Innhold Forord 1 Historiske artikler Arkimedes under hammeren Per Manne 1/2001 4 Herons formel Pål Grønnås 2/2000 10 Kan dagens matematikkundervisning profitere på gamle metoder? Jan van Maanen 13 Sannsynlighetsregning Den problematiske tobarnsfamilien Knut Ole Lysø 4/1994 16 Om Cadillacer, fødselsdatoer, geiter og statsministre Helge Tverberg 1/1996 22 Geometri Platonske legemer Geir Ellingsrud 2/2002 26 Tesselering med flere grunnformer Frode Rønning 2/2002 31 Den utvidete Pytagoreiske setning Tom Cato Seeberg, Christoph Kirfel 37 Refleksjonsegenskapene ved kjeglesnittene Sverre Smalø, Per Hag 3/2001 40 Fraktaler Christoph Kirfel 3/1994 46 IKT Symbolregnende lommeregnere i den videregående skolen Per G. Østerlie 1/2004 52 Bruk av datalogging i matematikkundervisningen Jon A. Ringseth, Memund Daltveit 4/2002 59 Den deriverte på skråplan Tove Kalvø 1/2004 61 Forunderlige p og e som dukker opp overalt Tor Andersen 67 Dynamisk geometri i videregående skole Hans Jørgen Riddervold 71 Sol, tid, Solens gang Kjartan Tvete 4/1999 76 Algebra/likninger Regula falsi et gammelt triks for å løse ligninger Christoph Kirfel 4/1997, 1/1998 81 Funksjoner Det svinger i Bodø! Svein H. Torkildsen 4/1995 85 2005 tangenten
Tall Tetraeder i gangetabellen Kurt Klungeland 1/2004 89 Matematiske aktiviteter Beregning av påskefullmånen Christoph Kirfel 4/2003 94 Broderier med matematikk Christoph Kirfel 1/1996 99 Er jorda flat eller rund? Hans Isdahl 4/2002 103 Romerske rundbuer Christoph Kirfel 2/2004 112 Matematisk modellering Matematisk modellering Ingvald Erfjord 2/1998 115 Strikkhopp med Barbi Kjersti Wæge, Nils Kristian Rossing 122 Didaktiske artikler Mia en taper i matematikk? Anne Mari Jensen Meløy 129 Matematikklæring og det absurde Reinert Rinvold 1/2002 135 Tør jeg å slippe kontrollen? Kjersti Wæge 140 Matematikk er for jenter! Anne Berit Lunde Holme og Kari Larsson 147 Oppgaver 150 Presentasjon av støttepillerne og de økonomiske bidragsyterne LAMIS 153 Matematikksenteret 154 Renatesenteret 156 NTNU 157 UiB 160 UiTø 162 Utdanningsforbundet 163 Abelkomite 164 Norsk Matematikkråd / Holmboeprisen 165 Tekna 168 NITO 170 NITO: INSPIRE 172 Casio Statistikk og sannsynlighet på ClassPad 300 Tor Andersen 179 Sannsynlighetsregning på Casios fx-9x50-serie Bjørn Bjørneng 186 Lesetips 194 tangenten 2005
Kjære leser! Du holder nå TANGENTENs inspirasjonsbok for matematikklærere i hendene. Boka er tenkt som en kilde til gode idéer til matematikkundervisning hovedsakelig for videregående skole. På den måten ønsker redaksjonen i TAN- GENTEN å bidra til å gjøre god matematikkundervisningen enda bedre. Vi ønsker å være med på å øke rekrutteringen til realfagstudier. Denne boken kan sees på som et ledd i sats ingen på matematikk og naturfag i skolen. Gjennom internasjonale undersøkelser (TIMSS- og PISA-studiene) har matematikkog realfagene i norsk skole kommet i rampelyset. Sammenlikner vi oss med andre europeiske land faller Norge tilbake selv om vi på verdensbasis ligger midt på treet. Fra mange hold vokser ønsket om en fornyelse av faget og arbeidsmåtene frem. Den nye læreplanen gir rom for og frihet til å velge ulike arbeids måter. Faglig stilles det høye krav, både fra myndighetene og næringsliv. I krysspresset mellom ulike forventninger kan det være en utfordring å prøve ut nye veier. Den foreliggende boka, håper vi, kan være en inspirasjon til ditt utviklingsarbeid. Vi i redaksjonen for tidsskriftet TANGENTEN har vært så heldige å få med oss en rekke støttespillere til dette bokprosjektet slik at vi kan sende fem gratiseksemplarer til alle videregående skoler i Norge. Vi håper dermed at boka kan bli både en inspirasjonskilde til flere og gi grunnlag for faglige diskusjoner ved realfagsmiljøene i skolene. Boka inneholder en del artikler som har stått i TANGENTEN tidligere og som er aktuelle med tanke på videregående trinn. En god del nye artikler er også kommet til. Her finner du stoff fra matematikkens historie, utvalgte geometriemner, emner fra sannsynlighetsregning, IKT i klasserommet, emner fra algebra, modellering, didaktiske artikler, tips til matematiske aktiviteter og oppgaver. Samtidig ønsker redaksjonen i TANGEN- TEN at du gjennom denne boka blir kjent med bladet TANGENTEN som kilde til idéer til din egen undervisning. tangenten 2005 3
Per E. Manne Arkimedes under hammeren Denne artikkelen er en omarbeidet versjon av en kronikk som ble trykket i Bergens Tidende den 24. januar 1999. Budene begynte på 500 000 dollar, og steg raskt. Den greske konsulen i New York bød aktivt, og flere konkurrenter falt fra etter hvert. Men da 2 millioner dollar ble nådd hadde han ikke autorisasjon til å by høyere. Han forsøkte å nå det greske utenriksdepartementet på mobiltelefon, men auksjonarius avbrøt ham og sa «Vi må fortsette, vi har mer å selge». En kort pause, og tilslaget gikk til en anonym privatperson, representert i salen ved en engelsk antikvariateier. Vi er vant til at kunst selges for svimlende summer, men på Christie s auksjon 29. oktober 1998 i New York var det en håndskrevet bok fra middelalderen som fikk all oppmerksomhet. Ikke noe prakteksemplar med vakre illustrasjoner, men en liten bok, bare 19 cm høy og 15 cm bred, 348 sider med omfattende skader fra både fukt og ild. Med provisjon og skatt måtte kjøperen ut med mer enn tilsvarende 16 millioner norske kroner. Hva for en bok kan påkalle slike priser? Per Manne er førsteamanunesis ved Norges Handelshøyskole. per.manne@nhh.no Historien begynte for drøyt 2200 år siden, da den hellenistiske kultur dominerte området fra det sørlige Italia gjennom Alexandria i Egypt over til Babylon i dagens Irak. Innen vitenskapene gjorde man i denne perioden store fremskritt. Aristarkos fremsatte det heliosentriske verdensbildet, Eratostenes beregnet jordens omkrets, og Euklid skrev den mest innflytelsesrike matematiske lærebok gjennom tidene. Her finner vi også Arkimedes, en av tidenes største matematikere. Den boken som ble solgt i New York inneholder de eldste bevarte avskrifter av hans arbeider, og den ga mye ny informasjon om hans metoder da den sensasjonelt dukket opp og forsvant igjen på begynnelsen av 1900- tallet. Arkimedes levde og virket i den greske byen Syrakus på Sicilia. Her var han mest kjent for sine mekaniske oppfinnelser, deriblant vektstenger og taljer som var langt overlegne datidens. Vi har herfra hans berømte ord «Gi meg et fast punkt, og jeg skal flytte verden». Allment kjent er også historien om at han skal ha løpt naken hjem fra byens bad. Han var bedt om å finne ut hvorvidt kongens gullsmed hadde lurt kongen ved å erstatte noe gull med sølv i en krone gullsmeden hadde laget. Da Arkimedes la seg i badekaret rant noe av vannet ut over kanten, og dette ga ham inspirasjonen til hans oppdriftslov. Han skjønte at han dermed kun- 2005 tangenten
