Ekvivalente utsagn Definisjoner: Et sammensatt utsagn som ALLTID er SANT kalles for en TAUTOLOGI. Et sammensatt utsagn som ALLTID er USANT kalles for en SELVMOTIGELSE eller en KONTRADIKSJON (eng. contradiction). Eksempler: Tautologi : p V p Selvmotsigelse: p Λ p To utsagn er EKVIVALENTE hvis de har samme sannhetsinnhold. Det betyr p og q er logisk like og at p q alltid er sant. Dette betegnes med p q Vi kan bruke sannhetsverditabell til å avgjøre om to utsagn er ekvivalente. Hvis kolonnene for de to utsagnene er identiske, er utsagnene ekvivalente. NB! To ekvivalente utsagn trenger ikke ha samme påstand, så lenge de har samme sannhetsverdi: 1
p: 2 > 3 q: 3 > 4 Siden p og q begge er usanne er de logisk ekvivalente. Eksempler: p Λ T p p V T T p V p T p V p p p V F p p Λ F F p Λ p F p Λ p p ( p ) p p V q q V p p Λ q q Λ p Unære og binære operatorer. En unær operator har tar en operand. Eksempel: En binær operator tar to operander. Eksempel: Vi bruker parenteser for gruppere delutsagnene og derved vise hvilke operander som hører til hvilke operatorer. 2
Eksempler: Vi har forskjellig lover som kan brukes til å omgjøre og eventuelt forenkle sammensatte utsagn. Morgans to lover: ( p V q ) p Λ q Siden de to siste kolonnene er like er (p V q) p Λ q (p Λ q) p V q 3
Siden de to siste kolonnene er like er (p Λ q) p V q Distributive lover: På tilsvarende måte kan vi vise at Men hvordan er det hvis det er den samme operatoren mellom alle de tre utsagnene? p Λ (q Λ r)? eller p V (q V r)? 4
Når det er samme operator (dvs. Λ ELLER V) mellom alle delutsagnene spiller det ingen rolle hvor vi setter parentesene. Assosiativ lov: p Λ (q Λ r) (p Λ q) Λ r p V (q V r) (p V q) V r Tabeller over ekvivalenser hentet fra læreboken: 5
Predikater, kvantorer og utsagnsfunksjoner En utsagnsfunksjon: En funksjon P der P(x) er et utsagn for hver aktuell verdi av x, kalles en utsagnfunksjon. Eksempel La P(x) være gitt ved: x > 10, der x er et heltall. Sannhetsverdien av x > 10 vil være avhengig av verdien av x. Da er P(x) en utsagnsfunksjon. Variabelen x kalles for funksjonens subjekt, og x > 10 kalles for funksjonens predikat. En funksjon har en definisjonsmengde, dvs. de verdiene av x der funksjonen er definert. I dette eksempelet er definisjonsmengden alle hele tall. Vi kan lage utsagn ved hjelp av utsagnfunksjoner. Hvis vi setter inn en konkret verdi for x (dvs. for subjektet) i en utsagnsfunksjon kan vi avgjøre sannhetsverdien av utrykket og dermed har vi fått et utsagn: P(2): 2 > 10 er usant. Nedenfor ser du et eksempel på en utsagnfunksjon i Java, dvs. en boolsk metode: 6
Kvantorer ( eng.quantifier ) Symbolet kalles for «all-kvantoren» og symbolet kalles for «eksistens-kvantoren». La P(x) være en utsagnfunksjon. Hvis vi har bestemt definisjonsmengden for x kan vi avgjøre sannhetsverdien til uttrykkene x P(x) og x P(x). Dvs. Hvis vi setter en kvantor ( x eller x) foran en utsagnsfunksjon får vi et kvantorutsagn. x P(x) leses som «For alle x er det slik at P(x)» x P(x) leses som «Det eksisterer en x slik at P(x)» eller «Det finnes en x slik at P(x)» I alle tilfellene over er det underforstått at x må være i definisjonsmengden for P(x). Huskeregler: 7
Negasjoner Vi får negasjonen til et kvantorutsagn ved å sette (ikke) foran: «Det eksisterer ikke en eneste x slik at P(x) gjelder.» er det samme som «For alle x er det slik at ikke P(x) gjelder.» «Det er ikke for alle x at P(x) gjelder.» er det samme som «Det eksisterer minst en x som ikke P(x) gjelder for.» Dette er en generalisering av De Morgans lover: Bevis: Anta at definisjonsmengden til P(x) består av de endelige mange verdiene Da har vi at: Negerer vi disse uttrykkene og bruker de Morgans lover får vi 8
9