Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Eksempler
Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler framstilles ganske likt som i MAT1110, men vi har andre typer og tolkninger. I kompendiet i MEK1100 er kurveintegraler diskutert kort i kap. 6. Forelesningsnotater: Stoffet er presentert fyldigere og sammen med kap. 4. Numerisk vinkling på definisjon av kurveintegral. Fysisk inspirerte utledninger av viktige derivasjonsoperatorer Eksempler
... Struktur 1 Kurver 2 Utvikling av kurveintegral av skalarprodukt. Utgangspunkt i diskretisering Midtpunktmetode formuleres og egenskaper diskuteres Relasjon til vanlig integral Notasjoner 3 Volumfluksintegral (fluks strøm) 4 Trykkintegral 5 Sirkulasjon og nettoutstro mning 6 Divergens 7 Virvling Eksempler
Kurver Uttrykt som likning R 2 : Kommentar: ekviskalarlinjer er definert slik. f (x, y) = 0, (1) R 3 : f (x, y, z) = 0 definerer flate, f (x, y, z) = 0 og g(x, y, z) = 0 skjæring av to flater; dvs. kurve Uttrykt ved parameterisering r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, (2) t er parameter og x(t), y(t) og z(t) er skalarfunksjoner av t. Mange valg og tolkninger for t. Eksempler
... Spesialtilfelle, x som parameter r(x) = xi + y(x)j + z(x)k. Spesialtilfelle, y som parameter r(y) = x(y)i + yj + z(y)k. Ikke alle kurver kan beskrives med x eller y som parameter. Eksempler
Rett linje Likning Parmeterisering ax + by + c = 0, x(t)i + y(t)j = r(t) = r 0 + vt = (x 0 + v x t)i + (y 0 + v y t)j Må ha (hvorfor?) v normal på ai + bj og ax 0 + by 0 + c = 0. Stor valgfrihet, untatt hvis feks. r=posisjon og t=tid. Eksempler
Derivering av r(t) dr dt = lim r(t+ t) r(t) t 0 t ( x(t+ t) x(t) t = lim t 0 = x (t)i + y (t)j + z (t)k, der x er det samme som dx dt. dr dt er tangent til kurven i + y(t+ t) y(t) t Hvis r= posisjonsvektor og t=tid er dr dt =hastighet ) j + z(t+ t) z(t) t k (3) Eksempler
y dr dt r/ t x r/ t og dr/dt. Lengde av derivert avhenger av enheter/skalering. Eksempler
Kurvegeometri Differensial dr = dr dt dt = x dti + y dtj + z dtk = dxi + dyj + dzk Buelengdedifferensial ds = dr dt dt = dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dvs. og enhetstangent (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2 dt s (t) = dr dt (x = ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2, (4) t = 1 dr s (t) dt. Eksempler
Enhetsnormal i R 2 N = dr dt k = y i x j. Fordi N = dr dt = s (t) blir enhetsnormalen n er også enhetsnormal n = N s (t) = y i x j s = (t) y i x j (x ) 2 + (y ) 2. Enhetsnormaler er viktige, men ofte dårlig forstått Eksempler
NYTT TEMA Kurveintegraler Eksempler
Definisjon Akkumulering (summering) av en størrelse langs en kurve Viktig tilfelle Akkumulering av arbeid på partikkel langs en kurve Arbeid Arbeid = kraft ganger vei, benevning J = N m W = F s Vektorform; bare komponent av F langs vei gjør arbeid. W = F r (5) Uttrykk gjelder for F=konstant og rettlinjet vei. Hva er arbeid når F(r) og veien er en kurve? Eksempler
