NTNU Side av 3 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Løsningsforslag til eksamen i FY836 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 6 Dette løsningsforslaget er på 3 sider, pluss et vedlegg på sider. Oppgave. Henfall av Z vektormesonet i Standardmodellen I denne oppgaven skal du studere henfall av Z vektormesonet i Standardmodellen for partikkelfysikk. De nødvendige Feynmanreglene og annet relevant formelverk er vedlagt oppgavesettet. Anta et Lorentz system der Z partikkelen er i ro før henfallet. a) Tegn Feynmandigrammet for den generiske henfallsprosessen Z f f, der f står for ett av de mulige fermionene i Standardmodellen. k, r µ p, s p, s b) Skriv ned den tilhørende henfallsamplituden M fi. im fi ie sin θ [ūp,s )γ µ g V g A γ 5) vp,s ) ] ε µ k,r) ) c) Finn amplitudekvadratet M fi, midlet over spinnet til Z -partikkelen, og summert over spinnene til f- og f-partiklene. Du kan neglisjere alle ledd som er proporsjonale med fermionmassen m f. Dette er ekvivalent med å anta at m f M Z.) Vi finner først ved konjugering av ) at im fi ie [ vp,s )γ g V g A γ 5) γ γ ν γ γ up,s ) ] ε ν sin θ k,r) ie [ vp,s )γ ν g V g A γ 5) up,s ) ] ε ν sin θ k,r).
Løsning FY836 Kvantefeltteori, 9.6. 6 Side av 3 Her har vi først brukt at vp,s ) vp,s )γ, ūp,s ) γ up,s, γ µ γ γ µ γ og γ 5 γ 5, og i neste likhet at γ 5 antikommuterer med γ µ. Fra dette følger på standard vis at M fi M fi [ γ µ g V g A γ 5 )vp,s ) vp,s )γ ν g V g A γ 4 )up )ūp,s ) ] αα e ε µ k,r)ε sin θ νk,r), der det er en underforstått matrisemultiplikasjon av størrelsene som har spinorindekser. Ved bruk av kompletthetsrelasjonene finner vi så M fi M fi Tr [ γ µ g V g A γ 5 )p/ m f ) γ ν g V g A γ 5 )p/ + m f ) ] rs s e ηµν + k µ k ν /M ) Z sinθ d) Bruk dette resultatet, og ligning ) i vedlegget, til å finne den integrerte henfallsraten Γ Z f f. e) Den totale henfallsraten er gitt som Γ tot X f Γ Z f f, ) der summen løper over alle kjente typer leptoner, nøytrinoer, og kvarker som er lette nok til at henfallsprosessen kan gå. Hva er sannsynligheten Γ Z eē/γ tot for at Z skal henfalle til et elektron positron par? f) Hva er sannsynligheten for at Z skal henfalle til et nøytrino antinøytrino par? g) Hva blir den numeriske verdien til den totale henfallsraten Γ tot? Sammenlign dette svaret med den Oppgitt: eksperimentelle verdien Γ tot.495 GeV. M Z 9.9 GeV sin θ.3 α /37.36 Oppgave. SU) gauge modeller I denne oppgaven skal du se på noen aspekter av kvantefelt modeller der gaugegruppen er ren SU) isospinn). Dvs. at de kovariant deriverte kan skrives på formen D µab µδ ab + igt k aba k µ, 3) der µ er en rom-tids indeks, a og b er isospinn indekser, og k skal summeres over de tre generatorene til SU). Matrisene T k avhenger av isospinnet til feltet som den kovariant deriverte virker på, men oppfyller alltid kommuteringsregelen h T k, T li i ε klm T m. 4) For et isospinn- felt har vi T k ab σk ab, 5) der σ k er en Pauli-matrise altså en kompleks matrise). For et isospinn- felt har vi disse er altså rent imaginære 3 3 matriser). T k ab i ε kab 6) Merk at mange av de spørsmålene som følger er uavhengig av hverandre, slik at du ikke trenger å få til hvert enkelt delpunkt for å gå videre.
