Midtveiseksamen MET 11802 Matematikk Dato 7. desember 2016 kl 0900-1200 Oppgave 1. En bankkonto gir 2% rente, og renten kapitaliseres årlig, ved årets slutt. Vi setter 1. oktober 2015 inn 200.000 kr på denne bankkontoen, og vil vite hvilket år balansen overstiger 250.000 kr ved årsslutt. Hvilket år inneer dette for første gang? (a) 2017 (b) 2026 (c) 2027 (d) 2035 Oppgave 2. Vi kjøper en konakt som gir rett til en årlig utbetaling på 100.000 kr, første gang etter e år og hvert år siden. Fair pris for en slik konakt er lik nåverdien av konaktsfestet kontantsøm. Hva er fair pris for konakten om diskonteringsrenten er r = 10%? (a) Mindre enn 600.000 kr (b) Mellom 600.000 kr og 800.000 kr (c) Mellom 800.000 kr og 900.000 kr (d) Mer enn 900.000 kr Oppgave 3. Vi kjøper en konakt som gir rett til en årlig utbetaling, først gang etter e år og hvert år siden. Utbetalingen etter e år er på 100.000 kr, og deretter øker utbetalingen med 2% per år. Fair pris for en slik konakt er lik nåverdien av konaktsfestet kontantsøm. Hva er fair pris for konakten om diskonteringsrenten er r = 10%? (a) Mindre enn 700.000 kr (b) Mellom 700.000 kr og 900.000 kr (c) Mellom 900.000 kr og 1.000.000 kr (d) Mer enn 1.000.000 kr Oppgave 4. Et boliglån på 3.000.000 kr gis som et annuitetslån med nominell rente 2,40% per år, med terminlengde én måned og med 20 års nedbetalingstid. Det er avtalt at det skal være 5 års innbetalingsfrihet, derfor betales det faste månedsbeløpet A første gang etter 5 år, og deretter månedlig slik at det tilsammen er 240 innbetalinger på A kr. Hva er de samlede rentene på annuitetslånet? (a) Mindre enn 1.200.000 kr (b) Mellom 1.200.000 kr og 1.260.000 kr (c) Mellom 1.260.000 kr og 1.350.000 kr (d) Mer enn 1.350.000 kr 2
Oppgave 5. Vi beakter ulikheten Hvilket utsagn er sant? 6 x x 2 + 4 1 (a) Løsningsmengden er [ 2,1] (b) Løsningsmengden er (, 2] [1, ) (c) Løsningsmengden er [1, ) (d) Det er ingen løsninger Oppgave 6. Vi beakter likningen Hvilket utsagn er sant? 1 x = x x + 1 (a) Likningen har ingen løsninger (b) Likningen har en negativ og en positiv løsning (c) Likningen har to negative løsninger (d) Likningen har to positive løsninger Oppgave 7. Vi beakter likningen Hvilket utsagn er sant? ln x = 2 ln x + 4 (a) Likningen har ingen løsninger (b) Likningen har én løsning, og den er positiv (c) Likningen har én løsning, og den er negativ (d) Likningen har ere løsninger Oppgave 8. Funksjonen gitt ved f(x) = x2 3x 1 x + 3 har én vertikal asymptote x = a og én skrå asymptote y = x + b. (a) a b = 0 (b) a b = 3 (c) a b = 3 (d) a b = 6 3
Oppgave 9. Vi beakter funksjonen gitt ved Tangenten til f i x = 0 har stigningstall: (a) 0 (b) 1 (c) 1 (d) 2 f(x) = x 2 ln(1 x) Oppgave 10. Vi beakter funksjonen gitt ved f(x) = x2 3x x + 1 (a) Funksjonen f har ingen lokale minimumspunkter (b) Funksjonen f har ett lokalt minimumspunkt, og det er x = 3 (c) Funksjonen f har ett lokalt minimumspunkt, og det er x = 1 (d) Funksjonen f har ere lokale minimumspunkter Oppgave 11. Vi beakter funksjonen gitt ved f(x) = x2 3x x + 1 (a) Funksjonen f er konveks (b) Funksjonen f er har ett vendepunkt (c) Funksjonen f er har ere vendepunkter (d) Funksjonen f har ingen vendepunkter Oppgave 12. Etterspørselen etter en vare er gitt ved Elastisiteten El p D(p) = 1 for: D(p) = 110 5p (a) p = 7 (b) p = 11 (c) p = 16/5 (d) p = 22 4
