Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm

Kapittel 9 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm 9.1 Divergensfri strøm 9.1.1 Strømfunksjonen I kompendiet, kap. 4.6 og kap. 9, er det påstått at dersom et todimensjonalt strømfelt v(x y) = v x (x y)i + v y (x y)j er divergensfritt, v = v x x + v y y = 0 så eksisterer det en strømfunksjon, ψ(x y) slik at ψ y = v x ψ x = v y. (9.1) Det er enkelt å vise at dersom det eksisterer en ψ slik at (9.1) er oppfylt så er v = 0. Er det gitt et hastighetsfelt som er divergensfritt kan vi også forsøke å finne ψ og på den måten vise eksistens av strømfunksjon i det gitte tilfellet. For eksempel, et hastighetsfelt definert ved v x (x y) = 3x 2 3y 2 v y (x y) = 6xy (9.2) har divergens lik null. Vi kan starte med å integrere første likning i (9.1) ψ = v x Δy = ( 3x 2 + 3y 2 )dy = 3x 2 y + y 3 + F (x) der F ennå er ubestemt. Det enkleste nå er å sette inn i den andre likningen i (9.1) og bestemme F 6xy = v y = ψ x = 6xy + F (x). Vi ser at F = 0, dvs. at F er en konstant som kan velges fritt. Siden (9.1) bare inneholder deriverte av ψ er det opplagt at ψ bare kan være entydig bestemt på en konstant nær. Velger vi F = 0 følger ψ = 3x 2 y + y 3. (9.3) Det som savnes, så langt, er et generelt argument for at divergensfrihet av plane strømfelt medfører eksisens av strømfunksjon. 35

36 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm y r Ĉ Ω r 0 x Figur 9.1: Alternative kurver mellom to posisjoner, r 0 og r, som omslutter et område Ω. 9.1.2 Eksistens av strømfunksjon Definisjonslikningen (9.1) medfører dψ = ψ dr = ψ ψ dx + x y dy = v ydx v x dy. (9.4) Dersom vi velger konstanten i ψ ved å kreve ψ(r 0 ) = 0 kan vi integrere (9.4) og finne et generelt uttrykk for strømfunksjonen i posisjonen r = xi + yj ψ(x y) = dψ = v y dx v x dy = v nds (9.5) der er en kurve som forbinder r 0 med r, ds er inkrementet i buelengde og n er enhetsnormalen til definert slik at den peker mot høyre når vi gjennomløper fra r 0 til r. Det siste integralet i (9.5) er av en typen som er omhandlet i tillegg kap. 4.2.2 (likning (4.22)) og svarer til minus volumfluksen gjennom. Fra (9.5) følger umiddelbart at ψ og v oppfyller (9.1). Men, i uttrykket for ψ i (9.5) inngår kurven som kan velges på mange vis. For at (9.5) skal ha noen mening må vi vise at integralet i (9.5) er uavhengig av, dvs. veien vi velger mellom r 0 og r. Figur 9.1 er en definisjonskisse der en alternativ kurve, Ĉ, er inntegnet. Vi må vise at fluksintegralet langs og Ĉ er like når hastigheten er divergensfri. Først merker vi oss v y dx v x dy v y dx v x dy = v nds Ĉ der λ er kurven som svarer til at vi går fra r 0 til r langs og så tilbake til r 0 ved å gjennomløpe Ĉ baklengs1. λ blir da en lukket kurve som omslutter et område Ω i 1 Baklengs betyr egentlig at vi bytter retning på enhetsnormalen som skal peke mot høyre i forhold til gjennomløpsretningen For peker da normalen ut fra Ω hele veien λ