Diskretiseringer (eksempler) y polygon r n y tangenter r(t 5 ) C C r(t 1 ) r(t 2 ) r 1 x x Ide: Erstatt kurven (veien) med et antall rette linjestykker. Estimerer arbeid ved at W = F r brukes på hvert rett linjestykke med passende konstant verdi for F. Eksempler
Bruk av tangenter Parameterisering: r(t), t [a, b] n delintervaller: [a, a + h], [a + h, a + 2h],..,[a + (n 1)h, a + nh] der h = (b a)/n Midtpunkt i intervall i : t i = (i 1 2 )h Hvert intervall tilnærmet kurvebit r i = r (t i )h r(t i + 1 2 h) r(t i 1 2 h) På hvert intervall F F(r(t i )) = F i Arbeid på intervall i: F i r i Estimat av totalt arbeid W(n) = n F i r i = n i=1 i=1 F(r(t i )) dr(t i) dt h Eksempler
Konvergens W(n) avhenger av diskretisering Oppløsning: valg av n og h. Type av diskretisering. Polygonapproksimasjon (tidligere lysark) gir annet svar enn tangent/midtpunkt for samme oppløsning. Dersom alle fornuftige diskretiseringer gir W(n) som nærmer seg den samme verdi når h 0, dvs. n mm., ville denne verdien være en fornuftig definisjon av arbeid. Eksempler
Eksempel (dimensjonsløst) y C x r = cos ti + sintj, t [0, π 2 ] F = 1 4 (x y)i + (1 2 x + 3 2 y2 )j (6) Et lite program som beregner W(n) gir n 2 5 10 20 100 500 W(n) 3.56159 1.29244 0.96508 0.96431 0.96406 0.96405 Ser ut til å nærme seg 0.9640.. når h 0. Eksempler
Relasjon til ordinært integral Definerer vanlig funksjon : g(t) = F(r(t)) r (t) Da følger W(n) = n i=1 F(r(t i )) dr(t i) h = dt n g(t i )h, (7) i=1 som svarer til midtpunktmetoden (MAT-INF1100) for W = b a g(t)dt. (8) Grenseverdien for (7), når n blir stor, må da svare til integralet i (8). Eksempler
Midtpunktmetode for 1 2 π 0 g(t)dt for eksempel med n = 7 g(t) 0 t 4 1 2 π t Eksempler
Integrasjon i formel Innsetting r = cos ti + sintj, t [0, π 2 ] F = 1 4 (x y)i + (1 2 x + 3 2 y2 )j b g(t)dt = a = 1 2 π 0 1 2 π 0 =... F(r(t)) r (t)dt ( 1 4 (cos t sint)( sint) + (1 2 cos t + 3 2 sin2 t)cos t ) dt = 3 8 + 3π 16 0.964049... Stemmer med numerisk beregnet W(n). Eksempler
Feilestimat for midtpunktmetode Feil for enkelt intervall E i = t i + 1 2 h t i 1 2 h g(t)dt g(t i )h MAT-INF1100 og forelesningsnotater K en konstant, M maksimum av g Viktig: feil proposjonal med h 3 E i Kh 3 M, (9) Total feil (M er nå maks. i [a, b]) b n g(t)dt g(t i )h (b a)kh2 M (10) a i=1 Eksempler
Kurveintegral Definisjon W = b a F(r(t)) dr(t) dt. (11) dt r dt = dr parameteruavhengig notasjon W = F dr, (12) C Komponenter F = F x i + F y j og dr = dxi + dyj W = F dr = (F x dx + F y dy) = F x dx + C C C C F y dy. (13) Eksempler
... NB Det er viktig å huske at feks. C F x(x, y)dx ikke kan integreres ved å antiderivere med hensyn på x og sette inn endepunktene i C. Både x og y vil variere langs C. Dette blir tydelig hvis vi innfører parameteren t i integralene C C b F x dx = F x (x(t), y(t))x (t)dt, F y dy = a b a F y (x(t), y(t))y (t)dt. Eksempler
