Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007

2

Part I Leksikon 3

Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn, f.eks. om utsagnet P, xp (x) betyr at P (x) er sann for alle x. Abelsk, en binær operasjon over en mengde S er abelsk eller kommutativ hvis a b = b a for alle a, b i S. Alternerende gruppe, undergruppen av den symmetriske gruppen S n som består av de like permutasjonene av n tegn er den alternerende gruppen A n av n tegn. Bane (G-mengde), en delmengde av en G-mengde. Banen til et element x i X er mengden av elementer i X hvor x kan flyttes ved hjelp av elementene i G. Banen til x er angitt ved Gx = {g x g G}. Eksempel: La mengden X være alle rotasjoner av et kvadrat hvor hjørnene er merket 1, 2, 3, 4 med klokken, og la G = {ρ 0, ρ 1, ρ 2, ρ 3 } være en gruppe der hvert element tilsvarer en rotasjon på henholdsvis 0, 90, 180, 270 med klokken. Hvis x = (1, 2, 3, 4) X, vil Gx = {(1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 1), (3, 4, 1, 2), (4, 1, 2, 3)}. Bilde, bildet av en funksjon f : A B er alle elementer i B slik at f(a) B for en a, og skrives Im f. Med andre ord, mengden {f(a) a A}. Eksempel: La f : R R gitt ved f(x) = x 2. Im f = {x x R x 0}. Binær algebraisk struktur, en binær algebraisk struktur S, er en mengde S med en veldefinert binær operasjon over S. Binær operasjon, en binær operasjon på en mengde S er en funksjon som avbilder S S til S. For hver a, b S S skriver vi a b istedenfor ((a, b)). Dekomponerbar, En gruppe G er dekomponerbar hvis den er isomorf med 5

6 CHAPTER 1. ALFABETISK OPPSLAGSVERK et direkte produkt av to ekte ikke-trivielle undergrupper, i motsatt fall er gruppen ikke-dekomponerbar. Eksempel: Z 2 Z 2. Dihedral gruppe, den n-te dihedrale gruppen D n er gruppen av symmetrier av et regulært n-gon. Direkte produkt, et direkte produkt av grupper G 1, G 2,, G n kan skrives som n i=1 G i, og et element i produktet er (a 1, a 2,, a n ) der a 1 G 1,, a n G n. Divisjonsring, en ring R er en divisjonsring hvis hver a 0 i R har en multiplikativ invers, dvs for hver a 0 R, aa 1 = 1 = a 1 a. Ekte undergruppe, en ekte undergruppe H av G er ulik G, det vil si H har færre elementer enn G. Undergruppen av G som består av G selv er en uekte undergruppe. Ekvivalensrelasjon, en relasjon R på en mengde S som tilfredsstiller følgende egenskaper for alle x, y, z S: 1. (Refleksiv) xrx. 2. (Symmetrisk) Hvis xry, så yrx. 3. (Transitiv) Hvis xry og yrz, så xrz. Eksempel: Relasjonen =. 1. x = x holder. 2. Hvis x = y, så y = x, som er OK. 3. Hvis x = y og y = z, så x = z, som holder. Enhet (ring), la R være en ring med 1 0, u R er en enhet hvis u har en multiplikativ invers. Eksempel 1 : Enheter i Z er -1 og 1. Eksempel 2 : La R være en vilkårlig divisjonsring. Alle elementer a 0 R er enheter. Eksempel 3 : La R være M 2 (R), enhetene er de inverterbare 2 2-matrisene. Eulers teorem, hvis a er et heltall relativt primisk til n, da er a φ(n) 1( mod n). Evalueringshomomorfi. La F være den additive gruppen med alle funksjoner som avbilder R til R, la R være den additive gruppen av reelle tall, og la c være et hvilket som helst reelt tall. La φ c : F R være en evalueringshomomorfi definert ved φ c (f) = f(c) for f F. Da har vi φ c (f + g) = (f + g)(c) = f(c) + g(c) = φ c (f) + φ c (g) så vi har en homomorfi. Faktorgruppe, la φ : G G være en gruppehomomorfi med kjerne H. Da vil restklassene til H danne en faktorgruppe G/H, hvor (ah)(bh) = (ab)h. I tillegg, avbildningen µ = G/H φ[g] definert ved µ(ah) = φ(a) er en isomorfi. Både restklassemultiplikasjon og µ er veldefinert.

