Tid og frekvens Dag Kristian Dysthe and Anja Røyne Fysisk institutt, UiO (Dated: 16. Januar, 2012) (Sist endret January 20, 2017) Målet i denne oppgaven er å få et bevisst forhold til hvordan man måler tid. Vi vil gå fra helt grunnleggende til mer avanserte metoder. Et viktig poeng er også hvordan man beregner usikkerhet og å finne ut av hvordan man skal minimere denne. Sist, men ikke minst, skal dere trene på å lage en rapport og å føre en labjournal. I. BAKGRUNN Måling av tid baserer seg på periodiske hendelser. Årssyklusen og soluret er de eldste og best kjente tidsmålerne. Hvor nøyaktig man kan måle tid kommer an på hvor regulære periodene er (f.eks. jordrotasjonen) og hvor fint man kan dele opp perioden i underenheter (f.eks. antall streker på sirkelen i et solur). Det vi kaller en klokke i dag er et instrument med noe som svinger (f.eks. pendelen i et pendelur, en elektronisk svingekrets, eller lysbølgen fra en veldefinert kvantemekanisk overgang) og noe som teller antall svingninger. Dagens beste tidsstandard har en nøyaktighet på under ett sekund på 30 millioner år. Det er den mest nøyaktige standarden for noen fysisk enhet vi kan måle på. Se f.eks. http://tf.nist.gov/general/museum/847history.htm. Vi skal i denne øvelsen bare bruke helt vanlige oscillatorer. Vi skal se på hva som ligger i begrepene nøyaktighet og presisjon og hvordan man som fysiker forholder seg til at alt man måler har en usikkerhet. Kapittel 2, 3 og 10 samt avsnitt 4.1 og 5.1 i Squires er pensum og nyttig for å løse denne øvingen. II. LITT TEORI A. Normalfordelingen Normalfordelingen er også kjent som Gaussfordelingen, og er beskrevet i kapittel 3 i Squires. Det er såpass vanlig å støte på normalfordelinger når det er usikkerhet i målinger, at dette er stoff du bør ha satt deg inn i før øvingen. Matlab har en del funksjoner for normalfordelinger som du kan få bruk for, og et utvalg av dem presenteres her. I det følgende antas det at X er en vektor som inneholder N måleresultater. - mean(x) Som navnet på funksjonen tilsier, gir dette middelverdien av samtlige målinger i X. - std(x) eller std(x,1) Dette gir standardavviket til X, forskjellen på de to er at førstnevnte skalerer standardavviket med N 1, mens sistnevnte skalerer standardavviket med N. Begge versjoner av standardavviket kan finnes i forskjellige lærebøker, Squires bruker førstnevnte. - randn(n, 1) Denne funksjonen returnerer en vektor som er N lang med tilfeldige tall hentet fra en normalfordeling med middelverdi 0 og standardavvik 1. - histogram(x,m) Med denne funksjonen får du plottet et histogram av dataene i X fordelt i M søyler. Merk at både for mange og for få søyler gir dårlige histogrammer. Om du ønsker et histogram hvor søylenes totale areal er normalisert til én, kan det ordnes med følgende kode: N = 5e2; %Antall datapunkt mu = 4; %Middelverdi sigma = 0.2; %Standardavvik %Lag syntetiske data X = randn(n, 1); h=kstest(x) %Kolmogorov-Smirnov test % =1 hvis ikke normalfordelt %Lag histogram med 100 søyler M=100; figure(1), histogram(x,m) %Lagre verdiene fra histogrammet H=histogram(X,M); ndf=h.values; xhist=h.binedges(1:end-1)+h.binwidth/2; %Skaler og translater x-aksen og datasett til riktig m x=sigma*xhist+mu; X=sigma*X +mu; %Finn middelverdi og standardavvik av datasettet mmu=mean(x); msi=std(x); %Finn totalt areal for søylene area = sum(ndf.*(x(2)-x(1))); %Plot normert histogram figure(2), plot(x,ndf/area,. )