Feilestimat til senere C F dr = F(r(ˆt)) dr(ˆt ) h + Rh 3, (14) dt der C er kurvebiten parameterisert over intervallet [ˆt 1 2 h,ˆt + 1 2h] og R er begrenset av en konstant ganger ekstremverdiene av d2 (F dr dt 2 dt ) på dette intervallet. Eksempler
Når F er en gradient Anta det eksisterer en β(x, y, z) slik at Kurveintegralet blir b a F = β. F(r(t)) dr(t) b dt = dt a β(r(t)) dr(t) dt. dt Kjederegelen gir β(r(t)) r (t) = d dt { β(r(t)) } og b a F(r(t)) dr(t) b dt = dt a Integralet er uavhengig av veien. dβ(r(t)) dt = β(r(b)) β(r(a)). dt Eksempler
... Vi skriver utregningen mer direkte ved dβ = β dr: β dr = dβ = β b β a, (15) C C Analogi til analysens fundamentalteorem d c f (x)dx = f (d) f (c). Eksempler
Potensiell energi (relevant for FYS-MEK1110) Dersom F = β er et kraftfelt vil β svare til minus den potensielle energien: V = F. Endringen i potensiell energi er da lik minus det arbeidet som kraften F utfører langs C V b V a = F dr. Hvis arbeidet går til endring av kinetisk energi vil summen av potensiell og kinetisk energi holde seg konstant. C Eksempler
Arbeid med t som parameter Når tiden er parameter W = C F dr = b a F dr b dt dt = a F vdt, der v er hastigheten. F v = arbeid per tid = effekt Eksempler
NYTT TEMA Strøm- og trykkintegraler Eksempler
Volumstrøm Hastighet v. Volumstrøm, per tid, gjennom flatelement normalt v, med areal dσ Benevning for dq 3 er m 3 / s. dq 3 = ± v dσ, Når flatenormal, n, danner vinkel med v er det bare normalkomponent, v n, som gir volumstrøm dq 3 = v ndσ, Tilsvarende massestrøm er ρv ndσ, der ρ er spesifikk masse. For en hel flate må utstrømningen integreres(summeres) over flaten flateintegral som gjennomgåes siden. Eksempler
2D variant: volumstrøm i skiver Studerer skiver, eller deler av slike, med grunnflate i xy-planet og konstant tykkelse B i z-retning. Hastighet v(x, y) uniform i z retning. Grunnflate begrenset av kurve, C, i xy-planet r(t) = x(t)i + y(t)j. dr langs C sideflatesegment med areal dσ = B dr = Bds Volumstrøm dq 3 = v ndσ = v nbds, 2D fluksbegrep: Volumstrøm per tid og per tykkelse med benevning m 2 / s. dq = dq 3 B = v nds, Eksempler
Geometrisk tolkning av 2D fluks (a) v n = (v n)n (b) v n ds n v s v ds n v dt v h = v n dt Segment, lengde ds, av skive sett ovenfra. Siden segmentet er lite ser det ut som en rett linje (a): Dekomponering av hastigheten (b): Skraverte parallelogram: volumstrøm ut i tiden dt. Arealet er hds = ds v n dt. Eksempler
Kurveintegralet for volumstrøm dq summert over sidekant svarende til kurve C i xy-planet Q = v nds (16) Parameterisering r(t), innsetting ds = s dt Q = v(r(t)) n(t)s (t)dt C C Har fra før n = N/s ns = N = r k = y i x j Q = v nds = (v x y v y x )dt = (v x dy v y dx). (17) C C Må passe på at kurven gjennomløpes slik at n peker mot høyre, sett ovenfra.* C Eksempler