Historiske artikler ne avsløre den uærlige gullsmeden uten å ødelegge kronen, og ble da så opphisset at han løp hjem mens han ropte «Heureka, heureka (jeg har funnet det)». Arkimedes konstruerte krigsmaskiner som hjalp byen til å holde ut i flere måneder da den ble angrepet av romerne i 212 f.kr. De romerske soldatene fryktet særlig hans dødelige katapulter, som var effektive både på korte og lange avstander. Vi har også veldokumenterte beretninger om vektstenger som kunne løfte fientlige skip opp fra vannet og kaste dem ned igjen. Mindre trolig er det imidlertid at Arkimedes brukte konkave speil til å sette ild på skip på avstand, selv om det er teknisk mulig. På tross av heroisk motstand falt byen til slutt, og soldatene satte i gang med plyndring. Det fortelles at en soldat kom over Arkimedes der han betraktet noen geometriske figurer han hadde tegnet i sanden. «Tråkk ikke på mine sirkler,» skal den 75 år gamle Arkimedes ha formant soldaten, hvorpå soldaten hogg ned og drepte den gamle mannen. Selv satte Arkimedes sine matematiske resultater høyt over sine praktiske oppfinnelser. Noen av disse hører til dagens skolematematikk, deriblant formlene V = 4/3pr 3 for volum og O = 4pr 2 for overflate av en kule med radius r. Vi har også hans estimat 3 10/71 < p < 3 1/7, som gir oss den ofte brukte tilnærmingen p ª 22/7. Arkimedes samlet og katalogiserte ikke den kjente kunnskapen, slik Euklid hadde gjort, men løste stadig nye problemer. Mange av disse var areal- og volumberegninger, og innenfor dette området ble han ikke forbigått før den analytiske geometrien ble utviklet på 1600-tallet. Arkimedes beskrev sine oppdagelser i brev til venner og kolleger. Flere av disse var i Alexandria, datidens metropol med over en halv million innbyggere. Byen hadde et unikt bibliotek, skapt med det mål for øye å samle all verdens kunnskap. Skip som la til havnen fikk sine bøker beslaglagt. Disse ble kopiert, originalene tangenten 2005 ble beholdt, og skipene fikk tilbake kopiene. Brevene fra Arkimedes havnet helt sikkert også i biblioteket, og her ble de bevart i flere hundre år. Men etter år 215 gikk det raskt nedover med biblioteket. Offentlige bevilgninger uteble, og byen ble delvis ødelagt flere ganger i kriger og interne opprør. Flere av de mest verdifulle skriftene har likevel blitt bevart gjennom tidene. Lærde menn og kvinner har skrevet av dem, oversatt dem til arabisk og latin, og tatt dem med seg til andre steder. På denne måten har ni av Arkimedes brev blitt bevart, mens omtrent like mange er gått tapt og bare er kjent av omtale. På 900-tallet begynte man igjen å bli interessert i matematiske emner i Europa, og det er på denne tiden den avskriften av Arkimedes verker som nå har vært for salg i New York ble laget. Dette arbeidet kan likevel ikke ha gjort stort inntrykk på sin samtid, for da en annen munk så manuskriptet en gang på 1200-tallet, vurderte han innholdet som verdiløst. Men han kastet det ikke på bålet, til det var materialet alt for dyrbart. Tekstene var skrevet på pergament, som ble laget av skinn fra sau eller kalv, og i sin hånd holdt munken materialer fra mer enn 40 sauer. Heldigvis kunne det brukes om igjen, og munken sprettet opp boken og vasket vekk blekket. Det aller meste gikk vekk, og munken kunne legge arkene på tvers og skrive fromme bønner over den gamle teksten. På denne måten fikk munken laget en bønnebok i tilnærmet A5-format i stedet for orginalets A4-format. En bok som har blitt til på denne måten kalles en palimpsest etter et gresk ord som betyr å skrive over, og på slutten av middelalderen var dette vanlig praksis. Bønneboken tilhørte den gresk-ortodokse patriarken av Jerusalem som hadde sitt tilholdssted i Konstantinopel (omdøpt til Istanbul i 1930). Etterhvert gjorde tyrkerne sitt inntog i området, og i 1453 tok de Konstantinopel. Grekerne har likevel forsatt sitt nærvær i denne byen helt frem til våre dager. På 1800-tallet var
Historiske artikler mange vesteuropeere på jakt etter kulturskatter, og i fattige land over hele verden var man ikke bevisst over hvilke verdier man satt på. En gjennomgang av biblioteket frembrakte bønneboken. Kanskje noen ville være interessert i den underliggende teksten? I en katalog publisert i 1899 ble boken beskrevet som en matematisk palimpsest, og noen korte utdrag fra den underliggende teksten ble gjengitt. Den danske filologen Johan Ludvig Heiberg ble gjort oppmerksom på disse utdragene og gjenkjente dem fra Arkimedes skrifter. Sommeren 1906 reiste han til Konstantinopel og rekonstruerte der etter beste evne den underliggende teksten, som besto av fem brev. Bare det faktum at denne kilden var flere hundre år eldre enn noen annen kjent kopi fra Arkimedes gjorde funnet bemerkelsesverdig. Men den store nyheten var Metoden for mekaniske satser, et brev som var formodet tapt, der Arkimedes skriver til sin venn Eratostenes og gjør rede for hvordan han hadde funnet frem til flere av sine resultater. Funnet av dette brevet var en enorm sensasjon, da man her fikk et innblikk i Arkimedes arbeidsmetoder. Disse er nemlig ikke synlige fra de andre bevarte manuskriptene, der han nøyer seg med å gi elegante bevis uten å forklare hvordan han har funnet dem. Man hadde lenge mistenkt Arkimedes for å ha en metode med fellestrekk med differensial- og integralregningen, innført av Newton og Leibniz på slutten av 1600-tallet, og her fikk man denne mistanken bekreftet. Arkimedes beskriver hvordan han så på et tredimensjonalt legeme som bygget opp av uendelig tynne skiver. Gjennom å prøve seg frem med andre kjente