Newtons loer i to og tre dimensjoner 6..17 FYS-MEK 111 6..17 1
Beegelse i tre dimensjoner Beegelsen er karakterisert ed posisjon, hastighet og akselerasjon. Vi må bruker ektorer: posisjon: r( = x t i + t j + z(k hastighet: akselerasjon: t = dr dt = dx d dz i + j + dt dt dt k = x t i + t j + z (k a t = d dt = d x dt i + d dt j + d z dt k = a x t i + a t j + a z (k hastighet: ( fart: ( ( kraft akselerasjon NL integrasjon hastighet, posisjon FYS-MEK 111 6..17
Relatibeegelse og referansesstemer En person kjører med konstant hastighet i en åpen bil og kaster en ball rett opp. Hordan il en annen person som står på gaten beskrie beegelsen? (Vi ser bort fra luftmotstand.) Sett fra bilen (sstem S ): ballen beeger seg rett opp og faller rett ned igjen. Sett fra gaten (sstem S): beegelsen beskries som en skrått kast S S r ' R r x x posisjon i gate-sstem S: r ( posisjon i bil-sstem S : r '( posisjon a bilen i gate-sstem: R ( r( R( r'( FYS-MEK 111 6..17 3
S S r r( R( r'( ' R x r dr d dr dr ' ( R( r'( u '( t dt dt dt dt x d d d' a( u '( a'( dt dt dt ) Bilen beeger seg med konstant hastighet u akselerasjon er den samme i begge sstemer. Sstemer som beeger seg med konstant hastighet er inertialsstemer. Samme krefter og akselerasjon i begge sstemer. Hordan beskrier i beegelsen a ballen? fra bilen (sstem S ): eneste kraft er graitasjon: G = mgj initialbetingelse: t = = j fra gaten (sstem S): eneste kraft er graitasjon: G = mgj initialbetingelse: t = u + t = ui + j FYS-MEK 111 6..17 4
Eksempel: Du ror en båt oer en el. Elen strømmer med hastighet. Hilken inkel bør du holde for å komme rett oer elen? Sstem festet på elebredden: S Sstem festet til annet: S hastighet til annet i sstem S: hastighet til båten i sstem S : hastighet til båten i sstem S: u = i b = b sin θ i + b cos θ j b = u + b = i b sin θ i + b cos θ j For å komme rett oer elen må hastighet i x retning ære null i sstem S b sin θ = sin( ) b sin( ) 1 b Du kan bare klare det his du ror raskere enn elen strømmer. FYS-MEK 111 6..17 5
http://pingo.upb.de/ access number: 45786 Et slagskip skter samtidig to skudd mot fiendeskip. Initialfarten er de samme for begge skudd, men inklene mot horisont er forskjellige. Granatene følger de parabolske banene ist. Hilket skip blir truffet først? skip A skip B skipene blir truffet samtidig FYS-MEK 111 6..17 6
Skrått kast Et prosjektil sktes ut fra bakkeniå med fart og inkelen mot horisontal. sstem: prosjektil omgielse: luft koordinatsstem: x horisontal, ertikal initialbetingelser: r = = = cos α i + sin α j kontaktkrefter: luftmotstand langtrekkende kraft graitasjon nttig å tegne hastighetsektoren i fri-legeme diagram. ikke bland ektorer for hastighet og kraft! Hastighetsektoren må ikke berøre sstemet. FYS-MEK 111 6..17 7
Forenkelt modell: i ser bort fra luftmotstanden: (Vi inkludere luftmotstanden senere.) F D ĵ eneste kraft: graitasjon: G = mgj î x Newtons andre lo: Fnet = G = mgj = ma a = gj i komponenter: a a x g kast uten luftmotstand: ingen akselerasjon i x retning FYS-MEK 111 6..17 8
akselerasjon: a g ˆj initialbetingelse: = cos α i + sin α j t hastighet: t = + a t dt = gtj t = cos α i + ( sin α gj i komponentform: x ( ( cos( ) sin( ) gt konstant hastighet x x større for små inkel men skip A ligger nærmere... FYS-MEK 111 6..17 9
hastighet: t = gtj initialbetingelse: r ) r ( t posisjon: r t r = t dt = t gtj dt r t = t 1 gt j = t cos α i + t sin α 1 gt j i komponentform: x( ( t cos( ) t sin( ) 1 gt FYS-MEK 111 6..17 1
http://pingo.upb.de/ access number: 45786 Et slagskip skter samtidig to skudd mot fiendeskip. Initialfarten er de samme for begge skudd, men inklene mot horisont er forskjellige. Granatene følger de parabolske banene ist. Hilket skip blir truffet først? skip A skip B skipene blir truffet samtidig FYS-MEK 111 6..17 11
posisjon som funksjon a tiden: x( ( t cos( ) t sin( ) 1 gt skipet skter ed tid t = prosjektilet treffer ed tid t 1 : ( t 1 ) 1 sin( ) gt t1 1 t 1 1 sin( ) 1 gt t 1 sin( ) g tiden t 1 er kortere for små inkel skip B blir truffet først. FYS-MEK 111 6..17 1