9.1. DIVERGENSFRI STRØM 37 xy-planet. Dersom v eksisterer og er null i hele Ω gir bruk av Gauss sats i planet v y dx v x dy v y dx v x dy = v nds = Ĉ λ Ω v dx dy = 0. Derved er det vist at (9.5) gir en ψ som eksisterer og er entydig. Dersom v ikke eksisterer i hele Ω kan vi ikke forvente at det finnes en entydig strømfunksjon. Sagt litt mer presist: Dersom v = 0 i en delmengde, σ, av xy-planet eksisterer en strømfunksjon dersom to vilkårlige kurver mellom to vilkårlige punkter i σ, ikke omslutter en singularitet eller et punkt der v ikke eksisterer. Demonstrasjonseksempel I forrige delkapittel fant vi en strømfunksjon for hastigheten definert ved (9.2) v x = 3x 2 3y 2 v y = 6xy La oss nå finne ψ ved hjelp av (9.5). I tråd med (9.3) velger vi r 0 i origo og anvender to ulike kurver. 1. er den rette linja fra origo til r = x 1 i + y 1 j. Vi anvender parametriseringen x(t) = x 1 t, y(t) = y 1 t som gir ψ = = 1 v y dx v x dy = 1 0 6xy dx dt (3x2 3y 2 ) dy dt dt ( 6x 2 1y 1 3x 2 1y 1 + 3y 3 1)t 2 dt = y 3 1 3x 2 1y 1 0 2. består av to rette linjestykker. Det første går fra origo til x 1 i, langs x-aksen, og det neste fra x 1 i til r parallelt med y-aksen. Først parametriserer vi med x ψ(x 1 0) = x 1 0 v y dx = 0. Langs det andre linjestykket parametriserer vi med y ψ(x 1 y 1 ) = ψ(x 1 0) + y 1 0 v x (x 1 y)dy = y 3 1 3x 2 1y 1. I begge tilfeller fant vi den samme ψ som tidligere. Likevel anbefales generelt ikke bruk av (9.5) for å regne ut ψ. Det er som regel bedre å gå fram som i kap. 9.1.1 vist ovenfor.

38 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm 9.2 Hastighetspotensialet En potensialstrøm er definert ved at det eksisterer et hastighetspotensial, ψ, slik at v = φ. (9.6) Et hastighetspotensial kan eksistere for både to- og tredimensjonale strømfelt. En umiddelbar følge av (9.6) er at dersom det eksisterer et hastighetspotensial er v = 0, dvs. strømmen er virvelfri. For å vise at v = 0 medfører at det eksisterer en entydig strømfunksjon går vi fram på tilsvarende måte som i avsnitt 9.1.2 ovenfor. Fra dφ = φ dr = v dr følger φ(r) = v dr (9.7) der kurven starter i r 0 og slutter i r. Vi har altså valgt konstanten i φ slik at φ(r 0 ) = 0. Dersom vi tenker oss en annen kurve, Ĉ, fra r 0 til r vil etterfulgt av Ĉ, i baklengs retning, igjen gi oss en lukket kurve, λ. Da følger fra Stokes sats v dr v dr = v dr = v n dσ = 0 Ĉ λ dersom strømmen er virvelfri. Flaten σ er en vilkårlig sammenhengende flate som har λ som rand. I to dimensjoner har vi de samme begrensingene mhp. singulariteter etc. som for strømfunksjonen. I tre dimensjoner er det nok å finne en enkelt σ der virvlingen er veldefinert. Slike kan ofte legges rundt singulariteter, men vi skal ikke gå nærmere inn på det her. σ 9.3 Divergens- og virvelfrie felter, Laplace-operatoren Dersom både virvling og divergens er null følger 0 = v = φ 2 φ = 2 φ x 2 + 2 φ y 2 + 2 φ z 2. Tegnet markerer at vi definerer en ny derivasjonsoperator 2 som. Vi kaller 2 for Laplace-operatoren. Et skalarfelt slik at Laplace-operatoren anvendt på feltet er null betegner vi som Laplaceisk. Har vi at en todimensjonal, divergensfri strømning også er virvelfri følger 0 = v = 2 ψ x 2 + 2 ψ y 2 = 2 ψ. Strømfunksjonen er altså Laplaceisk for virvelfrie felt. 9.3.1 Laplaces-likning 2 φ = 0 (9.8)

