5 Geometri. Trigonometri

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri Ordet geometri kan deles opp i geo, som betyr jord eller land, og metri, som betyr å måle. Geometri kan oversettes med jordmåling eller landmåling. Det er først og fremst grekerne som har gitt de store bidragene til geometrien slik vi kjenner den i dag. Det er grekerne som har bevist de setningene eller formlene vi bruker. I denne sammenhengen kan grekeren Euklid, som levde ca. 300 år f.kr., nevnes. Han skrev bøker som heter Elementene (13 stykker). Helt fram til i dag har vi studert Euklids geometri. I kapittel 12 skal vi se at ikke all geometri passer til den euklidske. Vi har fått den såkalte fraktalgeometrien. 5.1 Omgjøring av enheter Når vi skal regne ut areal og volum, er det viktig at alle lengdene har samme måleenhet. Samtidig er det viktig å velge fornuftige enheter på lengdene på figurene. Det er ikke særlig lurt å si at vi har kjøpt en tomt på 10 millioner kvadratcentimeter (10 000 000 cm 2 ), når tomta er på ett mål (1000 m 2 ). Skal vi regne ut volum i liter, bør vi bruke lengder i desimeter, dm. Det er viktig å kunne følgende: 1m¼ 10 dm ¼ 100 cm ¼ 1000 mm 1dm¼ 10 cm ¼ 100 mm 1cm¼ 10 mm Når vi skal gjøre om til areal- og volumenheter, er det lurt å bruke figurer. 57

www.ebok.no 1m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 100 dm 2 1 m 1 m 2 =10 2 dm 2 10 dm 1 m 10 dm 10000 cm 2 1000000 mm 2 100 cm 1000 mm =10 4 cm 2 =10 6 mm 2 100 cm 1000 mm 1m 2 = 10 2 dm 2 = 10 4 cm 2 = 10 6 mm 2 ð1 mþ 2 ¼ 1m 1m¼ 1m 2 ð1 mþ 2 ¼ ð10 dmþ 2 ¼ ð100 cmþ 2 ¼ ð1000 mmþ 2 1m 2 ¼ 100 dm 2 ¼ 10 000 cm 2 ¼ 1 000 000 mm 2 1dm 2 ¼ 100 cm 2 ¼ 10 000 mm 2 1cm 2 ¼ 100 mm 2 58

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 1 m 10 dm 1 m 1 m 10 dm 10 dm 1 m 3 1000 dm 3 = 10 3 dm 3 100 cm 1000 mm 100 cm 100 cm 1000 mm 1000 mm 1 000 000 cm 3 = 10 6 cm 3 1 000 000 000 mm 3 = 10 9 mm 3 1m 3 = 10 3 dm 3 = 10 6 cm 3 = 10 9 mm 3 ð1 mþ 3 ¼ 1m 1m 1m¼ 1m 3 ð1 mþ 3 ¼ ð10 dmþ 3 ¼ ð100 cmþ 3 ¼ ð1000 mmþ 3 1m 3 ¼ 1000 dm 3 ¼ 1 000 000 cm 3 ¼ 1 000 000 000 mm 3 1dm 3 ¼ 1000 cm 3 ¼ 1 000 000 mm 3 1cm 3 ¼ 1000 mm 3 Vi ser at vi kan gjøre tallene om til potenser med 10 som grunntall. 59

www.ebok.no 100 ¼ 10 2 1000 ¼ 10 3 10 000 ¼ 10 4 100 000 ¼ 10 5 1 000 000 ¼ 10 6 1 000 000 000 ¼ 10 9 Eksempel 1 1m 2 ¼ 10 4 cm 2 1dm 2 ¼ 10 4 mm 2 1m 3 ¼ 10 6 cm 3 1cm 3 ¼ 10 3 mm 3 I praksis flytter vi kommaet to plasser til høyre/venstre for hver lavere/høyere enhet vi går til når det gjelder areal. Ved volum flyttes kommaet tre plasser. Eksempel 2 3,12 dm 2 ¼ 312 cm 2 Kommaet flyttes to plasser til høyre. 3,12 dm 2 ¼ 0,0312 m 2 Kommaet flyttes to plasser til venstre. (desimeter er en høyere enhet enn centimeter, men lavere enn meter.) 42 183,7 cm 3 ¼ 42,1837 dm 3 Kommaet flyttes tre plasser til venstre. 42 183,7 cm 3 ¼ 0,0421837 m 3 Kommaet flyttes to ganger tre plasser til venstre. 60