7 Eksempel: γ : Z Z m der γ(m) er resten av divisjonen m/n, eller γ(m) m(modn). Ker γ = nz. Da er faktorgruppen Z/nZ isomorf med Z n. Restklassene til nz er restklassene modulo n. Eksempel for n = 5: 5Z = {, 10, 5, 0, 5, 10, } 1 + 5Z = {, 9, 4, 1, 6, 11, } 2 + 5Z = {, 8, 3, 2, 7, 12, } 3 + 5Z = {, 7, 2, 3, 8, 13, } 4 + 5Z = {, 6, 1, 4, 9, 14, } Fermats lille teorem, hvis a Z og p er primtall som ikke dividerer a, vil p dividere a p 1 1, dvs a p 1 1( mod p) for a 0( mod p). Eksempel 1: Vis at 2 11213 1 ikke er delelig med 11. Fra Fermats lille teorem har vi 2 10 1( mod 11), så 2 11213 1 [(2 10 ) 1121 2 3 ] 1 [1 1121 2 3 ] 1 2 3 1 8 1 7( mod 11), altså er resten av 2 11213 1 dividert med 11 lik 7 og ikke 0. Forkortingsregelen, hvis G er en gruppe med binær operasjon, da vil den venstre og høyre forkortingsregelen gjelde i G. Det vil si, a b = a c medfører b = c, og b a = c a medfører b = c for alle a, b, c G. Bevis: Anta a b = a c. På grunn av gruppeaksiom G 3 har vi at a eksisterer, og a (a b) = a (a c). På grunn av den assosiative loven har vi (a a) b = (a a) c. På grunn av definisjonen av a i G 3, a a = e har vi e b = e c. På grunn av definisjonen av e i G 2 har vi b = c og vi har vist forkortingsregelen. Generator, Et element a i en gruppe G genererer G og er en generator for G hvis a = G. En gruppe er syklisk hvis det finnes et element a i G som genererer G. G-mengde, en mengde X slik at, gitt en gruppe G, det eksisterer en gruppevirkning på X fra G. Hvis G er en gruppe og X er en mengde, en (venstre) gruppevirkning fra G på X er en binær funksjon G X X, skrives som (g, x) g x, som tilfredsstiller følgende aksiomer: 1. (gh) x = g (h x) for all g, h in X and x in X. 2. e x = x for hver x i X, hvor e er identitetselementet i G. Gruppe, en gruppe (G, ) er en mengde G lukket under en binær operasjon slik at følgende aksiomer er oppfylt: 1. G 1 : For alle a, b, c G, vi har (a b) c = a (b c). assosiativitet for

8 CHAPTER 1. ALFABETISK OPPSLAGSVERK 2. G 2 : Det finnes et element e i G slik at for alle x G, e x = x e = x. identitetselement e for 3. G 3 : For hver a G finnes det et element a i G slik at a a = a a = e. invers a til a Gruppehomomorfi, gitt to grupper (G, ) og (H, ), en gruppehomomorfi fra G til H er en avbildning φ : G H slik at homomorfiegenskapen φ(a b) = φ(a) φ(b) gjelder for alle a, b G. Egenskaper for en gruppehomomorfi φ fra G til G : 1. Hvis e er identitetselementet i G, da er φ(e) identitetselementet e i G. 2. Hvis a G, da er φ(a 1 ) = φ(a) 1. 3. Hvis H er en undergruppe av G, da er φ[h] en undergruppe av G. 4. Hvis K er en undergruppe av G, da er φ 1 [K ] en undergruppe av G. Med andre ord, φ bevarer identitetselement, invers og undergrupper. Eksempel 1 : φ : (R, +) (R +, ), φ(x) = e x, φ(a + b) = e a+b, φ(a)φ(b) = e a e b = e a+b. { 0, φ jevn Eksempel 2 : φ : S n Z 2, φ(σ) =. Sjekk at φ(σµ) = 1, φ odde φ(σ) + φ(µ), det er 4 tilfeller å sjekke. Gruppevirkning, gitt en mengde X og en gruppe G, en gruppevirkning fra G på X er en avbildning : G X X slik at: 1. ex = x for alle x X, 2. (g 1 g 2 )(x) = g 1 (g 2 x) for alle x X og alle g 1, g 2 G. En mengde X under disse betingelser kalles en G-mengde. Homomorfi, se gruppehomomorfi eller ringhomomorfi. Hovedideal, hvis R er en kommutativ ring med identitetselement og a R, da er idealet {ra r R} av alle multipler av a et hovedideal generert av a og skrives a. Et ideal N av R er et hovedideal hvis N = a for en a R. Eksempel 1 : Alle idealer i Z er på formen nz som er generert av n, så alle idealer i Z er hovedidealer. Eksempel 2 : Idealet x i F [x] inneholder alle polynomer i F [x] som har 0 som konstantledd. Ideal, et ideal er en undergruppe N under addisjon av en ring R som i oppfyller egenskapene an N og Nb N for alle a, b R. Med andre

