Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011
Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens
3 Alternerende rekker Definisjon En alternerende rekke er en rekke der hvert ledd er annenhver positivt og negativt. Eksempel 1 1 2 + 1 3 1 4 + + ( 1)n+1 n + 1 1 2 + 1 4 1 8 + + ( 1)n+1 2 2 n + 1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + + ( 1) n+1 n +
4 Alternerende rekketest Teorem (Leibniz s teorem) Rekken ( 1) n+1 u n n=1 konvergerer hvis hver av følgende tre betingelser er oppfyllt
4 Alternerende rekketest Teorem (Leibniz s teorem) Rekken ( 1) n+1 u n n=1 konvergerer hvis hver av følgende tre betingelser er oppfyllt 1 Alle u n -ene er positive.
4 Alternerende rekketest Teorem (Leibniz s teorem) Rekken ( 1) n+1 u n n=1 konvergerer hvis hver av følgende tre betingelser er oppfyllt 1 Alle u n -ene er positive. 2 u n u n+1 for alle n N for et tilstrekkelig stort naturlig tall N.
4 Alternerende rekketest Teorem (Leibniz s teorem) Rekken ( 1) n+1 u n n=1 konvergerer hvis hver av følgende tre betingelser er oppfyllt 1 Alle u n -ene er positive. 2 u n u n+1 for alle n N for et tilstrekkelig stort naturlig tall N. 3 u n 0
5 Den alternerende harmoniske rekken Eksempel (Den alternerende harmoniske rekken) ( 1) n+1 1 n = 1 1 2 + 1 3 1 4 + n=1
6 Estimering av alternerende rekker Hvis en alternerende rekke tilfredstiller kriteriene for Leibniz s teorem så estimerer den n-te delsummen s n = u 1 u 2 + u 3... + ( 1) n+1 u n rekken med en absoluttverdi av feilen mindre enn det første ubrukte leddet a n+1.
7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001
7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0,50000000 > 0,0001
7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0,50000000 > 0,0001 u 2 = 0,12500000 > 0,0001
7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0,50000000 > 0,0001 u 2 = 0,12500000 > 0,0001 u 3 = 0,02083333 > 0,0001
7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0,50000000 > 0,0001 u 2 = 0,12500000 > 0,0001 u 3 = 0,02083333 > 0,0001 u 4 = 0,00260417 > 0,0001
7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0,50000000 > 0,0001 u 2 = 0,12500000 > 0,0001 u 3 = 0,02083333 > 0,0001 u 4 = 0,00260417 > 0,0001 u 5 = 0,00026042 > 0,0001
7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0,50000000 > 0,0001 u 2 = 0,12500000 > 0,0001 u 3 = 0,02083333 > 0,0001 u 4 = 0,00260417 > 0,0001 u 5 = 0,00026042 > 0,0001 u 6 = 0,00002170 < 0,0001
7 insert title Eksempel Estimer ( 1) n+1 1 n!2 n n=1 med feil mindre enn 0,0001 u 1 = 0,50000000 > 0,0001 u 2 = 0,12500000 > 0,0001 u 3 = 0,02083333 > 0,0001 u 4 = 0,00260417 > 0,0001 u 5 = 0,00026042 > 0,0001 u 6 = 0,00002170 < 0,0001 Da er estimatet av summen lik u 1 u 2 +u 3 u 4 +u 5 = 0,39348958
8 Absolutt og betinget konvergens Definisjon (Absolutt konveregens) En rekke a n konvergerer absolutt hvis a n konvergerer. Definisjon (Betinget konvergens) En rekke som konvergerer men som ikke konvergerer absolutt kalles betinget konvergent. Teorem (Absolutt konvergens-test) Hvis a n konvergerer så konvergerer n=1 n=1 a n
9 Absolutt konvergens-test Eksempel (Absolutt konvergens-test) ( 1) n+1 1 n 2 n=1 cos n 2 n=1 n 2 ( 1) n+1 n p n=1
10 Omstokking av ledd Teorem Hvis n=1 a n konvergerer absolutt og b 1, b 2, b 3,... er en vilkårlig re-arrangering av leddene a 1, a 2, a 3,... så er a n = n=1 n=1 b n
Kapittel 8.7. Potensrekker
12 Potensrekker Definisjon (potensrekke om x = 0) En rekke på formen c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + + c n x n + n=0 kalles en potensrekke om x = 0. Eksempel n=0 x n = 1, når x < 1 1 x
13 Potensrekker Definisjon (potensrekke om x = a) En rekke på formen c n (x a) n = c 0 +c 1 (x a)+c 2 (x a) 2 +c 3 (x a) 3 + +c n (x a) n + n=0 kalles en potensrekke om x = a.
14 Potensrekker Eksempel Rekken 1 (x 1) + (x 1) 2 + + ( 1) n (x 1) n +
14 Potensrekker Eksempel Rekken 1 (x 1) + (x 1) 2 + + ( 1) n (x 1) n + 1 Geometrisk rekke ar n med r = (x 1) og a = 1.
14 Potensrekker Eksempel Rekken 1 (x 1) + (x 1) 2 + + ( 1) n (x 1) n + 1 Geometrisk rekke ar n med r = (x 1) og a = 1. 2 Konvergent for r = x 1 < 1. Dvs for 0 < x < 2.
