Spesiell relaivieseori 6.05.06 FYS-MEK 0 6.05.06
Einseins posulaene. Fysikkens lover er de samme i alle inerialsysemer.. Lyshasigheen er den samme i alle inerialsysemer, og er uavhengig av observaørens bevegelse. Sysem S beveger seg relaiv il sysem S med hasighe u. Galileo ransformasjon: u v v u inkonsisen med Einseins. posula: FYS-MEK 0 6.05.06
Definisjon av hendelse En hendelse er en begivenhe (noe) som kan lokaliseres i rom og id dvs. gis koordinaer (,y,z,). Definisjon av samidighe To hendelser er samidige dersom de innreffer ved samme id i e og samme sysem S. S z y Hendelsene samidig i sysem S, men ikke samidig i sysem S FYS-MEK 0 6.05.06 3
Tidsdilaasjon E idsinervall som er mål mellom o hendelser i e referansesysem der posisjonen er idenisk for begge hendelser, kalles egenid 0. En annen observaør som beveger seg med konsan far u relaiv il den førse måler e idsinervall: speil kilde 0 u 0 idsdilasjon: 0 FYS-MEK 0 6.05.06 4
hp://pingo.upb.de/ aess number: 8989 En klingon kommandan er på vei il Jorden i si romskip med høy hasighe. Han ser på en foballkamp på Ullevål sadion gjennom e serk eleskop. Eer sin klokke faller e mål eer 0 minuer. Hvor lenge ar de før måle faller hvis du ar iden fra ribunen? A. mer enn 0 minuer B. nøyakig 0 minuer C. mindre enn 0 minuer Hendelse : kampen begynner Hendelse : måle faller Vi måler egenid Δ 0 i sysem «Jorden» hvor begge hendelser skjer på samme sed. Klingon kommandan måler Δ = γδ 0 > Δ 0 i sysem «romskip». FYS-MEK 0 6.05.06 5
Hvordan kan vi måle en lengde? De er enkel hvis objeke er i ro: Vi besemmer posisjon il begge endene, og de spiller ingen rolle når vi gjøre de. Hva hvis vi vil måle lengden il en bil som kjører? Vi kan besemme posisjonen il begge endene, men vi må gjøre de samidig. Problem: o hendelser som er samidig i e referansesysem er ikke samidig i e anne. FYS-MEK 0 6.05.06 6
Tankeeksperimen kilde speil En lyskilde er fese på vensre enden av en linjal og e speil på høyre enden. Linjalen er i ro i sysem S og har lengden l 0. Lyse går il speile og ilbake i idsinervall 0 (egenid). l 0 0 I sysem S beveger linjalen seg med far u og en observaør måler lengden l. l u Lyse oppnår speile eer id og avsand Lyse beveger seg med hasighe : d d l u l u (de beyr ikke a lyse beveger seg med hasighe u) FYS-MEK 0 6.05.06 7
Lyse går ilbake i idsinervalle og oppnår kilden eer avsanden: d l u l u iden lyse bruker for å gå frem og ilbake: idsdilaasjon: l l u u 0 l 0 l( u) l( u) u l l 0 = γl l u l lengdekonraksjon: l l 0 En lengde som måles i e koordinasysem hvor legeme er i ro kalles egenlengde. Lengden vi måler i e koordinasysem som beveger seg relaiv il legeme er korere: lengdekonraksjon. FYS-MEK 0 6.05.06 8
de er ingen lengdekonraksjon vinkelre på bevegelsesreningen FYS-MEK 0 6.05.06 9
v 0 v 0. 8 v 0. 95 v 0. 99 FYS-MEK 0 6.05.06 0
hp://pingo.upb.de/ aess number: 8989 E romskip flyr forbi jorden med v = 0.99. En person i romskipe måler a romskipe er 400 m lang. Hvilken lengde måler en observaør på jorden? A. 56.4 m B. 400 m C..84 km l 0 = 400 m er egenlengden il romskipe En observaør på jorden beveger seg med hasighe v = 0.99 relaiv il romskipe. lengdekonraksjon: l 0 l 7. u l 400 m 7. 56.4 m FYS-MEK 0 6.05.06
hp://pingo.upb.de/ aess number: 8989 To observaører O og O sier i avsand 56.4 m på jorden. Hvilken avsand vil mannskape måle fra e romskip som beveger seg med v = 0.99 relaiv il jorden? A. 7.96 m B. 56.4 m C. 400 m I sysem jorden er observaørene i ro. Avsand mellom de o mål på jorden er egenlengden: l 0 56.4 m Romskipe beveger seg med hasighe v = 0.99 relaiv il jorden: 7. lengdekonraksjon: l l 56.4 m 7. 0 7.96 m u FYS-MEK 0 6.05.06