9 ord, hvis man tar et vilkårlig element fra N og multipliserer med et vilkårlig element fra R, vil resultatet ligge i N. Egenskaper: 1. La I være et ideal i R. Hvis 1 I, så er I = R. Bevis: 1 I, r R r = r 1 I. Altså er R I og I = R. 2. La I være et ideal i R, der R er en kropp. Da er (0) og R de eneste idealene i R. Bevis: La a I, der a 0. Da finnes en invers a 1 i R slik at a 1 a = 1 I da I er et ideal. Siden 1 I, er I = R pga egenskapen over. Altså er (0) og R de eneste idealene i R. Eksempel 1 : nz er et ideal i Z, siden vi vet at nz er en underring. La r Z og nt nz (t Z). r(nt) = n(rt) nz. Eksempel 2 : (0) og R er alltid idealer, og kalles de trivielle idealene. Indeks (undergruppe), la H være en undergruppe av en gruppe G. Antall venstre restklasser av H i G er indeksen (G : H) av H i G. Ifølge Lagranges teorem har vi (G : H) = G / H. Integritetsområde, en kommutativ ring med identitetselement 1 0 uten nulldivisorer er et integritetsområde. Eksempler: Q, R, C, Z p for alle primtall p. Z 6 er ikke et integritetsområde. For to ringer R og S, R S kan aldri være integritetsområde, da (r, 0)(0, s) = (0, 0) for alle r R og s S. Karakteristikk (ring), hvis det for en ring R finnes et positivt heltall n slik at n a = 0 for alle a R, da er det minste slike heltallet karakteristikken til ringen R. Hvis det ikke finnes et slikt tall, har R karakteristikk 0. Eksempel: Z n har karakteristikk n, Z, Q, R og C har karakteristikk 0. Kardinalitet, antall elementer i en mengde S, skrives S. Eksempler: {1, 20, 40} = 3, S n = n!, Q = Z = Z + = ℵ 0, R = ℵ 1 = 2 ℵ 0 = 10 ℵ 0. Sistnevnte likhet gjelder fordi reelle tall kan skrives i forskjellige baser. Kartesisk produkt, et kartesisk produkt av mengdene S 1, S 2,, S n er mengden av alle ordnede n-tupler (a 1, a 2,, a n ) der a i S i for i = 1, 2,, n. Det kartesiske produktet skrives som S 1 S 2 S n eller n i=1 S i. Kjerne, la φ : G G være en gruppehomomorfi. Undergruppen φ 1 [{e }] = {x G φ(x) = e } (det vil si alle elementene x i G slik at φ(x) = e ) kalles kjernen til φ, og skriver Ker(φ). Eksempel: La φ : R n R m være en gruppehomomorfi gitt ved φ(v) = Av hvor A er en m n-matrise. Her er Ker(φ) nullrommet til A. Det består av alle v R n slik at Av = 0, nullvektoren. Kommutativ ring, en kommutativ ring er en ring der multiplikasjon er kommutativ (abelsk). Eksempler: Q, R, C, Z. M 2 (R) er ikke en kommutativ ring.