Trykkintegral langs kontur Trykk: kraft per flate, rettet normalt inn mot flaten. På flatesegment dσ, med enhetsnormal n, blir kraften df = pndσ. (18) Trykk har benevning N/ m 2. Trykk-kraft på flate flateintegral Igjen: ser på sidekanter av skive med tykkelse B. Da er dσ = Bds og df 2 = df/b = pndσ/b = pnds, der df 2 har bevevning N/ m dvs. kraft per lengde. Summert langs profil definert ved kurve c i x, y-planet F 2 = pnds. (19) C Eksempler
... Dekomponering F 2 = F x i + F y j. F 2 = pns (t)dt = p(y i x j)dt = i dvs C C F x = C pdy, F y = C C pdx pdy + j C pdx. Nok en gang: må huske at både x og y varierer langs C; generelt er det feil å antiderivere p mhp. y og x. (20) Eksempler
Eksempel, trykk på dam y g p = p 0 x dr n v = 0 x = b(y) y = H Likevekt hydrostatisk trykk: p = p 0 ρgy (tas bare for gitt nå) Ex H08: finn kraften på profilen når. b(y) = αy 2 Eksempler
... Bruker y som parameter Dette gir r(y) = b(y)i + yj = αy 2 i + yj. F x = p(y)dy = C = p 0 H 1 2 ρgh2, 0 H (p 0 ρgy)dy = [ p 0 y 1 2 ρgy2] 0 H F y = C p(y)dx = C p(y) dx dy dy = 0 H (p 0 ρgy)b (y)dy = 0 H (p 0 ρgy)2αydy = = [ α(p 0 y 2 2 3 ρgy3 ) ] 0 H = α ( p 0 H 2 + 2 3 ρgh3). Eksempler
NYTT TEMA Nettoutstrømning, sirkulasjon divergens og virvling Eksempler
Sirkulasjon Sirkulasjon for en lukket kurve, λ Γ = v dr, (21) som har mening både i to og tre dimensjoner. integrasjonen omkring lukket kurve Omløpsretning må defineres I R 2 er omløpsretning vanligvis mot urviserne sett ovenfra (fra positive z verdier λ (21) er samme type integral som arbeidsintegralet, med F erstattet med v. Eksempler
Volumstrøm ut av et lukket område Volumstrømmen(fluksen) per tykkelse og tid ut av en lukket skive Q = v nds. (22) λ er skivens omriss i xy-planet n er rettet ut av området ds regnes positiv Q > 0 nettostrøm ut av området Q < 0 nettostrøm inn i området λ Eksempler
Divergens av vektorfelt λ snøres sammen til punkt, r 0 Q 0. Hva med netto relativ utstrømning? Q A = 1 v nds, A der A er arealet omsluttet av λ. λ snøres sammen til r 0 både Q og A 0 Divergens definert som grenseverdi Skalarfeltet v er divergensen λ Q v(r 0 ) = lim A 0 A. (23) Eksempler
... 1 Eksisterer grensen i det hele tatt? 2 Dersom den eksisterer er det klart den avhenger av feltet v og posisjonen r 0, men er det likegyldig hvordan vi snører sammen kurven λ? 3 Er det en mer direkte relasjon mellom vektorfeltet v og skalarfeltet v? 4 Hvorfor bruker vi den spesielle notasjonen? 1 og 2 kan besvares med ja når vi har gjennomgått integralsatsene. 3 skal vi besvare ved å se på grensen for enkle kurver λ 4 besvares vha. resultat i 3 Eksempler
Utstrømning av et rektangel v y n = j λ 2 n = i λ 1 h (x 0, y 0 ) v x λ 3 h n = i n = j Rektangel λ med enhetsnormaler og oppdeling, areal A = h 2. Vi lar område 0 ved h 0. Det fokuseres først på strøm gjennom λ 1 : Q 1. λ 4 Eksempler
