Produktvalg ITD20106: Statestikk og Økonomi 1
Bedrifter må ofte forholde seg til ulike begrensninger som gir flaskehalser i produksjonen. Eksempler: Begrenset kapasitet på en maskin i produksjonsavdelingen Begrenset tilgang på et råstoff Begrenset antall arbeidstimer tilgjengelig for en spesialarbeider Hvordan skal vi til en hver tid utnytte disse begrensede ressursene best mulig?
Vi skal ta en kortsiktig beslutning Ved en kortsiktig beslutning blir målet å tjene mest mulig penger Faste kostnader er virkelig faste på kort sikt Målet blir derfor å oppnå høyest mulig totalt dekningsbidrag Hvordan skal vi til en hver tid utnytte en begrenset ressurs slik at vi oppnår høyest mulig totalt dekningsbidrag?
Eksempel: En bedrift produserer og selger vaser, skåler og fat laget av en spesiell leire. Bedriften klarer ikke å skaffe nok av leiren. Den leiren de har tilgjenglig må utnyttes best mulig! Forbruk av leire per stk Vase Skål Fat 5 kg 4 kg 2 kg DB per stk 300 kr 100 kr 150 kr Skal vi bruke leiren til vaser, skåler eller fat? Av 100 kg leire kan vi produsere 20 vaser, 25 skåler eller 50 fat. Disse alternativene gir følgende totale DB: Vaser: 20 300 kr = 6 000 kr Skåler: 25 100 kr = 2 500 kr Fat: 50 150 kr = 7 500 kr Vi velger å produsere fat!
Når vi velger å produsere fat utnytter vi den knappe faktoren best mulig. Forbruk av leire per stk Vase Skål Fat 5 kg 4 kg 2 kg DB per stk 300 kr 100 kr 150 kr Regel: Vi velger det produktet som gir høyest dekningsbidrag per enhet forbrukt av den knappe faktoren: Vaser: 300 kr / 5 kg = 60 kr i DB per kg leire Skåler: 100 kr / 4 kg = 25 kr i DB per kg leire Fat: 150 kr / 2 kg = 75 kr i DB per kg leire (Med 100 kg leire får vi totalt DB på hhv. 6 000 kr, 2 500 kr og 7 500 kr)
Hva ville løsningen blitt hvis vi kunne skaffe ubegrensede mengder leire? Siden alle de tre produktene gir positive dekningsbidrag, bør det produseres så mye som mulig av alle tre. Men etter hvert må det komme inn andre begrensninger, som f.eks. hvor mye det er mulig å selge av produktene.
Oppgave: En fabrikk produserer de to produktene x og y som begge bearbeides av maskin nr 1 og maskin nr 2: x x y M 1 M 2 y Maskin 1 har så stor kapasitet at den aldri vil bli benyttet fullt ut. Maskin 2 har en kapasitet på 600 arbeidstimer per år, og er derfor en flaskehals. En stk x bruker 2 timer ved maskin 2, mens en stk y bruker 1 time. En stk x gir 500 kr i dekningsbidrag og en stk y gir 400 kr. Hvor mange x og y bør man produsere per år?
