Løsningsforslag til øving 14

Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY13 Elektromagnetisme Vår 29 Løsningsforslag til øving 14 Oppgave 1 Den påtrykte strømmen I genererer et H-felt H ni på langs overalt inne i spolen (pga Amperes lov for H). Derme er et bare å benytte at for å bestemme e ulike størrelsene: Inne i jernstaven: B µ (H + M) µ r µ H H j ni 2 m 1 3 A 6 A/m B j µ r µ H j 2 4π 1 7 (Vs/Am) 6 A/m 15 T I en luftfylte elen inne i spolen: M j (µ r 1)H j 1.2 1 7 A/m H H j 6 A/m B µ H 7.5 mt M Den beregnee magnetiseringen inne i jernstaven, M j 1.2 1 7 A/m, er større enn metningsmagnetiseringen M s 1.6 1 6 A/m, og erfor ikke fysisk mulig. Årsaken er at vi har brukt en lineære sammenhengen B µ r µ H mellom magnetfeltet B og feltet H fra en påtrykte strømmen. Her har vi imilerti et så sterkt ytre felt H at en slik lineær sammenheng ikke lenger er gylig. Samtlige magnetiske ipolmoment er rettet inn langs et påtrykte feltet alleree ve H M s /µ r 8 A/m. Ytterligere økning i H gir ingen økning i M. Korrigert, maksimal veri for B j blir B korr j µ (H j + M s ) 4π 1 7 (6 + 1.6 1 6) 2 T Oppgave 2 a) Vi har brukt Amperes lov i forelesningene til å regne ut magnetfeltet inne i en slik lang spole: B µ ni 1 µ N 1 I 1 1

En vikling av spoletråen omslutter et areal A π 2, og erme en magnetisk fluks φ BA µ N 1 I 1π 2 Da må N 1 viklinger omslutte en fluks som er N 1 ganger så stor, for her er jo magnetfeltet konstant overalt inne i spolen. Altså: φ 1 N 1 φ µ N 2 1 I 1π 2 En vikling av spole 2 omslutter her akkurat et samme arealet, og erme like stor fluks φ, slik at N 2 viklinger av spole 2 må omslutte en total magnetisk fluks lik N 1 N 2 φ 2 N 2 φ µ I 1 π 2 b) Selvinuktansen L blir c) Gjensiig inuktans M blir L φ 1 I 1 µ N 2 1 π2 M φ 2 N 1 N 2 µ π 2 I 1 ) Tallverier: L 4π 1 7 122.6 π.12 9.5 1 4 M 4π 1 7 12 6 π.1 2 4.7 1 4.6 I SI-systemet har inuktans fått sin egen enhet, henry (H). Her blir altså selvinuktansen.95 mh og en gjensiige inuktansen.47 mh. Alternativt kunne vi f.eks. ha brukt enheten T m 2 /A, ettersom magnetisk fluks må ha enheten til magnetfelt ganger areal, vs T m 2. Oppgave 3 Dielektrisk skive på tvers i konstant ytre elektrisk felt E : Her har vi grenseflater som står normalt på feltene. Vi kan ikke uten viere bruke grenseflatebetingelsen for E for vi vet ikke hvor mye laning vi har i grenseflatene mellom vakuum og ielektrikum. Vi vet at et inuseres bunet laning, positiv i øvre flate og negativ i nere flate, men ikke hvor mye. Men vi kan bruke grenseflatebetingelsen for D, for vi vet at et er null fri laning i skiva. Derme har vi D 1 D, er D ε E er elektrisk forskyvning utenfor skiva. Dessuten har vi at D 1 ε 1 E 1 ε r ε E 1. Derme: D 1 ε E E 1 1 ε r E 2