Bruk av numerisk integrasjonsformel Q 1 = v ids = λ 1 y 0 + 1 2 h y 0 1 2 h v x (x 0 + 1 h, y)dy 2 Når h er liten kan vi kanskje bruke midtpunktmetoden? F dr = F(r(ˆt)) dr(ˆt ) h + Rh 3, dt C gir her Q 1 = hv x (x 0 + 1 2 h, y 0) + R 1 h 3 der R 1 er begrenset av M = 1 24 max 2 v x y 2 på λ 1 Vi kan ignorere feilledd R 1 h 3, hvorfor? Eksempler
... Skal finne Q lim h 0 A = lim Q 1 + Q 3 + Q 2 + Q 4 h 0 h 2. Bidrag fra feilledd i Q 1 i siste brøk er R 1 h 3 h 2 = hr 1, som 0 når h 0. Feilledd kan sløyfes for alle fire sider (λ i, i = 1, 2, 3, 4). Deler opp Q lim h 0 A = lim Q 1 + Q 3 Q 2 + Q 4 h 0 h 2 + lim h 0 h 2. Dvs. tar λ 1 + λ 3 (parallelle med y-aksen) og λ 2 + λ 4 (parallelle med x-aksen) hver for seg. Eksempler
n = i λ 3 λ 2 h v y n = j (x 0, y 0 ) λ 1 v x n = i h n = j λ 4 y 0 + 1 2 h 1 Q 3 = v ( i)ds = v x (x 0 2 h, y)dy hv x(x 0 1 h, y)h. 2 λ 3 y 0 1 2 h Eksempler
Q 1 + Q 3 lim h 0 h 2 = lim h 0 = v x(x 0, y 0 ) x ( vx (x 0 + 1 2 h, y 0) v x (x 0 1 2 h, y ) 0) Dividert differanse svarer til midtpunktformelen for den deriverte. Q 1 + Q 3 kan leses som: volum ut λ 1 - volum inn λ 3, der fortegn kommer fra retning på n. h Eksempler
Samme behandling av Q 2 + Q 4 Q 2 = Q 4 = Midtpunktformel v jds = λ 2 Q 2 + Q 4 lim h 0 h 2 = lim h 0 x 0 + 1 2 h x 0 1 2 h v y (x, y 0 + 1 2 h)dx, x 0 + 1 2 h v ( j)ds = v y (x, y 0 1 2 h)dx. x λ 0 1 4 2 h = v y(x 0, y 0 ) y ( vy (x 0, y 0 + 1 2 h) v y(x 0, y 0 1 2 h) ) h Eksempler
Divergensen Q v = lim h 0 A = lim Q 1 + Q 3 + Q 2 + Q 4 h 0 Grenseovergang derivasjonsoperator Uttrykk for divergens (spørsmål 3) h 2 = v x(x 0, y 0 ) x v = v x x + v y y + v y(x 0, y 0 ). y Eksempler
Hvorfor notasjon v (spørsmål 4)? Skrivemåten v er motivert av den formelle regningen ( v = i x + j ) (v x i + v y j) y Tilsvarende i 3D: = i i v x x + j i v x y + i j v y x + j j v y y = v x x + v y y. Divergensen av v = v x i + v y j + v z k er v = v x x + v y y + v z z Eksempler
Hvorfor er divergens viktig? Divergens er utstrømning/innstrømning til et punkt. Begrepet er helt avgjørende for å forstå og beskrive oppførsel av væskestrøm. Divergens er viktig i andre sammenhenger enn væskestrøm Fluksregnskap for små rektangler (bokser, celler), med feks. midtpunktmetode for integraler langs sideflatene, er viktige i konstruksjon av modeller for feks. dynamikk i hav og atmosfære. Eksempler
Avledning av divergensdefinisjon v x x + v y y = lim Q A 0 A = lim 1 A 0 A λ (v x dy v y dx) Valg av hhv. v x = P, v y = 0 og v x = 0, v y = Q gir P x = lim 1 A 0 A Q y = lim 1 A 0 A For vilkårlige skalarfelter P og Q. λ λ Pdy. Qdx. Eksempler
Virvlingen til et 2D vektorfelt Som for relativ utstrømning ser vi på grenseovergangen av sirkulasjonsintegralet Γ lim A 0 A = lim 1 1 v dr = lim (v x dx + v y dy). (24) A 0 A λ A 0 A λ Bruker avledninger på forrige lysark med Q = v x og P = v y Γ lim A 0 A = lim 1 1 v y dy + lim v x dx = v y A 0 A A 0 A x v x y λ λ (25) Siste uttrykket representerer størrelsen av virvlingen Eksempler
