En numerisk tilnærming til negativ. absoluttemperatur og to-dimensjonal. Isingmodell.

En numerisk tilnærming til negativ absoluttemperatur og to-dimensjonal Isingmodell. Mikael M. Amroun, Kjell Ove Haug og Nils A. H. Lønningdal Våren 2014 Hovedprosjektoppgave Faktultet for teknologi, kunst og design (TKD) Høgskolen i Oslo og Akershus Veileder: Marius Lysebo

GRUPPE NR: 9 TILGJENGELIGHET: Åpen Institutt for Bygg- og energiteknikk Postadresse: Postboks 4 St. Olavs plass, 0130 Oslo Besøksadresse: Pilestredet 35, Oslo Telefon: 22 45 32 00 Telefaks: 22 45 32 05 HOVEDPROSJEKT HOVEDPROSJEKTETS TITTEL En numerisk tilnærming til negativ absoluttemperatur og todimensjonal Isingmodell. DATO 27.05.2014 ANTALL SIDER / ANTALL VEDLEGG 54 sider / 2 vedlegg FORFATTER Mikael M. Amroun, Kjell Ove Haug og Nils A. Lønningdal VEILEDER Marius Lysebo UTFØRT I SAMMARBEID MED Høgskolen i Oslo og Akershus KONTAKTPERSON Marius Lysebo SAMMENDRAG: I januar 2013, ble det publisert en artikkel i Science (L. Carr, 2013). Forfatteren gjør rede for et praktisk forsøk der en ultrakald kaliumgass er manipulert slik at systemet har oppnådd negativ absoluttemperatur. Denne oppgaven gjør rede for teoretiske begreper som er nødvendige for å forstå artikkelen. I den todimensjonale Isingmodellen er partiklene ordnet i en gitterstruktur, ikke ulikt det optiske gitteret fra Science-artikkelen. Vi har gjort numeriske simuleringer av en slik todimensjonal Isingmodell, for å undersøke om det er mulig å si noe om et systems oppførsel ved negative absolutttemperaturer. 3 STIKKORD Numeriske beregninger Negativ absoluttemperatur To-dimensjonal Isingmodell

i Forord Denne rapporten er et resultat av vårt hovedprosjekt ved linjen Energi og miljø i bygg ved HiOA våren 2014. Vi valgte å skrive om negativ absoluttemperaturer for å bedre kunne fordype oss i et for oss ukjent og interessant område av termodynamikken. Med vår bakgrunn (termodynamikkurset fra andre semesteret av studiet), har vi møtt enkelte utfoprdringer underveis. Kvantemekanikk er et omfattende tema, som til tider har vært svært krevende å sette seg inn i. Vi opplever temperatur som et sentralt og interessant tema innen ingeniøryrket og noe vi kan tenke oss å arbeid videre med. Det har vært et interessant og utfordrende halvår hvor vi har tilbrakt mye tid på lesing og planlegging. Progresjonen har vært etappevis, da vi har møtt flere vegger underveis. Innledningsvis var det den teoretiske bakgrunnen vår som holdt oss tilbake. Da vi brøt denne barrieren, ble det MATLAB-kodingen som både frustrerte og utfordret oss. Vi fikk gjennom kyndig veiledning av dr. Lysebo anledning til å fordype oss i MATLAB. Med utgangspunkt i en C++ kode Hjorth-Jensen (2013), har vi utviklet MATLAB-programmer som simulerer oppførselen til partikler i en todimensjonal gitterstruktur. Denne delen av oppgaven har vært en kamp, men en lærerik kamp. Det har opplevdes svært nyttig, da programmering er et allsidig verktøy som kan benyttes i mange sammenhenger. Vi kan heller ikke unnlate å nevne at følelsen man får når koden endelig kjører som tiltenkt er meget tilfredsstillende. I løpet av våren 2014 har vi lært mye om termodynamikk, statistisk mekanikk og flere andre felt innen fysikken. I tillegg til høyere kompetanse innen programmering i Matlab, har denne oppgavne hjulpet oss til å bedre kunne vurdere egne prestasjoner og uttrykke oss på en pedagogisk måte. Classical thermodynamics (...) is the only physical theory of universal content which I am convinced (...) will never be overthrown. A. Einstein A. Einstein & S. Hawking (ed.), A Stubbornly Persistent Illusion (2007), s.353 Oslo 25. mai 2014

ii Sign. M.M. Amroun, K.O. Haug og N.A.Lønningdal

iii Anerkjennelser Gruppen ønsker å takke dr. Marius Lysebo for kyndig veiledning. Den har vært streng, men rettferdig. Å lære uten å tenke har ingen verdi. Å tenke uten å lære er farlig. Konfucius K.O.H. M.M.A. N.A.H.L.

iv Sammendrag Denne rapporten er resultatet av et ønske om å fordype seg i termodynamiske forhold rundt negative absoluttemperaturer. Science-artikkelen I januar 2013, ble det publisert en artikkel i Science (L. Carr, 2013). Forfatteren gjør rede for et praktisk forsøk der en ultrakald kaliumgass er manipulert slik at systemet har oppnådd negativ absoluttemperatur. Kaliumisotopen 39 K kjøles ned til < 10 6 Kelvin, der atomene nesten ikke har kinetisk energi. Nedkjølingsprosessen er svært komplisert og energikrevende, og oppnås ved hjelp av lasere og kløkt. Atomene ordnes deretter i en gitterstruktur ved hjelp av lasere (se fig. 1). Figur 1: Det etableres et lasergitter som låser gassatomene fast i en gitterstruktur. Dette er ikke ulikt gitteret det simuleres over i Isingmodellen. Merk at Isingmodellen legger til grunn et fast stoff. (Fig: Greissner (2006)) Gitteret begrenser atomenes kinetiske energi. Atomene tvinges i en lav energitilstand ved hjelp av et eksternt magnetfelt. Atomenes tiltrekningskraft endres fra negativ til positiv, slik at atomene tiltrekkes hverandre. Magnetfeltet endrer retning, slik at atomene går fra lav til høy energitilstand. Systemet befinner seg nå i en tilstand med negativ absoluttemperatur. Todimensjonal Isingmodell Isingmodellen er en modell for hvordan magnetisk spinn hos partikler i et ferromagnetisk materiale vekselvirker med hverandre og med et eksternt magnetisk felt. Ferromagnetiske materialer som for eksempel jern, har den egenskapen at de kan bli magnetiske av seg selv (spontant mag-

v netiserte) ved temperaturer under en kritisk temperatur. I den todimensjonale Isingmodellen er partiklene ordnet i en gitterstruktur, ikke ulikt det optiske gitteret fra Science-artikkelen (fig 2). Figur 2: Et tilfeldig valgt partikkel(rød) vekselvirker med et eksternt magnetisk felt B, og med sine fire nærmeste naboer(blå). Vi har gjort numeriske simuleringer av en slik todimensjonal Isingmodell, for å undersøke om det er mulig å si noe om et systems oppførsel ved negative absoluttemperaturer. I tillegg til disse resultatene, har vi gjort rede for begreper som er vesentlige for forståelsen av negative absoluttemperaturer. Oppsummering Negative temperaturer er en konsekvens av måten temperatur defineres på. Ettersom temperatur defineres av endringen i entropi med hensyn på endring i indre enrgi, er det mulig for temperaturer å innta negative verdier dersom det er en negativ endring i entropien per endring i indre energi. Negative temperaturer inneholder mer energi enn uendelig høy positiv temperatur. Det er ikke umiddelbart åpenbart hva dette medfører.

vi Figur 3: Magnetiseringen M som funksjon av temperaturen T. Magnetiseringen går fra M = 1 i T = +0, hvor alle systemets partikler har spinn( ), til M = 0 i T = 0 hvor halvparten av systemets partikelen har spinn( ) og halvparten har spinn( ). Her vises også hvordan spinngittret ser ut ved ulik M. Det er identifisert 2. ordens faseoverganger for negativ og positiv temperatur. Vi har også beskrevet forholdene rundt vår modells spontane magnetisering, samt modellens antiferromagnetiske oppførsel ved negative temperaturer (se fig. 3). Avsluttningsvis har vi gjort noen betraktninger om konsekvenser og implikasjoner.

