/nasjonale- prover/ Kapittel 16 Verdier i matematikkfaget Retningslinjer for lærerutdanningen for grunnskolen: http://www.regjeringen.no/upload/kd/rundskriv/2010/retningslinjer_grunnskol elaererutdanningen_1_7_trinn.pdf Om jordskjelv, se denne siden: http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/world/world_deaths_sort.php eller se Aftenposten: http://www.aftenposten.no/nyheter/uriks/article4037912.ece
Om Human Development Index, se mer her: http://en.wikipedia.org/wiki/human_development_index http://hdr.undp.org/en/statistics/ Noen ressurser om landminer (Fra Wikipedia og FN): http://no.wikipedia.org/wiki/antipersonellmine http://no.wikipedia.org/wiki/landminer http://www.fn.no/temaer/fred- og- sikkerhet/nedrustning/landminer- og- klasebomber Noen ressurser om Burundi: http://news.bbc.co.uk/2/hi/africa/country_profiles/1068873.stm. http://www.britannica.com/ebchecked/topic/85931/burundi http://en.wikipedia.org/wiki/burundi Den norske rapporten for PISA- undersøkelsen for matematikk kan lastes ned fra nettet: http://www.pisa.no/publikasjoner/index.html IKT- kompetanse Graftegning Et program som lar oss framstille grafen til en funksjon er svært nyttig. http://www.webgraphing.com/graphing_basic.jsp?goog=online_graph&gclid=cp rs7co3j6ccfcwedgodaap6cw# Statistikk Freudenthal Institutt i Nederland har utviklet tre didaktiske verktøy for å analysere en datamengde. Der ligger også mange eksempler vi kan studere og analysere. Se Minitools her, velg WisWeb Applets: http://www.fi.uu.nl/wisweb/en/