Mekaniske svingesystemer

Oppgave Lab i TFY4106 Mekaniske svingesystemer Institutt r ysikk, NTNU

Side 1 av 10 1. Innledning I denne ppgaven skal vi studere begrepene ri g tvungne svingninger i et enkelt svingesystem. Vi skal spesielt gjøre ss kjent med egensvingning, resnans g dempning. Svingninger kan ppstå i mekaniske systemer g i elektriske kretser. Vi skal her studere mekaniske svingninger, g vil benytte et ppsett hvr amplitude, rekvens g ase til en masse sm henger i en jær registreres ved hjelp av en ptisk - digital måleutrustning.. Teretisk grunnlag Vi vil her gi en krt utledning av de matematiske rmler sm beskriver et mekanisk svingesystem..1. Fri, udempet svingning Vi har et jærsystem med jærknstant k (N/m) g masse m. Hvis vi drar massen en avstand x ut ra likevektspsisjnen år vi en mtvirkende krat sm er gitt ved -kx. Når massen slippes vil bevegelsen til massen styres av Newtns. lv, F = ma, hvr dv d x akselerasjnen a. Dette gir ølgende ligning r psisjnen til massen: dt dt m d x dt kx (1) Løsningen til ligning (1) er x t) cs( t ) cs( t ) () ( 0 0 hvr hvr er svingeamplituden, er aseknstanten, g er henhldsvis vinkelrekvens g rekvens til svingningen gitt ved ølgende relasjner: k (3) T m T er svingeperiden, g k g m er jærknstant g masse. Bevegelsen sm er uttrykt ved ligning () kalles en ri, udempet svingning. Legg merke til at den varer til evig tid uten tilørsel av ytre energi når den ørst er satt i gang.

Side av 10.. Fri, dempet svingning I reelle svingesystemer vil det alltid være en dempekrat F sm er rettet mt bevegelsen. Dempekraten er sm regel prprsjnal med hastigheten v slik at den kan skrives sm F' = -bv. Her er b mtstandskeisienten (b>0). Det er vanlig å innøre dempningskeisienten b/m (dimensjn tid -1 ) g skrive bevegelsesligningen sm d x dt m dx kx m (4) dt Fra Ligning (3) har vi k = m 0 sm innsatt i ligning 4 gir d x dx x 0 (5) dt dt sm r det tilellet vi skal ) betrakte har løsningen: ( 0 x(t) e t cs( d t ) (6) hvr d, (7) er en aseknstant sm avhenger av startbetingelsene til svingningen. Bevegelsen sm er beskrevet av Ligning (6) kalles en ri, dempet svingning. Svingerløpene r ulike dempninger er vist i Figur 1a. I iguren har vi valgt svingetid T 0 = 1 s, ne sm gir 0 =1 Hz g 0 = 6,8 rad/s. = 0 s -1 = 0.5 e - t = 1 s -1 t Figur 1a. Figur 1b. Udempet g dempete svingninger r ulike dempeknstanter. Vi kan bestemme dempningskeisienten ved å måle hvr hurtig amplituden reduseres. Denne t reduksjnen skyldes ekspnentialleddet e i Ligning (6). Dette leddet har sunket til e -1 0.37 av den pprinnelige amplitude ved tiden t=. Figur 1b viser hvrdan vi kan bestemme g dermed ut ra kurverløpet.

.3. Tvungen, dempet svingning Side 3 av 10 En peridisk ytre krat F y = F cs t eksiterer nå vårt svingesystem. Legg merke til at, sm er vinkelrekvensen til kraten, kan varieres etter ønske i mtsetning til 0 sm er entydig bestemt av systemet. Hvis vi tar gså denne kraten med i kratligningen år vi d dt x dx F x cs t (8) dt m Når vi løser denne ligningen, år vi en bevegelse x(t) sm er gitt ved: x(t) cs( t ) x (t) (9) d hvr F m (10a) tan (10b) x d (t) er en ri, dempet svingning slik sm vi ant i rrige avsnitt, Ligning (6). I Ligning (9) representerer sm sagt x d (t) løsningen r den rie, dempete svingningen sm settes i gang når vi slår på eller randrer F y. x d (t) vil etter en tid dø ut, men ør den dør ut vil den imidlertid kunne mdiisere svingerløpet ganske ettertrykkelig sm vi skal bservere. Svingningen representert i Ligning (9) når x d (t) har dødd ut, kaller vi en tvungen svingning. Ut ra Ligning (9) ser vi at r en slik tvungen svingning vil systemet svinge med samme rekvens sm den ytre kraten, men med en amplitude g en aseknstant sm begge varierer med den påtrykte rekvensen. v Ligning (10a) ser vi at amplituden har ølgende (grense)verdier: F k F m F m 0 0 (10c) Kmbinerer vi de t øverste del-ligningene i (10c) år vi: 0 (10d)