Løsning: Her har vi en knapp faktor maskin 2. Vi prioriterer produktene etter DB per flaskehalsenhet, altså per time brukt av den begrensende ressursen: Produkt x: 500 kr / 2 timer = 250 kr/time Produkt y: 400 kr / 1 timer = 400 kr/time Vi velger å produsere kun produkt y. Antall y blir maskinens kapasitet delt på antall timer per enhet y: 600 timer / 1 time = 600
Vi skal også se på tilfellet der vi har to produkter og to eller flere knappe faktorer Vi endrer det siste eksemplet og får disse opplysningene x y kap M 1 2 t 3 t 1 200 t M 2 2 t 1 t 600 t DB 500 kr 400 kr x x Målet er å oppnå høyest mulig Totalt DB = 500 x + 400 y y M1 M2 y Restriksjoner: Kap M1: 2x + 3y 1 200 Kap M2: 2x + y 600
Hvor mange x og hvor mange y skal produseres hvert år? Restriksjonene fremstilles grafisk med to kapasitetslinjer: 600 y Restriksjoner: Kap M1: 2x + 3y 1 200 Kap M2: 2x + y 600 400 200 M2 Mulighetsområde M1 De to restriksjonene forteller at alle mulige kombinasjoner av x og y ligger under begge linjene. Dermed har vi et mulighetsområde 0 200 400 600 x
Målet er å oppnå høyest mulig Tot DB = 500 x + 400 y Denne ligningen gir isobidragslinjer: y Vi parallellforskyver isobidragslinjene utover og når i dette eksempelet max totalt DB ved skjæringspunktet mellom kapasitetslinjene: 2x + 3y = 1 200 2x + y = 600 400 tot DB =? Þ x = 150 og y = 300 200 tot DB = 120 000 tot DB = 50 000 Det gir tot DB = 500 150 + 400 300 = 195 000 kr 0 200 400 x
I denne enkle modellen vil optimal løsning ligge i et av hjørnepunktene: En alternativ metode for å finne løsningen er å beregne tot DB = 500 x + 400 y i hjørnepunktene: y Q: 500 0 + 400 0 = 0 kr R: 500 300 + 400 0 = 150 000 kr 400 T S S: 500 150 + 400 300 = 195 000 kr T: 500 0 + 400 400 = 160 000 kr 200 Optimal løsning er x = 150 og y = 300 Q 0 R 200 400 x
Optimal løsning bestemmes altså av tidsforbruk, kapasitet og DB pr stk Hva blir optimal løsning hvis DB for x reduseres til 100 kr pr stk? y Ny isobidragslinje som parallellforskyves utover: Tot DB = 100 x + 400 y Optimal løsning: x = 0 og y = 400 400 T Det gir tot DB = 100 0 + 400 400 = 160 000 kr S -------------------------------------------------- 200 Kan også beregne tot DB i hjørnene: Q: 100 0 + 400 0 = 0 kr Q 0 R 200 400 x R: 100 300 + 400 0 = 30 000 kr S: 100 150 + 400 300 = 135 000 kr T: 100 0 + 400 400 = 160 000 kr
Vi utvider nå den opprinnelige modellen og innfører en tredje restriksjon. For å produsere en enhet y går det med 5 kg av en bestemt legering. Bedriften klarer ikke å skaffe mer enn 1 000 kg pr år av denne legeringen. Modellen blir nå: Maksimer: tot DB = 500 x + 400 y Restriksjoner: Kap M1: 2x + 3y 1 200 Kap M2: 2x + y 600 Legering: y 200 Det kan derfor produseres bare: 1 000 kg / 5 kg = 200 stk av y pr år.
Problem som skal løses: Optimal løsning blir x = 200 og y = 200 y Maksimer: tot DB = 500 x + 400 y 400 Restriksjoner: Kap M1: 2x + 3y 1 200 Kap M2: 2x + y 600 Legering: y 200 200 M1 Legering Vi ser også at maskin 1 ikke lenger er en restriksjon. Den får ledig kapasitet (Þ Da ble det et problem med to restriksjoner!) 0 M2 200 400 x
Problem med flere enn 2 produkt og mange restriksjoner kan også løses, som f.eks. : Maksimer DB = 5A + B + 3C + 4D Restriksjoner: 4A + 2B + 2C + 3D 20 3A + 2B + C + 4D 40 2A + 3B + 3C + 8D 50 Slike større problem løses ved hjelp av lineær programmering på en datamaskin.
Oppgave: En bedrift produserer og selger gullforgylte Appelsiner og Bananer, med dekningsbidrag på 360 pr. A og 480 pr. B. Produktene bearbeides i to maskiner der tidsforbruk (i timer) er vist i tabellen I tillegg benytter man 500 gram av et spesielt stoff ved fremstilling av en stk. B. Bedriften klarer ikke å skaffe mer enn 160 kilo av dette stoffet pr år. Hvor mange A og hvor mange B bør bedriften produsere og selge pr. år? Kapittel 9 Produktvalg Produkt A B Kapasitet (timer pr år) Maskin 1 10 8 3 600 Maskin 2 16 6 4 500
Modell: Maksimer: tot DB = 360 A + 480 B Restriksjoner: Kap M1: 10A + 8B 3 600 Kap M2: 16A + 6B 4 500 Stoff: B 320
Løsning Kapittel 9 Produktvalg
Løsningen er gitt av skjæringspunktet mellom linjene: Kap M1: 10A + 8B = 3 600 Legering: B = 320 Løsning: A = 104 og B = 320 Det gir tot DB = 360 104 + 480 320 = 191 040 Se også løsning på regneark
Ekstra: Hva blir optimal løsning hvis dekningsbidrag pr B endres til: a) 220 pr. år? b) 70 pr. år?