Innhold Forord................................................ i Anerkjennelser........................................... iii Sammendrag og oppsummering................................. iv 1 Negative Temperatures? - En popularisert forklaring 1 1.1 Bakgrunn............................................ 1 1.2 Praktiske forhold ved forsøket................................ 2 2 Multiplisitet 4 2.1 Mikro-/makrotilstander, og myntkasteksempelet.................... 4 2.2 To-nivåsystemer........................................ 5 2.3 Ferro- og paramagneter................................... 7 2.4 De store talls lov........................................ 7 3 Entropi 10 3.1 Termodynamisk entropi................................... 10 3.2 Stastistisk entropi....................................... 11 4 Temperatur 13 4.1 Temperatur i tradisjonell forstand............................. 13 4.2 Negativ absoluttemperatur................................. 14 4.3 Kanonisk fordeling...................................... 15 4.4 En numerisk tilnærming til entropi, energi og temperatur............... 17 4.4.1 Entropi og temperatur................................ 18 4.4.2 Entropi og energi................................... 20 vii

INNHOLD viii 4.4.3 Energi og temperatur................................. 22 4.5 Faseovergang......................................... 23 4.5.1 Helmholtz frie energi................................. 23 4.5.2 Faseoverganger av høyere orden.......................... 24 5 Isingmodellen 25 5.1 Modellens struktur...................................... 25 5.2 En numerisk tilnærming til et analytisk problem.................... 27 6 Numerisk løsningsstrategi 28 6.1 Modellens bakgrunn..................................... 28 6.2 MatLab-kommentarer for spesielt interesserte...................... 30 6.2.1 Beskrivelse av programmet............................. 30 7 Resultater for Isingmodellen 39 7.1 Simuleringskriterier..................................... 39 7.2 Positive temperaturer.................................... 40 7.3 Negative temperaturer.................................... 45 7.4 En pedagogisk fremstilling.................................. 50 8 Oppsummering og mulige implikasjoner 52 8.1 Oppsummering........................................ 52 8.2 Implikasjoner......................................... 53 A Godkjente milepæler 55 B 2-D Isingmodell for MATLAB 57 B.1 ising_2dim.m......................................... 57 B.2 periodic.m........................................... 60 B.3 initialize.m........................................... 60 B.4 metropolis.m......................................... 61 Bibliografi 63

Kapittel 1 Negative Temperatures? - En popularisert forklaring I dette kapittelet gjøres det rede for artikkelen som inspirerte til denne oppgaven. Dette gjøres på en noe popularisert måte, slik at den skal være mulig å forstå med kjente begrep fra fysikken. 1.1 Bakgrunn I januar 2013, ble det publisert en artikkel i Science (Carr (2013)). Forfatteren gjør rede for et praktisk forsøk der en ultrakald kaliumgass er manipulert slik at systemet har oppnådd negativ absoluttemperatur. Valget av kaliumisotopen 39 K var ingen tilfeldighet. Kalium er ikke for tungt og ikke for lett. Isotopen er stabil og har ett elektron i ytterste skall. 39 K eksisterer som en gass. Denne gassen kjøles ned til T < 10 6 Kelvin. Dette er ved konvensjon definert som en ultrakald gass. Nedkjølingsprosessen er svært komplisert og energikrevende, og oppnås ved hjelp av lasere og kløkt. Nobelprisen i fysikk ble i 1997 tildelt forskerene som først klarte å avkjøle gasser til disse ultralave temperaturene, der gassen nesten ikke har kinetisk energi (bevegelsesenergi). 1

KAPITTEL 1. NEGATIVE TEMPERATURES? - EN POPULARISERT FORKLARING 2 1.2 Praktiske forhold ved forsøket Figur 1.1: Det etableres et lasergitter som låser gassatomene fast i en gitterstruktur. Dette er ikke ulikt gitteret det simuleres over i Isingmodellen (se kapittel 5). Merk at Isingmodellen legger til grunn et fast stoff. Greissner (2006) For å oppnå negative temperaturer må partiklene i systemet ha en øvre grense for energien. For å oppnå denne øvre energigrensen, må man ta tre energityper i betraktning. Potensiell energi, som kommer av det magnetiske feltet som fanger gassen. Den kinetiske energien (bevegelsesenergien) begrenses ved å etablere et optisk gitter. Dette oppnås med lasere med ulik bølgelengde plassert i x-, y- og z-aksen. Disse laserbølgene skaper små dalsøkk som atomene legger seg i (se figur 1.1). Denne gitterstrukturen er svært lik det todimensjonale spinngitteret som benyttes i Isingmodellen (se kapittel 5). Den siste energiformen, interaksjonsenergien, kommer av vekselvirkninger mellom atomer i gassen. I fri tilstand kan partiklene i gassen tilføres energi, hvilket fører til at elektronene eksiteres. Partiklenes grad av eksitasjon kvantifiseres i energinivåer. Det optiske gitteret begrenser hvor mye energi som kan tilføres partiklene, ved å sette en øvre grense for eksitasjonsnivået. Dette fører til at partiklene kun kan tilføres en gitt mengde kinetisk energi. Grensen skapes ved å etablere et energinivå hvor elektroner ikke tillates å oppholde seg og dermed ikke kan øke sin kinetiske energi. 39 K er en isotop der hver partikkel, litt forenklet, kan tenkes å ha en av to mulige energitilstander: Spinn( ) eller spinn( ). Vi sier at spinn( ) representerer en partikkel i en tilstand med

KAPITTEL 1. NEGATIVE TEMPERATURES? - EN POPULARISERT FORKLARING 3 høy energi, og spinn( ) representerer en partikkel i en tilstand med lav energi. Atomenes spinn er nå styrt av magnetfeltets retning. Den potensielle energien er minst når alle spinn peker ned. Først snus vekselvirkningen mellom atomene slik at de tiltrekkes isteden for å frastøte hverandre. Ved kløktig bruk av magnetfelt kan man manipulere alle spinn til å peke opp og dermed maksimere den potensielle energien (se figur 1.3). Figur 1.2: Partiklene er fanget i det optiske gitteret, fordi de ikke har nok kinetisk energi til å bevege seg ut av bølgedalene. De frastøter hverandre på grunn av vekselvirkningene seg imellom. Ved kløktig bruk av magnetfelt, manipuleres all spinn til å peke ned. I øyeblikket atomenes spinn inverteres (flippes), inverteres Boltzmannfordelingen (vi kommer tilbake til dette i avsnitt 4.3). Systemet er nå i sin høyest tillatte energitilstand, og temperaturen er blitt negativ og entropien lik 0. Figur 1.3: Vekselvirkningene er snudd, slik at partiklene tiltrekkes hverandre. Magnetfeltet snus, slik at alle partiklene befinner seg i tilstanden med høyest energi, spinn( ).

Kapittel 2 Multiplisitet og to-nivå systemer For å bedre forstå entropi, og grad av orden i et system, er vi nødt til å forstå multiplisitet. Dette kapittelet forklarer multiplisitet, og knytter dette opp mot spinn. 2.1 Mikro-/makrotilstander, og myntkasteksempelet Vi kan tenke oss et system med tre partikler som hver har to mulige tilstander. Vi lar disse partiklene representeres av tre like mynter som har like stor sannsynlighet for å få kron eller mynt. Antall mulige utfall av et myntkast avhenger av om de kastes i rekkefølge eller samtidig. Dersom de kastes i rekkefølge er det åtte mulige utfall: Utfall Mynt 1 Mynt 2 Mynt 3 1 Kron Kron Kron 2 Mynt Kron Kron 3 Mynt Mynt Kron 4 Kron Mynt Mynt 5 Kron Kron Mynt 6 Mynt Mynt Mynt 7 Mynt Kron Mynt 8 Kron Mynt Kron Tabell 2.1: Antall mulige utfall når det kastes tre mynter i rekkefølge Dersom vi tar hensyn til hver mynts individuelle utfall, kalles hvert utfall en mikrotilstand. For dette eksemplet har vi åtte mikrotilstander (se tabell 2.1). Dersom myntene kastes samtidig, 4

KAPITTEL 2. MULTIPLISITET 5 og vi ikke tar hensyn til den individuelle mynts tilstand, kalles dette makrotilstander. Vi kan få 0, 1, 2 eller 3 kron. Det er altså fire tilgjengelige makrotilstander i dette eksemplet. Kastes myntene tilstrekkelig antall ganger, vil den mest sannsynlige makrotilstanden være den med flest mikrotilstander: Figur 2.1: 3 mynter er kastet 1000 ganger med lik sannsynlighet for kron og mynt. Antall mynt er representert på x-aksen, med antall forekomster på y-aksen(blå stolper). Den røde linjen er trendlinjen for forekomstene. Vi ser at den gir en normalfordeling av utfallene. Forventningsverdien blir (0+1+2+3) 4 = 1, 5. Fordi mynter per definisjon er diskrete variabler, ser vi at middelverdien blir (1mynt+2mynt) 2 = 1,5 som forventet (fig 2.1). 2.2 To-nivåsystemer Antallet mikrotilstander som gir oss en bestemt makrotilstand kalles multiplisiteten til den gitte makrotilstanden. Symbolet for multiplisitet er Ω. I eksemplet ovenfor er Ω(0 Mynt)=1, Ω(1 Mynt)=3, Ω(2 Mynt)=3 og Ω(3 Mynt)=1. Sannsyn-

KAPITTEL 2. MULTIPLISITET 6 ligheten for å få n mynt av N mulige er gitt ved: Ω(n) Ω(N) (2.1) Denne sannsynlighetsfordelingen gjelder for alle binomiske eller to-nivå systemer. Mer generelt utrykkes den binomiske sannsynlighetsfordelingen slik (Schroeder, 1999, s. 50): ( ) N! Ω(N,n) = n! (N n)! = N n (2.2) Hvor Ω er multiplisitet, N er Antall mulige utfall og n er Antall utfall med en gitt egenskap: Figur 2.2: Ω som binomisk sannsynlighetsfordeling (likning 2.2). Vi plotter 100 utfall(blå linje). Det er størst sannsynlighet for at halvparten av utfallene har egenskapen vi ser etter. Figur (2.2) viser sannsynlighetsfordelingen gitt av likning (2.2).