legemer og å balansere dem mot hverandre på en tenkt vektstang kunne han finne hva den riktige volumformelen måtte være. Men dette resonnementet betraktet Arkimedes som utilstrekkelig da de uendelig små størrelsene ikke kunne rettferdiggjøres, og han gikk derfor videre med å finne de samme volumformlene ved et mer klassisk bevis. Heiberg publiserte sin oversettelse, og originalen forsvant ut av allmennhetens øye. Etter første verdenskrig ble Tyrkia rammet av borgerkrig og krig med Hellas, inntil republikken ble opprettet i 1923. Over en million grekere ble tvangsflyttet til Hellas i utveksling med tyrkere derfra, og patriarkens boksamling ble i denne perioden overført til Aten. Noen bøker kom ikke med, deriblant palimpsesten med Arkimedes skrifter. Den etterlot seg ingen spor, heller ikke ser den ut til å ha blitt etterlyst før den helt uventet dukket opp for to år siden, til salgs på auksjon hos Christie s i New York. Selgeren, en fransk privatperson, var anonym. I Hellas har man i lengre tid vært opptatt av hvordan landets antikke kulturskatter gjennom tidene har havnet i utlandet. Nå engasjerte greske myndigheter seg raskt på vegne av patriarken av Jerusalem og hevdet at manuskriptet i sin tid må ha blitt solgt av uærlige munker for egen fortjeneste. Den rettmessige eier var derfor fremdeles patriarken, og manuskriptet burde tilbakeføres til denne. En domstol i New York avgjorde så sent som dagen før salget at dette ikke var tilstrekkelig bevist. Som beskrevet innledningsvis gikk salget sin gang, og manuskriptet ble solgt til en anonym privatperson. Etter salget har boken vært på utstilling i Baltimore og Chicago, og nå har konserveringseksperter ved the Walters Art Museum i Baltimore startet å arbeide med den. Boken skal tas fra hverandre, angrepene av muggsopp må stoppes og de skjøre arkene må behandles slik at de ikke brekker. Hvert ark skal fotograferes og analyseres for å få frem mest mulig av den underliggende teksten. Historikere og skrifteksperter skal prøve å finne ut hvor boken ble skrevet og hvor den har vært. Man har til og med planlagt kjemiske analyser av blekket for ikke å gå glipp av noen spor. Arbeidet kommer å ta flere år. Hva kan funnet av palimpsesten gi oss av ny kunnskap? Med moderne hjelpemidler som ultrafiolett belysning og digital billedbehand- 2005 tangenten
Historiske artikler ling er det mulig å få frem mer av den underliggende teksten, og på den måten fylle igjen luker som Heiberg måtte la stå åpne. Det er også klart at Heiberg har hatt vansker med å reprodusere figurene i teksten, og i flere tilfeller vært nødt til å lage egne figurer i stedet. Med tiden får vi derfor kanskje et bedre innblikk i arbeidsmetodene til en av tidenes største matematikere. Tillegg Utledningen av denne formelen er tatt direkte fra Metoden for mekaniske satser, bortsett fra at notasjonen er modernisert. Vi går ut fra at vi kan beregne volum av både sylinder og kjegle, og vi søker volum av en kule med radius r. Nå ser vi på arealene av tverrsnittene ved x av de tre omdreiningslegemene. Sylinderen er lettest å finne ut av, her blir ethvert tverrsnitt en sirkel med radius 2r, og arealet blir dermed T sylinder = p (2r) 2 = 4pr 2 Tverrsnittet av kjeglen blir en sirkel med radius x, og arealet blir T kjegle = px 2 Halvsirkelen på figuren har radius r, slik at OA har lengde 2r. Firkanten OABC er et kvadrat med side 2r, og trekanten DOAB blir dermed likebeint. Vi roterer firkanten OABC om x- aksen og får en sylinder med volum V sylinder = p (2r) 2 2r = 8pr 3 På samme måte roterer vi DOAB om x-aksen og får en kjegle med volum V kjegle = 1/3 p (2r) 2 2r = 8/3 pr 3 og vi roterer halvsirkelen om x-aksen og får en kule med radius r. tangenten 2005 Tverrsnittet av kulen blir en sirkel med radius y, der x og y er forbundet med hverandre gjennom sirkelligningen (x r) 2 + y 2 = r 2. Vi har dermed y 2 = r 2 (x r) 2 = 2rx x 2, og arealet av tverrsnittet av kulen blir T kule = p y 2 = p(2rx x 2 ). Legg merke til at tverrsnittene av kjegle og kule til sammen har areal T kjegle + T kule = 2prx. Vi prøver nå å plassere de tre tverrsnittene slik at de balanserer en vektstang med balansepunkt i O. Vektstangloven sier at kraft arm må være like stor på begge sider av O, og kraften er her proporsjonal med arealet. Nå er 2r(T kjegle + T kule ) = 4pr 2 x = x T sylinder. og det følger at sylindertverrsnittet ved x vil balansere de to andre tverrsnittene hvis vi flytter dem til punktet D, der OD har lengde 2r. Nå gjør vi dette for alle x mellom 0 og 2r, og vi
Historiske artikler får da som resultat at sylinderen der den er vil balansere en kule og en kjegle som er plassert med tyngdepunkt i D. Siden sylinderen har sitt tyngdepunkt i avstand r fra O så gir vektstangloven brukt nok en gang at 2r(V kjegle + V kule ) = r V sylinder. Vi løser nå med hensyn på V kule og finner til slutt den kjente volumformelen V kule = 1/2V sylinder V kjegle = 1/2 8pr 3 8/3pr 3 = 4/3pr 3. Vår kilde for fortellingen om Arkimedes i badekaret er romeren Vitruvius, som levde ca. 250 år etter Arkimedes. Vitruvius forteller også hvordan Arkimedes avslørte gullsmeden: Han tok et stykke rent gull som veide like mye som kronen og senket det ned i et kar som var fylt med vann helt opp til randen. Deretter tok han opp gullet og senket ned kronen i stedet. Hvis gullsmeden hadde erstattet noe gull med sølv så ville kronen få større volum, og vannet ville renne over kanten når kronen ble senket ned. Kronen og gull-loddet veier like mye Denne beskrivelsen Vitruvius gir er ganske sikkert ikke riktig. La oss se hvorfor. Vi går ut fra at kronen veide nøyaktig 1 kg, og at det var nødvendig med et rundt kar med radius 10 cm for å få plass til kronen. (Disse tallene er noenlunde i samsvar med arkeologiske funn.) En kubikkcentimeter gull veier 19.3 gram, og 1000 gram rent gull har derfor volum 1000 cm 3 /19.3 = 51.8 cm 3. Karet har overflate p 10 2 cm 2 = 314 cm 2, og vannet vil derfor stige med 51.8 cm 3 /314 cm 2 = 0.165 cm. La oss nå si at gullsmeden erstattet så mye som 30 % av gullet med sølv. Hver kubikkcentimeter sølv veier 10.6 gram, og kronen ville da ha volum 700 cm 3 /19.3 + 300 cm 3 /10.6 = 64.6 cm 3. Den ville dermed få vannet til å stige med 64.6 cm 3 /314 cm 2 = 0.206 cm. Høydeforskjellen ville med andre ord være under en halv millimeter, og dette ville i praksis ikke være mulig å observere nøyaktig. 2005 tangenten