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri ndre viktige størrelser det er lurt å huske: 1dm 3 ¼ 1 liter 1 mil ¼ 10 km ¼ 10 000 m 1km¼ 1000 m 1 nautisk mil (sjømil) ¼ 1852 m 1 engelsk mil ¼ 1609 m 100 yard ¼ 91,44 m 1 yard ¼ 0,9144 m 1 yard ¼ 3 feet ¼ 36 inches 1 foot ¼ 0,9144 m ¼ 0,3048 m ¼ 30,48 cm 3 1 foot ¼ 12 inches 1 inch ¼ 30,48 cm 12 ¼ 2,54 cm 5.2 Formler for areal og volum real,, for kjente figurer: 1) Rektangel h ¼ g h g 2) Trekant h ¼ g h 2 ¼ 1 2 g h g 3) Parallellogram h ¼ g h g 61

www.ebok.no b 4) Trapes h ¼ ða þ bþh 2 a 5) Sirkel diameter, d ¼ p r 2 radius, r 6) Sirkelsektor n r b ¼ b r 2 n ¼ p r 2 360 Volum, V, for romfigurer: 1) Terning (kube) s V ¼ s 3 s s 2) Prisme h h V ¼ G h G G 62

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 3) Pyramide h h V ¼ G h 3 G G 4) Sylinder h V ¼ p r 2 h G 5)Kjegle h V ¼ p r2 h 3 r 6) Kule V ¼ 4 p r3 3 5.3 Overflate av romfigurer O ¼ overflate s 1) Terning s s s s s s s O ¼ 6 s 2 s 63

www.ebok.no r 2) Sylinder h h O ¼ 2 p r 2 þ 2 p r h G 2r r h s s 3) Kjegle r 2r O ¼ p r s þ p r 2 r (Sideflaten er en sirkelsektor se formelen for arealet av en sirkelsektor.) 4) Kule r O ¼ 4 p r 2 Når det gjelder overflaten på et prisme og en pyramide, har vi ikke like konkrete formler som ovenfor. Vi kan bare uttrykke det slik: Prisme (m/lokk): O ¼ 2G þ sideflatene Pyramide: O ¼ G þ sideflatene (G ¼ grunnflate) 5.4 Vinkler og vinkelsum I plangeometrien snakker vi om tre typer vinkler: spiss, stump og rett vinkel. En rett vinkel er 90, en spiss vinkel er mindre enn 90 og en stump vinkel er større enn 90. 64

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 1) Vinkelen er spiss. 2) Vinkelen er 90, dvs. rett vinkel. 3) Vinkelen er stump. 4) Vinkelsummen i en trekant er 180. u w v w v u Dette kan vi vise ved å bruke det vi vet om samsvarende vinkler og toppvinkler. Vi har tegnet en linje gjennom som er parallell med linjen gjennom. Vi har kalt vinklene i trekanten for v, u og w. Ved å se på vinklene i tegningen finner vi ut at ff u þffv þffw ¼ 180. 5Þ u v 65

www.ebok.no I en rettvinklet trekant, der altså den ene vinkelen er 90,måde to andre vinklene være spisse. Summen av en rett vinkel og en stump vinkel er alltid over 180, dvs. mer enn vinkelsummen i en trekant. I trekanten er ff ¼ 90,ogff v og ff u er de spisse vinklene. Eksempel 3 I en rettvinklet trekant er den ene vinkelen 30. Hvor store er de andre vinklene? Løsningsforslag 30 Vi tegner en prøvefigur. Når trekanten er rettvinklet, må en av vinklene være 90.Når den andre vinkelen er 30,måden tredje vinkelen være 180 90 30 ¼ 60. I en rettvinklet trekant er summen av de spisse vinklene lik 90. Eksempel 4 Ien4 er ff ¼ 30 og ff ¼ 40. Finn ff. Løsningsforslag 40 30 ff þff ¼ 30 þ 40 ¼ 70 ff ¼ 180 70 ¼ 110, dvs. vinkel er stump. 66

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5.5 Pytagoras læresetning katet, b katet, a hypotenus, c I 4 er en rett vinkel ð90 Þ. Sidene og kalles for kateter, og den lengste siden kalles for hypotenus. Hypotenusen ligger alltid rett overfor den rette vinkelen. Pytagoras beviste følgende: a 2 þ b 2 ¼ c 2 Med ord kan dette uttrykkes ved å si at summen av kvadratet av katetene er lik kvadratet av hypotenusen. (Vi bruker store bokstaver for hjørnene i trekanten og små bokstaver for sidene. Merk at side (kateten) a står rett overfor vinkel osv.) En indisk matematiker, haskara (1114 1185), brukte følgende figur for å bevise setningen: a b c a c b c 2 b a c b a Et kvadrat med side c er skrevet inn i et annet kvadrat med side ða þ bþ. Påfiguren har vi skravert fire like store rettvinklede trekanter. For å finne arealet av det innskrevne kvadratet tar vi arealet av det store kvadratet og trekker ifra arealet av de fire trekantene: c 2 ¼ða þ bþ 2 4 a b 2 ¼ a2 þ 2ab þ b 2 2ab ¼ a 2 þ b 2 c 2 ¼ a 2 þ b 2 67