KAPITTEL 2. MULTIPLISITET 7 2.3 Ferro- og paramagneter Ferro- og paramagneter er eksempler på fysiske systemer med samme kombinatorikk som myntkasteksempelet. En ferromagnet er et materiale (f.eks. jern) som er magnetisk av seg selv. Partiklene i et slikt materiale har en negativ pol og en positiv pol (+ og -). De retter seg etter hverandre, slik at de får lik orientering. Paramagneter er materialer hvor elektronene retter seg etter et eksternt magnetfelt så lenge det eksterne feltet får virke på systemet. Hvis man tenker på alle partiklene som små kompassnåler, sier vi at de kan være parallelle, eller ikke-parallelle med det eksterne magnetfeltet. Vi velger å si at de parallelt rettede partiklene har et oppoverrettet spinn( ), og at de ikke-parallelt rettede partiklene har nedoverrettet spinn( ). Spinn er av stor betydning for systemets totale energi. Denne energien er gitt ved netto spinn (N ( ) N ( )). Å spesifisere systemets makrotilstand er derfor det samme som å spesifisere systemets største totale energi. 2.4 De store talls lov De store talls lov sier at dersom et eksperiment utføres et tilstrekkelig stort antall ganger, blir gjennomsnittsverdien av alle utfallene lik forventningsverdien: X n = 1 n (X 1 +... + X n ) (2.3) Konvergerer mot: X n µ f or n (2.4) Vi forventer dermed at dersom vi trekker et tilfeldig tall mellom 0 og 1 et tilstrekkelig antall ganger vil middelverdien av tallene konvergere mot 1 2 :

KAPITTEL 2. MULTIPLISITET 8 Figur 2.3: Middelverdi av tilfeldige utfall som funksjon av antall forsøk. Vi ser av figur 2.3 at middelverdien varierer mye innledningsvis, og nærmer seg forventningsverdien etter ca 500 forsøk. Dette vil også gjelde for et paramagnetisk system med et stort antall partikler. Partiklene kan ha enten spinn opp, eller spinn ned. Et slikt system vil alltid anordne seg slik at multiplisiteten er størst mulig (Schroeder, 1999, s.74). Dette er ikke formelt bevist for alle systemer, men det er aldri observert noen unntak. Det blir derfor betraktet som sant. Vi tenker oss et slikt system med 10 000 partikler med tilfeldig spinn ( ) eller spinn ( ). Vi plotter i figur 2.4 antall mulige mikrotilstander mot makrotilstander [N ( ) N ( )]:

KAPITTEL 2. MULTIPLISITET 9 Figur 2.4: x-aksen angir differansen mellom antall partikler i tilstand spinn( ) og spinn( ) et system med 10000 partikler. y-aksen angir antall utfall ved verdien fra x-aksen. I figur 2.4 observeres at makrotilstanden med størst multiplisitet intreffer hyppigst. Den binomiske sannsynlighetsfordelingen er gjenkjennelig i 2.2, og helt i tråd med de store talls lov og likning (2.4). Dermed kan termodynamikkens andre lov uttrykkes slik: Multiplisiteten vil alltid øke.

Kapittel 3 Entropi For å forstå definisjonen av temperatur, er det nødvendig å forstå hva som representeres av entropi. Dette kapittelet gjør rede for termodynamisk og statistisk entropi, og knytter begrepene opp mot definisjonen av temperatur. Any method involving the notion of entropy, the very existence of which depends on the second law of thermodynamics, will doubtless seem to many far-fetched, and may repel beginners as obscure and difficult of comprehension. J. W. Gibbs (Gibbs, 1873, s.11) 3.1 Termodynamisk entropi I entropiens spede barndom var det behov for en størrelse å knyttet til termodynamikkens andre lov. Den første versjonen av entropi uttrykker at varme bare kan gå fra et varmt reservoar til et kaldere reservoar, men aldri motsatt vei. Endringen i entropien i universet vil alltid være større eller lik null. Universet går altså alltid mot en mer uordnet tilstand. Fra termodynamikken er vi vant til entropi som et mål på graden av uorden i et system. Før Ludwig Boltzman innførte den statistiske definisjon, noe vi kommer tilbake til, ble entropi, som nevnt over, definert via termodynamikkens andre lov. Her er entropi en funksjon av overført 10

KAPITTEL 3. ENTROPI 11 varme og temperaturen (Lillestøl and Lien, s.118): dq S = T (3.1) Her er endring i entropi S, temperaturen er T og endring i indre energi er dq. Likningen forutsetter at systemet er i termodynamisk likevekt. Denne definisjonen av entropi angir bare endringen i entropi og ikke en absolutt verdi. 3.2 Stastistisk entropi Entropi i statistisk mekanikk krever en mikroskopiske betraktning av system. I statistisk mekanikk er entropi en funksjon av antall mulige måter å organisere systemet vi betrakter på. Koblingen mellom entropi og multiplisitet gis i (Schroeder, 1999, s.75) ved Boltzmanns likning: S k B lnω (3.2) S representerer entropien, k B er Boltzmanns konstant og Ω er multiplisiteten. Boltzmanns konstant k B = 1,38 10 23 J K. For resten av denne oppgaven settes k B = 1. Dette er relativt vanlig praksis innen fysikk, spesielt for numeriske beregninger. Man kan si at den termodynamiske definisjonen av entropi kun gir en endring av entropien i et system, mens den statistiske definisjonen av entropi utvider begrepet og gir en litt dypere forklaring av temaet. Vi ser i likning (3.1) at entropi er en størrelse som er knyttet til temperatur. Denne likningen kan skrives om slik: ds = dq T (3.3) Endringen i entropi er lik endringen i varme ved en gitt temperatur. dq = du + PdV (3.4)

KAPITTEL 3. ENTROPI 12 Varmen består av to komponenter: Indre energi og arbeid. ds = du T + PdV, dv = 0 (3.5) T (3.4) innsatt i (3.3), der volumendringen er lik 0, gir: ds V = du du V du V T + 0 (3.6) Forkortet, sitter man igjen med: ( ) S U N,V 1 T (3.7) Resultatet er den inverse av temperaturen, definert som endringen i entropi med hensyn på indre energi. Det er en forutsetning at volumet V holdes konstant, slik at vi kan se bort fra PdVkomponenten. Det forutsettes i tillegg at antall partikler N holdes konstant. Vi skal se nærmere på denne definisjonen i neste kapittel.

Kapittel 4 Temperatur Dette kapittelet gjør rede for temperatur som en funksjon av et systems indre energi, og temperatur gitt ved endringen i indre energi med hensyn på entropien. Deretter gjøres det rede for konsekvensene av negativ absoluttemperatur, temperaturskalaen, kanonisk fordeling, og sammenhengen mellom partiklers energitilstand og temperatur. Deretter undersøker vi ved numerisk beregning hvordan et eksternt magnetfelt påvirker et systems entropi, energi og temperatur. Avslutningsvis gjøres det rede for faseoverganger og Helmholtz frie energi. 4.1 Temperatur i tradisjonell forstand Den vanligste måten å definere temperatur på er å koble sammen temperatur (T ) og kinetisk energi (U ) i et system. Dette utrykkes med likningen: N 1 U = 2 m i v 2 i = f nrt (4.1) 2 i=1 Den første delen av likningen (4.1) summerer translatorisk-, rotasjons- og vibrasjons-energi til hver eneste partikkel i et system for å gi oss den totale indre energien. Den andre delen av utrykket beregner indre energi ved hjelp av temperaturen. Ved å skrive om likning (4.1) får man: T = 2U f nr = mv 2 f R (4.2) 13