Historiske artikler = 948.2 g. Kronen med 30 % sølv fortrenger 64.6 cm 3 vann og får dermed vekt under vann 1000 g 64.6 g = 935.4 g. Forskjellen er med andre ord over 12 gram, og dette kan lett observeres med en vanlig balansevekt. Kronen fortrenger mer vann enn gull-loddet En bedre metode er å henge kronen og tilsvarende mengde rent gull på hver side av en balansevekt, og så å senke begge sidene ned i vann. Kronen med sølvinnhold har større volum, den vil derfor fortrenge mer vann, og etter Arkimedes oppdriftslov vil den da bli lettere enn gullet. Vi har gjort alle nødvendige beregninger allerede, og kan se hvor stor forskjellen vil bli. Gullet fortrenger 51.8 cm 3 vann, og dette veier 51.8 gram. Vekten til gullet under vann blir dermed 1000 g 51.8 g Lenker http://www.thewalters.org/archimedes/frame.html https://www.cs.drexel.edu/~crorres/archimedes/ contents.html tangenten 2005
Pål Grønnås Herons formel Grekeren Heron antas å ha levd for rundt 2000 år siden. Det hersker uenighet blant historikere om når Heron levde. Estimatene av hans levetid varierer fra 150 f.kr. til 200 e.kr. Nyere forskning tyder på at Heron sannsynligvis levde omkring 75 e.kr. Matematikeren Heron bodde i Alexandria som var en av oldtidens metropoler. Han jobbet ved det berømte biblioteket i byen. Ved siden av matematikk var fysikk hans store lidenskap og interesse. Spesielt var han fascinert av mekanikk og ingeniørkunst, noe som gjenspeiles i hans bok Diopra som inneholder mange praktiske anvendelser. Likevel er det nok som matematiker Heron er mest kjent. Hans hovedverk Metrica ble først kjent i Vesten gjennom oppdagelsen av et av hans manuskripter i Konstantinopel i 1896. Dette manuskriptet inneholder blant annet et bevis av formelen for arealet av en trekant uttrykt kun ved hjelp av sidene i trekanten. Det antas nemlig at Arkimedes (287 212 f. Kr.) kjente til denne formelen (den kan for eksempel bevises på en relativ enkel måte ved hjelp av Pytagoras (ca. 540 f. Kr.) læresetning). Men ettersom hans etterlatte skrifter ikke inneholder Pål Grønås paalgroenaas@netcom.no 10 noe bevis av nevnte formel, blir Heron tillagt æren for å ha funnet det første bevis av denne arealformelen. Denne formelen, som i ettertid er blitt kjent som Herons formel, uttrykker at i en trekant ABC med sider av lengde a = BC, b = AC og c = AB er arealet gitt ved formelen D ABC = s( s - a)( s -b)( s - c) der s = ½(a + b + c). Jeg vil her med utgangspunkt i Metrica presentere Herons eget elegante geometriske bevis av denne formelen: Anta at lengden av sidene i en trekant ABC er gitt. Konstruér trekantens innskrevne sirkel med sentrum i G. Nedfell normalene fra G ned på hver av trekantens sider AB, BC og AC og kall skjæringspunktene mellom normalen og siden for henholdsvis D, E og F. Tegn deretter opp de seks linjestykkene AG, BG, CG, DG, EG og FG. Da ser vi at AB DG = 2 DAGB BC EG = 2 DBGC CA FG = 2 DAGC Ved å summere disse tre likhetene og minne om at DG = EG = FG, blir resultatet at (1) p EG = 2 DABC der p er omkretsen til trekant ABC. 2005 tangenten
Historiske artikler Forleng linjestykket CB til punktet H slik at BH = AD. Ettersom AD = AF, DB = BE og FC = CE, vil (2) CH = ½p Dette sammenkoblet med likheten (1) resulterer i at (3) CH EG = DABC. Konstruer normalen til CG i punktet G og kall skjæringspunktet mellom normalen og CB for K. Dernest konstruerer vi normalen til CB i B. Denne normalen skjærer forlengelsen av GK i L. Tegn opp linjestykket CL. Da vinklene CBL og CGL begge er rette, kan firkanten CGBL innskrives i sirkelen hvor sentrum er midtpunktet på linjestykket CL. Følgelig er vinklene CGB og CLB supplementvinkler. Videre er puntet G det felles skjæringspunktet for halveringslinjene for vinklene i trekant ABC. Dette faktum innebærer at GCB + GBC + GAB = 90. Ved å kombinere dette med identitetene CGB = 180 GCB GBC F G A D og AGD = 90 GAB, får vi at summen av vinklene CGB og AGD er 180. Ergo må CLB og AGD være identiske. Sett i lys av at trekantene ADG og CLB er rettvinklete, må trekantene AGD og CLB være formlike. Dette faktum kombinert med identitetene AD = BH og DG = EG gir BC/BL = AD/DG = BH/EG. Siden trekantene BKL og EKG er formlike, får vi at BC/BH =BL/EG = BK/EK, hvilket igjen innebærer at Dette medfører at CH/BH = BE/EK. 2 CH BE EC BE EC = = 2 CH BH CE EK EG, noe som sammen med formlene (2) og (3) og identiteten BH = AD gir (DABC) 2 = CH 2 EG 2 = CH HB CE EB = ½p(½p BC)(½p AB)(½p AC) = s(s a)(s b)(s c) C E K B H L tangenten 2005 11
Historiske artikler Redaksjonens kommentar Herons formel var til slutten av 50-tallet en del av pensumet i norsk skole. Den er altså ikke bare en raritet fra historiebøkene. Med dagens algebra kan beviset for Herons formel gjøres til en øvelse i parentesmultiplikasjon og bokstavmanipulering. Den mister sin sjarm. Ingen lyse idéer trenges, kun utholdenhet og en tunge beint i munnen. Med symbolene fra tegningen nedenfor svarer Herons formel til: 2a b + 2a c + 2b c - a -b - c 16 2 2 2 2 2 2 4 4 4 Ved hjelp av Pythagoras læresetning finner vi b 2 = e 2 + f 2 og a 2 = (c e) 2 +f 2. Vi får et stort «mannefall» blant alle de 27 addendene som oppstår når vi setter inn for a 2 og b 2. Kun én overlever, nemlig (cf ) 2 /4, altså kvadratet av arealet. Bevisets sjarm er vekk. Herons eleganse drukner i kjedelig (men trygg) bokstavdrøvtygging.. ( cf ) 2 ( a + b + c) ( a + b - c) ( a - b + c) (- a + b + c) = 4 2 2 2 2 siden (DABC) 2 = (cf ) 2 /4. Uttrykket på høyresiden kan lett ganges ut selv om det krever en del utholdenhet. Resultatet blir: y C(e, f ) b f a e A c B x 12 2005 tangenten