www.ebok.no Eksempel 5 I en rettvinklet trekant er de to katetene henholdsvis 3 cm og 4 cm. Finn hypotenusen! Løsningsforslag 3 cm x 4 cm Vi tegner en figur og setter inn gitte størrelser. Vi kaller hypotenusen x: 3 2 þ 4 2 ¼ x 2 9 þ 16 ¼ x 2 25 ¼ x 2 p ffi (Vi tar kvadratroten på begge sider.) 5 ¼ x Hypotenusen ¼ 5 cm. N! Løsningen på andregradslikningen x 2 ¼ 25 er þ5 og 5, men den negative verdien har ingen mening her. Eksempel 6 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 10 cm, og den ene kateten er 6 cm. Finn den andre kateten. Løsningsforslag 6 cm 10 cm x Vi tegner en figur og setter inn gitte størrelser. Vi kaller den andre kateten x: 6 2 þ x 2 ¼ 10 2 36 þ x 2 ¼ 100 x 2 ¼ 100 36 ¼ 64 x ¼ 8 pffi Den andre kateten ¼ 8 cm. (Sammenlikn med eksempel 5.) 68

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri Eksempel 7 Undersøk om de to trekantene med sidene 5, 8 og 10 cm og 10,5, 14 og 17,5 cm er rettvinklede. Løsningsforslag 5 cm 10 cm 8 cm Vi tegner prøvefigurer. Hvis den første trekanten er rettvinklet, må 5 cm og 8 cm være lengdene på katetene og 10 cm lengden på hypotenusen. Vi bruker setningen til Pytagoras, men vi regner ut katetene og hypotenusen hver for seg: 5 2 þ 8 2 ¼ 25 þ 64 ¼ 89 10 2 ¼ 100 Den første trekanten er ikke rettvinklet, fordi summen av katetene ikke er lik kvadratet av hypotenusen. 10,5 cm 17,5 cm 14 cm For den andre trekanten får vi ved tilsvarende regning: 10,5 2 þ 14 2 ¼ 110,25 þ 196 ¼ 306,25 17,5 2 ¼ 306,25 Den andre trekanten er rettvinklet. (Hvorfor?) 69

www.ebok.no 5.6 Formlike trekanter E D Her har vi to rettvinklede trekanter. De to trekantene har vinkel felles. Når to av vinklene er like i de to trekantene, må også den tredje vinkelen være lik. E D Vi ser at de to trekantene har lik form. lle trekanter som har lik form, kalles formlike trekanter. 4 4 DE (trekant er formlik trekant DE). Eksempel 8 Hvis vi setter at ¼ 10 cm, ¼ 5cmogD ¼ 6 cm, er det lett å finne lengden på DE. I den store trekanten er den minste kateten halvparten av den største kateten. Det samme vil forholdet være i den minste trekanten. DE er halvparten av D; dvs. DE ¼ 3 cm. En viktig egenskap ved formlike trekanter er at forholdet mellom tilsvarende sider i trekantene er det samme. Problemet ovenfor kunne vi ha løst ved hjelp av en proporsjon ved å sette siden DE ¼ x: 5 10 ¼ x 6 x ¼ 3 DE ¼ 3cm Venstre side i proporsjonen er forholdet mellom katetene i den store trekanten, og høyre side er forholdet mellom de tilsvarende sidene (katetene) i den minste trekanten. 70

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri Når vi ser på trekantene og DE, finner vi ut at vi kan sette opp følgende: ðþ ¼ D DE der venstre side er sidene i den store trekanten og høyre side er sidene i den minste trekanten. Men proporsjonen ðþ kan også skrives D ¼ DE Venstre og høyre side i proporsjonen uttrykker forholdet mellom to tilsvarende sider i de to trekantene: stor trekant stor trekant ¼ liten trekant liten trekant Eksempel 9 Vi har gitt to formlike trekanter, og DEF. I4 er ff ¼ 90, siden ¼ 12 cm og siden ¼ 13 cm. I 4 DEF er ff D ¼ 90, og siden EF er 6,5 cm. Finn sidene, DE og DF. Løsningsforslag Vi tegner prøvefigurer og setter inn opplysningene. 13 cm F 6,5 cm 12 cm D E Vi kan bruke Pytagoras setning for å finne i trekanten ( ¼ x). x 2 þ 12 2 ¼ 13 2 x þ 144 ¼ 169 x 2 ¼ 25 x ¼5 ¼ 5cm pffi For å finne lengden av de to katetene i trekanten DEF bruker vi egenskapene ved formlike trekanter. 71

