Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011
Kapittel 8.3. Integrasjonstesten
3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av a k er gitt ved n S n = a n. k=1 Definisjon Hvis S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S n kalles delsummene ikke-avtagende. Setning Anta følgen {a n } har INGEN negative elementer.
3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av a k er gitt ved n S n = a n. k=1 Definisjon Hvis S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S n kalles delsummene ikke-avtagende. Setning Anta følgen {a n } har INGEN negative elementer. Rekken a n konverger da hvis og bare hvis følgen av delsummene {S n } er begrenset ovenifra.
4 Integraltesten Teorem La følgen {a n } bare ha positive elementer. a 1 a 2 a3 a4 a5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 Integraltesten Teorem La følgen {a n } bare ha positive elementer. a n = f(n) a 1 a 2 a3 a4 a5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 Integraltesten Teorem La følgen {a n } bare ha positive elementer. a n = f(n) der f(x) er positiv og avtagende funksjon når x N. a 1 a 2 a3 a4 a5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 Integraltesten Teorem La følgen {a n } bare ha positive elementer. a n = f(n) der f(x) er positiv og avtagende funksjon når x N. Da gjelder at n=n a n og N f(x) dx begge enten divergerer eller konvergerer. a 1 a 2 a3 a4 a5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 Integraltesten Teorem La følgen {a n } bare ha positive elementer. a n = f(n) der f(x) er positiv og avtagende funksjon når x N. Da gjelder at n=n a n og N f(x) dx begge enten divergerer eller konvergerer. a 1 a 2 a3 a4 a5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 Viktige eksempler Harmonisk rekke n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 n +
5 Viktige eksempler Harmonisk rekke p-rekker n=1 n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 n + 1 n p = 1 1 p + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + + 1 n p +
6 Konvergens av p-rekker Setning p-rekken n=1 1 n p = 1 1 p + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + + 1 n p +
6 Konvergens av p-rekker Setning p-rekken n=1 1 n p = 1 1 p + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + + 1 n p + konvergerer når p > 1
6 Konvergens av p-rekker Setning p-rekken n=1 1 n p = 1 1 p + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + + 1 n p + konvergerer når p > 1 og divergerer når p 1
7 Feilestimering Anta at k=1 a k konvergerer mot S. Setning (Estimering av restleddets størrelse) Hvis
7 Feilestimering Anta at k=1 a k konvergerer mot S. Den n-te delsummen S n estimerer summen S Setning (Estimering av restleddets størrelse) Hvis
7 Feilestimering Anta at k=1 a k konvergerer mot S. Den n-te delsummen S n estimerer summen S Resten R n = S S n gir oss feilen i estimatet Setning (Estimering av restleddets størrelse) Hvis
7 Feilestimering Anta at k=1 a k konvergerer mot S. Den n-te delsummen S n estimerer summen S Resten R n = S S n gir oss feilen i estimatet Setning (Estimering av restleddets størrelse) Hvis alle leddene a k er positive
7 Feilestimering Anta at k=1 a k konvergerer mot S. Den n-te delsummen S n estimerer summen S Resten R n = S S n gir oss feilen i estimatet Setning (Estimering av restleddets størrelse) Hvis alle leddene a k er positive a k = f(k)
7 Feilestimering Anta at k=1 a k konvergerer mot S. Den n-te delsummen S n estimerer summen S Resten R n = S S n gir oss feilen i estimatet Setning (Estimering av restleddets størrelse) Hvis alle leddene a k er positive a k = f(k) der f(x) er positiv og avtagende funksjon når x n.
7 Feilestimering Anta at k=1 a k konvergerer mot S. Den n-te delsummen S n estimerer summen S Resten R n = S S n gir oss feilen i estimatet Setning (Estimering av restleddets størrelse) Hvis alle leddene a k er positive a k = f(k) der f(x) er positiv og avtagende funksjon når x n. Da gjelder n+1 f(x) dx R n n f(x) dx.