14 Potensrekker Eksempel Rekken 1 (x 1) + (x 1) 2 + + ( 1) n (x 1) n + 1 Geometrisk rekke ar n med r = (x 1) og a = 1. 2 Konvergent for r = x 1 < 1. Dvs for 0 < x < 2. 3 Sum lik 1 x
15 Potensrekker og tilnærming av 1/x For 0 < x < 2 er 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 + + ( 1) n (x 1) n + Estimeringer av 1/x: 2 1 1 2
15 Potensrekker og tilnærming av 1/x For 0 < x < 2 er 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 + + ( 1) n (x 1) n + Estimeringer av 1/x: 1 P 0 (x) = 1 2 1 1 2
15 Potensrekker og tilnærming av 1/x For 0 < x < 2 er 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 + + ( 1) n (x 1) n + Estimeringer av 1/x: 1 P 0 (x) = 1 2 P 1 (x) = 2 x 2 1 1 2
15 Potensrekker og tilnærming av 1/x For 0 < x < 2 er 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 + + ( 1) n (x 1) n + Estimeringer av 1/x: 1 P 0 (x) = 1 2 P 1 (x) = 2 x 3 P 2 (x) = x 2 3x + 3 1 2 1 2
15 Potensrekker og tilnærming av 1/x For 0 < x < 2 er 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 + + ( 1) n (x 1) n + Estimeringer av 1/x: 1 P 0 (x) = 1 2 P 1 (x) = 2 x 3 P 2 (x) = x 2 3x + 3 4 P 3 (x) = x 3 + 4x 2 6x + 4 2 1 1 2
15 Potensrekker og tilnærming av 1/x For 0 < x < 2 er 1 x = 1 (x 1) + (x 1)2 + + ( 1) n (x 1) n + Estimeringer av 1/x: 1 P 0 (x) = 1 2 P 1 (x) = 2 x 3 P 2 (x) = x 2 3x + 3 4 P 3 (x) = x 3 + 4x 2 6x + 4 2 1 1 2
16 Konvergens av potensrekker Eksempel For hvilke x konvergerer rekkene ( 1) n 1 x n n n=1 = x x 2 2 + x 3 3 (1) x 2n 1 2n 1 n=1 = x x 3 3 + x 5 5 (2) x n n! n=0 = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + (3) n!x n = 1 + x + 2!x 2 + 3!x 3 + 4!x 4 + (4) n=0
17 Konvergens av potensrekker Teorem (Konvergensteoremet for potenrekker) Hvis potensrekken a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0
17 Konvergens av potensrekker Teorem (Konvergensteoremet for potenrekker) Hvis potensrekken a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0 1 Konvergerer for x = c 0, så konvergerer den absolutt for x < c
17 Konvergens av potensrekker Teorem (Konvergensteoremet for potenrekker) Hvis potensrekken a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0 1 Konvergerer for x = c 0, så konvergerer den absolutt for x < c 2 Divergerer for x = d, så divergerer den for x > d
Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0
Setning Konvergensen til 1 Rekken c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0
Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R
Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R og divergerer for x a > R, der R er et positivt reelt tall. Uvisst for x = a R og x = a + R.
Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R og divergerer for x a > R, der R er et positivt reelt tall. Uvisst for x = a R og x = a + R. 2 Rekken konvergerer absolutt for alle x (R = )
Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R og divergerer for x a > R, der R er et positivt reelt tall. Uvisst for x = a R og x = a + R. 2 Rekken konvergerer absolutt for alle x (R = ) 3 Rekken konvergerer i x = a og divergerer ellers (R = 0)
19 Konvergensradius til en potensrekke Definisjon Størrelsen R kalles for konvergensradiusen til potensrekkenrekken. Definisjon Intervallet der potensrekken konvergerer kalles konvergensintervallet til potensrekken
20 Konvergens analyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R
20 Konvergens analyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten
20 Konvergens analyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest
20 Konvergens analyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest integraltest
20 Konvergens analyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest integraltest eller alternerende rekketest.
20 Konvergens analyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest integraltest eller alternerende rekketest. 3 For x a > R, DIVERGERER potensrekken
21 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0
21 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0 f(x) kan deriveres så mange ganger vi vil.
21 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0 f(x) kan deriveres så mange ganger vi vil. Vi deriverer f(x) ved å derivere ledd for ledd f (x) = n c n (x a) n 1 n=1 f (x) = n(n 1) c n (x a) n 2 n=2
21 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0 f(x) kan deriveres så mange ganger vi vil. Vi deriverer f(x) ved å derivere ledd for ledd f (x) = n c n (x a) n 1 n=1 f (x) = n(n 1) c n (x a) n 2 n=2 De deriverte konvegerer også for x a < R.
22 Integrasjon av potensrekker Anta f(x) = c n (x a) n konvergerer for x a < R. n=0
22 Integrasjon av potensrekker Anta f(x) = c n (x a) n konvergerer for x a < R. n=0 1 Da konvergerer c n (x a) n+1 for x a < R. n + 1 n=0
22 Integrasjon av potensrekker Anta f(x) = c n (x a) n konvergerer for x a < R. n=0 1 Da konvergerer 2 f(x) dx = c n (x a) n+1 for x a < R. n + 1 n=0 c n (x a) n+1 + C for x a < R. n + 1 n=0
23 Multiplikasjon av potensrekker ( ) ( ) ( ) a n x n b n x n = c n x n n=0 n=0 n=0 Hva er c n? Setning n c n = a 0 b n + a 1 b n 1 + + a n b 0 = a k b n k k=0