www.ebok.no Vi setter DE ¼ y: 13 12 ¼ 6,5 y 13 y ¼ 12 6,5 y ¼ 6 DE ¼ 6cm DF kan nå finnes ved å bruke Pytagoras eller ved å bruke formlikhet. Vi velger det siste for øvelsens skyld (DF ¼ x): DF ¼ EF 5 x ¼ 13 6,5 x ¼ 2,5 DF ¼ 2,5 cm Her har vi brukt forholdet stor trekant dividert på liten trekant på begge sider i proporsjonen. De eksemplene som brukes her, er nokså enkle, slik at det er lett å se hva forholdstallene er. Da er det greit å kontrollere at proporsjonsregningen vår er korrekt. Eksempel 10 F D E De to trekantene ser formlike ut, men uten nærmere opplysninger kan vi ikke anta at de er det. Hvis det derimot er opplyst at ff ¼ffD og ff ¼ffF, er trekantene formlike. Når to vinkler er like store, vil den tredje vinkelen også være lik (vinkelsummen er 180 ). Setter vi ¼ 7, ¼ 9, DF ¼ 3ogDE ¼ 5, kan vi finne sidene og EF. Men her kan vi ikke bruke Pytagoras, for det er ikke gitt at det er rettvinklede trekanter. 72

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri Formlikheten gir oss: ¼ DF EF 7 9 ¼ 3 EF EF ¼ 3 9 7 ¼ 3,9 EF ¼ 3,9 DE ¼ DF 5 ¼ 7 3 ¼ 5 7 3 ¼ 11,7 ¼ 11,7 Her er det viktig å poengtere at når forholdet mellom tilsvarende sider i to trekanter er det samme, vil deres motstående vinkler være like! Dette fører oss over til å regne ut vinkler i en trekant (og lengder på sider). Det er dette vi kaller trigonometri (metri = måling, trigon = triangel = trekant). 5.7 Å finne vinkler i en trekant. Tangens, sinus og cosinus E D Her har vi tegnet to rettvinklede og formlike trekanter, 4 og 4 DE. Det vi tidligere har lært om formlike trekanter i avsnitt 5.6, er at forholdet mellom parvis like sider er det samme, uansett hvor store trekantene er. I dette tilfellet indikeres likheten ved DE E ¼ eller E D ¼ E eller DE D ¼ Trekanter med parvis like vinkler har samme forhold mellom tilsvarende sider. 73

www.ebok.no Eksempel 11 Vi har en rettvinklet trekant der vinkel er 90. er hypotenusen og og er katetene. 5 cm 8 cm Vi tar utgangspunkt i vinkel (ff ). Siden er motstående katet til ff og siden er hosliggende katet til ff. Vi setter ¼ 8cmog ¼ 5 cm. ¼ 8 5 ¼ 1,6 Forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet til ff er 1,6. Dette forholdet kaller vi for tangens til vinkel og skrives tan ff eller bare tan. Når vi vet forholdet mellom de to katetene, bruker vi lommeregneren for å finne vinkel. Vi taster inn slik: SHIFT TN 1,6 EXE som gir svaret 57,9946... 58, ff ¼ 58. Lommeregneren viser tan 1 1,6 ¼ 57,9946... Konklusjon Vi har altså gitt katetene og, og skal finne vinkel. Vi setter opp tan ¼ 8 5 ¼ 1,6 ff ¼ 58 tan ¼ motstående katet hosliggende katet ¼ Når vi har regnet ut vinkel til 58,erff lik 90 58 ¼ 32. Dette kunne vi også ha funnet ut ved tilsvarende regning som ovenfor: tan ¼ ¼ 5 8 ¼ 0,625 Lommeregner: SHIFT TN 0,625 EXE gir 32; dvs. at ff ¼ 32 : 74