Jan van Maanen Kan dagens matematikkundervisning profitere på gamle metoder? Jeg vil i det følgende presentere en av mine klasseromsaktiviteter Jeg ønsker å vise hvordan man kan bruke matematikkens historie i matematikkundervisningen, sett fra en matematikklærers ståsted. Dette eksempelet handler om å bruke Eulers metode til å arbeide med logaritmer og spesielt til å beregne log 10 5. Matematikkundervisningen kan ofte være rutinepreget og svært statisk, og elevene presenteres for standardløsninger til de fleste oppgavene. Å se på gamle metoder kan hjelpe lærere og elever til å evaluere egne metoder, se at det er mulig å gjøre noe annet enn bare matematikk. Å tenke på og snakke om matematikk med et annet utgangspunkt enn det man vanligvis bruker, kan medføre at man kan bli mer bevisst egen undervisning og egne valg av metoder. For å si det med Arkimedes: Hvis du vil se hva du gjør, gir gamle metoder deg et ståsted. Hva vil elever i slutten av 10. klasse svare på spørsmålet: Hva blir de tre første desimalene av log 10 5? Jeg antar at de fleste av dem vil være i stand til å finne det rette svaret 0,699 ved å bruke kalkulator. Noen vil til og med være i stand til å bevise dette ved å taste 10 0,699 på kalkulatoren sin for å sjekke om svaret er 5 eller nesten 5. Siden vi er vokst opp med aksiomet Svaret som kalkulatoren gir er det riktige resultatet, er det å stille flere spørsmål overflødig og nærmest uetisk. Bytter vi ut kalkulator med tabell i dette aksiomet, vil vi innse at denne situasjonen er omtrent like gammel som logaritmen selv. Gyldigheten av dette svaret baseres på troen på et hjelpemiddel, ikke på et uavhengig resonnement. Selvfølgelig bruker jeg også kalkulator og underviser i bruken av den i praktiske situasjoner. Jeg vil heller ikke regne ut for hånd når bankkontoen min passerer 1 000 000 gylden. Men jeg mener at matematikere bør gjøre mer enn å stole på hjelpemidler. Sist jeg underviste i logaritmer i 10. klasse, bestemte jeg meg for å bruke en gammel metode som innfallsvinkel til emnet. Sammen med klassen min og med assistanse av Leonhard Euler (øverst på siden), ville jeg finne ut hvordan vi kan beregne logaritmer ved hjelp av Jan van Maanen arbeider med matematikkens historie ved Groningen Universitetet i Nederland. Han har også undervist i matematikk (ungdomsskole/gymnas), og har bl.a. arbeidet med å la elever lese og diskutere gamle matematikktekster. maanen@math.rug.nl Artikkelen er oversatt og tilrettelagt av Anne Bjørnestad. Hun arbeider som lektor ved Tanks videregående skole i Bergen. tangenten 2005 13
Historiske artikler den lille kalkulatoren (bare med de 4 regningsartene) og en rotutdragningsalgoritme. Det var flere grunner til at idéen med å konsultere Euler oppsto. For det første var Euler en av de første matematikerne som definerte logaritmen som den inverse til en eksponentialfunksjon, akkurat slik som vi gjør i dag. For det andre er det alltid en glede og veldig oppmuntrende å lese Euler. Hans tekster er klare, åpne og rike, og han har også en praktisk tilnærming til matematikken uten å neglisjere prinsippene. Sist, men ikke minst, er den relevante teksten On exponential and logarithmic quantities ([1] kap. 6) tilgjengelig både i engelsk oversettelse [2], og i et faksimileopptrykk av den latinske utgaven fra 1748 [3]. Eulers tilnærming til logaritmer ser svært moderne ut. Han tar en tilfeldig positiv konstant a og sier: Siden 10 < 5 < 10 så er 0, 5000 = log10 10 < log10 5 < log10 10 = 1. Euler gjentar denne prosedyren. Nå tar han det geometriske gjennomsnittet av 10 og 10, som er 10 10 ª 5, 6341. Logaritmen til dette gjennomsnittet er (log10 10 + log 10 10)/ 2 = 0, 7500. Da 10 < 5 < 10 10 er 0, 5000 < log 5 < 0, 7500. 10 Slik fortsetter Euler. I hvert steg halveres intervallet som log 10 5 ligger i, og etter i alt 22 rotutdragninger kommer han til at log 10 5 0,698970 (se [1] s. 76). Det ble senere funnet metoder hvor logaritmene kunne beregnes mye raskere ved hjelp av rekkeutviklinger. Vi vet nemlig at gitt en positiv verdi for y, gir vi z en verdi, slik at a x = y. Denne verdien for z, så lenge den betraktes som en funksjon av y, kalles logaritmen til y ([2] s.78). og n x n ln( 1- x) = -Â n= 1 Fra denne definisjonen utleder Euler de velkjente reglene ( 104) for regning med logaritmer som f. eks. log uv = log u + log v og log u n = n log u, og han viser logaritmens monotoniegenskaper ( 106). En anvendelse av denne regelen er: logaritmen av det geometriske gjennomsnittet ( ab ) av to tall a og b er det aritmetiske gjennomsnittet av logaritmene: (loga + log b)/ 2. Euler viser så hvordan en kan approksimere en logartime. Eksempelet hans er log 10 5. Siden 1 < 5 < 10 og f(x) = log 10 x øker monotont, finner Euler følgende grenser: 14 0 = log 10 1 < log 10 5 < log 10 10 = 1. Han beregner så 1 10 ª 3, 1623, som er det geometriske gjennomsnittet av 1 og 10. Logaritmen til det geometriske gjennomsnittet er (log 1+ log 10)/ 2 = 0, 5000. 10 10 ln( 1+ x) = -Â n= 1 for x < 1. Dermed er n (-1) x n n n n 2m+ 1 Ê 1- x ˆ (-1) x - x x ln 2 Ë Á 1+ = Â = - Â. x n= 1 n m= 0 2m + 1 For å beregne ln(5) må vi sette x = (2/3). Da konvergerer rekkene. Denne metoden diskuterer Euler i et senere kapittel av Introductio. Den nevnte sekvensen i Eulers bok er etter min mening et eksempel på god undervisning. Euler vil ikke bruke tabellen før han har forklart hvordan den ble (eller kunne ha blitt) laget, og i tråd med dette bestemte jeg meg for ikke å bruke logaritmetasten på kalkulatoren før jeg hadde forklart klassen min hvordan de kunne beregne en logaritme ved å bruke Eulers meto- n 2005 tangenten
Historiske artikler de. Ved siden av en forståelse av det grunnleggende prinsippet at log a b = (loga + log b)/ 2 krever beregningen at du kjenner en algoritme for å beregne tilnærmingsverdier til kvadratrøtter (men vi kan også bruke den lille kalkulatoren til dette). Mine elever kjente til en slik algoritme fordi vi hadde arbeidet med denne to år tidligere. Jeg bestemte meg derfor for å introdusere Euler for klassen min. Jeg fortalte dem om hans enorme kreativitet og hans forsøk på å standardisere det andre matematikere hadde utviklet i de to århundrene før hans tid, slik som han gjorde med logaritmene til Napier og Briggs. (Skotten John Napier (1550 1617) utledet viktige egenskaper ved logaritmer og viste hvordan han utarbeidet en logaritmetabell over sinusverdier til vinkler. Henry Briggs (1561 1631) utviklet logartimetabeller med base 10 og log 1 = 0 etter en diskusjon med Napier, se [4]). For å motivere elevene til å øve på multiplikasjon, divisjon og