10 CHAPTER 1. ALFABETISK OPPSLAGSVERK Kropp, en kropp er en ring som er både kommutativ og divisjonsring. Eksempler: Q, R, C, Z p for alle primtall p. Z er ikke en kropp. Lagranges teorem (gruppe), la H være en undergruppe av en endelig gruppe G. Da vil ordenen til H være en divisor til ordenen til G. Bevis: La n være ordenen til G, og la H ha orden m. Hver restklasse av H har også m elementer. La r være antall celler i partisjonen av G i venstre restklasser til H. Da er n = rm, så vi har vist at m er en divisor i n. Lukket under operasjon, en mengde H er lukket under en operasjon hvis a b H for alle a, b H. Maksimalt ideal, et ideal I, I R er et maksimalt ideal i en ring R hvis I og R er de eneste idealene i R som inneholder I. Med andre ord, det finnes ikke idealer i I med flere elementer enn I som ikke samtidig utgjør hele R. Eksempel: La p være et primtall i Z, da er pz et maksimalt ideal. Monoide, en mengde G med en assosiativ binær operasjon. I G finnes et identitetselement e slik at e x = x e = x for alle x i G. Definisjonen er identisk med definisjonen for gruppe med unntak av at G 3 ikke kreves, det vil si at en invers til hvert element i G behøver ikke å eksistere. Normal (undergruppe), en undergruppe H av en gruppe G er normal hvis de venstre og høyre restklassene faller sammen, det vil si gh = Hg for alle g G. Merk at alle undergrupper av abelske grupper er normale undergrupper. Nulldivisor, la R være en ring. a 0 og b 0 er nulldivisorer i R hvis ab = 0. Eksempel: R = Z 6, 2 3 = 0. Orden (gruppe), ordenen G til en gruppe G er antall elementer i G. Orden (element i gruppe), ordenen til et element a i en syklisk gruppe G er a, antall elementer i den sykliske undergruppen a generert av a. Alternativ definisjon: Ordenen til a er den minste m slik at a m = e der e er identitetselementet i G. Permutasjon, en permutasjon av en mengde A er en funksjon φ : A A som er både 1-1 og på. Eksempel: φ(1) = 4, φ(2) = 3, φ(3) ( = 2, φ(4) ) = 1 2 3 4 1. Kan skrives på følgende måter: (1, 4)(2, 3), (1 4)(2 3),. 4 3 2 1 En permutasjon som bytter om to elementer og lar resten forbli på samme posisjon kalles en transposisjon. Alle permutasjoner kan skrives som produkt av transposisjoner. En like permutasjon har et odde antall transposisjoner, og en odde permutasjon har et like antall transposisjoner. Primideal. Et ideal N R i en kommutativ ring R er et primideal hvis ab N impliserer enten a N eller b N for a, b R.

Restklasser, la H være en undergruppe av en gruppe G. Delmengden ah = {ah h H} av G er den venstre restklassen til H som inneholder a, og Ha = {ha h H} av G er den venstre restklassen til H som inneholder a. Hvis H er en undergruppe av en abelsk gruppe, vil ah = Ha. Ring, en ring (R, +, ) er en mengde R med to binære operasjoner: addisjon + : R R R og multiplikasjon : R R R slik følgende betingelser oppfylles: 1. R 1 : (R, +) er en abelsk gruppe 2. R 2 : Multiplikasjon er assosiativ 3. R 3 : For alle a, b, c R, a (b+c) = (a b)+(a c) (venstredistributivitet) og (a + b) c = (a c) + (b c) (høyredistributivitet). Merk at det kreves ikke at den multiplikative operatoren er kommutativ (abelsk), eller at det eksisterer en multiplikativ invers. Eksempler: Z, R, Q, C, Z n for n > 1. Ringhomomorfi, for to ringer R og R, en avbildning φ : R R er en ringhomomorfi hvis disse to betingelsene er oppfylt for alle a, b R: 1. φ(a + b) = φ(a) + φ(b) 2. φ(ab) = φ(a)φ(b) Ringisomorfi, en ringisomorfi φ : R R fra en ring R til en ring R er en ringhomomorfi som er en-til-en og på R. Ringene R og R er dermed isomorfe. Ring med identitetselement, en ring R er en ring med identitetselement hvis R har et nøytralt element 1 med tanke på multiplikasjon. Eksempler: Z, R, Q, C, M 2 (R). Semigruppe, en mengde G med en assosiativ binær operasjon. Definisjonen er identisk med en gruppe med unntak av at G 2 og G 3 ikke kreves, det vil si at identitetselement og inverser behøver ikke å eksistere. Simpel gruppe, en gruppe som er ikke-triviell og som ikke har ekte ikketrivielle undergrupper. Eksempler: Den alternerende gruppen A n for n 5 og Z p for alle primtall p. Sykel (permutasjon), en permutasjon σ S n er en sykel hvis den har maksimalt en bane med mer enn et element. Lengden av en sykel er antall elementer i den lengste banen. Syklisk gruppe, en gruppe G er syklisk hvis det finnes et element a i G som genererer gruppen G, det vil si at G = a = {a n n Z}. For hvert positive heltall n finnes det eksakt en syklisk gruppe opp til isomorfi med orden n, og det er eksakt en syklisk uendelig gruppe, heltall under addisjon. 11