Løsning FY836 Kvantefeltteori, 9.6. 6 Side 3 av 3 a) Skriv ned, på matriseform, sammenhengen mellom den kovariant deriverte D µ som en matrise med isospinn indekser) og felttensoren F µν som en matrise med isospinn indekser). b) Matrisen F µν kan skrives som en sum over generatorene T k, F µνab TabF k µν. k 7) Vis at feltene Fµν k ikke avhenger av representasjonsmatrisene T k, dvs om de f.eks. er definert ved ligning 5) eller 6) sålenge T k, men bare av feltene A k µ. Skriv ned den eksplisitte sammenhengen mellom A k µ og Fµν. k c) Langrangetettheten for modellene skal ha et bidrag som avhenger av felttensoren Fµν k Maxwell - bidraget L A). Hvordan ser dette leddet ut? d) Vi antar nå først en modell der vi også har et isospinn- skalarfelt ϕ, med bidrag til Lagrangetettheten L ϕ D µϕ) D µ ϕ + m ϕ ϕ 4 λϕ ϕ), 8) med m og λ positive. Den totale Langrangetettheten er altså L L A + L ϕ). Hvilken verdi av ϕ ϕ minimaliserer potensialet V m ϕ ϕ + 4 λϕ ϕ)? e) Vakuumtilstanden for systemet vil være karakterisert av den verdien av ϕ-feltet som minimaliserer potensialet V. Ved passende valg av gauge kan vi anta at dette har formen Ω ϕ Ω ϕ, 9) med φ reell. Dette gir opphav til masseledd for gaugefeltene A k µ Higg s mekanismen). Hva blir massene til de tre gaugefeltene i dette tilfellet? f) Vi vil nå i stedet studere tilfellet der skalarfeltet har isospinn-. Vis først at representasjonsmatrisene T k definert av ligning 6) oppfyller kommuteringsregelen 4). Tips: Bruk relasjonen ε abc ε dec δ ad δ be δ ae δ bd, og at ε-et er totalt antisymmetrisk. g) Vi antar nå en modell med et reellt isospinn- skalarfelt χ, med bidrag til Lagrange-tettheten φ L χ Dµχ Dµ χ + m χ χ 4! λχ χ) ) med m og λ positive, og der χ-feltet har tre reelle komponenter derfor vektor-notatasjonen). Den totale Langrangetettheten er altså L L A + L χ). Hvilken verdi av χ χ minimaliserer potensialet V m χ χ + 4! λχ χ)? h) Vakuumtilstanden for systemet vil nå være karakterisert av den verdien av χ-feltet som minimaliserer potensialet V. Ved passende valg av gauge kan vi anta at dette har formen Ω χ Ω ϕ @ χ A, ) med χ reell. Dette gir opphav til masseledd for gaugefeltene A k µ Higg s mekanismen). Hva blir massene til de tre gaugefeltene i dette tilfellet?
Eksamen i FY836 Kvantefeltteori, 9.6. 6 Vedlegg, side av Sammenheng mellom amplitude M fi og henfallsrate Γ Sammenhengen mellom Feynman amplitude M fi og henfallsrate dγ er gitt som dγ π) 4 δ 4) p Σp f ) E M fi f d 3 p f π) 3 E f, ) der p, E er henholdsvis firerimpuls og energi til partikkelen som henfaller; de øvrige størrelsene refererer til partiklene i sluttilstanden. Noen Feynmanregler for im fi :. Utgående. Innkommende e,µ, p,s up,s) e,µ, p,s up,s) e +,µ +, p,s vp,s) e +,µ +, p,s vp,s) Z k,r ε µ k,r) Z k,r ε µ k,r) 3. Propagatorer 4. Vekselvirkningsknuter V.virkning L int e ±, µ ±, p ip/ + m) p m + iǫ e sinθ ψγ µ g V g Aγ 5 )ψz µ µ ie sinθ γ µ g V g Aγ 5 ) Z µ k ν iη µν k µk ν/m Z ) k M Z +iǫ Her er g V for ν e, ν µ, ν τ + 4sin ) θ for e, µ, τ 8 3 sin θ for u, c, t + 4 3 sin θ for d, s, b g A { for ν e, ν µ, ν τ, u, c, t for e, µ, τ, d, s, b
Eksamen i FY836 Kvantefeltteori, 9.6. 6 Vedlegg, side av 3 Noen fullstendighetsrelasjoner Dirac, Dirac anti, og Z vektorbosoner X up, s)up,s) p/ + m, s X vp, s)vp, s) p/ m 3) s 3X ε µk, r)ε νk, r) η µν + k µk ν/mz 4) r 4 Dirac s γ-matriser 4. Standardrepresentasjonen γ I I, γ σ σ der I er en enhetsmatrise, og σ er Pauli-matrisene, σ x, σ y i i som oppfyller den algebraiske relasjonen, γ 5 I I, σ z, 5). 6) σ i σ j δ ij + iε ijk σ k, dvs. at σ a) σ b) a b + i σ a b) 7) 4. e relasjoner 4.3 Noen spor- {γ 5, γ ν }, 8) γ 5 ), 9) {γ µ, γ ν } η µν p/ p/ p ) γ µ γ ν γ µ γ ν γ µ p/ γ µ p/ ) γ µ γ ν γ λ γ µ 4 η νλ γ µ p/ q/ γ µ 4pq) ) γ µ γ ν γ λ γ σ γ µ γ σ γ λ γ ν γ µ p/ q/ r/ γ µ r/ q/ p/ 3) Tr 4 4) Tr γ 5 5) Tr γ µ 6) Tr γ µ γ 5 7) Tr γ µ γ ν 4η µν Tr p/ q/ 4pq) 8) Tr γ µ γ ν γ 5 9) Tr γ µ γ ν γ λ 3) Tr γ µ γ ν γ λ γ 5 3) Tr γ µ γ ν γ λ γ σ 4 η µν η λσ η µλ η νσ + η µσ η νλ) 3) Tr p/ q/ r/ s/ 4pq)rs) 4pr)qs) + 4ps)qr) Tr γ µ γ ν γ λ γ σ γ 5 4i ε µνλσ 33)