EKSAMEN Emnekode: MA94 Emnenavn: FUNKSJONER Dato: 9. mai 202 Varighet: 09.00 5.00 Antall sider inkl. forside 8 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator Formelark følger med oppgaven Merknader: alle oppgavene må utregning vises for å ra full uttelling. Oppgave a) For å kunne kalle en relasjon mellom to størrelser en funksjon krever vi entydighet. Hva menes her med entydighet? Hva er defmisjonsmengden og verdimengden til en funksjon? Nevn fire ulike representasjoner en funksjon kan ha. Gi eksempler på hver representasjon. Oppgave 2 En golfspiller er uheldig med det første slaget, og golfballen følger ei linje som danner 3 med linja fram til hullet. Avstanden til hullet er 40 m, og ballen stopper opp rett til venstre for hullet. 40m 3 Regn ut avstanden x som ballen har fra hullet når den stanser. Regn ut avstanden y som ballen bar beveget seg.
Oppgave 3 4 3 2 2 /3 4 5 Finn ett funksjonsuttrykk for grafen over. Oppgave 4 Deriver funksjonene. cos (x2) a) f (x) = + 4 b) g(x) = ln(e2x 2) c) h(x) = 2x 3 Oppgave 5 Finn de ubestemte integralene. a) + 2x dx b) f irsx + sin + 2 ) dx Oppgave 6 Finn de bestemte integralene. 2 X4 f -2-2x dx b) e-2x dx -2 2
Oppgave 7 En motorsykkel kjører på en rett veistrekning. Farten måli i mis de første 5 sekundene er gitt ved funksjonen v (t) = + 0,7t2, D = [0,5 der t er tiden fra han startet å kjøre malt i sekund. Finn ved regning den største farten motorsykkelen oppnår i løpet av de 5 første sekundene. Etter hvor lang tid var fartsendringen størst? Hvor stor var fartsendringen på dette tidspunktet? Hvor mange meter kjører motorsykkelen de første 5 sekundene. Oppgave 8 Funksjonenf er gitt ved f (x) = x2 2x + 3 a) Finn eventuelle nullpunktene til fved regning. En funksjon g er gitt ved der c er et reet tall. g (x) = x2 + 4x + c Tegn grafen tilf og grafen til g for c = i et koordinatsystem. Vi studerer nå likningen f (x) = g (x) For hvilke verdier av c har likningen 0, og 2 løsninger? 3
Oppgave 9 Bjørn skal få ei tomt på hjemgården. Tomta skal bestå av et rektangel og en halvsirkel der den ene sida i rektangelet er en diameter i sirkelen. Se figuren nedenfor. Bjørn kan fritt velge hvor stor radien i halvsirkelen skal være, men kravet er at omkretsen av tomta skal være 200 m. Firm arealet av tomta hvis radien i halvsirkelen er 20 m. Vi lar nå radien i halvsirkelen være x. Forklar at arealet av tomta er gitt ved A(x) = 200x 3,57x2 Hvor stor må radien være hvis arealet av tomta skal være 2500 m2? Hvor stor må radien være for at arealet av tomta skal bli størst mulig? Hvor stort er arealet da? Oppgave 0 Antall bakterier N i en bakteriekultur x timer etter ett gitt starttidspunkt er gitt ved N(x) = 300 e 32x a) Hvor mange bakterier var det ved starttidspunktet? ) Hvor mange prosent øker antall bakterier med per time? c) Etter hvor lang tid er antall bakterier doblet? 4
Oppgave Funksjonen f er gitt ved f (x) = x2 ex Bestem (x) og f" (x). Finn funksjonens topp- og bunnpunkt. I hvilket punkt synker grafen mest? Hvor mye synker grafen med i dette punktet? e) Finn grenseverdien av f (x) når x --> co. Lykketil 5
Formelsamling i emnet MA94 Funksjoner Kvadratsetningene. kvadratsetning: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. kvadratsetning: (a b)2 = a2 2ab + b2 3. kvadratsetning: (a + b) (a b) = a2 b2 Abc- formelen for løsning av andregradslikninger Likningen ax2 + bx + c = 0 der a, b og c er reelle tall har løsningene b + Vb2 4ac X = 2a Faktorisering Dersom x og x2 er løsninger i andregradslikningen ax2 + bx + c = 0 så har vi Potensregler ax2 + bx + c = a(x x)(x x2). am = a a a a a =, hvor a m-ganger am an = am" (am)n = anin (ab)m = am bm am a - m = a-;;= an am Logaritmeregler for den naturlige logaritmen For positive tall u og v og vilkårlig tall r har vi: In(uv) = ln u + ln v In = ln u ln v ln ur = r ln u Eksponentiell vekst Dersom en størrelse y vokser eller avtar eksponentielt med x, finnes det en positiv konstant a og en konstant c slik at y = for alle x. Omskrivning til den naturlige logaritmen La a være en positiv konstant. Funksjonen f (x) = cax kan omskrives til f (x) = ce'lx der2 = ln a. L'Hôpitals regel Dersom f (a) = g (a) = 0 eller f (a) = g (a) = ±00, er f (x)f' (x) lim = lim, x->a g(x) x-->ag 6
Trekantberegninger sin v = cos v = -- r tan v = x Trigonometriske sammenhenger sin v tan v = sin2 v + cos2 v = cos v Harmoniske svingninger ved å bruke cosinusfunksjonen En harmonisk svingning med middelverdi CO3 amplitude C og periode T kan uttrykkes ved cosinusfunksjonen Maketnumsverdi Periode T f (t) = C0+ Ccos (t to)), Midoe!verdi G. der to angir beliggenheten til en bølgetopp. MoimumseerOi t, Harmoniske svingninger ved å bruke sinusfunksjonen En harmonisk svingning med middelverdi CO3 amplitude C og periode T kan uttrykkes ved sinusfunksjonen Maksrmums,erd, CtC, Periode T f (t) = co+ Csin (27-7(t Middoiverd C, der t angir beliggenheten for hvor grafen krysser likevektslinja før et toppunkt. MtMnarneverdi GC t: T 7
Spesielle derivasjonsregler a, b, c ogr ervilkårligekonstanter (x r ) = rx r- (e ) =ce" (lnx)'= (sinx)' =cosx (cosx)'= sinx (tanx)'= 2 COS X Generelle derivasjonsregler u = u(x) ogv = v(x) er deriverbarefunksjoner (cu)' =c u' (u +v)' =u'+v' (u v)'=u'--v' ( u), = u'v uv' (uv)' =u'v +uv' f '(u)=f '(u).u'(x) V2 Spesielle integraler a, b ogr ervilkårligekonstanterogc er enkonstant. xr dx= xr-+c, nårr r + r dx=lnix+al+c x +a erxclx=--erx+c fsin(ax+b) dx = ---COS(aX b)+ C fcos(ax+b) ch = sin(ax+b)+ C cos2x dx=tanx+c Generelle integrasjonsregler /4(x) v(x) Ch = /4(X) dx± v(x)dx f k u(x) dx=k u(x) dx Det bestemte integralet NårF' (x) = f (x) harvi fabf (x) dx = F(b) F(a). 8