%Sammenlikning med perfekt normalfordeling pdf=exp(-(x-mu).^2/(2*sigma.^2))./... (sigma*sqrt(2*pi)); hold on; plot(x,pdf, r ); line([mmu mmu],[0 2.5], Linestyle, - ) line([mmu-msi mmu-msi],[0 2.5], Linestyle, : ) line([mmu+msi mmu+msi],[0 2.5], Linestyle, : ) hold off På siste linje plottes en analytisk normalfordeling for valgt middelverdi og standardavvik; dette kan være en enkel måte å vurdere om måledataene er normalfordelte. En mer stringent test er Kolmogorov-Smirnov-testen (kstest i koden over). Det er også mulig å plotte den kumulative fordelingen P (X x) = x p(x)dx av fordelingen p(x) for datasettet 0 (fortsettelse fra koden ovenfor): %Sorter datasettet i stigende rekkefølge XX = sort(mu+sigma*x); CDF = (1:N)/(N+1); med=median(xx); %Plot kumulativ fordeling figure(3), plot(xx,cdf, k, LineWidth,5); %Plot for normalfordeling %Analytisk løsning for integralet av %normalfordelingen cumpdf=(1+erf((xx-mu)/(sqrt(2)*sigma)))/2; hold on; plot(xx,cumpdf, r, LineWidth,2); line([med med],[0 1], Linestyle, - ) line([med-msi/2 med-msi/2],[0 1], Linestyle, : ) line([med+msi/2 med+msi/2],[0 1], Linestyle, : ) hold off Her har vi brukt feilfunksjonen erf(x) = 2 π x 0 e t2 dt. Fordelen med å bruke den kumulative fordelingen for eksperimentelle data er at man ikke er avhengig av valg av antall søyler (bins). Alle datapunktene plottes, ikke bare et antall søyler. III. LABORATORIEØVING A. Timeglass og pendel Opp til fire grupper deler ett timeglass. Hver gruppe har en aluminiumssylinder og en snor som de kan henge fast i aluminiumsklossen på bordet for å lage en pendel. Heng opp pendelen så den har en foretrukket svingeretning. Mål perioden til timeglasset i antall pendelsvingninger. Hva vil dere angi som usikkerheten i målingene deres? Mål avstanden fra opphengspunktet til massesenteret til pendelen og beregn den teoretiske svingetiden for pendelen i sekund. Dermed kan dere beregne timeglassets periode i sekunder. Hva er de viktigste kildene til usikkerhet? Hvilke er tilfeldige og hvilke er systematiske feil? Sett tall på (estimert eller ved gjentatte målinger) alle feilkildene. Dere har nå kalibrert timeglasset. Hvilken presisjon og nøyaktighet har dette timeglasset som tidsmåler? B. Pendel og stoppeklokke Mål perioden til pendelen med en stoppeklokke. Bruk mellomtidsfunksjonen til å få fortløpende, gjentatte målinger. Er mellomtidene normalfordelt? Hva er hovedfeilkildene og hvordan påvirker det nøyaktighet og presisjon i målingen av svingetiden til pendelen? Sammenlign målingen med den teoretisk beregnede svingetiden til pendelen. Mål timeglasset noen ganger med stoppeklokken mens dere klargjør til oppgave III C. Hva vil dere nå si er presisjonen til timeglasset som tidsmåler? Kommenter presisjonen dere anga i forrige spørsmål. C. Pendel, fotodiode og 20MHz klokke Nå skal dere bruke en fotodiode til å måle når pendelen passerer et visst punkt i banen sin. Fotodioden består av en lysdiode som sender ut IR-lys og en lysfølsom diode som gir ut 0 Volt når den mottar reflektert lys fra lysdioden og 5 Volt når den ikke mottar lys. Fotodioden krever 15 Volt drivspenning. Positiv drivspenning går til rød inngang, utsignalet er på hvit inngangang og jord er på svart. Last ned svingeperiode.m og initad.m til lab-pcen, start Matlab og åpne svingeperiode.m i editoren. Akvisisjonsboksen, NI USB-6211, er styrt av PC-en via en USB-port. Den har en intern svingekrets (20 MHz) som holder takten på når den foretar seg noe. Boksen kan gjøre en rekke ting, men i dag skal dere bare bruke en analoginngang, det vil si to kontaktpunkter der boksen måler spenningen og omformer det til et digitalt tall som er proporsjonalt med spenningen. Den kan måle spenninger opp til 250 000 ganger i sekundet. Det uttrykkes 2
3 som at samplingraten er maksimalt 250 khz. Siden taktholderen er på 20 MHz skal variasjonen i perioden mellom to samplinger være mindre enn 5 10 8 s. Bruk loddet som reflektor eller klistre en bit aluminiumstape så det stikker litt nedenfor loddet som reflektor. Koble et multimeter på utgangen fra fotodioden for å teste hvor det er best å plassere fotodioden i forhold til reflektoren på pendelen. Koble så måleledningene fra akvisisjonsboksen (ledningene skal være koblet til AI0 (inngang 15) og AI GND (inngang 28)) til utgangen på fotodioden. Nå kan dere sette igang pendelen og kjøre scriptet svingeperiode.m for å måle svingetiden til pendelen. Hvordan er svingetiden nå sammenlignet med målingen med stoppeklokke? Betyr det noe hvilken samplingsfrekvens dere bruker? hvor i pendelbanen