Dielektrisk skive på langs i konstant ytre elektrisk felt E : Nå har vi grenseflater parallelt me feltretningen. Da kan vi bruke at parallellkomponenten til E er kontinuerlig, vs E 1 E. Sammenhengen D 1 ε r ε E 1 gjeler selvsagt fortsatt, så D 1 ε r ε E E 1 E Magnetiserbar skive på tvers i konstant ytre magnetfelt B : Her har vi igjen grenseflater som står normalt på feltene. Vi kan a benytte oss av at B n er kontinuerlig, vs B 1 B. Dessuten har vi at B 1 µ 1 H 1 µ r µ H 1. Derme: H 1 B 1 B 1 µ r µ B Magnetiserbar skive på langs i konstant ytre magnetfelt B : Grenseflatene er parallelt me feltene. Vi vet at et inuseres magnetiseringsstrøm i skivas overflate men ikke hvor mye. Men vi kan bruke grenseflatebetingelsen for H, for vi vet at et er null fri strøm i skiva. Derme har vi H 1 H, er H B /µ er H-feltet utenfor skiva (vakuum). Dessuten har vi B 1 µ r µ H 1. Derme: H 1 1 µ B B 1 µ r B Forklaring på ulik E 1 og B 1 i e to tilfellene: Dielektrisk skive på tvers gir polarisering, og tilhørene inusert laning i overflaten. Den inuserte laningen gir birag til feltet motsatt rettet et ytre feltet, slik at E 1 blir minre enn E. Me skiva på langs blir en inuserte overflatelaningen lokalisert uenelig langt unna er vi er. Derme birar en ikke til feltet er vi er, og E 1 E. Magnetiserbar skive på langs gir magnetisering, og tilhørene inusert strøm i overflaten. Den inuserte strømmen gir birag til feltet i samme retning som et ytre feltet, slik at B 1 blir større enn B. Me skiva på tvers blir en inuserte overflatestrømmen lokalisert uenelig langt unna er vi er. Derme birar en ikke til feltet er vi er, og B 1 B. Oppgave 4 a) Arealet som strømsløyfa omslutter er L x, og ette øker lineært me tien, A/t Lx/t Lv. Omsluttet magnetisk fluks er φ B A BLx, slik at inusert ems i strømsløyfa blir E φ/t BLx/t BLv. Sløyfa har resistans, så ifølge Ohms lov blir strømmen i kretsen I E/ BLv/ Strømmen går mot klokka. Det innser vi fori kraften på en positiv laning q i metallstanga, qv B, er rettet oppover. Alternativt, me Lenz lov: Økene areal gir økene omsluttet 3

magnetisk fluks inn i planet. Strømmen må a gå i en slik retning av fluksen på grunn av I peker ut av planet når vi er på innsien av sløyfa. b) Strømmen I går oppover i metallstanga, magnetfeltet peker inn i planet, så magnetsk kraft på strømmen I blir rettet mot venstre og er F ILB B 2 L 2 v/ c) Fra forrige punkt har vi altså at vi må trekke metallstanga bortover mot høyre me en kraft F for å oppretthole konstant hastighet. Slipper vi stanga, blir en eneste krafta som virker en (bremsene) magnetiske krafta mot venstre. Newtons 2. lov gir oss a følgene bevegelsesligning: m v t L 2 v B2 Dette er en 1. orens ifferensialligning for v(t). Løsning: v v er vi brukte initialbetingelsen v() v. B2 L 2 m t ln v B2 L 2 m t + ln k v(t) k e B2 L 2 t/m v(t) v e B2 L 2 t/m ) Vi må regne ut hvor mye energi som tapes som varme i motstanen. Effekttapet er lik V I, er V er spenningsfallet over motstanen, vs V I. Da effekttap er energitap pr tisenhet, kan vi skrive W P t V I t I 2 t for energien W tapt på et tisrom t. Vi har i a funnet I uttrykt ve metallstangas hastighet v, så et er bare å sette inn. Totalt energitap må bli integralet av W, vs fra t til t : som var et vi skulle vise. W W I 2 t B2 L 2 v 2 B2 L 2 v 2 mv 2 /2 ( ) BLv 2 t e 2B2 L 2 t/m t ( m ) e 2B2 L 2 t/m 2B 2 L 2 4

Oppgave 5 a) Magnetfelt fra lang, rett strømførene leer er B(x) µ I/x, er x er avstanen fra leeren. På planet som her er omsluttet av en kvaratiske sløyfa peker magnetfeltet rett ut av papirplanet. x-aksen er valgt oppover. Magnetfeltet og flateelementvektoren A er parallelle, så vi har rett og slett φ B A for fluks gjennom flateelement A. Her velger vi horisontal stripe me bree a og høye x som flateelement. Total fluks omsluttet av en kvaratiske sløyfa får vi ve å summmere opp slike striper, vs ve å integrere fra x til x + a. (Vi har valgt x er en rette leeren ligger.) φ φ +a µ Ia µ I x a x +a ln x µ Ia ln + a b) Inusert ems er lik en tiseriverte av omsluttet magnetisk fluks: E φ t µ Ia µ Ia µ Iav (ln( + a) ln ) t ( 1 + a t 1 ) t a ( + a) Her har vi brukt at v /t, og nå er ikke en konstant avstan, men en avstan som øker lineært me tien, f.eks. (t) + vt. Fluksen opp av planet avtar me tien. Da må inusert ems og tilhørene strøm bli mot klokka for å motvirke ette. c) Hvis sløyfa trekkes mot høyre, enres ikke fluksen innenfor sløyfa. Derme blir inusert ems lik null. 5