KAPITTEL 4. TEMPERATUR 14 Likning 4.2 forteller oss at temperatur er en størrelse som endrer seg når energien i systemet endrer seg. Det er slik temperatur vanligvis blir betraktet. Det finnes imidlertid en annen måte å betrakte temperatur på. Denne er ved hjelp av entropi, som vi kan se fra definisjonen: β = 1 ( ) δs 1 k B T T = 1 ( ) δs δu T = δu (4.3) β representerer her den inverse av temperaturen, mens vi husker på at k B er satt til 1. Den inverse av temperaturen defineres som systemets endring i entropi, når systemets totale energi U endres. Entropy isn t what it used to be. Thomas F. Shubnell, Greatest Jokes of the Century Book 2 (2008), s. 90. 4.2 Negativ absoluttemperatur Figur 4.1: Entropi S som funksjon av energien U er representert ved dem sorte kurven. De grønne kurvene representerer antall partikler (n), og deres energitilstand E. Ved lav energi U har de fleste partiklene lav eksitering spinn( ). Når energien går mot sitt maksimum har de fleste partiklene høy eksitering spinn( ). I tillegg til energien U, finner vi T og β på x-aksen. Dette er for å vise at temperaturen T er diskontinuerlig, mens β ikke er det. (Fig: (Braun et al., 2013, s.53)) I figur 4.1 representerer den sorte linjen systemets entropi S (entropy), som en funksjon av indre energi U (Energy). Systemet består av mange partikler som kan være i en tilstand med høy energi

KAPITTEL 4. TEMPERATUR 15 (spinn( )), eller i en tilstand med lav energi (spinn( )). Fordelingen av partikler med høy og lav energitilstand er fremstilt ved de grønne kurvene for tre energiområder, hvor energitilstanden spinn( ) eller spinn( ) er angitt som E, og antall partikler er angitt som n. Ytterligere to størrelser er angitt på figurens x-akse: temperaturen T og β = 1 k B T. β er gitt negativt fortegn, for å lettere formidle at den stiger med energien. Merk at temperaturen T går fra [+0 + 0]. Det medfører at verdiene +0 og 0 er ekstremalverdiene for temperaturskalaen. Ved E mi n har entropien som funksjon av indre energi uendelig stort stigningstall, og temperaturen lik +0. Samtlige partikler n er nå i tilstand med lavest mulig energi E (spinn( )). Systemet er også i sin laveste entropitilstand, med S = 0. Når temperaturen T og energien U øker, vil flere ) = 0, og flere partikler n innta en tilstand med høy energi E (spinn( )). I punktet T = + er og entropien på sitt høyeste (S max ). Partiklene er her jevnt fordelt over systemets to energitilstander. Halvparten av partiklene har spinn( ) og de resterende har spinn( ). Tilføres systemet mer energi vil flere partikler n, flippe spinn til spinn( ). Stigningstallet til entropien blir da negativt, < 0 og temperaturen går over til T =. Etterhvert som systemet tilføres nok ) energi ( δs δu U vil alle partiklene n etterhvert befinne seg i tilstand spinn( ). Systemets indre energi er da på sitt maksimale, U max. Entropien vil på nytt være i sin laveste tilstand, S = 0, og temperaturen vil være T = 0K. Vi ser altså at ved T = 0 befinner alle partiklene n seg i høy energitilstand E og systemet har maksimert sin energi U. ( δs δu 4.3 Kanonisk fordeling Den kanoniske fordelingen (Boltzmannfordelingen) gir oss sannsynligheten for at vi finner en gitt partikkel i en bestemt energitilstand (ref. E i figur 4.1). Den tar formen: P (tilstand) = e E/(k B T ), (4.4) Z hvor Z er summen av alle mulige tilstander en partikkel kan ha, og kalles partisjonsfunksjonen, gitt ved: N E i k Z = e B T (4.5) i=1

KAPITTEL 4. TEMPERATUR 16 Partiklene i denne oppgaven kan ha 2 forskjellige tilstander; spinn( ) eller spinn( ). Spinn( ) har vi satt til E = +1 og spinn( ) til E = 1, hvilket gir E k B T tilstandene gis dermed ved: P( ) = e+β e β, P( ) = Z Z = ±β. Sannsynligheten for disse to Det første utrykket gir oss sannsynligheten for at vi finner partikler med spinn( ), mens det andre gir oss sannsyligheten for å finne partiklene med spinn( ). For et slikt to-nivåsystem er Z lik: (4.6) Z = e β + e +β = 2coshβ. (4.7) Partisjonsfunksjonen gir oss summen av mulige tilstander partiklene kan ha ved temperaturen T. I vårt system er Z summen av Boltzmannfaktoren for tilstandene spinn( ) og spinn( ). Likningene (4.6) lar oss bestemme partiklenes mest sannsynlige tilstand ved en gitt temperatur T, slik vi ser i figur (4.2). Figur 4.2: Sannsynligheten for spinn( ) (rød kurve) og spinn( ) (blå kurve) som funksjon av temperaturen T. I fig b) øker sannsynligheten for spinn( ), mens sannsynligheten for spinn( ) reduseres når temperaturen T øker. Det motsatte forholdet vises i fig a). Den totale sannsynligheten for spinn( ) og spinn( ) er lik 1. Tidligere i kapittlet skilles det mellom +0 K og 0 K. Dette gir temperaturskalaen +0

KAPITTEL 4. TEMPERATUR 17 + 0, noe som skaper diskontinuiteten i grafene ved T = 0 K. I figuren (4.2) a) ved +0 K er spinn( ) den mest sannsynlig tilstanden. Når temperaturen T øker og T + vil begge tilstandene, spinn( ) og spinn( ), være like sannsynlige. Øker temperaturen ytterligere blir temperaturen T = og T 0K. Dette gir spinn( ) som den mest sannsynlige tilstanden. 4.4 En numerisk tilnærming til entropi, energi og temperatur Vi ønsker å se på hva som skjer med temperaturen T, entropien S og energien E for et system med n partikler når disse plottes som funksjon av hverandre. Disse funksjonene er også plottet for ulike verdier av det eksterne magnetfeltet B, for å visualisere hvordan et eksternt magnetfelt påvirker systemet. Det eksterne magnetfeltet B vekselvirker med partiklenes spinn, og denne kraften påvirker spinnets retning. Den statistiske forventningsverdien til energien, E, er plottet som funksjon av temperaturen T. Entropien S er plottet som funksjon av energien E og temperaturen T. Forventningsverdien til energien, E, er gitt av likning (4.8) (Baierlein, 1999, s.97): E = k B T 2 ln Z T, (4.8) der Z er partisjonsfunksjonen for et to-nivåsystem gitt ved (4.7). Vi deriverer med hensyn på T (setter m B = k B = 1): = 1 2 ln Z T = [ ( ( ))] ln 2cosh Bβ (4.9) T ( [( )( )] ) 2cosh(Bβ) sech(bβ) (4.10) T = [ ] Bβsinh(Bβ)sech(Bβ) T (4.11) ( ( ) ) = Bβ tanh(bβ) T (4.12) = β 2 B tanh(bβ) (4.13) Entropien S er gitt ved likning (4.14) (Baierlein, 1999, s. 101): S = E T + k B ln Z (4.14)

KAPITTEL 4. TEMPERATUR 18 4.4.1 Entropi og temperatur (a) Entropien S som funksjon av temperaturen T uten påvirkning av eksternt magnetfelt(b = 0) (b) Entropien S som funksjon av temperaturen T med påvirkning fra eksternt magnetfelt B av forskjellig styrke. Den lilla linjen representerer (B = 10) og den rød representerer (B = 0). Figur 4.3: På figurene ser vi at entropien S går mot null når temperaturen T går mot null. Dette er gjeldene både for positive og negative temperaturer. I figur (b) har det eksterne magnetfeltet innvirkning på stigningstallet til entropien. Dette er avhengig av styrken til magnetfeltet. Desto sterkere magnetfeltet er, desto mer energi kreves for at partiklene skal flippe spinn.

KAPITTEL 4. TEMPERATUR 19 I figur (4.3) er entropien S plottet som en funksjon av temperaturen T, med og uten påvirkning fra et eksternt magnetfelt B. I figur (4.3a) ser vi at ved T = 0K er S = 0. Alle partiklene i systemet har da likerettet spinn, og systemet har høy grad av orden. S utvikler seg symmetrisk for positive og negative verdier av T. Vi ser at når T tar større positiv eller negativ verdi, øker S og systemet får en mindre grad av orden. I figur (4.3b) er S plottet som en funksjon av temperaturen T for ulike verdier av B. Den røde linjen representerer B = 0, og er identisk med figur (4.3a). Den lilla linjen representerer B = 10, og vi ser at S = 0 i omtrent hele området 1 < T < 1 K. Dette forteller oss at jo større B, jo høyere T krever partiklene for å flippe spinn.

