EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : tirsdag 4. desember 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne. Kalkulator. Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab. Kontaktperson: professor Andrei Prasolov, mobil 93 67 58 32.
1 OPPGAVE I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x 12 27 74 200 546 y 1480 601 110 45 11 a) Plott Y = ln y mot X = ln x i et rettvinklet koordinatsystem. b) Finn en lineær sammenheng mellom X og Y ved hjelp av plottet i a): Y = ax + b: Tegn linjen Y = ax + b i XY -koordinatsystemet. c) Finn, ved hjelp av den lineære sammenhengen du fant i deloppgave b), en funksjonssammenheng mellom x og y på formen y = Cx r : 2 OPPGAVE I trekanten ABC er sidelengdene a = BC = 7; b = AC = 5; c = AB = 4: Finn vinkelen A (målt i grader og radianer). Hint: bruk cosinussetningen. 3 OPPGAVE Bestem grenseverdien ln (x + 1) lim x!0 x 2 x : Hint: bruk L Hôpitals regel ( ere ganger om nødvendig). 1
4 OPPGAVE Et stort vannreservoar samler smeltevannet for å unngå oversvømmelse. Vannet strømmer inn med konstant hastighet b (målt i liter pr én time), og strømmer ut med en hastighet av proporsjonal til volumet V (t) (målt i liter) av vannet i reservoaret ved tidspunktet t (målt i timer). Volumet V (t) av vannet i reservoaret tilfredsstiller derfor di ikningen V 0 (t) = av (t) + b: a) Vis at funksjonen V (t) = Ce at + b a der C er en vilkårlig konstant, tilfredsstiller di ikningen ovenfor. b) La a = 0:195, b = 2 10 7, og anta at reservoaret er tomt ved tidspunktet t = 0. Finn formelen for V (t) (dvs. nn konstanten C fra deloppgave a)). c) På hvilket tidspunkt t vil volumet V (t) overstige 10 8 liter? 5 OPPGAVE Gitt funksjonen f (x) = 3x + 1 3x 2 + 2x + 1 : a) Finn det ubestemte integralet Z f (x) dx: Hint: bruk substitusjonen u = 3x 2 + 2x + 1. b) Bruk resultatet fra deloppgave a) for å nne arealet mellom kurven y = f (x), x-aksen, y-aksen, og den vertikale linjen x = 1. 2
6 OPPGAVE Funksjonen f (x; y) er de nert ved f (x; y) = x 3 + x 2 3x + 2xy + y 2 : a) Beregn førsteordens partielle deriverter f x og f y samt gradienten rf. Finn de stasjonære punktene til f. Hint: Bruk ligningen fra f y = 0 til å uttrykke y fra x. Sett deretter dette inn i ligningen f x = 0 og nn x og y. Merknad. Jeg bruker notasjoner som i Kompendium. I læreboken betegnes de partielle derivertene annerledes: f x = @f @x ; f y = @f @y : b) Beregn andreordens partielle deriverter f xx, f yy, og f xy. Bestem om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller sadelpunkt. Merknad. Jeg bruker notasjoner som i Kompendium. I læreboken betegnes de partielle derivertene annerledes: f xx = @2 f @x 2 ; f yy = @2 f @y 2 ; f xy = @2 f @x@y : LYKKE TIL! 3
EKSAMENSOPPGÅVE MAT-0001 (NYNORSK) Eksamen i : Mat-0001 Brukarkurs i matematikk. Dato : Tysdag 4. desember 2012. Tid : 09.00-13.00. Stad : Åsgårdvegen 9. Tillatne hjelpemiddel : Alle trykte og skrivne. Kalkulator. Oppgåvesettet er på 3 sider eks. forside, og inneheld 12 deloppgåver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab. Kontaktperson: professor Andrei Prasolov, mobil 93 67 58 32.
1 OPPGÅVE I eit eksperiment er det målt følgjande samanheng mellom to storleikar x og y. x 12 27 74 200 546 y 1480 601 110 45 11 a) Plott Y = ln y mot X = ln x i eit rettvinkla koordinatsystem. b) Finn ein lineær samanheng mellom X og Y ved hjelp av plottet i a): Y = ax + b: Teikn linja Y = ax + b i XY -koordinatsystemet. c) Finn, ved hjelp av den lineære samanhengen du fann i deloppgave b), ein funksjonssammenheng mellom x og y på forma y = Cx r : 2 OPPGÅVE I trekanten ABC er sidelengdene a = BC = 7; b = AC = 5; c = AB = 4: Finn vinkelen A (målt i grader og radianar). Vink: bruk cosinussetningen. 3 OPPGÅVE Avgjer grenseverdien ln (x + 1) lim x!0 x 2 x : Vink: bruk L Hôpitals regel ( eire gonger om naudsynt). 1
4 OPPGÅVE Eit stort vannreservoar samlar smeltevatnet for å unngå oversvømmelse. Vatnet strøymer inn med konstant fart b (målt i liter per éin time), og strøymer ut med ein fart av proporsjonal til volumet V (t) (målt i liter) av vatnet i reservoaret ved tidspunktet t (målt i timar). Volumet V (t) av vatnet i reservoaret tilfredsstiller difor di ikninga V 0 (t) = av (t) + b: a) Vis at funksjonen V (t) = Ce at + b a der C er ein vilkårlig konstant, tilfredsstiller di ikninga ovanfor. b) La a = 0:195, b = 2 10 7, og anta at reservoaret er tomt ved tidspunktet t = 0. Finn formelen for V (t) (dvs. nn konstanten C frå deloppgåve a)). c) På kva for eit tidspunkt t vil volumet V (t) overstige 10 8 liter? 5 OPPGÅVE Gjeve funksjonen f (x) = 3x + 1 3x 2 + 2x + 1 : a) Finn det ubestemte integralet Z f (x) dx: Vink: bruk substitusjonen u = 3x 2 + 2x + 1. b) Bruk resultatet frå deloppgåve a) for å nne arealet mellom kurva y = f(x), x-aksen, y-aksen, og den vertikale linja x = 1. 2
6 OPPGÅVE Funksjonen f(x; y) er de nert ved f (x; y) = x 3 + x 2 3x + 2xy + y 2 : a) Rekn ut førsteordens partielle deriverter f x og f y, og gradienten rf. Finn dei stasjonære punkta til f. Vink: Bruk likninga frå f y = 0 til å uttrykkje y frå x. Sett deretter dette inn i likninga f x = 0 og nn x og y. Merknad. Eg brukar notasjonar som i Kompendium. I læreboka vert dei partielle deriverte skreve annleis: f x = @f @x ; f y = @f @y : b) Rekn ut andreordens partielle deriverte f xx, f yy, og f xy. Avgjer om punkta du fann i a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller sadelpunkt. Merknad. Eg brukar notasjonar som i Kompendium. I læreboka skriv ein dei partielle deriverte annleis: f xx = @2 f @x 2 ; f yy = @2 f @y 2 ; f xy = @2 f @x@y : LYKKE TIL! 3