Virvlingen, notasjon og utregning Virvlingensvektoren i 2D i j k v = x y 0 v x v y 0 = Formell determinant i analogi med kryssprodukt Vi kan skrive 1 lim v dr = k v. A 0 A λ Eller si at for små A er v dr Ak v. λ Disse uttrykkene blir generalisert og skjerpet senere ( vy x v ) x k. (26) y Eksempler
Virvlingensvektoren i 3D A = = i j k x y z A x A y A z ( ) ( ) ( ) A z y Ay A z i + x z Az A x j + y x Ax y k. (27) Eksempler
v funnet ved Taylorutvikling n = i λ 3 λ 2 h v y n = j (0, 0) λ 1 v x h n = i n = j Forenkling: x 0 = y 0 = 0. Strøm gjennom λ 1 : 1 2 h Q 1 = v x ( 1 2h, y)dy 1 2 h Setter inn v x ( 1 2 h, y) = v x(0, 0) + vx x λ 4 h 2 + vx y y +... Igjen h 2 (Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 ) vx x + vy y når h 0. Hvorfor kan vi kutte ut fom. andreordens ledd i Taylorpolynomet? Eksempler
Andre enkle kurver n = i n = 1 2 (i + j) v n = 1 2 (v x + v y ) v x λ2 h v y λ 1 (x 0, y 0 ) n = j Analyse med midtpunktintegrasjon eller Taylorutvikling kan lett gjøres også for, feks., triangel. Konsistent definisjon av divergens og virvling i hht. generelle kurver innbakt i integrasjonssatser i kap. 6. λ 3 Eksempler
NYTT TEMA Todimensjonal divergensfri strøm og strømfunksjonen Eksempler
Strømfunksjonen Definisjon av strømfunksjon, ψ Gitt et hastighetsfelt i to dimensjoner v = v x i + v y j Dersom det finnes et skalarfelt, ψ(x, y), slik at er ψ(x, y) en strømfunksjon v x = ψ y, v y = ψ x (28) Lett å vise: Eksistens av ψ v = 0 Dersom det finnes en strømfunksjon slik at (28) gjelder er v divergensfri v = v x x + v y y = x ( ψ ) + y y ( ) ψ = 2 ψ x x y + 2 ψ y x = 0 Eksempler
... Finnes alltid en ψ når strøm er 2D og divergensfri? Ja, under visse ekstra forutsetninger. Dette viser vi siden når integralsatsene er gjenomgått. Foreløpig finner vi strømfunksjoner for gitte divergensfrie hastighetsfelter. Har vi faktisk funnet en ψ eksisterer den jo! Eksempler
Gitt v, finn ψ; eksempel U er en konstant. Skal finne en ψ slik at v = v x i + v y j = U{(x + y)i + (x y)j}. v x = ψ y, v y = ψ x, for akkurat dette hastighetsfeltet Eksempler
1 Sjekker divergensfrihet v = v x x + v y y = U U = 0 Ikke strengt nødvendig, men en fornuftig start 2 Bruker v x = ψ y Antiderivasjon mhp. y ψ y = v x = U(x + y) ψ = Uxy 1 2 Uy2 + F(x), der F(x) er integrasjonskonstant 3 Setter resultat inn i v y = ψ x v y = U(x y) = ψ x = Uy + F (x) F (x) = Ux. Får F = 1 2 Ux2 + C der C er en konstant. Eksempler
Resultat ψ = 1 2 Ux2 1 2 Uy2 Uxy + C. Valg av C vilkårlig. I kompendiet regnes det litt anderledes ψ y = v x = U(x + y) ψ = Uxy 1 2 Uy2 + F(x), ψ x = v y = U(x y) ψ = 1 2 Ux2 Uxy + G(y). Sammenlikning av de to uttrykkene for ψ viser at G = 1 2 Uy2 + C og F = 1 2 Ux2 + C. Eksempler
Hva når ψ ikke finnes Nå er v = U + U = 2U 0. Bruker v x = ψ y v = U{xi + yj}. ψ y = v x = Ux ψ = Uxy + F(x), Setter resultat inn i v y = ψ x v y = Uy = ψ x = Uy + F (x) F (x) = 2Uy. Dette er umulig, med mindre U = 0; det finnes ingen ψ Eksempler