Vi har brukt oppskriften: finn initialbetingelser identifiser krefter, løs beegelsesligninger... trgg metode, sikker å finne saret Argumentasjon som trenger litt erfaring: beegelsen i x og retning er koblet fra herandre: konstant hastighet i x retning, beegelse med konstant akselerasjon i retning parabelbane er smmetrisk: det tar like lang tid å komme opp som ned jo høere den maksimale høden jo lengre tid tar det å falle ned FYS-MEK 111 6..17 13
Hilken inkel bør du elge for å skte lengst mulig? kulen treffer bakken ed tiden t 1 : t 1 sin( ) g x( ( t cos( ) t sin( ) 1 gt x komponent a posisjon ed tid t 1 : x( t1) t1 cos( ) sin( )cos( ) g i derierer for å finne maksimum: dx d (cos sin ) g cos sin tan 1 45 Prosjektilet kommer lengst med =45. FYS-MEK 111 6..17 14
Numerisk løsning FYS-MEK 111 6..17 15
[1 3 35 4 45 5 55 6 7 8] Som forentet kommer prosjektilet lengst når i elger 45. Prosjektilet kommer like langt ed og 9 : x( t1) sin( )cos( ) g men tiden t 1 er forskjellig FYS-MEK 111 6..17 16
http://pingo.upb.de/ access number: 45786 Hilken inkel bør du elge for å komme lengst mulig his du kaster en ball fra taket a en bgning? (Vi ser fortsatt bort fra luftmotstand.) > 45 = 45 < 45 FYS-MEK 111 6..17 17
Kommer prosjektilet også lengst med 45 his i skter fra en høde h >? Det er anskelig å regne ut analtisk: finn tid t 1 når: ( t 1 ) h 1 sin( ) gt t1 1 t sin( ) g sin g ( ) 1 h g x t ) t cos( ) og så må i finne maksimum... ( 1 1 Det er lett å gjøre numerisk: FYS-MEK 111 6..17 18
His du skter fra en høde h oer bakken: r = r = hj initialbetingelser: m m/s [1 3 35 4 45 5 55 6 7 8] Vi kan finne den maksimale lengden ed ariasjon a : x max max 35.4 57.39 m FYS-MEK 111 6..17 19
Skrå kast med luftmotstand Vi har allerede diskutert to modeller for iskøs kraft: for små hastighet: eksempler: fallskjermhopp grus i annet... F k for større hastighet: F eksempler: skutt a en kanonkule ballkast bil, tog, fl D spesialfall: r ( ) r h ˆ j ( ) endimensjonal, ball faller ned med graitasjon, bremset a luftmotstanden G F D Luftmotstandskraften øker med hastighet til den blir like stor som graitasjonskraften: F net D mg ˆj akselerasjonen blir null og D ballen oppnår terminalhastighet: t = T j a T g m metode for å finne luftmotstandskoeffisient: måling a terminalhastighet D mg T FYS-MEK 111 6..17
Skrå kast med luftmotstand Fri-legeme diagram: Fnet = F D + G = D mgj NL: Fnet = ma a = F net m = D m gj hor x komponenter: a x d x dt D m x x a d dt D m x g koblet beegelse: a a, ) a a, ) x x( x ( x i kan ikke løse beegelsesligningen for her komponent separat, i må løse beegelsesligninger for x og retning samtidig det må i gjøre numerisk FYS-MEK 111 6..17 1
Numerisk løsning for skrått kast med luftmotstand Fnet = F D + G = D mgj Fnet = ma funksjon norm(a) beregner lengden til ektoren A norm(a) = sqrt(dot(a,a)) FYS-MEK 111 6..17
Numerisk løsning for skrå kast med luftmotstand FYS-MEK 111 6..17 3
Resultat D =.49 kg/m D = kg/m initialbetingelser: h m m/s 35 prosjektilet beeger seg ikke lenger på en parabel bane ikke anskelig å implementere luftmotstanden numerisk, men analtisk løsning blir meget komplisert. ha betr luftmotstand for den beste inkelen? FYS-MEK 111 6..17 4
[15 5 3 35 4 45 5 55] x max max 6.5 34.41 m obs: Vi har funnet beste inkelen for gitt initialbetingelser og parameter: h,, D! FYS-MEK 111 6..17 5
Hilken inkel burde jeg bruke for å kaste lengst fra Prekestolen? (Samme initialhastighet og luftmotstand, men h = 6 m.) [ 1 3] x max max 1.4 47.98 m His høden er stor må du bruke en mindre inkel for å komme lengst. På slutten faller ballen ned ertikal oer en iss høde er max konstant. Den eneste måte å kaste lenger er å øke. FYS-MEK 111 6..17 6
http://pingo.upb.de/ access number: 45786 En dreokter skter en bedøelsespil på en lettskremt ape. Når apen hører skuddet slipper han taket i samme øeblikk som pilen forlater geæret. Hilket punkt bør okteren sikte på for å treffe apen? (Vi ser bort fra luftmotstand.) A. rett på apen h B. laere h A C. enda laere h B D. ahengig a pilens initialhastighet C FYS-MEK 111 6..17 7
Demonstrasjon ed Harard Uniersit http://www.outube.com/watch?=jgznmf3rpo FYS-MEK 111 6..17 8