KAPITTEL 4. TEMPERATUR 20 4.4.2 Entropi og energi (a) Entropien S som funksjon av energiens forventningsverdi E per spinn uten påvirkning fra eksternt magnetfelt(b = 0). (b) Entropien S som funksjon av energiens forventningsverdi E per spinn med påvirkning av eksternt magnetfelt B. Den lilla linjen representerer (B = 10) og den rød representerer (B = 0). Figur 4.4: Entropi S som funksjon av energiens forventingsverdi E per spinn, utsatt for eksternt magnetfelt B av ulik styrke. (Fig. 4.4b) forteller oss at systemet har lavest mulig entropi når energien er lavest mulig, hvor alle systemets partikler har spinn( ). Entropien til systemet vil nå sitt maksimum når systemet har fått nok energi til at halvparten av partikler kan flippe spinn. Tilføres systemet ytteligere energi slik at E maksimeres, vil systemets entropi igjen være ved et minimum. Sammenligner vi mengden energi som må til for å øke entropien i (a) og (b) ser vi at det må forholdsmessig mer energi til for å øke entropien etterhvert som styrken til magnetfeltet øker. Dette er akkurat samme forhold mellom entropi og energi vi ser i fig 4.1.

KAPITTEL 4. TEMPERATUR 21 I figur (4.4) er entropien S plottet som en funksjon av energien forventningsverdi E per spinn, med og uten påvirkning fra et eksternt magnetfelt B. Vi merker oss at figur (4.4a) er svært lik figur (4.1). I figur (4.4) ser vi at ved E = 0K er S = 0. Energien er ved sin laveste tilstand og alle partiklene i systemet har spinn( ). Systemet har da en høy grad av orden. Vi ser at når E tar større positiv verdi, øker S og systemet får en mindre grad av orden. Mengden energi dette krever er bestemt av styrken på den magnetiske feltet B. Dette har sammenheng med at partiklenes spinn innretter seg etter B og det må mer energi til for å få de til å flippe spinn. Dette betyr at systemet må tilføres forholdsmessig mer energi for å øke entropien etterhvert som B øker.

KAPITTEL 4. TEMPERATUR 22 4.4.3 Energi og temperatur (a) Energiens forventningsverdi E per spinn, som funksjon av temperatur T uten påvirkning fra eksternt magnetfelt (B = 0). (b) Energiens forventningsverdi E per spinn som funksjon av temperatur T med påvirkning av eksternt magnetfelt B. Den lilla linjen representerer (B = 10) og den rød representerer (B = 0). Figur 4.5: Energiens forventningsverdi E per spinn som funksjon av temperatur T med (b), og uten (a) påvirkning av eksternt magnetfelt B. Når temperaturen går mot 0 er systemet i sin maksimale energitilstand. Motsatt er systemet i sin laveste energitilstand når temperaturen går mot +0 fra positiv side. B påvirker mengden energi som må til for å endre temperaturen.

KAPITTEL 4. TEMPERATUR 23 I figur (4.5) er energiens forventningsverdi E per spinn, plottet som en funksjon av temperatur T med og uten påvirkning av eksternt magnetfelt B. I figur (4.5) ser vi at når B øker, trenger systemet mer energi for at partiklene skal flippe spinn. Systemet må tilføres mer energi per temperaturøkning. 4.5 Faseovergang Videre skal vi se på sammenhengen mellom Helmholtz frie energi og systemers faseoverganger. 4.5.1 Helmholtz frie energi Helmholtz frie energi beskriver drakampen mellom to viktige prinsipp i fysikken: ønsket om minst mulig energi, og maksimal entropi etter hvert som temperaturen øker. Dette fører til at Helmholtz frie energi alltid vil være minst mulig. I termodynamisk likevekt har vi balanse mellom disse to prinsippene (Hjorth-Jensen, 2013, s.419): F U T S = E T S = k B T ln Z (4.15) Fra termodynamikkens andre lov, vet vi at entropiendringen i universet alltid vil være 0 (avsnitt 3.1). Vi kan tenke oss systemet vårt som et fast stoff i veldig god termisk kontakt med omgivelsene. Det er nå den totale entropiendringen for systemet pluss omgivelsene som alltid vil være 0. Dette reservoaret er så stort, at det kan avgi og motta en uendelig mengde energi uten at temperaturen endres. Den totale entropien kan skrives S + S R, der S R representerer reservoarets entropi, og S representerer systemets entropi. Vi betrakter en liten endring i den totale entropien: ds total = ds + ds R (4.16) Systemet vi betrakter, har verken trykk eller volum, og temperaturen holdes konstant av reservoaret. Ved å skrive ds R = du R /T R, får vi: ds tot al = ds + 1 T R du R (4.17)

KAPITTEL 4. TEMPERATUR 24 Ettersom systemet og reservoaret alltid vil ha samme temperatur, og systemets energiendring du trekkes fra reservoarets energiendring du R, får vi: ds tot al = ds 1 T du = 1 T (du T ds) = 1 df. (4.18) T Vi ser at når T,V ogn holdes konstant, er en økning i den totale entropien det samme som en redusering av Helmholtz frie energi (Schroeder, 1999, s.161). 4.5.2 Faseoverganger av høyere orden Det er lenge forsøkt å klassifisere grader av faseoverganger. Ehrenfests klassifikasjon definerer en faseovergangs grad tilsvarende derivasjonsgraden av Helmholtz frie energi som gir en diskontinuerlig eller divergerende funksjon (Schroeder, 1999, s. 169). I naturen kan man observere faseoverganger stadig vekk, som for eksempel når is smelter til vann eller vann fordamper til gass. Disse faseovergangene kalles kritiske punkter. En faseovergang kalles 1. ordens faseoverganger dersom den førstederiverte av Helmholtz frie energi, E, er diskontinuerlig. I alle faseoverganger vil det observeres en diskontinuitet i en eller flere tilstandsvariabler (eksempelvis energien) ved de kritiske punktene. I 2. ordens faseovrganger vil tilstandsvariablene som i 1. ordens faseoverganger var diskontinuerlig være kontinuerlige, mens andre tilstandsvariabler (eksempelvis varmekapasiteten) være diskontinuerlig. 2. ordens faseoverganger er diskontinuerlig i 2.deriverte av Helmholtz frie energi. Et eksempel på 2.ordens faseovergang er når en ferromagnet blir til en paramagnet. I denne typen overgangen vil ikke et stoffet endre fase slik som i 1.ordens faseovergang, hvor fast stoff går over til væske. Stoffet vil fortsatt være i samme fase som før faseovergangen, men kan endre egenskaper som for eksempel å gå fra å være umagnetisk til magnetisk, eller omvendt.

Kapittel 5 Isingmodellen Dette avsnittet gjør rede for den todimensjonale Isingmodellen, og bakgrunnen for simuleringene som er utført. Avsluttningsvis gjøres det rede for Lars Onsagers analytiske løsning av den todimensjonale Isingmodellen. 5.1 Modellens struktur Isingmodellen er en modell for hvordan magnetisk spinn hos atomene i et ferromagnetisk material vekselvirker med hverandre og med et eksternt magnetisk felt. Ferromagnetiske materialer som for eksempel jern, har den egenskapen at de kan bli magnetiske av seg selv (spontant magnetiserte) ved temperaturer under en kritisk temperatur (T k ). Spinn er en kvantemekanisk egenskap hos partikler, som er umulig å forklare med kjente termer fra klassisk termodynamikk. Man kan forestille seg alle partiklene i Isingmodellen som små magneter som kun kan peke i to retninger: Oppover eller nedover. Spinnet representeres av et tall, s, som angir i hvilken retning partikkelen peker: s = +1 for spinn( ), og s = 1 for spinn( ). Partiklenes spinn vekselvirker med sine nærmeste naboers spinn. Styrken på disse vekselvirkningene er stoffavhengig og angis som J. En Isingmodell kan være endimensjonal eller todimensjonal. I den endimensjonale Isingmodellen kan vi tenke oss partiklene ordnet som perler på en snor. I den todimensjonale Isingmodellen er partiklene ordnet i en gitterstruktur, som vist i Fig. 5.1. Dette er ikke ulikt det optiske gitteret i figur (1.1).Posisjonen til en partikkel angis med koordinatene (i, j ), der i og j refererer 25

KAPITTEL 5. ISINGMODELLEN 26 til partikkelens plassering på henholdsvis x- og y-aksen. Figur 5.1: En tilfeldig valgt partikkel(rød) vekselvirker med et eksternt magnetisk felt B, og med sine fire nærmeste naboer(blå). En partikkel i posisjon (i, j ) i den to-dimensjonale Isingmodellen, har energien: E (i,j ) = B s i,j J s i,j (s i+1,j + s i 1,j + s i,j +1 + s i,j 1 ) (5.1) J er en stoffavhengig konstant som beskriver hvor kraftig nabopartiklers spinn vekselvirker med hverandre. B er et eksternt magnetfelt som også vekselvirker med partiklenes spinn. For resten av denne oppgaven settes imidlertid B = 0. Den totale energien til systemet er summen av alle partiklenes energi: N E = J s k s l B <kl> N s k, (5.2) k Merk at den maksimale energien systemet kan ha per spinn er E = 2J. Symbolet <kl> indikerer at vi kun summerer over de nærmeste naboene. Partiklene langs gitterets kanter, må behandles spesielt, ettersom de ikke har fire naboer. Måten vi løser dette på er ved hjelp av såkalte periodiske grensebetingelser. Det innebærer at partiklene lengst til høyre i gitteret har partiklene lengst til venstre som naboer, og vice versa. Det samme gjelder for partiklene i topp og bunn. Dette visualiseres i fig. 5.2.