12 CHAPTER 1. ALFABETISK OPPSLAGSVERK En syklisk gruppe er alltid abelsk. Hvis ordenen n er endelig, er det φ(n) generatorer, der φ() er Eulers phi (totient)-funksjon. Syklisk undergruppe, la G være en gruppe og la a G. Da er undergruppen {a n n Z} av G en syklisk undergruppe av G generert av a, og skrives a. Symmetrisk gruppe, en symmetrisk gruppe over en mengde X = {1, 2,, n}, S n, er en gruppe der den underliggende mengden er mengden av alle bijektive funksjoner fra X til X. S n har orden n! og er ikke abelsk for n > 2. Undergrupper av S n kalles permutasjonsgrupper. Den alternerende gruppen A n er en undergruppe av S n. Trofast, en gruppe G sies å virke trofast på en G-mengde X hvis identitetselementet e er det eneste elementet i G som låser fast hver x X, det vil si det eneste elementet g G slik at gx = x for alle x X. Transitiv (G-mengde), en gruppe G er transitiv på en G-mengde X hvis for hver x 1, x 2 X, det finnes en g G slik at gx 1 = x 2. Dette medfører at hvert par av elementer i X befinner seg i samme bane, og dette medfører igjen at det bare finnes en bane i en G-mengde hvor G er transitiv. Triviell undergruppe, undergruppen {e} kalles en triviell undergruppe. Alle andre undergrupper kalles ikke-trivielle. Undergruppe, hvis en delmengde H av G er lukket under den binære operasjonen til G og hvis H under den samme binære operasjonen utgjør en gruppe, da er H en undergruppe av G, H G. Hvis H = G, da er H en uekte undergruppe. Hvis H = {e}, da er H en triviell undergruppe. Alle andre undergrupper er ikke-trivielle. Oppsummering: en delmengde H av en gruppe G utgjør en undergruppe av G hvis og bare hvis 1. H er lukket under den binære operasjonen til G, 2. identitetselementet e fra G er i H, 3. for alle a H, a 1 H. En viktig setning (Lagranges teorem) sier at ordenen til en undergruppe H av en gruppe G går opp i ordenen til G. Underring, en delmengde S av en ring R er en underring hvis og bare hvis: 1. 0 S 2. (a b) S for alle a, b S 3. ab S for alle a, b S

Chapter 2 Huskeliste 2.1 Sentrale definisjoner En ring (R, +, ) er en mengde R med to binære operasjoner (addisjon og multiplikasjon), slik at (R, +) er en abelsk gruppe, multiplikasjon er assosiativ og de distributive lover holder. En kommutativ ring er en ring der multiplikasjon er assosiativ. En ring med identitetselement er en ring med multiplikativt identitetselement. En enhet er et element u R (R ring med identitetselement 1 0) som har en multiplikativ invers i R. En divisjonsring er en ring der hvert element 0 er en enhet. En nulldivisor er et element a R (R ring) slik at det finnes en b R slik at ab = 0. En kropp er en kommutativ divisjonsring uten nulldivisorer. Et integritetsområde er en kommutativ ring med identitetselement 1 0 uten nulldivisorer. Alle kropper er integritetsområder. Bevis: La F være kropp, a, b F, og anta a 0. Hvis ab = 0 har vi a 1 (ab) = a 1 0 = 0. Men, 0 = a 1 (ab) = (a 1 a)b = 1b = b. Vi har vist at ab = 0 med a 0 medfører b = 0 i F, så F har ingen nulldivisorer og er integritetsområde da F er en kommutativ ring med identitetselement 1 0 fordi det er gitt at F er kropp. Et ideal M i R er et maksimalt ideal hvis og bare hvis R/M er en kropp. Et ideal N i R er et primideal hvis og bare hvis R/N er et integritetsområde. 13