9.3. DIVERGENS- OG VIRVELFRIE FELTER, LAPLAE-OPERATOREN 39 kalles Laplace-likningen. Den er et av de mest kjente eksemplene på partielle differensiallikninger, som betyr at vi har en relasjon mellom partiellderiverte som en gitt funksjon kan oppfylle eller ikke. De funksjoner som oppfyller likningen kalles løsninger. Innsetting viser feks. at φ(x y) = x er en løsning av (9.8), mens φ(x y) = x 2 ikke er det. Likninger der det inngår derivasjon mhp. bare en variabel kalles ordinære differensiallikninger og er behandlet i MAT-INF1100. Partielle differensiallikninger har en mye rikere, dvs. mer komplisert, oppførsel enn ordinære differensiallikninger. Partielle differensiallikninger dukker opp i mange sammenhenger i fysikken og studiet av slike likninger er et aktivt og viktig forskningsfelt. 9.3.2 Randverdiproblemer og løsninger Ordinære likninger Det kan være nyttig å snakke litt om ordinære likninger for å sette de partielle i perspektiv. En andreordens, homogen og linear differensiallikning f (x) + p(x)f (x) + q(x)f(x) = 0 (9.9) har en generell løsning som kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av to uavhengige løsninger (se Kalkulus, T. Lindstrøm). En entydig løsning, feks. i forbindelse med et fysisk problem, kan ikke finnes uten ekstra betingelser. Sier vi at likningen gjelder for x 0 og med initialbetingelser f (x) + p(x)f (x) + q(x)f(x) = 0 f(0) = α f (0) = β har vi en entydig løsning. For randverdiproblemer, der differensiallikningen løses for a x b, er spørsmålet om entydighet mer komplisert. For eksempel har randverdiproblemet f (x) + f(x) = 0 f(0) = 1 f(π) = 2 ingen løsning (bare prøv). Derimot har for eksempel f (x) = 0 f(0) = α f(1) = β (9.10) en entydig løsning for alle konstanter α og β (Finn den). Vi merker oss at den siste differensiallikningen er en endimensjonal utgave av Laplace-likning. Laplace-likningen Akkurat som den ordinære likningen 9.9 er Laplace-likningen lineær. Vi kan derfor legge sammen uavhengige løsninger for å finne nye og mer komplette løsninger. Men, til forskjell fra (9.9) har Laplace-likningen uendelig mange uavhengige løsninger (se avsnitt 9.3.3). Dersom vi har et lukket område, Ω, med rand σ kan en generalisering av (9.10) skrives 2 φ = 0 i Ω φ er gitt på σ. (9.11) Denne likningen har entydig løsning. Vi skal ikke vise dette eller si noe mer generelt om hvilke typer randbetingelser som kan brukes sammen med Laplace-likningen.

40 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm 9.3.3 Noen løsninger av 2 = Vi begrenser oss til to dimensjoner slik at φ = φ(x y). En gruppe løsninger kan finnes ved å sette inn produkter på formen φ(x y) = F (x)g(y): 0 = 2 φ = F (x)g(y) + F (x)g (y) der betegner derivasjon mhp. x eller y. Likningen er nå separabel slik at den kan skrives om til F (x) F (x) = (y) G G(y). Denne sier at den ene siden siden som bare avhenger av x er lik den andre som bare avhenger av y, noe som medfører sidene må være konstante. Dette betyr F (x) F (x) = α G (y) G(y) = α som, når vi ganger opp mhp. hhv. F og G gir ordinære, lineære, homogene differensiallikninger for F og G der verdien på α inngår som parameter. F (x) αf (x) = 0 G (y) + αg(y) = 0 For ulike valg av α blir løsningene α = 0 F = Ax + B G = y + D α = γ 2 < 0 F = A cos(γx) + B sin(γx) G = e γy + De γy α = γ 2 > 0 F = Ae γx + Be γx G = cos(γy) + D sin(γy) (9.12) der γ > 0 og A, B, og D er fritt valgbare konstanter. Løsningene i (9.12) er svært viktige i andre sammenhenger, men i MEK1100 gjør vi ikke utstrakt bruk av dem, med unntak for de som tilhører α = 0. En serie nyttige løsninger framkommer ved bruk av polarkoordinater. Fra før har vi som gir φ = φ r i r + 1 φ r θ i θ 2 φ = φ = 1 r Vi kan nå sette inn φ = R(r)Θ(θ) og få r d R dr v = 1 r (rv r ) r + 1 r v θ θ r φ + 1 2 φ r r r 2 θ 2. (9.13) r dr = 1 d 2 Θ dr Θ dθ 2. Siden høyresiden avhenger bare av r og venstresiden bare av θ må begge være lik en konstant α. Etter litt ordning gir dette oss likningene d r dr α dr dr r R = 0 d 2 Θ + αθ = 0. dθ2