fotodioden plasseres? hvor stort utslaget av pendelen er? Er mellomtidene normalfordelt? Hva er hovedfeilkildene og hvordan påvirker det nøyaktighet og presisjon i målingen av svingetiden til pendelen? Timeglass IV. UTSTYRSLISTE Pendel (lodd, tråd, festeanordning) Stoppeklokke Fotodiode (svart liten boks) Måleledninger Meterstokk Spenningsforsyning Akvisisjonsboks NI USB-6211 PC Umbraconøkkel Sett med små skrutrekkere Blank tape V. PRELABOPPGAVER A. Kort informasjon Det vil være en prelab-prøve til de aller fleste øvinger i dette kurset. Dette er for at du skal være forberedt på utfordringene du møter på labdagen, slik at det skal være mulig å komme seg gjennom øvingene på tiden dere har til rådighet. Arbeidsmengden til prelabene i dette kurset er ikke ubetydelig, og du bør begynne å se på oppgavene noen dager i forkant av labdagen for å unngå å få dårlig tid. Beståttgrensen ligger på 15 poeng. Det siste spørsmålet er mest arbeidskrevende, og gir 3 poeng. Resten gir eller mindre. Totalt er det 20 oppnåelige poeng, men den siste oppgaven må rettes så det kan kun oppnås 17 poeng i første omgang. Disse oppgavene må løses før dere skal på laben. Dere vil trenge et datasett for å gjøre beregningene i oppgavene under. Denne finner dere på samme sted som dere fant denne oppgaveteksten. Oppgavene Begreper 1. Hvilken påstand er riktig? A. Presisjon og nøyaktighet har samme betydning i eksperimentalfysikken. B. Nøyaktighet er et mål på hvor nære vi treffer den "rette" verdien, presisjon er et mål på spredningen i målingene. C. Presisjon er et mål på hvor nære vi treffer den "rette" verdien, nøyaktighet er et mål på spredningen i målingene. 2. Hvilken påstand er riktig? A. En systematisk feil fører til lav presisjon, tilfeldige feil medfører lavere nøyaktighet. B. En systematisk feil fører til lav nøyaktighet, tilfeldige feil medfører lavere presisjon. 3. Hvilke(t) av forholdene under har innvirkning på presisjonen i målingene? A. Du måler diameteren til en ballong før forsøket begynner, men sjekker ikke om diameteren endrer seg på grunn av at luft siver ut i løpet av målingene. B. Å bruke en fotodiode i stedet for å ta tider manuelt med stoppeklokke ved måling av periodetiden til en pendel. C. Å ikke ta hensyn til luftmotstand hvis vi ønsker å beregne tyngdeakselerasjonen ut i fra periodetiden.
4 D. Å måle lengden på pendelsnoren uten rett snordrag. 4. Hvilke(t) av forholdene under har innvirkning på nøyaktigheten i resultatet? A. Du måler diameteren til en ballong før forsøket begynner, men sjekker ikke om diameteren endrer seg på grunn av at luft siver ut i løpet av målingene. B. Å bruke en fotodiode i stedet for å ta tider manuelt med stoppeklokke ved måling av periodetiden til en pendel. C. Å ikke ta hensyn til luftmotstand hvis vi ønsker å beregne tyngdeakselerasjonen ut i fra periodetiden. D. Å måle lengden på pendelsnoren uten rett snordrag. Middelverdi og standardardavvik I filen data1.mat finner du et målesett med 100 syntetiske målinger. Last denne filen inn i Matlab, og gjør følgende beregninger: 5. Finn middelverdien av målingene (med tre gjeldende siffer) A. 3.18 B. 3.19 C. 3.17 D. 3.16 E. 3.15 6. Finn standardavviket til målepunktene A. 1.85 B. 1.82 C. 1.83 D. 1.87 E. 1.86 7. Hva blir standardavviket til middelverdien av målesettet? A. 0.185 B. 0.256 C. 0.190 D. 0.174 E. 0.159 8. Kjør Matlabscriptet under for forskjellige verdier av n og observer hva antall målinger har å si for standardavviket og standardavviket til middelverdien. n = % FYLL INN SELV a = 3; b = 2; x = a+b*randn(1,n); xmid = % FYLL INN SELV s = % FYLL INN SELV sm =% FYLL INN SELV figure(1),clf plot(x, k. ), xlabel( Måling-nummer ),... ylabel( x ) hold on line([0 n],[xmid xmid], Color,... k, LineStyle, - ) line([0 n],[xmid-s xmid-s], Color,... k, LineStyle, -- ) line([0 n],[xmid+s xmid+s], Color,... k, LineStyle, -- ) line([0 n],[xmid-sm xmid-sm], Color,... k, LineStyle, : ) line([0 n],[xmid+sm xmid+sm], Color,... k, LineStyle, : ) title([ Syntetisk datasett med,... num2str(n), målinger ]) text(10,xmid-s-.5, -ett standardavvik ) text(10,xmid+s+.5, +ett standardavvik ) text(10,xmid+sm+.5,... +ett standardavvik til middelverdien ) text(10,xmid-sm-.5,... -ett standardavvik til middelverdien ) hold off A. begge er uforandret. B. begge blir mindre ved høyere n. C. s er uforandret, sm blir mindre ved høyere n. D. s blir mindre, sm er uforandret ved høyere n. Konfidensintervall og normalfordeling 9. Bruk målesettet data1.mat til å finne hvor mange prosent av målingene som er innenfor +/- et standardavvik A. 67 B. 60 C. 75 D. 40 E. 65
5 10. Hvor mange prosent av målepunktene til et normalfordelt målesett skal teoretisk ligge innenfor +/- et standardavvik A. 68.3 B. 65.0 C. 67.8 D. 75.0 E. 60.0 11. Hvor mange prosent av målepunktene i data1.mat ligger innenfor +/- 2 standardavvik? A. 94 B. 85 C. 90 D. 92 E. 88 12. Hva kalles dette intervallet (xmid +/- 2s) når vi behandler normalfordelte målinger? A. 95% konfidensintervall B. dobbeltstandardavvikintervall C. 90% konfidensintervall D. 99% konfidensintervall 13. Hvor mange prosent av målingene skal teoretisk bli liggende mellom xmid +/- 3s i et normalfordelt målesett? A. 99.7 B. 98.7 C. 97.7 Pendel 14. Hva er formelen for svingetiden T til en pendel med lengde L? A. T = 2π L/g B. T = 2π(L/g) 2 C. T = 2πL 2 /g D. T = 2πL/g 2 15. For en pendel med lengde L = 1 m, hvor nøyaktig må du kunne bestemme lengden for å få en usikkerhet i T på mindre enn 1% (dersom usikkerheten i g er neglisjerbar)? A. 2 cm B. 1 cm C. 0.5 cm 16. Hvis du bruker en fotodiode til å registrere periodetiden til en pendel, hva mener du er en hensiktsmessig plassering av dioden? A. I bunnen av pendelbanen, siden pendelen her har størst hastighet. Dette gir høyest presisjon i målingene B. Nær et av ytterpunktene. Pendelen har her lav hastighet, så vi er sikre på at fotodioden klarer å registrere hver svingning. Fordeling av målepunkter og normalfordeling 17. I denne oppgaven skal du skrive et Matlab-skript og lime det inn i tekstvinduet under. Det gis ikke automatisk poeng på dette spørsmålet. For å få godkjent på prøven på første forsøk bør du derfor ikke ha mer enn to feil på de tidligere spørsmålene. 6 poeng Matlabskriptet skal gjøre følgende når det kjøres (i tillegg bør du legge til kommentarer både for å fortelle hva du tenker, og svare på spørsmålene som står under): Generere et datasett med n målinger, hvor målingene varierer sinusoidalt med amplitude A. Det skal være en normalfordelt støy med standardavvik s=0.2*a, og en liten linær drift i målingene fra første til siste måling. (For de som ikke er sikre på kommandoene som skal brukes til dette er hjelpefunksjonen i Matlab alltid kjekk å ha. Trykk F1 og let litt rundt). Plot signalet. Benevning på y-aksen skal være Volt [V]. Langs x-aksen skal benevningen være sekunder, og signalet er tatt opp med en frekvens på 1kHz. Lag et histogram av målingene i en ny figur med passe antall kolonner i forhold til antallet målinger n. Husk benevning på aksene. Kommenter på fordelingen. Lag et histogram som viser fordelingen av kun støyen i signalet, dvs signalet trukket fra sinusog drift-delen. Normaliser arealet til kolonnene (dvs at det samlede arealet til kolonnene skal være 1), og plot i en ny figur (figure 4) punktene som representerer den normaliserte høyden på kolonnene sammen med normalfordelingskurven med standardardavvik s. Lek litt med forskjellige verdier
6 av n for å se hvor mange målinger som skal til før vi har en god overenstemmelse med normalfordelingskurven. Se om du kan finne en funksjon som finner den linære driften i målingene, og se om du klarer å bruke dette til å manipulere bort denne fra målingene. Her holder det å gi en kommentar med forslag til fremgangsmåte. Til slutt 18. Les gjennom filen svingeperiode.m, og forsøk å forstå mest mulig av hvordan skriptet virker. Dere skal bruke dette skriptet på laben, og det er dumt å måtte bruke mye tid på å sette seg inn i det der.