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri Eksempel 12 Ved bruk av Pytagoras kan vi finne lengden på hypotenusen,, i trekanten i eksempel 11: p ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 2 þ 8 2 9,434 cm motstående katet til ff hypotenusen ¼ 8 9,434 ¼ 0,8480 Dette forholdet kaller vi for sinus til vinkel, og det skrives sin ff eller bare sin. sin ¼ ¼ 8 9,434 ¼ 0,8480 Lommeregneren viser: SHIFT SIN 0,8480 EXE gir 57,9948 58; dvs. at ff ¼ 58 : Vi kan finne vinkel på tilsvarende måte: motstående katet til ff sin ¼ hypotenusen Lommeregneren viser: ¼ 5 9,434 0,5300 SHIFT SIN 0,5300 EXE gir 32; 005 32; dvs. at ff ¼ 32 : Eksempel 13 hosliggende katet til ff hypotenusen ¼ 5 9,434 0,5300 Dette forholdet kaller vi cosinus til vinkel, og det skrives cos ff eller cos : cos ¼ ¼ 5 9,434 0,5300 Lommeregneren viser: SHIFT OS 0,5300 EXE gir 57,994 58; dvs. at ff ¼ 58 : Tilsvarende utregning for vinkel : cos ¼ ¼ 8 9,434 0,8480 Lommeregneren viser: SHIFT OS 0,8480 EXE gir 32,005 32; dvs. at ff ¼ 32 : 75

www.ebok.no N! Legg merke til forskjellen mellom utregningene for sin og cos. Det er de samme tallene som går igjen. Oppsummering Vi kan finne både vinkler og sider i en rettvinklet trekant ved å bruke trigonometriske funksjoner som sinus, cosinus og tangens til en vinkel. Definisjonen av funksjonene følger av denne trekanten: b a V c tan v ¼ sin v ¼ cos v ¼ motstående katet hosliggende katet ¼ b a motstående katet hypotenusen hosliggende katet hypotenusen ¼ b c ¼ a c Poenget er å finne ut hvilke av de tre funksjonene som er mest hensiktsmessige å bruke for gitte problemstillinger. Skal vi finne vinkler, må vi bruke trigonometriske funksjoner, mens vi kan komme langt med å bruke Pytagoras for å finne lengder. åde trigonometriske funksjoner som sin, cos og tan, og Pytagoras betinger at vi har rettvinklede trekanter. Hvis vi ikke har en rettvinklet trekant, må vi trekke en normal fra et hjørne slik at vi får to rettvinklede trekanter. Kunsten er å finne ut hvor vi skal trekke normalen. 76

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5.8 Å finne sider i en trekant 5 cm 40 Vi har gitt 4 der ff ¼ 90 og ¼ 5 cm. Vi skal finne sidene og når vivetatff ¼ 40. Skal vi finne hypotenusen ðþ først, må vi velge mellom sinus og cosinus. Til vinkel har vi gitt motstående katet, derfor bruker vi sinus: sin 40 ¼ 5 Det kan være smart å skrive sin 40 ¼ 5 1 ¼ 5 1 5 ¼ 7,8 cm ¼ sin 40 0,6428 Siden kan vi nå f.eks. finne ved å bruke Pytagoras, men som et ledd i treningen bruker vi begrepene ovenfor. Til vinkel har vi ikke lengden på den hosliggende kateten, men vi har den motstående kateten. Da er det rimelig å bruke tangens her: tan 40 ¼ 5 eller tan 40 ¼ 5 1 ¼ 5 ¼ 6,0 cm tan 40 Eksempel 14 Vi har gitt 4 der ff ¼ 60, ¼ 12 cm og ¼ 8 cm. Normalen fra hjørne ned på treffer i punkt D. Vi skal finne D, D, D,, ff og ff. 77

www.ebok.no Løsningsforslag 8 cm 60 D 12 cm 8 cm 60 D D Vi tegner en prøvefigur. Normalen D er høyden i trekanten. En normal står alltid vinkelrett på en linje. Her er det kanskje lettere å tegne to separate trekanter for oversiktens skyld. Når hypotenusen er en gitt størrelse, bruker vi sinus eller cosinus. sin 60 ¼ D 8 som gir D ¼ 8 sin 60 ¼ 6,9 cm cos 60 ¼ D 8 som gir D ¼ 8 cos 60 ¼ 4,0 cm OS! Når ff D er 30,erD (den korteste kateten) halvparten av hypotenusen (sin 30 ¼ 0,5). D ¼ D ¼ 12 cm 4cm¼ 8cm Pytagoras gir ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8 2 þ 6,9 2 ¼ 10,6 cm Vinkel finnes ved å bruke tangens: tan ¼ 6,9 8 ¼ 0,8625 SHIFT TN 0,8625 EXE viser 40,7777... ff ¼ 40,8 ff ¼ 180 60 40,8 ¼ 79,2 78

