Eric Nævdal og Jon Vislie Økonomisk institutt Universitetet i OSLO Fasit ekstraoppgaver (sett ); 0.mai 007 Oppgave a) Løs likningen mht. a + + 4 = K Først skriver man likningen slik: a + + 4 = K K a K + + 4 = 0 Bruk så formelen for løsning av en annengradslikning: ± 4a( 4 K) = a a( 4 K) = ± a a = ± a( 4 K) a a b) La a + + 4 = y og K. For hvilke verdier av K finnes det verdier av og y som løser disse likningene. Drøft hvordan antallet løsninger varierer med K. Finn spesielt løsningen når det bare finnes én løsning. Her skal jeg først løse oppgaven grafisk. Dette er ikke nødvendig til eksamen, men er nyttig for å forklare løsningen. La oss først se på tilfellet a > 0. I figuren nedenfor er likningene tegnet inn for tre verdier av K.
y 0 9 8 7 6 4 - - - - Figuren er tegnet med a =. Fra denne figuren ser en at når K = så har systemet ingen løsning. Når K = så har systemet løsninger. Når K = ser det ut som om systemet har bare en løsning. Dette skjer når de to likningene tangerer hverandre, noe som kan spare en for litt arbeid under c). La oss nå se på tilfellet a < 0. Da ser likningssystemet ut som følger (tegnet med a = ): 7 y 0 9 8 7 6 4 - - - - Igjen har vi tegnet inn K for ulike verdier av K. Her ser det ut til at K < gir to løsninger og K > gir ingen løsninger. K = gir én løsning. Men dette er bare
indikasjoner og gjelder for spesielle verdier av a. Mer generelt så kan vi løse likningssystemet på følgende måte: K y = K Setter vi dette inn i annengradslikningen får vi: a + + 4 = K Dette er en likning som bare avhenger av. Den har den behagelige egenskapen at vi allerede har løst den under a). Der fant vi at. = + a( 4 K) = a( 4 K ) a a a a Setter vi disse verdiene inn i y = K får vi: og y = K = K + a( 4 K) a a = K + a( 4 K) = K + a( 4 K) a a a y = K = K a( 4 K) a a = K + + a( 4 K) = K + + a( 4 K) a a a For hvilke verdier av K får vi bare en løsning. Dette skjer når og. Fra uttrykkene ser en et dette skjer når = y = y a( 4 K) = 0. Løser vi denne likningen mht K får vi at K = 4 /a. Setter vi K = 4 /a inn i løsningene får vi = /a og y = 4. Du kan sjekke om dette stemmer med figurene ovenfor ved å sette a = og a =. c) Finn ved hjelp av Lagranges metode nødvendige betingelser for at og y løser optimeringsproblemet ma min + y gitt at: a + + 4 = y y, Her danner en Lagrangefunksjonen: ( 4 ) L = + y λ a + + y Nødvendige betingelser for optimum er da:
4 L = λ ( a + ) = 0 L = +λ = 0 y + + 4 = a y Fra L y = 0 får vi λ =. Da følger det fra L = λ ( a + ) = 0 at: L = + ( a + ) = 0 = a = a Setter en så = /a inn i a + + 4 = y får en: a + + 4 = y a a a + 4 = y a a y = 4 Altså tilfredsstiller (, y, λ) = ( /a, 4, ) nødvendige betingelser for optimum. d) Tegn figurer som illustrerer at når a < 0 så vil løsningen fra c) løse et maksimeringsproblem og når a > 0 så løser en et minimeringsproblem. Kan du se en sammenheng mellom problemet du løste under b) og problemet du løste under c)? Figurene er allerede tegnet under b). Fra disse ser vi at når a < 0 så kan vi gjøre + y så liten vi bare vil selv om vi krever at a + + 4 = y. Den største verdien + y kan få er begrenset. Fra figuren så ser vi at dette skjer der en nivå kurve for + y tangerer a + + 4 = y. Dette skjer for den verdien av K som er slik at likningene fra b) kun har én løsning. Samme type argument kan brukes for tilfellet a > 0. Oppgave i) I denne modellen, med tre likninger, er det tre endogene variable (R, og B), mens I, G, A og T er eksogene. Dette betyr at likevekten her vil kunne skrives som:
R = R(, I G, AT, ) = (, I G, AT, ) B = B(, I G, AT, ) R = + I + G + A B ii) Differensiering av modellen = f( R T) B = g(, I, AG, ) Dette gir: dr = d + di + dg + da db d = f ( dr dt) db = g d + gi di + ga da + gg dg Sett de to siste inn i den første: dr = f dr f dt + di + dg + da g d gi di ga da gg dg Sett inn for d = f ( dr dt), som gir: dr = f dr f dt + di + dg + da g f ( dr dt) g di g da g dg I A G Siden vi er interessert i virkningen på nasjonalproduktet R av endringer i de eksogene variable, skriver vi: f g f + dr = gi di + gg dg + ga da f g dt eller dr = ( gi) di + ( gg) dg + ( ga) da f ( g) dt f ( g ) iii) Virkningen av en balansert budsjettendring; dg = dt, og med di = da = 0, er dermed f g gg dr ( gg) dg f ( g) dt ( ) = dg f ( g ) = f ( g ) g G = dg når dg = dt f ( g )
6 Vi ser at om det marginale importinnholdet (direkte importvirkning av) i offentlige g utgifter er lavt; gg : = 0, da er multiplikatoren ved en balansert G budsjettendring tilnærmet lik én. Oppgave a) Vi danner Lagrangefunksjonen L = c + θ lnc λ [ pc + pc m] Den optimale løsningen må foruten budsjettbetingelsen, oppfylle følgende førsteordensbetingelser: L = λp = 0 λ = c L θ = λp = 0 c c p som gir oss direkte etterspørselsfunksjonene i teksten, m c = θ p p c = θ p b) Egenskapene vi spør om finner vi direkte ved partiell derivasjon av disse funksjonene. Vi finner: c c, = = 0 m p m c m c =, = 0 p p p c θ c θp =, = p p p p c) Ta utgangspunkt i Slutskylikningen, ci hi ci = cj ; i, j =,, der p p m j 0 h ( i p, p, U ) er kompensert etterspørsel for vare i. Vi kan da utlede de Hicksderiverte eller de deriverte av de kompenserte etterspørselsfunksjonene, når vi bruker løsningen fra a): h c c m c m θ = + c = + = c = < 0 p p m p p p p p h c c c θ = + c = 0+ = > 0 p p m p p h c c θ θ = + c = + 0 = > 0 p p m p p h c c θp θp = + c = + 0 = < 0 p p m p p j
7 De direkte substitusjonseffektene er negative (redusert etterspørsel etter den vare som er blitt relativt dyrere, gitt samme nyttenivå), mens krysseffektene er positive (hvilket alltid er tilfelle med kun to goder), slik at varene er substitutter. d) La vare være fritid. Da kan vi erstatte med F (for fritid) og la prisen på vare erstattes med lønn per tidsenhet; w. Med et tidsbudsjett T = F +N, med N som arbeidstid og T som maksimal tid tilgjengelig, vil inntekten nå avhenge av lønna. Konsumenten mottar også en arbeidsfri inntekt S, slik at pc = wn + S = wt ( F) + S wf+ pc = wt + S: = R, med R som den fulle inntekten. Vi skal vise hvordan en økning i lønna virker inn på etterspørselen etter fritid. Hva er substitusjonseffekten og hva er inntektseffekten nå? θw Vi finner i tråd med foregående oppgave at c = og fra budsjettbetingelsen at p S pc R F = T + = F( w, p, R) w w w θ = som den eksplisitte løsningen i dette tilfellet og (til slutt) den generelle etterspørselsfunksjonen for fritid med inntekt R = wt + S. Siden lønn inngår både direkte som pris på fritid og i uttrykket for den fulle inntekten, finner vi ved total derivasjon: c S df F F R hf F F hf F = = + = F + T = + T F w dw w R w w R R w R SE SE Total IE der vi har regnet ut den totalderiverte (lik uttrykket til venstre), mens andre likhet følger ved å totalderivere den generelle etterspørselsfunksjonen. Tredje likhet følger hf av at vi bruker Slutskylikningen på = F ; jfr. foregående punkt, der vi w w R også har med den direkte effekten av at realinntekten også øker når lønna øker (siste ledd). Ved å bruke resultater fra foregående punkt samt erstatte m med R, og samtidig benytter budsjettbetingelsen, finner vi: df hf θ S S = F + T = + ( T F) = [ T F θ] = ( ) = dw w R R w w w w w w SE< 0 Total IE> 0 Ordinær inntektseffekt er utledet som om inntekten selv var holdt fast, og gitt som F < 0. Siden R påvirkes positivt av lønnsøkningen, vil vi få en reell R inntektsøkning per krones lønnsøkning, gitt ved T. Dermed er inntektseffekten som skyldes at vår tid er høyere verdsatt, gitt som T, med en nettoeffekt gitt som R ( T F) F N F N S = =. Resten følger av at T F θ = fra Fwp (,, R). R R w w