KAPITTEL 5. ISINGMODELLEN 27 Figur 5.2: En to-dimensjonale gitterstrukturer. Med frie grensebetingelser til venstre, og med periodiske grensebetingelse til høyre. (http://complex.upf.es/ josep/ca) 5.2 En numerisk tilnærming til et analytisk problem Vi ønsker å bestemme det faste stoffets totale indre energi, magnetisering, varmekapasiteten og magnetisk tilbøyelighet som en funksjon av varmereservoarets temperatur. Dette er langt fra trivielt. Vanskelighetene stammer fra vekselvirkningene mellom partiklene, som i høyeste grad er reelle, og en analytisk løsning er vanskelig tilgjengelig. Lars Onsager løste imidlertid den todimensjonale Ising modellen analytisk ( the Onsager solution ). Onsager viste, ved bruk av matematikk som var ukjent for den tids fysikere, at ved avkjøling kan et slikt system ved en kritisk temperatur gå over fra å være umagnetisk til å bli magnetisk. Han mottok Nobelprisen i kjemi i 1968, men mange mente at han også burde vært tildelt Nobelprisen i fysikk for sitt arbeid med Isingmodellen. Denne kritiske temperaturen vil heretter bli kalt T k og er gitt ved: 2J T k = k B ln(1 + 2). (5.3) I vår modell har vi satt J = k B = 1, og får derfor: 2 T k = ln(1 + 2,269K. (5.4) 2) Vi vil undersøke om vi kan gi en numerisk løsning for T k med en todimensjonal Isingmodell, samt hvorvidt en tilsvarende oppførsel kan finnes for negative temperaturer.

Kapittel 6 Numerisk løsningsstrategi Dette kapittelet gjør rede for de konkrete forutsetninger for simuleringene som er utført. MATLABprogrammet beskrives, og valg og vurderinger som er gjort i forbindelse med simuleringseffektivitet forklares. Veien mot termodynamisk likevekt er brolagt med kontrollerte tilfeldigheter på samme måte som et reelt system i et virkelig eksperiment. Dr. M. Lysebo, 20.mai 2014. 6.1 Modellens bakgrunn Måten vi har simulert partiklenes oppførsel på, kalles Monte Carlo-simulering. Det vil si at man tar utgangspunkt i system med gitterstruktur (spinngitter) der hver partikkel har et tilfeldig valgt spinn: Spinn( ) eller spinn( ). I virkeligheten vil et stoff organisert på denne måten inneholde et uhåndterlig antall partikler. Når vi skal behandle dette numerisk, er det derfor nødvendig å jobbe med et begrenset utsnitt av stoffet vi ønsker å studere. Ved å simulerere et mindre system (spinngitter), kan vi beregne forventingsverdier for blant annet energi, magnetisering, magnetisk tilbøyelighet og varmekapasitet. Disse forventningsverdiene er beregnet per spinn, hvilket lar oss skalere dem opp for en større mengde stoff. 28

KAPITTEL 6. NUMERISK LØSNINGSSTRATEGI 29 Spinngitterets størrelse vil i vår modell kun være avgjørende i og rundt T = T k = 2,269 K. Når spinngitterets størrelse går mot uendelig, vil den numerisk beregnede verdien til T k nærme seg Onsagers analytiske løsning (5.3). Innledningsvis valgte vi å simulere over et 40x40-gitter, da dette går relativt raskt. Da vi hadde kartlagt temperaturområdet 0 < T < 3, kunne vi observere interessante ting rundt T T k. Vi gjorde simuleringene på nytt, over samme temperaturområde, men denne gang med 100x100- gitter. Det ble da enda tydeligere at T T k, var verdt å undersøke nærmere. Simuleringene med 100x100-gitter tok vesentlig lenger tid enn 40x40 (omtrent seks ganger lenger). Ettersom større gitter ville tatt betraktelig lenger tid å simulere, og vi hadde begrenset datakraft tilgjengelig (se fig. 6.1), besluttet vi at 100x100 var tilstrekkelig størrelse på gitteret. Vi valgte deretter å undersøke 2, 2 < T < 2, 4 med mindre temperaturinkrementer. Figur 6.1: Da frustrasjon over mangel på regnekraft meldte seg, begynte tankene å vandre. I våre simuleringer observerte vi ulik oppførsel i og rundt T k, avhengig av gitterstørrelsen. Modellen holder temperaturen konstant, og lar spinngitteret utvikle seg syklisk mot en termodynamisk likevektstilstand: I vårt tilfelle behøves en million sykluser for å nå likevekt. Hver syklus av simuleringen velger en tilfeldig partikkel på gitteret og beregner systemets energi og magnetisering for den aktuelle tilstanden, og for systemet dersom partikkelen flipper sitt spinn. Dette gjentas så for alle partiklene i gitteret. Når dette er utført en million ganger, hopper modellen videre til neste gitte temperatur, og prosessen gjentas. Endringen i energi ( E) er differansen mellom systemets energi i den nåværende tilstanden, og energien systemet vil få dersom den aktuelle partikkelen får motsatt spinn. Dersom E < 0,

KAPITTEL 6. NUMERISK LØSNINGSSTRATEGI 30 aksepteres tilstanden med motsatt spinn fordi systemets totale energi blir mindre. I motsatt fall flippes spinnet med sannsynligheten: P = e (β E) (6.1) Det finnes altså en sjanse for at en partikkels spinn flippes, selv om det bidrar til at spinngitterets totale energi øker. Av likningen (6.1) ser vi at dess større E, dess mindre sannsynlighet for at det nye spinnet aksepteres. Likeledes ser vi at dess større T (siden β = 1 k B T ), dess høyere sannsynlighet for at det nye spinnet aksepteres. Systemet ønsker to ting: Å minimere sin totale energi og maksimere sin entropi. For hver syklus av simuleringen oppdaterer vi også systemets magnetisering. Magnetiseringen er gitt som summen av alle spinnene i sytemet: M /N = 1 N N s i,j (6.2) i,j 6.2 MatLab-kommentarer for spesielt interesserte Programmet vi har skrevet simulerer partiklers spinn i et kvadratisk gitter (fig 5.1). Koden vår er skrevet over samme lest som Hjorth-Jensens kode (Hjorth-Jensen, 2013, s.436). Det var nødvendig å gjøre en rekke endringer og tilpasninger i koden når vi oversatte fra C++ til MATLAB. Programmet kan finnes i sin helhet i vedlegg (B). 6.2.1 Beskrivelse av programmet Flyten i programmet er som følger: 1. Regner ut systemets initialtilstand med energi E b for en gitt temperatur temp. Dette beregnes ut fra en tilfeldig (x, y)-korrdinat i matrisen som representerer spinngitteret. 2. Forsøker å flippe partikkelens og regner ut energien til den nye tilstanden. 3. Beregner energiendringen E = E t E b. 4. Dersom E 0 aksepteres den nye konfigurasjonen, og programmet hopper til 7.