Eksempel: myon I syseme hvor myone er i ro er leveid 0 =. s (egenid) I laboraoriesyseme er leveid lenger på grunn av idsdilaasjon: for v = 0.999 har vi funne: 0 49 μs Se fra jorden beveger myone seg en srekning: l0 4.7 km De er egenlengden siden jeg som observaør måle srekningen i ro. I myones sysem beveger jorden seg, og myone ser srekningen konraher: l l 0 653 m De ilsvarer lengden myone beveger seg i sin egenid: l 0 FYS-MEK 0 6.05.06 3
Lorenz ransformasjon sysem S: (, y, z, ) sysem S : (, y, z, ) S beveger seg med hasighe u relaiv il S. posisjon il O i sysem S ved id er u er egenlengde i S, men konraher i S: u ransformasjon S S ( u) u u / u u = u + u ransformasjon S S: u (mosa foregn for relaivhasigheen u) u = = u ( u ) ( u) u = γ u u FYS-MEK 0 6.05.06 4
Lorenz ransformasjon ransformasjon ilbake: omvend foregn for u og bye S og S ( u) ( u) y y y y z z z z u u Obs: rykkfeil i kompendie side 44. Hendrik Anoon Lorenz 853 98 FYS-MEK 0 6.05.06 5
FYS-MEK 0 6.05.06 6 lengdekonraksjon ) ( ) ( u u L ) ( ) ( u e legeme i ro i sysem S har egenlengde: L legeme beveger seg i sysem S vi må måle posisjonene og samidig ( = ) L ) ( L L idsdilaasjon egenid: vi maler e idsinervall på samme sed: ) ( ) ( u u ) ( ) ( u
Lorenz ransformasjon for hasighe e parikkel beveger seg i sysem S med hasighe og i sysem S med hasighe v ( u) v Lorenz ransformasjon: ( ) u v = = u u = u u = v u u v hvis u << : v v u Galileo ransformasjon hvis: v v = u u = u u = Einseins. posula FYS-MEK 0 6.05.06 7
Minkowski diagrammer o romskip passerer hverandre sysem S hvor romskip er i ro signing gir hasighe il romskip v s sysem S hvor romskip er i ro signing gir hasighe il romskip v s FYS-MEK 0 6.05.06 8
Minkowski diagrammer lys verdenslinje vi egner begge sysemer i e diagram: jo forere S beveger seg relaiv il S, jo mindre er vinkelen for S. Objeker beveger seg langs verdenslinjer gjennom iden. o hendelser som er samidig i romskip o hendelser som er samidig i romskip Hermann Minkowski 864 909 FYS-MEK 0 6.05.06 9
Minkowski diagrammer warp drive? / / an / v hvis e romskip kunne bevege seg med v > : hendelse før hendelse i sysem S hendelse før hendelse i sysem S FYS-MEK 0 6.05.06 0
hp://pingo.upb.de/ aess number: 8989 Luke er asronau og ar en ur il planeen Dagobah og ilbake. Hans villingsøser Leia forblir hvor hun er. Pga. hans høy hasighe går iden sakere for Luke (idsdilaasjon) og han er yngre enn Leia når han kommer ilbake. Se fra Lukes synspunk i romskipe beveger Leia seg med høy hasighe, så iden går sakere for Leia og Luke er eldre når han kommer ilbake. Når Luke kommer ilbake:. er Luke yngre enn Leia. er begge like gammel 3. er Luke eldre enn Leia 4. dee er e paradoks og de finnes ingen svar FYS-MEK 0 6.05.06
Tvillingparadokse / / Leia forbli i e inerialsysem, men Luke renger en akselerasjon for å snu reningen og komme ilbake. Horisonale linjer ilsvarer hendelser som Leia oppfaer som samidig. På veien bor oppfaer Luke hendelser på de grønne linjene som samidig. På veien ilbake befinner Luke seg i e anne inerialsysem. På veien ilbake oppfaer Luke hendelser på de blå linjene som samidig. Luke oppfaer a Leia eldes mege rask mens han snu reningen. / Leia ser a Luke beveger seg hele iden, og iden går allid sakere for Luke. Luke er yngre enn Leia nor han kommer ilbake il jorden. FYS-MEK 0 6.05.06
Tvillingparadokse id (år) Luke reiser med v = 0.6 fra A il B og ilbake Leias perspekiv: srekning er 3 lysår (egenlengde) Luke renger 5 år fram og 5 år ilbake Lukes perspekiv: srekningen er bare = γ han blir 4 år eldre bare 3. år har gå på jorden =.4 lysår mens Luke snur: byer han koninuerlig referansesyseme. går 3.6 år på jorden veien ilbake fra Lukes perspekiv: han reiser.4 lysår og blir 4 år eldre på jorden går de 3. år srekning (lysår) Også fra Lukes perspekiv har de gå 0 år på jorden, mens han blir bare 8 år eldre. FYS-MEK 0 6.05.06 3