F/k Side 4 av 10 Svingeamplituden vil ha et maksimum r den vinkelrekvens sm (liten) minimaliserer uttrykket inne i rttegnet i (str verdi) ligning (10a). Fr denne rekvensen sier vi at det er utsvingsresnans i kretsen. Fr lett dempete system (liten ) vil resnansrekvensen være tilnærmet lik systemets egenrekvens gitt ved Ligning 1. Liten dempning i systemet gir en skarp (tilnærmet) resnanstpp, med økende dempning reduseres det maksimale utsving g Figur. tppen blir bredere sm vist på Figur. Faseknstanten mellm den ytre bevegelsen g det resulterende utsving vil gså endre seg med. Ved rekvenser gdt under resnans vil de t utsving være tilnærmet i ase, ved resnans er aserskjellen nær 90 g ved rekvenser gdt ver resnans nærmer aserskjellen seg 180. Overgangen mellm disse verdiene er helt skarpe ved null dempning g glattes ut ved økende dempning. Merk at utsvinget altså alltid er aserskjøvet slik at det i tid ligger bak eksitasjnskraten g at aserskjellen øker med økende eksitasjnsrekvens sm rimelig er. FINJUSTERING V TRÅDLENGDE MSSESTNG/ MPL. SKL ØVRE STYRING FSE LED INNSTILLING TILLEGGSVEKTER PLSSERES HER DEMPE- STNG MGNETISK DEMPNING FJÆR TRINSER TREKKTRÅD GROVJUSTERING V TRÅDLENGDE DRIVMEKNISME 3. pparatur Svingersøkene skal utøres med apparatet vist på Figur 3. Her skal vi bare beskrive hvedprinsippet r systemet, mer detaljert beskrivelse innes i pparaturbeskrivelsen i vedlegget. (Masse)stangen med tilleggsvekter kan settes i svingninger. Ved undersøkelse av rie svingninger trekkes dempestangen ned g slippes. Øvre del av jæren står da ast. Ved eksitasjn av tvungne svingninger beveges jæren peridisk ved at trekktråden er estet eksentrisk på et rterende hjul på baksiden av apparaturen. Vi år dempning i systemet ved å la massestangen bevege seg i et magnetisk elt. Ved å variere avstanden mellm magnetplene randrer vi dempningen. 0 8.8.8. PHSE 70 90 FUNCTION FREQUENCY req. amp. 180 perid DRIVE n Figur 3. Bevegelsen til stangen blir registrert analgt av en lysdide (kalt LED - light emitting dide) med tilhørende tdetektr. De analge signalene blir mrmet til digitale signaler g verdien blir vist på skalaen i vinduet. Med en unksjnsvelger på rnten av apparaturen (se Figur 3) kan ølgende størrelser måles:

Side 5 av 10 a) rekvensen til det rterende hjulet, dvs. rekvensen ved tvungen svingning, b) amplituden, ra tpp til bunn, r stangens svingebevegelse, c) svingeperiden r stangens bevegelse. I tillegg vil svingningens asevinkel i rhld til drivhjulets asevinkel vises sm en lysprikk på den sirkulære skalaen ran på apparaturen. Beklageligvis er dette svært vanskelig å bservere på enkelte ppsett. Fjærknstanten r jæren bestemmes på labratrieplassen. Massen av stang g jær kan innes. Fr at apparaturen skal virke tilredsstillende er det viktig at nullpunktet til stangen justeres til krrekt verdi. Hvrdan dette gjøres innes i pparaturbeskrivelsen. 4. Frhåndsppgave e t Fr en ri, dempet svingning vil amplituden alle av sm i samsvar med Ligning (6). Pltt pp e t r =100 mm g =0.40 s r t mellm 0 g 10 e t sekunder. Pltt gså pp lg r t mellm 0 g 10 s. 1mm 5. Obs ør du starter med labratrieppgavene Det legges vekt på rståelse av grunnleggende prinsipper. Frsøk å jbbe rlig g metdisk. Vi rventer at du sitter ut hele labtida. Fr denne ppgaven er labtida satt til 4 timer. Det er ikke et krav at alle ppgavene utøres. Stress ned. Bruk garderbehyllene. Sett ryggsekker til side. Utstyret g instrumentene du skal bruke må behandles rsiktig. Spising g drikking er ikke tillatt inne på laben. Du kan bevilge deg en pause på pptil 0 minutter. Rydd pp etter deg ør du går. Slå av alle instrumenter. Sett alt utstyr tilbake i samsvar med tgraiet på labplassen.

