1 Aksiomatisk definisjon av vanlige tallsystemer

Transkript

1 Notat XX for MAT Aksiomatisk definisjon av vanlige tallsystemer 1.1 Aksiomer Vi betrakter en mengde R, utstyrt med to avbild- Algebraiske aksiomer. ninger: addisjon { R R R, (x, y) x + y. { R R R, multiplikasjon (x, y) xy. (1) og to 0 and 1. Vi betraketer følgende påstander, hvor vi kvantiserer over R: x, y, z (x + y) + z = x + (y + z) add. is assosiativ x x + 0 = 0 + x = x 0 er neutral for add. x y x + y = y + x = 0 add. har invers x, y x + y = y + x add. er kommutativ x, y, z (x + y)z = xz + yz mult. distribuerer z(x + y) = zx + zy over add. x, y, z (xy)z = x(yz) mult. er assosiativ x x1 = 1x = x 1 er neutral for mult. x, y xy = yx mult. er kommutativ (2) Definition 1.1. Når R er utstyrt med addisjon, multiplikasjon og to elementer 0 og 1 slik at disse aksiomene er tilfredsstilt sier vi at R er en ring. En ring R sies å være triviell dersom 0 = 1. Da har vi R = {0} Definisjon 1.1. Hvis R ikke er triviell og hvis vi i tillegg har: x, y xy = 0 = (x = 0 y = 0) mult. har integritet (3) sier vi at R er et integritetsdomene. Hvis R ikke er triviell og hvis vi i tillegg har: x 0 y xy = yx = 1 mult. har invers (4) sier vi at R er en kropp. Kropper er integritetsdomener. Proposisjon 1.1. I en ring har vi: Dersom 0 også er et neutralt element for addisjon har vi 0 = 0. Gitt x R finnes det en og bare én y slik at x+y = 0. Denne y noteres x. Vi skriver x y = x + ( y). 1

2 Vi har (x + y) = x y. Vi har x + z = y + z x = y. Vi har ( x)y = x( y) = (xy) og ( x)( y) = xy. Dersom 1 også er et neutralt element for multiplikasjon har vi 1 = 1. Gitt x R, vi sier at x er invertibel dersom det finnes y slik at xy = yx = 1. I såfall er y entydig bestemt av x og skrives x 1. Hvis x er invertibel er x invertibel og ( x) 1 = x 1. Hvis x og y er invertible et xy invertibel og (xy) 1 = y 1 x 1. Her er et eksempel på en kropp: Eksempel 1.1 (Binær kropp). La B = {0, 1}. Definer addisjon og multiplikasjon ved: (5) Man kan sjekke at dette er en kropp ved enumerasjon av tilfeller, eller et smartere triks. Noter at = 0, i motsetning til hva vi er vant med. Vi kaller dette for den binære kroppen. Ordensrelasjoner. Vi definerer ordener generelt: Definition 1.2. La A være en mengde utstyrt med en relasjon som gitt (x, y) påstår at x y som uttales «x er mindre enn y». Vi betrakter følgende påstander: x x x refleksiv x, y, z (x y y z) = x z transitiv x, y (x y y x) = x = y antisymetrisk x, y x y y x total (6) Adjektivene til høyre brukes om relasjonen. Vi sier at er : en orden når de tre første aksiomene er tilfredsstilt. en total orden når alle aksiomene er tilfresstilt. For eksempel er likhet en orden på A, men den er ikke total med mindre A bare har ett element, eller ingen. Hvis en orden ikke nødvendigvis er total, kan vi poengtere det ved å si at den er partiell. 2