rotutdragning, fortalte jeg dem om viktigheten av logaritmene, og da spesielt om logaritmetabellene. Euler mente at logaritmetabellene skulle brukes, men ikke uten forståelse for hvordan de var fremkommet. Vi gikk videre herfra. Vi diskuterte sekvensen i Introductio hvor Euler utleder regelen log a b = (loga + log b)/ 2. Elevene hadde på forhånd studert teksten og med litt forklaring forsto de innholdet av den. Vi sjekket så stegene i Eulers beregninger opp til 10 10 ª 5, 6341, dvs. at vi fant at 0, 5000 = log 10 < log 5 < log 10 = 1, 10 10 10 og vi ble overbevist om at hans påfølgende beregninger var riktige. Disse beregningene arbeidet elevene også med selv. Euler ledet oss så til at log 10 5 0,698970. Etter en diskusjon i klassen kom elevene fram til følgende: Euler var en smart mann. Han var også ærlig, fordi han skrev på en måte som gjør at du kan sjekke det etterpå. Vi behøver selvfølgelig ikke å beregne en logaritme uten andre hjelpemidler enn den lille kalkulatoren (eller en algoritme for å beregne kvatdratrøtter), men Euler presenterer resultatene sine på en troverdig måte. Det er rart at vi virkelig bruker våre kunnskaper i latin i matematikktimene. Den gamle boken er nydelig. Det er inspirerende å lese en slik bok. I overskriften stilte jeg spørsmål om dagens matematikkundervisning kan tjene på å studere gamle metoder. Etter dette eksempelet stiller jeg også spørsmål om hvor viktig historie er når man introduserer logaritmer. Må Euler trekkes inn i undervisningen om logaritmer? Erfaringene mine fra dette eksempelet gir meg argumenter for positive svar på begge spørsmålene. Hvis gamle metoder kan gjøre matematikken mer spennende og elevene mer entusiastiske, stimulere til diskusjon om hva som er standard og gi muligheter til å arbeide på tvers av pensum, ja da kan det være nyttig for ny matematikk. Dagens metoder er ofte raskere og enklere, men dette kan også være skuffende for elevene nettopp fordi deres egne løsninger heller ikke alltid er de enkleste og raskeste. Å vite at det ikke er en kongevei til matematikken kan være en trøst for dem. Referanser [1] Euler, L. (1748). Introductio in analysin infinitorum, Lausannae: Apud Marcum-Michaelem Bousquet & Socios [2] Euler, L. (1988). Introduction to Analysis of the Infinite, Oversatt av John D. Blanton. New York: Springer-Verlag [3] Euler, L. (1967). Faksimile-opptrykk av Introductio in analysin infinitorum,. Brussel: Culture et Civilisation [4] Katz, V. J. (1998). A History of Mathematics. Second Edition. Addision-Wesley tangenten 2005 15
Knut Ole Lysø Den problematiske tobarnsfamilien Problemstillingen som følger kom meg for øre i februar 1991 da landsseksjonen i matematikk var samlet til et rammeplanmøte i Bø i Telemark. Videre undersøkelser omkring dette problemet viser at dette er kjent i videre kretser, og har vært oppe til debatt i flere fora. Om problemet har funnet sin endelige løsning er en annen sak. Overskriften kan tyde på at problemet dreier seg om en sosial sak, men la oss med en gang konstatere at det dreier seg om matematikk, nærmere bestemt sannsynlighetsregning. Innenfor sannsynlighetsregningen opererer en med begrepet betinget sannsynlighet, og det er her problemet med tobarnsfamilien kommer inn. 1. Hva problemet dreier seg om Anta at en tobarnsfamilie flytter inn i nabolaget ditt. Om barnas kjønn foreligger det ulike signaler, men din egen sønn ønsker veldig at begge barna er gutter. Hva er sannsynligheten for at familien har to gutter? Fødselsrekkefølgen i en tobarnsfamilie er GG, GJ, JG og JJ, hvor det er vanlig å oppfatte Knut Ole Lysø er førsteamanuensis ved Høgskolen i Sør-Trøndelag knut.lyso@hist.no f.eks. GJ som gutt i første fødsel og jente i andre fødsel. De to fødslene påvirker ikke hverandre, f.eks. vil ikke kjønnet på første barn ha noen betydning for hvilket kjønn neste barn har. En sier da at fødslene er uavhengige av hverandre. Med antakelse om like stor sannsynlighet for gutt som for jente i hver fødsel, vil hver av de fire mulighetene være like sannsynlige, og det er rimelig å hevde at sannsynligheten for to gutter er lik 1/4. Dette er noe en lett enes om, og representerer ikke en del av problemet. Problemet dukker opp når det tilflyter oss noen opplysninger om barna. Disse er som sagt av forskjellig karakter, og spørsmålet er om disse opplysningene har ulik betydning for sannsynligheten for to gutter. Opplysningene det dreier seg om er: 16 2005 tangenten
Sannsynlighetsregning I. Det opplyses at minst ett av barna er gutt. II. Det opplyses at det eldste barnet er gutt. III. Det opplyses at ikke begge barna er jenter. Problemet er altså nå å finne sannsynligheten for to gutter i denne tobarnsfamilien under forutsetning av at du vet enten opplysning I, II eller III. Er det forskjell i størrelsen på disse sannsynlighetene, og bør det eventuelt være det? En måte som er blitt presentert for å beskrive de to første opplysningene konkret, er at du får se et av barna på trappa, og at dette barnet er en gutt (situasjon I). Du går ut for å hilse på gutten, og hører samtidig barnegråt inne fra huset (som impliserer at gutten på trappa faktisk er det eldste barnet, altså er du nå i situasjon II). Er det rimelig at disse opplevelsene skal endre på sannsynligheten for to gutter i denne familien? Prøv gjerne selv å finne et forslag til løsning på dette problemet før du leser videre. 