14 CHAPTER 2. HUSKELISTE Ethvert maksimalt ideal i R er et primideal. Et ideal N i R er et hovedideal hvis N = a for en a R. La p(x) = x 2 +2x+2 i Z 3 [x]. Forklar hvorfor den kommutative faktorringen F = Z 3 [x]/ p(x) er en kropp. Svar: Vi sjekker om p(x) er irredusibelt. p(0) = 2, p(1) = 2, p(2) = 1, så p(x) har ingen lineær faktor. Siden p(x) er av grad 2, betyr det at p(x) er irredusibelt, for hvis det hadde vært redusibelt ville det ha hatt to faktorer av grad 1. Da er p(x) et maksimalt ideal i Z 3 [x], så F = Z 3 [x]/ p(x) er derfor en kropp. 2.2 Sentrale teoremer Lagranges teorem: La H være en undergruppe av en endelig gruppe G. Da er ordenen til H en divisor av ordenen til G. Strukturteoremet for endelige genererte abelske grupper: Hver endelige genererte abelske gruppe G er isomorf med et direkte produkt av sykliske grupper på formen Z (p1 ) r 1 Z (p2 ) r 2 Z (pn) rn Z Z Z, der p i er primtall, ikke nødvendigvis distinkte, og r i er positive heltall. Det direkte produktet er unikt med unntak av mulig rearrangering av faktorene. Det fundamentale homomorfiteoremet: La φ : G G være en gruppehomomorfi med kjerne H. Da er φ[g] en gruppe, og µ : G/H φ[g] gitt ved µ(gh) = φ(g) er en isomorfi. Hvis γ : G G/H er en homomorfi gitt ved γ(g) = gh, da er φ(g) = µγ(g) for hver g G. Bevis: s.140 i Fraleigh. Burnsides formel: La G være en endelig gruppe og X en endelig G-mengde. Antall baner r i X under G er da r = g G X g G.

Chapter 3 Bevismetoder Bevise entydighet For å vise at noe er unikt, anta at det finnes to ulike objekter med ønsket egenskap, for så å vise at de er like. Eksempel: Hvis G er en gruppe med binær operasjon, og hvis a og b er vilkårlige elementer i G, vis at ligningssystemet a x = b har unik løsning for x i G. Bevis: [Man må vise først at lignignssystemet har minst en løsning, denne delen av beviset er ikke tatt med her.] Anta at det finnes to forskjellige løsninger, x 1 og x 2 slik at a x 1 = b og a x 2 = b. Da har vi a x 1 = a x 2, og av forkortingsregelen har vi dermed at x 1 = x 2. Vise at to mengder er like En standardmåte å vise at to mengder er like, er for hver av dem å vise at den er en delmengde av den andre. Eksempel: [finn et enkelt og illustrativt eksempel] Vise at en binær operasjon er veldefinert, bruk eksempel fra faktorgrupper, f.eks. 15