3 Eksempel 1.2. La A være en mengde. På P(A) er inklusjon (som gitt X, Y A påstår X Y ) en partiell orden. Vi skriver x < y for påstanden (x y x y). Det uttales «x er strengt mindre enn y». Vi skriver x y and x > y for de respektive utsagnene y x og y < x. Vi noterer at når er en orden, tilfredsstiller også alle askiomene for å være en orden. Vi kaller for den motsatte ordenen til. Definisjon 1.2. La A være utstyrt med en ordensrelasjon som vi skriver. La B være en delmengde av A og la a A. Vi sier at: a er en nedre skranke for B dersom ( x B a x). a er et minimalt element i B dersom a B og ( x B x a = x = a). Dette kan også skrives a B og ( x B (x < a)). a er et minimum i B dersom a B og ( x B b x). Når dette er tilfellet er a entydig bestemt av B og skrives min B. Vi kan også si at a er det minste elementet i B. Øvre skranke, maksimalt element, maksimum (max B, største element), defineres tilsvarende. Vi sier også at: a er et infimum av B dersom det er et maksimum i mengden av nedre skranker til B. Når dette er tilfellet er a entydig bestemt av B og skrives inf B. Supremum er definert på tilsvarende måte og skrives sup B når det eksisterer. Definisjon 1.3. La (A, ) og (B, ) være to mengder og la f : A B være en avbildning. Vi sier at f er voksende dersom: og strengt voksende dersom: x, y A x y = f(x) f(y), (7) x, y A x < y = f(x) < f(y). (8) Avtagende og strengt avtagende defineres ved å reversere ulikhetene blant bildene. Vi sier at f er monoton hvis den er voksende eller avtagende. Ordnet ring. Definition 1.3. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en ring. Anta videre at R er utstyrt med en total orden. Vi sier at ordenen er kompatibel med addisjon og multiplikasjon når følgende holder: x, y, z x y = x + z y + z (9) x, y (0 x 0 y) = 0 xy En ordnet ring er en ring utstyrt med en total orden som er kompatibel med addisjon og multiplikasjon. 3

4 Proposisjon 1.2. In en ordnet ring har vi: Vi har x 0 x 0. For alle x, x Hvis x y og z 0, så zx zy. I en ordnet ring, hvis x er invertibel har vi x > 0 hvis og bare hvis x 1 > 0 Hvis x 0, y 0 og x + y = 0, har vi x = y = 0. Den positive konen i en ordnet ring R er delmengden: Proposisjon 1.3. Vi har : R + = {x R : x 0} (10) I en ordnet ring har vi R + + R + R +, R + R + R + R + R + = {0}. Dersom P er en delmengde av en ring R med egenskapene: P +P P, P P P og P P = { } vil egenskapen definert ved x y y x P gjøre R til en totalt ordnet ring. 1.2 Vanlige tallsystemer Hele og naturlige tall. Kort fortalt utgjør de hele tallene en ordnet ikke triviell ring der den positive konen tillater induksjonsbevis. Vi skal utbrodere dette litt. La R være en ring. Definition 1.4. Vi sier at en delmengde A av R er induktiv dersom 0 A og for alle x A har vi x + 1 A. For eksempel er R induktiv, og i en ordnet ring er R + induktiv. Vi definerer: N = {x R : for alle induktive delmengder A av R, x A}. (11) Proposisjon 1.4. N er induktiv og inkludert i alle induktive delmengder av R. 4

5 Med andre ord: N er den minste induktive delmengden til R (i forhold til inklusjonsordenen). Dette kan brukes som følger: Anta at P er en egenskap definert over N. Anta at P (0) er sant og at for alle n N, hvis P (n) er sant så er P (n + 1) også sant. Da er mengden A = {n N : P (n)}, (12) induktiv. Fra forrige proposisjon følger det at N A, slik at N = A. Dermed, for alle n N har vi P (n). Vi definerer: N = {n N : n 0}. (13) Proposisjon 1.5. Når R er en ordnet ikke-tirviell ring har vi at: { N N,, (14) n n + 1. er bijektiv og at : N = {x N : x 1}. (15) Aksiom 1.1. De hele tallene er en totalt ordnet ring Z slik at den positive konen N er den minste induktive delmengden til Z. Proposisjon 1.6. De invertible elementene i Z er 1 og 1. Teorem 1.7. Dersom R er en ring finnes det en og bare en avbilding Φ : Z R slik at for all x, y Z: Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y), Φ(0) = 0, (16) Φ(xy) = Φ(x)Φ(y), Φ(1) = 1, (17) Hvis R i tillegg er ordnet vil Φ være voksende. Reelle tall. For de reelle tallene er det siste og mest interessante aksiomet: Axiom 1.1 (SUP). En hver ikke tom delmengde av R som har en øvre skranke har en minste øvre skranke (supremum). Bemerkning 1.1. I en ordnet kropp vil SUP-aksiomet implisere INF-aksiomet, som sier at enhver ikke-tomme delmengde som har en nedre skranke har en største nedre skrake (infimum). Vi velger en totalt ordnet kropp med SUP-aksiomet og kaller det for R. De naturlige tallene N er den minste induktive delmengden av R. De hele tallene er: Z = {x R : n N x + n N}, (18) de rasjonale tallene er: Q = {x R : m Z n Z x = m/n}. (19) 5