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5.9 Sinusproporsjonen Oppgave Vi har en trekant der ¼ 12 cm, ¼ 10 cm, ff ¼ 40 og ff ¼ 55. Vi skal finne lengden av siden og arealet av trekanten. Løsningsforslag Vi tegner trekanten og setter inn de oppgitte størrelsene. 10 cm 40 12 cm D 55 Deretter trekker vi en normal ned fra på i punktet D. Slik får vi to rettvinklede trekanter og kan bruke trigonometriske funksjoner. Vi kan sette opp: sin 40 ¼ D D ¼ 10 sin 40 ¼ 6,43 cm 10 sin 55 ¼ D ¼ 6,43 realet av trekanten: Vi ser ovenfor at ¼ 12 6,43 2 sin 40 ¼ D ¼ 6,43 ¼ 7,85 cm sin 55 cm 2 ¼ 38,58 cm 2 og sin 55 ¼ D Her har vi to uttrykk der D inngår. Vi kan løse de to uttrykkene med hensyn på D og sette de to uttrykkene for D lik hverandre: sin 40 ¼ sin 55 Denne likningen kan vi skrive som en proporsjon (vi deler på begge sider med ): sin 40 sin 55 ¼ Dette kaller vi sinusproporsjonen. Den uttrykker at forholdet mellom 79

www.ebok.no sinus til en vinkel og vinkelens motstående side er lik forholdet mellom sinus til en annen vinkel og dens motstående side. I denne oppgaven kunne vi ha funnet lengden av siden uten å ha regnet ut høyden D i trekanten: Vi setter ¼ x cm: sin 40 ¼ x sin 55 10 10 sin 40 x ¼ sin 55 ¼ 7,85 cm Høyden i trekanten D ¼ 10 sin 40 ¼ sin 40. realet,, av trekanten, kan da skrives som ¼ 1 sin 40 2 Vi finner arealet av trekanten ved å ta halvparten av produktet av de to sidene og multiplisere med sinus til den mellomliggende vinkelen (ff ). ¼ 1 2 12 cm 10 cm sin 40 ¼ 38,57 cm 2 Vi har en generell trekant der sidene er a, b og c. Vi bruker store bokstaver på hjørnene (vinklene) og tilsvarende små bokstaver på vinklenes motstående sider. a b c Når vi skal finne sider og/eller vinkler i en vilkårlig trekant, kan vi bruke følgende proporsjon: sin a ¼ sin b ¼ sin c Denne proporsjonen sinusproporsjonen kan vi altså bruke for alle trekanter, ikke bare de rettvinklede. Vi har en tilsvarende formel for arealet av trekanten: ¼ 1 2 b c sin ¼ 1 2 a c sin ¼ 1 2 a b sin 80

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5.10 Oppgaveeksempler knyttet til areal og volum N! Det er alltid lurt å tegne figurer! Eksempel 15 Finn arealet av et kvadrat med omkrets 20 cm. Løsningsforslag S S S S Et kvadrat har fire like sider, og i dette tilfellet er lengden av sidene 20 cm : 4 ¼ 5 cm. realet blir da 5 cm 5cm¼ 25 cm 2. Eksempel 16 I trekanten er grunnlinjen ¼ 10 cm og siden ¼ 6 cm. Normalen fra på treffer i et punkt D slik at D ¼ 3 cm. Finn arealet av trekanten. Løsningsforslag 6 cm 3 cm D 10 cm Vi finner høyden D i trekanten ved å bruke Pytagoras: D 2 þ 3 2 ¼ 6 2 D 2 ¼ 36 9 p D ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð36 9Þ ¼ 5,2 cm 81

www.ebok.no realet av trekanten: ¼ 10 5,2 2 cm 2 ¼ 26 cm 2 Eksempel 17 Vi ser på tverrsnittet av et sylinderformet rør ogfinner ut at den ytre radius, R, er 10 cm, og den indre radius, r, er 4 cm. Regn ut arealet av tverrsnittet av røret. Deretter setter vi den indre radius, r, lik x. Finn et uttrykk (formel) for arealet av tverrsnittet, uttrykt ved x. Kontroller formelen ved å regne ut ved x ¼ 4. Løsningsforslag 4 cm 10 cm For å finne arealet av tverrsnittet må vi ta arealet av den store sirkelen og trekke ifra arealet av den minste sirkelen: ¼ p 10 2 p 4 2 ¼ pð10 2 4 2 Þ¼pð100 16Þ ¼ 84 p cm 2 263,76 cm 2 (rukes p-knappen på lommeregneren, vil svaret bli 263,89 cm 2.) Noen ville velge å løse oppgaven slik: ¼ 3,14 10 2 3,14 4 2 ¼ 314 50,24 ¼ 263,76 cm 2 x cm 10 cm Når den indre radius av røret er x, blir arealet: ¼ p 10 2 p x 2 ¼ pð10 2 x 2 Þ¼pð100 x 2 Þ cm 2 82