Side 6 av 10 6. Labratrieppgaver 6.1a. Fjærknstanten Fjærknstanten k bestemmes ved å måle rlengelsen med en utlagt målestav når det henges på tilleggsvekter på 50 g 100 g. Merk at massene varierer litt ra ldd til ldd, men r alle gjelder m ( 50,0 0,5) g. 6.1b. Egenrekvensen r et svakt dempet svingesystem Kntrller ørst at nullpunktet er rett innstilt. Skru av magnethlderen. Trekk jæren ned, ( - 3 cm), slipp den g nter periden r svingningen. Mål svingeperiden r 3 ulike (ekstra) masser (0-50-100 g). Bestem egenrekvensen i de tre tilellene. Bruk av de eksperimentelle resultatene til å bestemme massen m av stang g jær ved hjelp av Ligning (3), dvs. uten å benytte jærknstant ra 6.1a. Bestem gså jærknstanten k ut ra de samme målingene av 0 g sammenlign med resultatet i 6.1a. 6.. Frie, dempete svingninger Dempningen i systemet bestemmes ved å måle svingeamplituden sm unksjn av tiden. Spesielt ved magnetdempning randrer verdiene seg meget hurtig slik at det krever rask ntering r å å krrekt registrering av kurverløpet. Uten dempning kan amplituden nteres.eks. hvert 5. sekund. Ved dempning dør svingningen raskt ut g avlesning må gjøres tere, helst én gang per peride. Merk at displayet ppdateres én gang per peride g at avlesning skal skje r hver ppdatering (uten bruk av stppeklkke). Benytt 50 grams ekstramasse i systemet. Still unksjnsvelgeren på amplitude, trekk ned jæren ca. 3-4 cm, slipp den g mål utslaget sm unksjn av tiden. Gjør dette ørst uten magnetdempning. Gjør det så med magnetdempning g mål både r 10 mm g 15 mm avstand mellm magnethdene. (Sjekk m peridetiden varierer vesentlig med dempningen. Se Ligning 7.) Tegn pp kurverløpene på lgaritmisk papir. Finn r de tre dempningene ved å bestemme e 1 -verdien. (Merk at i Figur 1b er det brukt lineærskala på y-aksen, men at du selv altså skal bruke lgaritmisk.) nslå usikkerheten i r tilellet med magnetdempning med magnetavstand 10 mm.

Side 7 av 10 6.3. Tvungen, dempet svingning. mplitude sm unksjn av rekvens Drivhjulet settes nå i bevegelse slik at det ppstår en tvungen svingning i svingesystemet. vhengig av hvr str dempningen er, kan det bli nødvendig å justere utsvinget til den ytre kraten. Dette gjøres ved å endre eksentret på svinghjulet bak. Uten magnetdempning er systemet så skarpt resnant at det viser seg nesten umulig å måle i nærheten av resnans - bare prøv - det er en glimrende demnstrasjn av hvr lite eksitasjn sm skal til ør det ppstår vldsmme resnansbevegelser i et svakt dempet system. Pass bare på å slå av eksitasjnen ør utsvinget går i taket!! Vi skal derr bare perere med magnetdempning under målingene. Dermed reduserer vi gså virkningen av innkplingsenmenene sm er interessante i seg selv g vil bli studert i pkt. 6.4, men en plage når vi skal måle bare den tvungne svingning. Resnansrekvensen er gitt ved den påtrykte rekvens sm gir maksimalt utsving. Dempningen sm ved tvungne svingninger henger sammen med resnansens størrelse g skarphet, kan vi bestemme ved å måle rhldet mellm utsvinget ved lave rekvenser,, g utsvinget r 0 (dvs. utsvinget nær resnans)., 0 Bruk 10 mm g deretter 6 mm avstand mellm magnetplene. 50 g ekstramasse. Mål utsvinget sm unksjn av rekvens ra ca. 0.1 Hz til en rekvens ver resnansrekvensen der utsvinget er mtrent dødd ut. Bruk tilstrekkelig mange målepunkt, spesielt rundt resnansen, slik at dere år plttet pp kurvene nøyaktig på mm-papir. Bestem resnansrekvensene ra kurvene. Sammenlign resnansrekvensene med systemets egenrekvens målt i pkt. 6.1b. Bestem gså r de t dempningene ved å bruke Ligning 10d. Sammenlign r 10 mm magnetavstand med det sm ble målt i pkt. 6.. Er det samsvar innenr usikkerheten du ansl i pkt. 6.? Hvis ikke, prøv å rklar hvrr. 6.4. Innsvingningsenmen - intererens Under rsøkene med tvungne svingninger var det nødvendig å vente en gd stund ør utsvinget ble stabilt. Dest mindre dempning, dest lengre måtte vi vente r å å stabile tilstander i systemet. Dette skyldes at når vi starter eksitasjnen vil vi i tillegg til den tvungne svingningen gså å satt systemet i egensvingninger på grunn av at innkplingen eller en hvilken sm helst brå randring av den ytre krat virker sm en kratpuls. Disse t svingningene setter seg sammen til en resulterende bevegelse med maksima g minima i tiden avhengig m de t bevegelsene går i samme eller mtsatt retning. Dette svevningsenmenet er et eksempel på intererens gitt ved summen av de t bevegelsene gitt ved Ligning (9). Slike innkblingsenmen kan gi ubehagelige veraskelser spesielt ved ppstart av svakt dempete systemer. Figur 4 viser eksempler på start av sterkt (øverst) g svakt (nederst) dempet system. Den mest dramatiske demnstrasjn av enmenet år vi når systemet er svakt dempet -