6 Bemerkning 1.2 (Konstruksjon av C fra R). På R 2 definerer vi addisjon og multiplikasjon ved (universelle kvantorer): (a, b) (a, b ) = (a + a, b + b ), (20) (a, b) (a, b ) = (aa bb, ab + ba ). (21) Da er (0, 0) neutral for addisjon og (1, 0) neutral for multiplikasjon. Aksiomene for å utgjøre en kropp er tilfredsstilt. Et element a i R kan bli identifisert med elementet (a, 0) av R 2. Vi definerer i = (0, 1) og bemerker at i i + (1, 0) = (0, 0), eller, hvis man foretrekker: i 2 = 1. Med disse konvensjonene er det vanlig å skrive (a, b) som a + bi. Vi kaller a den reelle delen av a + bi mens b er den imaginære delen. 6

7 Exercises Exercise 1.1. Illustrate the difference between minimum and minimal elements, in the context of Example 1.2. Is there any difference between these concepts in totally ordered sets? Exercise 1.2. On N consider the relation which given x, y in N asserts that x divides y, written x y and defined by: (i) Show that this defines a partial order. x y z N zx = y. (22) (ii) Let A be a finite subset of N. Relate the infimum and supremum of A to the notions of greatest common divisor and least common multiple. Exercise 1.3. Let A be a subset of R. Suppose that every map from A to R has the intermediate value property. Show that then A is an interval. Exercise 1.4. (i) Show that there is no total order on C compatible with addition and multiplication. (ii) Show that there is no total order on B compatible with addition and multiplication. Exercise 1.5. Consider the set A of elements of R of the form a + b 2 with a, b Q. (i) Check that A contains 0 and 1 and is stable under addition and multiplication. (ii) Show that these operations make A into a field. (iii) Check that A may be considered as an ordered field. Exercise 1.6. Let A be a nonempty set. We consider the inclusion relation on P(A). (i) Check that it is an order. Show that the order is total iff A is a singleton. (ii) Let A be a subset of P(A). Show that the infimum and supremum of A exist, and can be expressed in terms of unions and intersections. Exercise 1.7. Let R be the set of polynomial functions from R to R. Define a relation by, for all p, q in R: p q ( λ R x λ p(x) q(x)). (23) (i) Show that this defines a total order on R. (ii) If we equip R with function addition and multiplication, which algebraic axioms are satisfied? Is the order compatible with addition and multiplication? (iii) The Archimedian property would be that for all a, b in R which are strictly greater than 0, there exists n N such that b na. Is it satisfied? 7

8 Exercise 1.8. Let F be a totally ordered field. We shall show that if every continuous f : F F has the intermediate value property, then F satisfies the SUP-axiom. (i) We may define absolute value in F as in R. We may then define what it means for a map f : F F to be continuous. Clarify these two assertions. (ii) Suppose that A is a subset of F which is nonempty and bounded above, but without supremum. Define: B = {x F : y A x y} (24) Show that the characteristic function of B is continuous. (iii) Conclude. Exercise 1.9. Define and show the existence of the decimal expansion of real numbers. 8