KAPITTEL 6. NUMERISK LØSNINGSSTRATEGI 31 5. Dersom E > 0, beregnes w = e (β E). Ettersom beregning av eksponentialer er numerisk krevende, er det mindre ressurskrevende å lagre disse verdiene i en matrise på forhånd. Merk at E kun kan ha fem verdier for et todimensjonalt spinngitter (se tabell 6.1). 6. w sammenlignes med et tilfeldig tall r. Dersom r w, aksepteres den nye konfigurasjonen. I motsatt fall beholdes den eksisterende konfigurasjonen. 7. Forventingsverdier for E og M oppdateres. 8. Programmet starter på 1 igjen for en ny temperatur. Hver simuleringssyklus (steg 2-7) gjentas en million ganger for å sikre ergodisitet. Ergodisitet vil si at dersom en tillater systemet å utvikle seg over uendelig tid, så vil systemet ha passert alle mulige tilstander før systemet oppnår likevekt. For et ergodisk system vil systemets likevektstilstand være den samme uavhengig av starttilstanden. 9. Til slutt divideres forventingsverdiene på antall sykluser, slik at vi får en gjennomsnittsverdi. Deretter deles denne verdien på antall spinn, slik at alle forventingsverdiene er per spinn. Steg 4-6 kalles metropolisalgoritmen. Det vil si at resultatet av hver iterasjon av Monte Carlosyklusen, kun er avhenigig av resultatet fra den foregående iterasjonen. Programmet vårt består av et script som kaller opp tre funksjoner: Det kjørbare skriptet heter ising_2d.m. initialize.m gir oss startbetingelser for spinnmatrisen, energi og magnetisering. Denne funksjonen inneholder en test hvor alle partiklene initialt får spinn( ) dersom temperaturen er lavere enn 1,5 K. Dette er tidseffektivt ved simulering, da vi på forhånd vet at spinnmatrisen vil innrette seg på denne måten, og startkonfigurasjonen er nær likevektstilstanden. periodic.m gir oss adressen til nabopartiklene. Dette programmet benytter periodiske grensebetingelser, derav navnet. metropolis.m starter på en tilfeldig (x, y)-koordinat i spinngitteret og regner ut E for alle mulige energikonfigurasjoner. E benyttes i beregningen av w = e (β E), og har følgende mulige verdier:

KAPITTEL 6. NUMERISK LØSNINGSSTRATEGI 32 E = 4J E = 4J E = 8J E = 2 E = 2J E = 4J E = 0 E = 0 E = 0J E = 2J E = 2J E = 4J E = 4J E = 4J E = 8J Tabell 6.1: Verdier for E i et todimensjonalt spinngitter (Hjorth-Jensen, 2013, s. 436). Ising_2dim.m Innledningsvis er det nødvendig å tømme arbeidsminnet for eventuelle variabler. Det kan også være nyttig å tømme kommandovinduet. Deretter randomiserer vi MatLabs tilfeldige tallgenerator. Standardinstillingen i MatLab er å generere de samme tilfeldige tallene hver gang programmet startes. Grunnen til dette er at det skal være enklere å feilsøke kode, samtidig som det er enklere for andre å reprodusere resultatene. Når vi velger å randomisere denne er vi sikret en unik rekke tilfeldige tall for samtlige simuleringer. 1 c l c 2 clear a l l %Tømmer minnet og arbeidsvinduet 3 rng ( s h u f f l e ) %Randomiserer t i l f e l d i g t a l l generatoren. Programmet er avhengig at vi definerer noen variabler for hver simulering. Det er nyttig å merke hver simulering med et beskrivende navn. navn er en streng som gir datasettet navn etter endt simulering. Det har en tendens til å bli mye prøving og feiling, spesielt i starten. En robust mappestruktur og beskrivende filnavn er uunnværlige når datasettene skal plottes til slutt.

KAPITTEL 6. NUMERISK LØSNINGSSTRATEGI 33 Størrelsen på spingitteret må også defineres. Programmet vårt lager en (n n)-matrise, slik at det er like mange spinn langs x- og y-aksen. For at løkken skal kunne kjøres, er den avhengig av start- og stopp-verdier. Det må også defineres hvilket inkrement startverdien skal oppdateres med for hver iterasjon av løkken. Løkkebetingelsene for simuleringen defineres her (initial_temp, final_temp og temp_step). Selve simuleringsløkken er en ordinær for-løkke. For første iterasjon av løkken får temperaturen (temp) verdien initial_temp. Deretter økes temperaturen med verdien temp_step for hver iterasjon, inntil temperaturen får verdien final_temp, og programmet hopper ut av løkken. Antall Monte Carlo-sykluser er gitt av variabelen mcs. Alle mulige vedier for E for den gitte temperaturen bergnes og lagres i matrisen w. 1 navn = 40x40 2.261 2.269 ; %Eksempel på p r e f i x for f i l n a v n e t d a t a s e t t e t lagres som. 2 n_spins = 40; %Størrelsen på s p i n n g i t t e r e t 3 initial_temp = 2. 2 6 1 ; %Temperaturen simuleringen s t a r t e r på 4 final_temp = 2. 2 6 9 ; %Temperaturen simuleringen a v s l u t t e r på 5 temp_step = 0. 0 0 1 ; %Temperaturinkrementet for hver i t e r a s j o n 6 mcs = 1000000; %a n t a l l Monte Carlo sykluser 7 [w] = (17) ; %Definerer matrisen w for deltae verdier senere. Simuleringsløkken starter her. Det første programmet foretar seg, er å skrive temperatursteget det simulerer over i MATLABs kommandovindu, samt dato og klokkeslett for når simuleringen startet. Dette er nyttig når det simuleres over store temperaturområder med små steg og mange Monte Carlo-sykluser: I tillegg til å få en indikasjon på hvor lang tid som har gått siden simuleringen startet, kan vi anslå hvor lang tid som gjenstår. Dette krever svært lite systemressurser, da det kun gjøres en gang for hvert temperatur. 1 for temp = initial_temp : temp_step : final_temp 2 temp 3 disp ( datestr (now) )

KAPITTEL 6. NUMERISK LØSNINGSSTRATEGI 34 For å være sikre på at det ikke henger igjen gamle verdier for E fra forrige temperatur, skriver vi over alle verdiene i matrisen w med nuller. Deretter regner vi ut nye verdier av E, og w = e (β E) for den nåværende temperaturen. Matrisen der forventingsverdiene lagres, må også tømmes, slik at det ikke henger igjen verdier fra forrige temperatur. 1 %S l e t t e r gamle verdier for deltae 2 for de = 8:8 3 w( de+9) = 0 ; 4 end 5 %Beregner nye verdier for deltae 6 for de = 8:4:8; 7 w( de+9) = exp( de/temp) ; 8 end 9 %Tømmer forventningsverdier 10 average ( 1 : 5 ) = 0 ; Det siste programmet gjør før Monte Carlo-simuleringene begynner, er å regne ut initialverdier for E og M. Dette gjøres ved å kalle opp funksjonen initialize.m. Denne funksjonen setter også opp spinngitterets starttilstand. Dersom T < 1.5 settes alle som spinn( ) = 1. Ved temperaturer over 1,5 beholdes spinngitteret fra forrige temperaturområde, for å gi best mulig estimat for systemets tilstand i likevekt ved den gitte temperaturen. initialize.m 1 function [E,M] = i n i t i a l i z e (temp, n_spins, spin_matrix, E, M) ; 2 for x = 1 : n_spins 3 for y = 1 : n_spins 4 %For temperaturer lavere enn 1,5 antas spinn ned for å spare t i d. 5 i f temp < 1.5 6 spin_matrix ( x, y ) = 1; 7 M = M + spin_matrix ( x, y ) ; 8 end

KAPITTEL 6. NUMERISK LØSNINGSSTRATEGI 35 9 end 10 end 11 %s e t t e r opp s t a r t e n e r g i 12 for x = 1 : n_spins 13 for y = 1 : n_spins 14 E = E spin_matrix ( x, y ) *... 15 ( spin_matrix ( periodic ( x, 1, n_spins ), y ) +... 16 spin_matrix ( x, periodic ( y, 1, n_spins ) ) ) ; 17 end 18 end 19 end Nå er programmet klart for selve Monte Carlo simuleringen med metropolis algoritmen. I hver Monte Carlo-syklus kjøres det gjennom hele spinngitteret med tilfeldig startkoordinater for hver syklus. 1 for cycles = 1 :mcs 2 [d { 1 }, d { 2 }, d { 3 } ] = metropolis ( n_spins, temp, cycles, spin_matrix, E, M, w) ; 3 spin_matrix = d { 1 } ; 4 E = d { 2 } ; 5 M = d { 3 } ; metropolis.m 1 function [ spin_matrix, E, M] = metropolis ( n_spins, temp, cycles, spin_matrix, E, M, w) ; 2 %Kjø r e r gjennom samtlige spinn i x og y retning : 3 for x = 1 : n_spins 4 for y = 1 : n_spins 5 %Velger en t i l f e l d i g ( x, y ) koordinat