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri eller ¼ 3,14 10 2 3,14 x 2 ¼ð314 3,14 x 2 Þ cm 2 Når vi setter den indre radius lik x, vil arealet av tykkelsen variere med x, dvs. ¼ ðxþ. realet uttrykker altså en funksjon. Funksjonen ovenfor er en parabel som har et toppunkt (se kapittel 10). Vi setter inn x ¼ 4: eller ð4þ ¼pð100 4 2 Þ¼84 p 84 3,14 ¼ 263,76 cm 2 ð4þ ¼ð314 3,14 4 2 Þ cm 2 ¼ð314 50,24Þ cm 2 ¼ 263,76 cm 2 Dette stemmer overens med det vi regnet ut først. Formlene (funksjonsuttrykkene) synes å være riktige. Eksempel 18 Finn arealet av firkanten D der ¼ 15 cm, D ¼ 5 cm, D ¼ 7 cm, ff ¼ 60, ff ¼ 50 og vinkel er en rett vinkel. Løsningsforslag 7 cm D E 5 cm 60 50 F G Vi ser at vi må tegne inn noen hjelpelinjer for å finne ønskede lengder. For å finne arealet av firkanten må vi finne arealet av trapeset DE og av trekanten DE. Høyden i trapeset finnes ved DF ¼ 5 sin 60 ¼ 4,3 cm. For å finne DE må vi regne ut F og G: F ¼ 5 cos 60 ¼ 2,5 cm G ¼ 4,3 ¼ 3,6 cm ðdf ¼ GEÞ tan 50 DE ¼ 15 cm 2,5 cm 3,6 cm ¼ 8,9 cm For å finne den andre kateten i trekanten DE kan vi bruke Pytagoras: 83

www.ebok.no ðeþ 2 þ 7 2 ¼ 8,9 2 E ¼ 5,5 cm realet er: ¼ ð15 þ 8,9Þ4,3 þ 7 5,5 ¼ 70,635 cm 2 2 2 (trapes + trekant): Eksempel 19 vstanden mellom to fyrtårn, og, er 30,0 km. Siktelinjen gjennom og danner 48,0 med en tenkt linje i retning nord sør. Ved et bestemt tidspunkt er et skip i posisjonen P slik at P danner 73,0 med den tenkte linjen i retning nord sør. P danner 138,0 med den tenkte linjen. Se figuren nedenfor. NORD P 73,0 138,0 30,0 km 48,0 a) Vis at ff P ¼ 90 b) Regn ut avstanden fra skipet til hvert av de to fyrene. c) Regn ut arealet av P. En liten øy Ø ligger 18,0 km fra og 12,0 km fra. d) Regn ut vinkelen som linjen PØ danner med en linje som går nord sør. Løsningsforslag aþ ff P ¼ 180 138 ¼ 42 ff P ¼ 180 48 42 ¼ 90 ff P ¼ffP ¼ 90 84

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri b) ff ¼ 25 (hvorfor?) tan 25 ¼ P 30 cos 25 ¼ 30 P P ¼ 30 tan 25 14,0 km P ¼ 30 33,1 km cos 25 cþ dþ tan 48 ¼ 14 realet av 4 P ¼ ¼ 14 12,6 km tan 48 ¼ 12,6 km þ 30,0 km ¼ 42,6 km 42,6 14 2 km 2 ¼ 298,2 km 2 tan v ¼ 18 1,2857 ff v ¼ 52,1 14 ff u ¼ 180 42 52,1 ¼ 85,9 Eksempel 20 Vi har en sylinder uten lokk, med høyde 1,2 m og radius 40 cm. Regn ut a) Hvor mange liter vann sylinderen rommer. b) Overflaten på sylinderen. Vi tapper ut 353 liter vann fra sylinderen. c) Hvor høyt står vannet i sylinderen? Løsningsforslag 1,2 m 1,2 m 40 cm 40 cm a) Så lenge vi skal finne antall liter, gjør vi om alle lengder til desimeter: 1dm 3 ¼ 1 liter 1,2 m ¼ 12 dm 40 cm ¼ 4dm 85