9.3. DIVERGENS- OG VIRVELFRIE FELTER, LAPLAE-OPERATOREN 41 Likningen for R har variable koeffisienter, mens den for Θ er enkel: α = 0 α = γ 2 < 0 α = γ 2 > 0 Θ = θ + B Θ = e γθ + De γθ Θ = cos(γθ) + D sin(γθ) Dersom området der Laplace-likningen gjelder omslutter origo ser vi at α < 0 ikke gir entydig løsning (vi kommer ikke tilbake til samme verdi når vi legger 2π til θ). Disse vil vi ikke benytte videre. Også den for α = 0 blir flertydig når = 0, men denne skal vi likevel ikke utelukke. For α > 0 får vi entydige løsninger når α er et kvadrattall. I det videre setter vi derfor α = n 2, for n = 0 1 2... Likningen for R blir nå som ordnes til d dr r dr dr n2 r R = 0 r 2 d2 R dr 2 + r dr dr n2 R = 0. (9.14) Når de variable koeffisientene i en ordinær differensiallikning er enkle polynomer finnes det av og til enkle løsninger. Her kan vi sette inn R = r q, der q er en konstant, og se at denne er en løsning når q = ±n. Unntaket er n = 0, men da blir (9.14) en førsteordenslikning i dr/dr som vi løser med standard teknikker. Vi kan nå summere opp løsningene vi har funnet n = 0 R = A + B ln r Θ = θ + D n > 0 R = Ar n + Br n Θ = cos(nθ) + D sin(nθ) (9.15) I tillegg til flertydigheten vi har for n = 0 og = 0 har vi singularitet i r = 0 når B = 0. Likevel har det interesse å diskutere noen av disse tilfellene. Løsningene i (9.15) kan skrives om til kartesiske koordinater. Feks. r cos θ = x r 2 cos 2 θ = r 2 (cos 2 θ sin 2 θ) = x 2 y 2... Sammenhengen med løsningene i kapittel 9 i kompendiet er gitt i tabell 9.1. Kombinasjon av løsninger Siden Laplace-likningen er lineær kan vi legge sammen løsninger og få nye løsninger. Er, feks., φ 1 og φ 2 løsninger kan vi skrive 2 (φ 1 + φ 2 ) = 2 φ 1 + 2 φ 2 = 0. Vi kan også gange løsninger med konstanter og få nye løsninger. Den deriverte av en løsning, φ, er også en ny løsning; feks φ 2 = x x ( 2 φ) = 0. Anvendt på punktkilden gir dette A ln x x 2 + y 2 dvs. dipolfeltet. = Ax x 2 + y 2

42 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm løsning (9.15) Kartesisk φ 9.4.1 rettlinjet n = 1 B = 0 A = v x AD = v y v x x + v y y 9.4.2 stagnasjon n = 2 B = D = 0 A 2 1 2 A(x2 y 2 ) 9.4.3 kilde/sluk n = 0 A = = 0 BD A A ln x 2 + y 2 y 9.4.4 virvel n = 0 B = D = 0 A A A arctan x 9.4.2 dipol n = 1 A = D = 0 B 2 Ax x 2 + y 2 Tabell 9.1: Sammenheng mellom separable løsninger i polarkoordinater for φ i (9.15) og løsningene brukt i kompendiet