Oppgave 13. Vi beakter funksjonen gitt ved (a) Funksjonen f har ingen omvendt funksjon (b) Funksjonen f er voksende (c) Funksjonen f er avtagende (d) Funksjonen f har en omvendt funksjon f(x) = ln(x 2 5x + 7), D f = [2,3] Oppgave 14. Vi beakter grenseverdien lim x 1 x ln x e x (a) Grenseverdien eksisterer ikke (b) Grenseverdien er 1 (c) Grenseverdien er 1/2 (d) Grenseverdien er 0 Oppgave 15. Vi beakter funksjonen gitt ved f(x) = 1 + 8x 2x 2 x 4 (a) Funksjonen f har hverken maksimum eller minimium (b) Funksjonen f har maksimum men ikke minimum (c) Funksjonen f har minimum men ikke maksimum (d) Funksjonen f har både maksimum og minimum 5
Handelshøyskolen BI MET1180 Matematikk Formelsamling 1 Finansmatematikk 3 Lineær algebra Geomeiske rekker. En endelig geomeisk rekke har sum S n = a 1 1 kn 1 k og en uendelige geomeisk rekke har sum S = a 1 1 1 k når k < 1 Nåverdier. Nåverdien K 0 til en innbetaling K n er henholdsvis K 0 = K n (1 + r) n og K 0 = K n e rn ved diskret og kontinuerlig diskonteringsrente. 2 Integrasjon Integrasjonsmetoder. a) Delvis integrasjon: u v dx = uv b) Substitusjon: f(u)u dx = c) Delbrøksoppspaltning: ( px + q (x a)(x b) = uv dx f(u) du A x a + B ) dx x b Cramers regel. Et lineært system Ax = b der A 0 har en entydig løsning gitt ved x 1 = A 1(b) A x 2 = A 2(b) A... x n = A n(b) A der A i (b) er maisen som framkommer ved å bytte ut kolonne i fra maisen A med b. 4 Funksjoner i ere variable Annenderivert-testen. Et stasjonært punkt (x, y ) for funksjonen f(x, y) er et a) lokalt minimum om A > 0 og AC B 2 > 0 b) lokalt maksimum om A < 0 og AC B 2 > 0 c) sadelpunkt om AC B 2 < 0 når vi setter A = f xx(x, y ), B = f xy(x, y ) og C = f yy(x, y ). Nivåkurver. På nivåkurven f(x, y) = c er den deriverte y = dy/dx gitt ved dy dx = f x f y Totalderivasjon. Når z = f(x, y), og vi har x = x(t) og y = y(t), så er den totalderiverte dz dt = f x dx dt + f y dz dt Areal. Regionen gitt ved f(x) y g(x) for a x b har areal A = b a (g(x) f(x)) dx
SVARARK TIL FLERVALGSEKSAMEN ANSWER SHEET FOR MULTIPLE CHOICE EXAMINATION Eksamenskode: Ëxamination code: Skriv tvdeliq! Fvll ut msd El Annuler kryss med t H lt fylt rute blir ikke regisert Dette svararket loses kun av en maskin. Ikke noe av det du skriver utênon de definerte fettene blir lest elller tatt hensyn ti. lkke kluss pâ arket. Be hellel om et nytt. This ansrver sheet is only read by a machine. Answers or comments wtittên on ths sxamioation paper or outs do the boxes will not be graded' Do not scr bble on th s shset. Please ask fot a new answêr sheet if you neod one. lnitialer: Personal initials: ld-nummer: (SKAI fylles ut!) ld-number: EI u n n a be filled in!) M L t T o L,VN 0 I L J 4 5 (, Write clearlv! 0 Record answer with El 1 EI u Cancel a cross with I 2 Compl. filled boxes will not be registered E E] rl 3 E EI 4 t EI E 5 EI EI 6 E n E 7 n ft I EI 9 E 0 1 2 3 4 5 6 7 I o 1 EU 2 EU 3 T]EIE 4 E]ENE E] 5 E 6 nn 7 ftneel I EnElEt e nele 10 EE 11 n 12 ENE 13 NEEN 14 EIEE]E 15 EEttEn 16 ntfte 17 NEEE 18 EEn 1e uenn 20 ftnfl 21 nnen 22 nnnnn 23 24 E 25 nteluet 26 Elnnn 27 T]El 28 E 2s ElEUtl 30 [I 31 E]EIfIN 32 Enn 33 En 34 EIE 35 Enn 36 ftetf] 37 nn[ n 38 ET] 3e tete 40 nn 41 EN 42 nei æ ElnEn 44 EIEI 45 E 46 netnfl 47 EIET] 48 4e 50 nen 51 E nn 52 nnnn s3 nnn 54 EIEIE 55 ne 56 n 57 nn 58 EnnE 5e DnnEn 60 Enn 61 62 n 63 Enn 64 818181 65 nele 66 nn 67 ElE 68 I]E EI 6e 70 ftne 71 n 72 EnE 73 nnnen 74 NEIE 75 NEE 76 TNEE 77 ne 78 nnunn 79 EEN 80 EInn 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 NEE nen EIEIT]EI EIEI EIET]E]EI nnn EËENN 8n n 88 NEEEI ENEN EtEt 81 n nn n8 nn ENE Ennn