KAPITTEL 6. NUMERISK LØSNINGSSTRATEGI 36 6 %Vi runder opp t i l nærmeste h e l t a l l for å unngå verdien 0. 7 i x = c e i l ( rand ( 1 ) * n_spins ) ; 8 i y = c e i l ( rand ( 1 ) * n_spins ) ; 9 %Energiendringen ved spinn f l i p beregnes. 10 deltae = 2* spin_matrix ( ix, i y ) *... 11 ( spin_matrix ( ix, periodic ( iy, 1, n_spins ) ) +... 12 spin_matrix ( periodic ( ix, 1, n_spins ), i y ) +... 13 spin_matrix ( ix, periodic ( iy, 1, n_spins ) ) +... 14 spin_matrix ( periodic ( ix, 1, n_spins ), i y ) ) ; 15 16 %Metropolis t e s t : 17 i f ( rand ( 1 ) <=w( deltae +9) ) 18 %Flipper spinn dersom 19 spin_matrix ( ix, i y ) = spin_matrix ( ix, i y ) *( 1) ; 20 %Oppdaterer energi og magnetisering 21 M = M + (2* spin_matrix ( ix, i y ) ) ; 22 E = E + deltae ; 23 spin_matrix ( ix, i y ) ; 24 i f M > n_spins^2 25 sum( spin_matrix ( :, : ) ) 26 end 27 end 28 end 29 end Verdiene som returneres av metropolis-funksjonen, består av ulike formater. Spin_matrix er en matrise, mens E og M er variabler. For å ta vare på alle tre, har vi mellomlagret d. Deretter summeres verdiene for E, E 2, M, M 2 og M i sine respektive rader i matrisen average. Forventningsverdier oppdateres

KAPITTEL 6. NUMERISK LØSNINGSSTRATEGI 37 1 average ( 1 ) = average ( 1 ) + E ; 2 average ( 2 ) = average ( 2 ) + (E*E) ; 3 average ( 3 ) = average ( 3 ) + M; 4 average ( 4 ) = average ( 4 ) + (M*M) ; 5 average ( 5 ) = average ( 5 ) + abs (M) ; 6 end Sanntidsrepresentasjon av spinngitteret Dersom vi ønsker en sanntidsrepresentasjon av spinngitteret under Monte Carlo-simuleringen, kan vi inkludere følgende kode i løkken: 1 %%Sanntidsrepresentasjon av spinnflip 2 image ( ( spin_matrix +1) *128) ; 3 xlabel ( s p r i n t f ( T = %0.2f, M = %0.2f, E = %0.2f, cycles = %i,... 4 temp, M/ n_spins ^2, E/ n_spins ^2, cycles ) ) ; 5 set ( gca, YTickLabel, [ ], XTickLabel, [ ] ) ; 6 axis square ; colormap j e t ; drawnow; Dette er svært ressurskrevende, og øker simuleringstiden voldsomt. Denne koden er imidlertid nyttig for å visualisere spinngitterets oppførsel ved ulike T. Parallellisering og simuleringstid I utgangspunktet benytter MATLAB kun en prosessorkjerne av gangen. For å redusere simuleringstiden, er det mulig å parallellisere programmet med såkalte parfor-løkker. Dette vil si at MATLAB kjører flere løkker parallelt, for eksempel for hvert sitt temperaturområde. Fordi løkkene kjører parallelt, kan ikke løkkene skrive til samme variabler samtidig. Det ville derfor vært nødvendig med en ganske omfattende omskriving og restrukturering av koden. Vi oppdaget imidlertid at ved å åpne flere instanser av MATLAB, blir instansene håndtert av hver sin prosessorkjerne. Siden hver instanse opererer med et eget sett med varibler, unngår vi at to varabler

KAPITTEL 6. NUMERISK LØSNINGSSTRATEGI 38 blir forsøkt skrevet til samtidig. For en datamaskin med fire kjerner, reduserte vi dermed simuleringstiden 4 ganger. Vær oppmerksom på at det krever noe etterarbeid for å sammenfatte resultatene når disse skal plottes. Ved robust og rigid navnsetting av de mange resultatfilene, kan dette automatiseres med et script. Dette viste seg å fungere utmerket for våre simuleringer.

Kapittel 7 Resultater for Isingmodellen Resultatene fra de utførte simuleringene prensenteres og diskuteres. 7.1 Simuleringskriterier Simuleringene er foretatt med et todimensjonalt spinngitter med størrelser 100x100 og 40x40 partikler. Alle simuleringene er utviklet over en million Monte Carlo-sykluser. Temperaturintervallet vi i utgangspunktet simulerte over var fra 0 til 3 Kelvin på positiv side, og fra -18 til -0 Kelvin på negativ side. Vi velger å se på et større temperaturspekter ved negativ side ettersom dette bedre får frem hvordan modellen oppfører deg rundt -0 Kelvin. Grunnen til at vi skiller +0 og -0 er at disse to verdiene ligger i hver sin ende av temperaturskalen (se Fig. 4.1). Innledningsvis ble temperaturstegene satt til T = 0.1K. Det viste seg å skje spennende ting mellom T = 2.0 og T = 2.5 Kelvin. Vi observerte en brå endring i energi og magnetisering i dette temperaturintervallet, som sammen med resultatene fra varmekapasiteten og den magnetiske tilbøyeligheten, indikerer en 2. ordens faseovergang. Denne faseovergangen er velkjent fra tidligere studier, og Onsagers analytiske løsning gir den kritiske temperaturen ved faseovergangen som: 2J T k = k B l n(1 + 2). (7.1) 39

KAPITTEL 7. RESULTATER FOR ISINGMODELLEN 40 I vår modell har vi satt J = k B = 1, og får derfor: 2 T k = ln(1 + 2,269K. (7.2) 2) Rundt T k, i området 2.2 til 2.4 K, velger vi å redusere stegene til T = 0.01. Videre valgte vi T = 0.001 i området T = 2.26 til 2.28 K for å få bedre oppløsning rundt T k. I våre figurer observerer vi brå endringer nær T = 2.27 K. Dette stemmer godt overens med Onsagers analytiske løsning for Isingmodellen. 7.2 Positive temperaturer Variablene vi har valgt å studere er: E, M,C v og χ. E er systemets indre energi. M er systemets magnetisering. C v er systemets varmekapasitet og χ er systemets magnetiske tilbøyelighet. Figur 7.1: Magnetiseringen M som en funksjon av temperaturen T for en 100x100-modell(blå linje), og en 40x40-modell(rød linje). Magnetiseringen endrer seg hurting med temperaturen rundt T = T k = 2.269 K, hvilket signaliserer en faseovergang. Vi observerer at magnetiseringen til 100x100-modellen faller brattere, sammenliknet med magnetiseringen til 40x40-modellen. Det forteller oss at den numerisk beregnede verdien for T k er avhengig av størrelsen på gitteret. Ved T < T k oppnår modellen spontan magnetisering. Det vil si at stoffet blir magnetisk, og alle spinnene peker i samme retning. M får verdien 1, og systemet er i en tilstand med høy grad av orden, og lav entropi (Fig. 7.2c). For T > T k opphører magnetiseringen (Fig. 7.2a), og stoffet mister sine magnetiske egenskaper. Magnetiseringen M faller brått ned og går mot null

KAPITTEL 7. RESULTATER FOR ISINGMODELLEN 41 etthvert som temperaturen øker. Energien i systemet er da tilstrekkelig til at partiklene begynner å flippe, entropien øker, og partikkelens spinn er tilnærmet tilfeldig valgt. F = E T S (7.3) Helmholtz frie energi vil alltid være minst mulig for en gitt positv temperatur. Ved lave temperaturer er det energinivået E som bestemmer systemets likevektstilstand. Da er T S leddet neglisjerbart. Når T blir større, blir fort T S-leddet dominerende. Det er da entropien som er utslagsgivende for systemets likevektstilstand.

KAPITTEL 7. RESULTATER FOR ISINGMODELLEN 42 (a) I paramagnetisk tilstand har systemet en jevn fordeling mellom spinn( ) (røde pixler) og spinn( ) (blå pixler). Her ved T = 3K. (b) I overgangen fra paramagnetisk til ferromagnetisk tilstand, vil flere og flere partikler innta likerettet spinn. Her ved T = 2.2K. (c) Når systemet har inntatt sin ferromagnetiske tilstand, er alle spinn likerettet(blå pixler). Her ved T = 0.5K. Figur 7.2: Her fremstilles en sanntidsrepresentasjon av spinngitteret under simulering, i overgangen fra paramagnetisk(a) til ferromagnetisk tilstand(c). Ved T T k = 2.269 K(b) oppnår modellen spontan magnetisering. Det vil si at stoffet blir magnetisk og partiklenes interaksjonskrefter begynner å dominere over energien i systemet. Flere og flere av partiklenes spinn peker i samme retning, etterhvert som T 0, hvor til slutt alle partiklene har spinn i samme retning(c). Figur (7.2) viser spinngitteret der røde pixler representerer spinn( ), og blå pixler spinn( ). I figur (7.2a) er oppførselen kaotisk, og partiklene inntar tilfeldig spinn( ) eller spinn( ). Ved T T k får systemet spontan magnetisering. Legg merke til de røde feltene i figur (7.2b). Disse representerer spinnøyer. I dette er makroskopiske områder i spinngitteret hvor partiklene er ekstra tilbøyelige til å rette sitt spinn etter nabopartiklene. Den todimensjonale Isingmodellen beregner som kjent systemets energi ut fra hver partikkels nærmeste naboer. At dette systemet