2. Litt om betinget sannsynlighet Før vi analyserer problemet nærmere, er det rimelig at en presiserer hva som ligger i begrepet betinget sannsynlighet. Dersom leseren er fortrolig med dette begrepet, kan en hoppe til avsnitt 3. Anta at du ved en bestemt forsøkssituasjon er interessert i å finne sannsynligheten for et bestemt utfall. Dersom du får en eller annen tilleggsinformasjon under forsøkets gang, kan det hende at denne informasjonen er av en slik art at det har betydning for resultatet av forsøket. Du må ihvertfall vurdere om den opprinnelige sannsynligheten du satte opp for utfallet fremdeles er aktuell/riktig. Den eventuelle reviderte sannsynligheten kalles en betinget sannsynlighet. La oss nå gi fire konkrete eksempler på hva som kan ligge i begrepet betinget sannsynlighet. Eksempel 1 La oss f.eks. si at du skal tippe hva en person får i et spesielt kast med en vanlig terning. I et slikt kast kan en argumentere for at sannsynligheten for et hvilket som helst resultat, dvs. antall øyne terningen viser, er lik 1/6. Dersom du tipper at vedkommende får en sekser, har du altså en sannsynlighet på 1/6 for å få riktig svar. Anta at du selv ikke ser resultatet av kastet, men får vite at kastet resulterte i minst fire øyne. Er sannsynligheten for at du tipper rett lik 1/6 fremdeles, eller er sannsynligheten blitt endret på bakgrunn av opplysningen om minst fire øyne? Tenker en etter, er det under de gitte opplysninger kun muligheten for firer, femmer eller sekser. Disse er like sannsynlige, slik at det nå virker rimelig å sette sannsynligheten for en sekser lik 1/3. Altså har tilleggsopplysningen du har fått ( resultatet av kastet er minst fire øyne ) endret sannsynligheten for den aktuelle hendelsen, og en sier at den betingete sannsynligheten for en sekser er lik 1/3. Eksempel 2 I et kortspill kan du f.eks. være interessert i å vurdere sannsynligheten for at en person trekker en spar ved en tilfeldig trekning fra en godt blandet kortstokk. Når alle kort stiller likt, er sannsynligheten for å trekke en spar lik 13/52. Dersom du ikke ser resultatet av trekningen og personen som trakk kortet opplyser deg om at verdien av kortet er 4, er sannsynligheten for spar nå lik 1/4 (siden spar fire er et av de fire aktuelle kortene). Da disse to sannsynlighetene er like (1/4), har altså tilleggsinformasjonen om at kortet er en firer, ikke noen betydning for sannsynligheten for det opprinnelige utfallet. Dette viser at det ikke alltid er slik at sannsynligheter endres ved betinging (en sier da at en har uavhengighet). tangenten 2005 17
Sannsynlighetsregning Eksempel 3 I et kortspill kan du f.eks. også være interessert i å få tildelt et ess. Når alle kort stiller likt, er sannsynligheten for å trekke et ess lik 4/52. Under tildelingen av kort får du et glimt av kortet som tilsier at det er rødt. Siden flere detaljer om kortet ikke er avslørt, er de 26 røde kortene like sannsynlige, to av disse er ess, slik at det er rimelig å hevde at sannsynligheten for ess nå er lik 2/26. Da disse to sannsynlighetene er like (1/13), har altså denne tilleggsinformasjonen ikke noen betydning for sannsynligheten for det opprinnelige utfallet, og en har igjen uavhengighet. Eksempel 4 I et kakelotteri selges det 500 lodd. Du kjøper ett lodd. Dersom du ikke vet noe om eventuelle andre solgte lodd, er det rimelig å sette sannsynligheten for å vinne hovedgevinsten lik 1/500. Du avdekker loddnummeret, og finner ut at du ikke har vunnet. Så kjøper du ett lodd til. Sannsynligheten for å vinne hovedgevinsten denne gangen er lik 1/499 siden du nå har informasjon om det første loddet du kjøpte. Disse fire eksemplene viser ulike aspekter ved slike forsøkssituasjoner. I eksempel 1 og 2 har du ikke direkte oversikt over forsøkets gang, men mottar informasjon via personen som henholdsvis kaster terningen og trekker kortet. Eksemplene viser at de opplysningene du får, i enkelte tilfeller kan endre sannsynligheten for den hendelsen du er interessert i, men også at det finnes tilfeller der tilleggsinformasjonen ikke har betydning for den sannsynligheten vi ønsker å finne. Situasjonene beskrevet i eksempel 3 og 4 har du derimot direkte oversikt over forsøkets utvikling, og en ser at også i slike forsøk kan det i enkelte tilfeller være slik at det som skjer i løpet av forsøkets gang kan ha betydning for størrelsen av den søkte sannsynligheten, mens det i andre tilfeller ikke har noen betydning. 18 3. Presentasjon av problemet i ulike lærebøker La oss nå se på hvordan problemene slik de er formulert i avsnitt 1, håndteres i enkelte lærebøker. I denne omgang konsentrerer vi oss om å finne sannsynligheten for to gutter i lys av opplysningene I og II. Utfallsrommet (en liste over de mulige utfall i et sannsynlighetsteoretisk forsøk) er altså {GG, GJ, JG, JJ}. Med antakelse om like stor sannsynlighet for begge kjønn, sa vi i avsnitt 1 at sannsynligheten for to gutter er lik 1/4. Dette kalles en ubetinget sannsynlighet, og notasjonsmessig er det vanlig å skrive dette som P(To gutter) = 1/4. Betingede sannsynligheter handler om tilleggsinformasjon (relevant eller irrelevant) og om det eventuelle reduserte utfallsrom, i de tilfeller tilleggsinformasjonen er relevant. Holder en seg kun til informasjonen i I, minst en gutt, vil utfallsrommet foran reduseres slik at en har følgende sammenheng: Minst en gutt: {GG, GJ, JG}, siden JJ nå er utelukket. Da det fremdeles ikke er noen av disse kombinasjonene som er mer sannsynlig enn andre, får en at P(To gutter I) = 1/3. (Den loddrette streken bak To gutter symboliserer at vi har en tilleggsinformasjon, nemlig opplysningen I om minst en gutt.) I tilfelle II, med tilleggsopplysningen eldste barnet er gutt, vil det opprinnelige utfallsrommet også reduseres. Vi får nå følgende sammenheng: Eldste barnet er gutt:{gg, GJ}, siden JJ og JG nå er utelukket. Da GG og GJ ansees like sannsynlige, får en at P(To gutter II)=1/2. Dette viser at vi altså er sikrere på at det er to 2005 tangenten
Sannsynlighetsregning sønner i familien dersom vi vet II ( eldste barnet er gutt ) enn om vi vet I ( minst en gutt ). Dette virker kanskje overraskende på mange, spesielt om en knytter dette til de konkrete beskrivelsene på slutten av avsnitt 1. Dersom du ser en gutt på naboens trapp, er sannsynligheten for to gutter i denne familien lik 1/3. Hører du i tillegg barnegråt inne i huset, er sannsynligheten for to gutter i denne familien lik 1/2. En kan bare spekulere på om barnegråt i seg selv representerer en så vidt viktig tilleggsopplysning som tilsier en økning i sannsynligheten for to gutter fra 1/3 til 1/2. Det er kanskje ikke så rart at disse sannsynlighetene i enkelte læreverk er blitt presenterte som et paradoks. En sannsynlighet lik 1/2 i tilfelle II synes ikke så merkelig i det en i dette tilfellet uttaler seg om sannsynligheten for at den yngste er gutt, altså om kun en fødsel. Da vil en sannsynlighet lik 1/2 følge av antakelsen om at jente- og guttefødsler opptrer like hyppig. Spørsmålet er da om