vi jerner derr magnetdempningen g bruker 50 g masse. Bruk drivrekvens ca. 0.1 Hz rskjellig ra resnansrekvens (andre rekvenser kan brukes, men pass på at dere ikke kmmer r nær resnansrekvensen - da kan svingningene bli så vldsmme at apparaturen ødelegges). Side 8 av 10 Figur 4 Tiden mellm hver gang amplituden går gjennm et minimum er bestemt av den inverse av dieransen mellm rekvensene til den tvungne g den ri svingningen. Sjekk dette. Kan du rklare hvrr det er slik? Ole J. Løkberg 005 (Basert på tidligere ppgavetekster r lignende ppgaver utarbeidet av Løkberg selv g annet persnell ved Institutt r ysikk) Revidert august 006 JF/KS Revidert 8.11.007 HT/LEW/KS

Side 9 av 10 Vedlegg: pparaturbeskrivelse Utstyrsliste: 1. PSCO Md. ME-910 Driven Harmnic Mtin nalyzer ekstramasser (a) på hver 50.0g. magnetisk dempning (b) Skyvelære g målelinjal Bruksanvisning (med reeranse til illustrasjn neste side): Svingesystemet består av jæren (e) g en sammensatt masse sm består av massen av jæren pluss massen av stengene (g) g (h) pluss eventuelle tilleggsvekter (a). mplitude g peride til svingningene registreres av en telektrisk enhet (d) sm registrerer hvr mange delestreker på målestangen (g) sm passerer. Fr krrekt registrering må vergangen svart blankt mråde på målestangen være sentrert i den telektriske enheten (se iguren nederst til høyre). Lyset på stangen vil da så vidt kmme på når stangen henger i r. Justeringen skjer ved at dere rlenger/krter inn tråden, grvjustering med strammeren () g injustering med skruen (i) på tppen av apparatet. Denne justeringen må retas hver gang dere henger på ekstravekter. Det er gså viktig at målestangen henger mest mulig ritt i spret på registreringsenheten, dette er egentlig en engangsjustering, men hvis apparatet er kmmet ut av stilling, kan dere rette det pp ved å skru på beina (j) under instrumentet. Fri svingninger: Når FUNCTION vender (se øverste bilde til høyre) settes på PERIOD vises jærsystemets svingeperide i sekunder i displayet venr. Fr dempete svingninger skrus magnethlder (b) på g avstanden mellm magnetene innstilles bruk skyvelæret. Pass på at dempestangen (h) henger symmetrisk mellm magnetplene. Fr pptak av svingninger uten magnetelt kan dere bruke ølgende remgangsmåte: Les av utsvinget (FUNCTION vender på MPL.) hvert 5 sekund inntil utsvinget er redusert til ca. 1/10 av startverdien, da har dere nk data til å tegne pp dempningskurven. Med magnetelt dempes svingningen så raskt at denne metden ikke kan brukes. Her må dere lese av hver amplitudeverdi. Svingeperiden gir ss da tiden mellm hver avlesning. Tvungne svingninger: Den tvungne svingningen startes med bryter DRIVE. Hvis utsvinget blir r strt kan dere endre drivamplituden ved randre eksentret på drivhjulet bak på instrumentet (se midtre bilde til høyre) mm eksenter er passe Frekvensen til svingningen endres med FREQUENCY knappen g leses av på displayet når FUNCTION står på FREQ. Fr å lese av utsvinget settes FUNCTION på MPL.

Side 10 av 10