www.ebok.no Volumet: V ¼ p 4 2 12 dm 3 ¼ 603,19 dm 3 603 dm 3 (Her bruker vi p-knappen på lommeregneren). lternativt: V ¼ 3,14 4 2 12 dm 3 ¼ 602,88 dm 3 603 dm 3 Sylinderen rommer 603 liter vann. b) Overflaten O ¼ðp 4 2 þ 2 p 4 12Þ dm 2 ¼ 351,86 dm 2 3,52 m 2 (O ¼ 351,68 dm 3 med 3,14 i stedet for p) c) Når vi tapper ut 353 liter vann, er det 603 353 ¼ 250 liter igjen, dvs. 250 dm 3. 1,2 m x Vi setter høyden på vannsøylen lik x: Hvis vi snur på likningen, får vi 40 cm 250 ¼ p 4 2 x p 4 2 x ¼ 250 Vi deler på p 4 2 på begge sider: x ¼ 250 ¼ 4,97 5,0 p 42 Vannet står 5,0 dm høyt i sylinderen. Eksempel 21 Vi har vann i et beger som er formet som en kjegle. Radius i begeret er 5 cm, og høyden er 20 cm. Etter at vi har drukket litt vann, står det resterende vannet 12 cm høyt i begeret. 86

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri a) Hva er volumet av begeret? b) Hvor mye vann er det igjen etter at vi har drukket litt? c) Hva er overflaten av begeret? Løsningsforslag 5 cm h = 20 cm a) Volumet, V, av begeret: p 5 2 20 3 ¼ 523,6 cm 3 Dette er det samme som 0,5236 dm 3, som igjen er ca. 0,5 liter vann. 5 cm 20 cm x cm 12 cm b) Her må vi finne radius i vannsøylen. Vi setter radius lik x: x 5 ¼ 12 20 20x ¼ 60 x ¼ 3 Radius i vannsøylen er 3 cm. Volumet av det resterende vannet: p 3 2 12 3 cm 3 ¼ 113,1 cm 3 Det er 0,1 liter vann igjen, det er det samme som 1 dl vann. 87

www.ebok.no 5 cm 20 cm s c) For å finne overflaten av begeret må vi finne lengden av sidekanten og samtidig unngå å regne ut lokket (sirkelen). Sidekanten, s, finnes ved bruk av Pytagoras: s 2 ¼ 5 2 þ 20 2 ¼ 425 p s ¼ ffiffiffiffiffiffiffi 425 ¼ 20,6 cm Overflaten, O ¼ p 5 20,6 cm 2 ¼323,6 cm 2. Hvor mange kvadratdesimeter og kvadratmillimeter er dette? 5.11 Kjeglesnitt På figuren nedenfor har vi lagt inn to plan som skjærer den ene av de rette dobbeltkjeglene. Når planet er parallelt med grunnflaten, ser vi at snittflaten blir en sirkelflate. Omkretsen av flaten er en sirkel. Tegner vi inn et plan som heller litt, ser vi at snittflaten blir en avlang flate. Omkretsen av denne snittflaten kaller vi en ellipse. På neste figur har vi også lagt inn plan. Felles for disse to planene er at de skjærer kjeglen i grunnflaten. Det øverste planet er parallelt med sidekanten i kjeglen, og snittflaten kaller vi en parabel. 88

MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri Det andre planet skjærer «begge» kjeglene i grunnflaten. Derfor får vi to snittflater. Den geometriske figuren som da dukker opp, kaller vi en hyperbel. (Kan det bli andre geometriske figurer når vi legger inn et plan?) Parabel Hyperbel Nedenfor har vi tegnet de fire figurene som vi har omtalt ovenfor. Vi skal definere de enkelte kurvene vi fikk, ved å «snitte» kjeglene: Sirkel eliggenheten av alle punkter som har samme avstand fra et gitt punkt, sirkelens sentrum. vstanden kalles for radius, r. r P 1 r P 2 Ellipse eliggenheten av alle punkter hvor avstanden til to gitte punkter, brennpunktene, har en konstant sum ðd 1 þ d 2 ¼ d 3 þ d 4 ¼ konstantþ. P 1 d 1 d2 F 1 F 2 d 4 d 3 P 2 89

d 1 F d 1 P 1 d 2 www.ebok.no Parabel eliggenheten av alle punkter som har samme avstand til et gitt punkt, brennpunktet, og en gitt linje, styrelinjen ðd 1 ¼ d 2, d 3 ¼ d 4, osv.). d 2 P 1 d 3 Styrelinje d 4 P 2 Hyperbel eliggenheten av alle punkter hvor avstanden til to gitte punkter, brennpunktene, har en konstant differanse ðd 1 d 2 ¼ d 4 d 3 ¼ konstantþ. d 3 d 4 F 2 F 1 Nedenfor har vi vist hvordan de enkelte kurvene reflekterer (lys)stråler og (lyd)bølger fra figurens brennpunkt. s F 1 F 2 90