sannsynligheten 1/3 for situasjon I er rimelig. Imidlertid finner en svaret 1/3 også ved utregning. La X være antall gutter i en tobarnsfamilie. Etter loven om betingede sannsynligheter får vi at P( To gutter I )= P( X =2 X 1) P (( X =2)«( X 1) ) = P( X 1) P( X = 2) / = 1- P( X = 0) = 1 4 3/ 4 = 1 3 4. Diskusjon om andre løsninger på problemet Som nevnt innledningsvis, er denne problemstillingen også debattert i fagmiljøet. En løsning som er blitt lansert av Steinar Engen ved AVH i Trondheim, går ut på at formuleringen minst ett av barna er en gutt er naturlig å tolke som at en har observert en gutt. Dette er for øvrig i overensstemmelse med den tolkningen som er lagt til grunn i avsnitt 3, og som ble konkretisert i avsnitt 1 gjennom at du ser en gutt på trappa. Engen hevder imidlertid at sannsynligheten for to gutter er lik 1/2 (og ikke lik 1/3) i dette tilfellet. Argumentet for dette er: Definer hendelsene A, B og C som følger: A: To gutter (dvs. X = 2) B: Minst én gutt (dvs. X 1), (dvs. det samme som opplysning I) C: Observere en gutt Engen hevder at dersom hendelsen C har inntruffet ( gutt på trappa ), har også hendelsen B inntruffet. Sannsynligheten for to gutter må sees i lys av både opplysning B og opplysning C. Da C er en ekte delmengde av B, er det eneste korrekte å betinge med hensyn på C. Dette medfører at P(To gutter I) = P(To gutter C) = 1/2. Et argument som taler for en sannsynlighet lik 1/2 i dette tilfellet, er at en faktisk uttaler seg om sannsynligheten for at et bestemt barn (det barnet en ikke ser) er en gutt. Imidlertid halter denne forklaringen noe hvis en har perspektivet om at betingede sannsynligheter handler om tilleggsinformasjon som eventuelt reduserer utfallsrommet for forsøket. Når det opprinnelige utfallsrommet er {GG, GJ, JG, JJ}, vil opplysning C kun utelukke to jenter (JJ), og utfallsrommet reduseres til {GG, GJ, JG}. Dette gir altså opphav til sannsynligheten 1/3. Denne betraktningsmåten fokuserer igjen på et problem som jeg personlig har tenkt veldig mye på: Den sidestiller hendelsene B og C! Dette kan ikke være riktig, og det er muligens her hele problemet ligger. I mitt studie av dette problemet har jeg lenge fundert på når en kan observere minst en gutt, med andre ord når det kan være aktuelt å betinge med hensyn på denne opplysningen. Ser vi etter, har vi (Engen inkludert) så langt i denne artikkelen konklu- tangenten 2005 19
Sannsynlighetsregning dert med at minst en gutt må tolkes som at en har observert en gutt. Er dette en riktig tolkning? Dersom en har observert en gutt, må en selvsagt ta hensyn til dette i det videre regningsarbeidet, men en må finne ut hva slags type informasjon dette er i forhold til informasjonen minst en gutt. Dersom du får opplyst at minst ett av barna er gutt, kan dette likså gjerne tolkes som at du får informasjonen fra noen annen (f.eks. din kone), og at du altså ikke har observert noe selv. Den tilleggsopplysningen som du har fått, er av samme karakter som opplysningene som er gitt i eksemplene 1 og 2 i avsnitt 2, og er ikke knyttet til noe bestemt (konkret) barn. Når du mottar kun denne opplysningen, har din kone mer informasjon om nabofamilien enn hva du har, men hun holder igjen noe av denne informasjonen. Opplysningen minst en gutt utelukker kun muligheten JJ, og det vil derfor være riktig at sannsynligheten for to gutter da er lik 1/3. Ved en slik tolkning vil altså resonnementet i avsnitt 2 omkring denne sannsynligheten og beregningen til slutt i avsnitt 2 være korrekt. Har du imidlertid sett en gutt på trappa, har du egentlig mer informasjon om nabofamilien enn om du får informasjonen minst en gutt fra din kone. Opplysningen du nå har om forsøket, er av samme karakter som i eksemplene 3 og 4 i avsnitt 2, og er knyttet til et bestemt barn. Det riktige i denne situasjonen vil være å konsentrere seg om kjønnet på det andre barnet, altså har en redusert forsøkssituasjonen fra et to-trinnsforsøk til et ett trinnsforsøk. Sannsynligheten for to gutter når en har observert en gutt, vil altså være lik 1/2. Det virker rimelig at denne sannsynligheten er større enn sannsynligheten for to gutter når du får opplyst minst en gutt siden du faktisk har mer informasjon om nabofamilien. Dersom du får opplyst at det eldste barnet er en gutt, har du igjen en opplysning som reduserer forsøket fra et to-trinnsforsøk til et etttrinnsforsøk. Den korrekte sannsynligheten for 20 to gutter er derfor lik 1/2 også i dette tilfellet. I den praktiske situasjonen belyst i slutten av avsnitt 2 vil det etter dette altså ikke være noen forskjell i sannsynlighetene. Mer presist vil sannsynlighet for to gutter være lik 1/2 både når du observerer en gutt på trappa, og når du i tillegg hører barnegråt inne. Til slutt gjenstår å finne sannsynligheten for to gutter dersom det blir opplyst at ikke begge barna er jenter, altså tilleggsinformasjon III i avsnitt 1. Er opplysningen ikke begge barna er jenter en tilleggsinformasjon som tilflyter oss via direkte observasjon? Neppe, dette er også en tilleggsopplysning av samme karakter som opplysningene som er gitt i eksemplene 1 og 2 i avsnitt 2. Av det opprinnelige utfallsrommet er det bare to jenter (JJ) som er utelukket, og sannsynligheten for to gutter er lik 1/3. Vi merker oss at opplysningene I og III er av identisk karakter. 5. Konklusjon Vi har i avsnitt 4 konkludert med følgende resultater: P(To gutter I) = 1/3. P(To gutter II) = 1/2. P(To gutter III)= 1/3. P(To gutter C) = 1/2. Hovedproblemet ligger altså i tolkningen av tilleggsinformasjonen minst en gutt. Det en i litteraturen ikke har tatt tilstrekkelig hensyn til, er at tilleggsopplysninger har to ulike kjennetegn; noe du observerer selv i løpet av et forsøk kontra hva du får opplyst av andre. Vi har sett at dette kan gi ulike resultater. Merk ellers at dersom din kone faktisk selv har observert gutten på trappa, og heller sier til deg at et av barna er en gutt (opplysning C), vil altså sannsynligheten for to gutter være lik 1/2. I dette tilfellet har nemlig du og din kone like mye opplysninger om situasjonen, opplysninger som gjør at en kan konsentrere oppmerksomheten om kjønnet til det ene barnet som en 2005 tangenten