16 CHAPTER 3. BEVISMETODER

Chapter 4 Algoritmer og betingelser Betingelser for at * er en veldefinert binær operasjon over en mengde S: 1. Ett element er tildelt til hvert ordnede par av elementer i S. Med andre ord, for alle a, b S, resultatet a b skal eksistere og være entydig. 2. For hvert ordnede par av elementer i S, må det tildelte elementet være i S. Med andre ord, for alle a, b S, ab må ligge i S. Hvis betingelse 1 brytes, er * ikke veldefinert. Hvis betingelse 2 brytes, er S ikke lukket under *. Vise at to binære algebraiske strukturer S, og S, er isomorfe. 1. Definer en funksjon φ som gir isomorfien fra S til S, det vil si hva φ(s) skal være for hver s S. 2. Vis at φ er en en-til-en-funksjon. Det vil si, anta φ(x) = φ(y) i S og vis at x = y i S. 3. Vis at φ er på S. Det vil si, anta at s S er gitt og vis at det alltid eksisterer s S slik at φ(s) = s. 4. Vis at φ(x y) = φ(x) φ(y) for alle x, y S. Betingelser for at en mengde G, lukket under en binær operasjon * er en gruppe G, 1. For alle a, b, c G, (a b) c = a (b c) (assosiativitet) 2. For alle x G finnes et element e i G slik at e x = x e = x (identitetselement) 3. For hver a G finnes et element a i G slik at a a = a a = e (invers a til a) 17

18 CHAPTER 4. ALGORITMER OG BETINGELSER Betingelser for at en delmengde H av en gruppe G er en undergruppe av G 1. H er lukket under den binære operasjonen til G. 2. Identitetselementet e i G er i H. 3. For hver a H finnes også a 1 i H. Vise at φ : G G er en isomorfi: 1. Vis at φ er en homomorfi. 2. Vis at Ker(φ) = {e}. 3. Vis at avbildningen φ : G G er på (surjektiv).

Chapter 5 Oversikter C komplekse tall N naturlige tall (alle heltall 0) Q rasjonale tall R reelle tall Z heltall Q +, R +, Z + positive elementer i Q, R, Z C, Q, R, Z elementer i C, Q, R, Z som ikke er 0 U mengden av alle z C slik at z = 1 R c mengden av alle x R slik at 0 x < c Z n {0, 1, 2,, n 1} P(a) potensmengden til A Table 5.1: Mengder 19

20 CHAPTER 5. OVERSIKTER Z n syklisk gruppe {0, 1,, n 1} under addisjon modulo n U n gruppe med nterøtter av 1 a syklisk undergruppe generert av a nz syklisk undergruppe generert av n S n symmetrisk gruppe med n tegn A n alternerende gruppe med n tegn nte dihedrale gruppe D n Table 5.2: Grupper e identitetselementet e x = x e = x identitetselementets egenskaper e 1 = e 2 identitetselementet er unikt a invers til a a a = a a = e egenskaper til invers a = a for hver a finnes kun en invers (a b) (b a) = a (b b ) a = a e a = a a = e invers til (a b) er (b a ) Table 5.3: Noen identiteter for elementer i en gruppe

Chapter 6 Oversettelser 21

22 CHAPTER 6. OVERSETTELSER Engelsk Alternating group Axiom Cardinality Characteristic Coset Cycle Cyclic group Decomposable Degree Disjoint Division ring Divisor of 0 Equivalence relation Even permutation Factor group Faithful Field Greatest common divisor Group Group action G-set Homomorphism Ideal Image Indecomposable Norsk Alternerende gruppe Aksiom Kardinalitet Karakteristikk Restklasse Sykel Syklisk gruppe Dekomponerbar Grad Disjunkt Divisjonsring Nulldivisor Ekvivalensrelasjon Like/jevn permutasjon Faktorgruppe Trofast Kropp Største felles divisor Gruppe Gruppevirkning/Gruppeoperasjon G-mengde Homomorfi Ideal Bilde Ikke-dekomponerbar

23 Engelsk Norsk Index Indeks Integral domain Integritetsområde Intersection Snitt Irreducible Irredusibel Isotropy Isotropi Kernel Kjerne Least common multiple Minste felles multiplum Left coset Venstre restklasse Maximal ideal Maksimalt ideal Map Avbildning Monoid Monoide Odd permutation Odde permutasjon Orbit Bane Order Orden Power set Potensmengde Prime ideal Primideal Principle ideal Hovedideal Proper subgroup Ekte undergruppe Quantifier Kvantifikator Reducible Redusibel Reflexive Refleksiv Relatively prime Relativt primisk Ring Ring Ring with unity Ring med 1 Semigroup Semigruppe Set Mengde Simple group Simpel gruppe Subgroup Undergruppe Subset Delmengde Symmetric Symmetrisk Transitive Transitiv Unit Enhet Unity Identitetselement