8 Eksempel Eksempel Estimer S = 1 ved å bruke S n 3 10 og estimering av restleddet. Hvor stor er feilen? S 1,202098102 Feilen er mindre enn 0,000433885
8 Eksempel Eksempel Estimer S = 1 ved å bruke S n 3 10 og estimering av restleddet. Hvor stor er feilen? Løsning: S 10 = 1,197531986 1,201664217 < S < 1,202531986 S 1,202098102 Feilen er mindre enn 0,000433885
Kapittel 8.4. Sammenlikningstesten
10 Sammenlikningstesten Teorem La a n ha ingen negative ledd. Eksempel
10 Sammenlikningstesten Teorem La a n ha ingen negative ledd. 1 an konvergerer hvis c n konvergerer og a n c n når n > N. Eksempel
10 Sammenlikningstesten Teorem La a n ha ingen negative ledd. 1 an konvergerer hvis c n konvergerer og a n c n når n > N. 2 an divergerer hvis d n divergerer og a n d n når n > N. Eksempel
10 Sammenlikningstesten Teorem La a n ha ingen negative ledd. 1 an konvergerer hvis c n konvergerer og a n c n når n > N. 2 an divergerer hvis d n divergerer og a n d n når n > N. Eksempel 1 1 Vis at n! konvergerer n=0
10 Sammenlikningstesten Teorem La a n ha ingen negative ledd. 1 an konvergerer hvis c n konvergerer og a n c n når n > N. 2 an divergerer hvis d n divergerer og a n d n når n > N. Eksempel 1 1 Vis at n! konvergerer 2 Vis at n=0 n=1 2 2n 3 divergerer
11 Grense-sammenlikningstesten Teorem (Grense-sammenlikningstesten) Anta at a n > 0 og b n > 0 for alle n > N.
11 Grense-sammenlikningstesten Teorem (Grense-sammenlikningstesten) Anta at a n > 0 og b n > 0 for alle n > N. 1 Hvis L = lim a n b n = c > 0 så konvergerer eller divergerer både an og b n.
11 Grense-sammenlikningstesten Teorem (Grense-sammenlikningstesten) Anta at a n > 0 og b n > 0 for alle n > N. 1 Hvis L = lim a n b n = c > 0 så konvergerer eller divergerer både an og b n. 2 Hvis L = lim a n b n = 0 og b n konvergerer så konvergerer også an.
11 Grense-sammenlikningstesten Teorem (Grense-sammenlikningstesten) Anta at a n > 0 og b n > 0 for alle n > N. 1 Hvis L = lim a n b n = c > 0 så konvergerer eller divergerer både an og b n. 2 Hvis L = lim a n b n = 0 og b n konvergerer så konvergerer også an. 3 Hvis L = lim a n b n = og b n divergerer så divergerer også an.
12 Eksempler
12 Eksempler an = n+2 n 2 +1, b n = 1 n
12 Eksempler an = n+2 n 2 +1, b n = 1 n an = 1 2 n +1, b n = 1 2 n
12 Eksempler an = n+2 n 2 +1, b n = 1 n an = 1 2 n +1, b n = 1 2 n an = 1+ln n n, b n = 1 n
Kapittel 8.5. Forholdstesten og rottesten
14 Forholdstesten Teorem (Forholdstesten) La a n være en uendelig rekke med positive ledd. Anta at Da gjelder a n+1 lim = ρ. n a n 1 Hvis ρ < 1 så konvergerer rekken a n 2 Hvis ρ > 1 så divergerer rekken a n 3 Hvis ρ = 1 så feiler testen. Skisse av bevis 1 Hvis ρ < 1, sammenlign med geometrisk rekke med ρ < r < 1 2 Hvis ρ > 1, bruk n-teleddstesten. 3 Hvis ρ = 1, Sjekk for 1/n og 1/n 2.
15 Forholdstesten Eksempel Undersøk om følgende rekker konvergensen til følgende rekker (a) n=1 2 n + 1 5 n (b) n=1 3 n n 3 (c) (n + 1) + (n 1) ( 1) n n=1 2 n 2
16 Rottesten Teorem (Rottesten) La a n være en uendelig rekke med positive ledd. Anta at Da gjelder lim n n an = ρ. 1 Hvis ρ < 1 så konvergerer rekken a n 2 Hvis ρ > 1 så divergerer rekken a n 3 Hvis ρ = 1 så feiler testen. Skisse av bevis 1 Hvis ρ < 1, sammenlign med geometrisk rekke med ρ < r < 1 2 Hvis ρ > 1, bruk n-teleddstesten. 3 Hvis ρ = 1, Sjekk for 1/n og 1/n 2.
17 Rottesten Eksempel Undersøk om følgende rekker konvergensen til følgende rekker Eksempel (a) n=1 Undersøk om rekken konvergerer. n 2 3 n (b) n=1 2 n n 3 (c) ( 1 1 + ln n n=1 (n + 1) + (n 1) ( 1) n n=1 2 n 2 ) n