Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Oppgave A-3 Bruk tabell til å vise at funksjonen xe ax (a>) har Fouriertransformert: Side a 5. juni 3 () F(xe ax )= iw (a) 3/ e w /4a. Bruk så () og tabell til å bestemme funksjonen f når EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del A: Laplacetransformasjon, Fourieranalyse og PDL Oppgave A- a) La f(x) være definert for x ved når x</, når / x. Finn Fourier-cosinusrekken til f(x) i intervallet x. b) Gitt den partielle differenssialligningen () med randbetingelser t = u, x, t, x () x (,t)= (, t) =, t. x Finn alle løsninger av () og () som er av formen u(x, t) =F (x)g(t). c) Angi en løsning av () og () som oppfyller initialbetingelsen (3) u(x, ) = f(x), x, der f(x) er funksjonen definert i a). Bestem til slutt en løsning av () og () som istedenfor (3) oppfyller initialbetingelsen u(x, ) = sin x, x. Oppgave A- Bruk Laplacetransformasjonen til å løse initialverdiproblemet y +y +y = δ(t ), y()=, y ()=, der δ betegner deltafunksjonen. xe x = f(v) e (x v) dv. Oppgave A-4 a) Finn f(t) og g(t) når deres Laplacetransformerte er b) Løs initialverdiproblemet L(f) =F (s) = s e s, L(g) =G(s) = s ( e s ). y + y = g(t) δ(t ), y() = y () = der g er definert i a) og δ betegner deltafunksjonen. c) Bestem x(t) av integralligningen der f og g er funksjonene definert i a). [x(u) f(u)]x(t u) du = g(t) Oppgave A-5 a) La f(x) være definert for x ved når x</, x når / <x. Finn Fourier-sinusrekken til f(x) i intervallet x. b) Angi summen av sinusrekken i a) for x = / ogforx = 3/4. Finn summen av rekken + 3 + 5 + 7 +.
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 3 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 4 a Oppgave A-6 La g være en to ganger deriverbar funksjon, sett g (x) og anta at f(x) dx < og at g(x) dx < slik at de Fouriertransformerte av f(x) og g(x) eksisterer. Vi søker en løsning av den partielle differensialligningen slik at og x =, <x<, y y lim u(x, y) = lim (x, y) = x (x, ) = f(x). y a) Overfør problemet ved hjelp av Fouriertransformasjonen til en ordinær differensialligning og løs denne. b) Vis at løsningen på problemet kan skrives på formen og finn funksjonen h(p, y). u(x, y) = g(x p)h(p, y) dp for y> Oppgave A-7 Løs følgende ligning ved hjelp av Laplacetransformasjonen: hvor y() = og t. y (t)+ e u y(t u) du y(t) =5e t 4t, Oppgave A-8 a) Finn de løsninger av den partielle differensialligningen som kan skrives på formen og som tilfredsstiller randkravene x + t t = u(x, t) =F (x)g(t), b) Finn en løsning fra a) som også tilfredsstiller kravet u(x, ) = sin x 3sin3x. Oppgave A-9 Gitt den partielle differensialligningen 4 u x u 4 x + u u t = hvor <x<+ og t> og randbetingelsene lim u(x, t) = = lim k u(x, t) x k for k =,, 3 og lim u(x, t) <. t + a) Benytt Fouriertransformasjonen til å overføre den gitte ligning til en ordinær differensi ning og løs denne. Forklar bruken av randbetingelsene. b) Finn en løsning u(x, t) som tilfredsstiller kravet u(x, ) = f(x), hvor f(x) er en passende funksjon. Uttrykk løsningen så enkelt som mulig ved et konvolusjonsintegral c) Regn ut Fouriertransformasjonene til e x og ( x )e x /. d) Vis at u(x, t) = + e u e (x u) / du er en løsning av den inhomogene ligningen 4 u x u 4 x + u u t =( x )e x /. Oppgave A- Løs initialverdiproblemet f (t) =e t sin t + f()= ved hjelp av Laplacetransformasjonen. Oppgave A- Beregn Fourierintegralet for funksjonen e u (cos u +sinu)f(t u) du, t u(,t)=u(, t) = fort>. e x for <x<
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 5 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 6 a og begrunn at det eksisterer og konvergerer mot f(x) for alle x. Bruk resultatet til åviseat cos x +x dx = e. Det oppgis at Fourierintegralet til en funksjon f(x) kan skrives som der A(w) = [A(w)coswx + B(w)sinwx] dw f(v)coswv dv, B(w) = f(v)sinwv dv. b) Finn den inverse Laplacetransformerte L s(s+) e ns} for n =,,,... Benytt svaret til å finne løsningen av initialverdiproblemet x + x = r(t), x() = som en uendelig rekke. (Funksjonen r(t) er definert i a).) Oppgave A-4 a) Gitt funksjonen x( x) for x. Finn Fouriercosinusrekken til f(x) i det gitte intervallet. Oppgave A- a) Finn alle funksjoner av typen u(x, t) =F (x)g(t), x, t som tilfredsstiller den partielle differensialligningen u xx 4u x + u = u t, x, t og randbetingelsene ( ) u(,t)=u(, t) = for t. b) Finn løsningen u(x, t) av og( ) som også tilfredsstiller initialbetingelsen u(x, ) = e x sin x cos x for x. c) Finn løsningen u(x, t) av og( ) som også tilfredsstiller initialbetingelsen Oppgave A-3 a) La r(t) være trappefunksjonen definert ved u(x, ) = xe x for x. r(t) =n + for n<t<n+, n =,,,... Tegn grafen til r(t) og uttrykk r(t) ved enhetsprangfunksjoner (unit step functions) u(t n). Finn den Laplacetransformerte R(s) = L(r) som en geometrisk rekke. For hvilke s konvergerer rekken, og hva blir summen? b) Finn alle løsninger på formen u(x, y) = F (x)g(y) av randverdiproblemet y = y u for x, y, x x (,y)= (, y) = for y>. x c) Finn en (formell) løsning av på formen u(x, y) = F n (x)g n (y) som oppfyller Finn også en løsning av som oppfyller n= u(x, ) = x( x) for x. u(x, ) = cos x cos 3x for x. Oppgave A-5 a) La a være en positiv konstant. Finn den inverse Fouriertransformerte til b) Gitt den todimensjonale Laplaceligningen () med tilleggsbetingelser () lim u(x, y) = lim e a w. x + u = for <x<, y y (x, y) = x La û(w, y) være den Fouriertransformerte av u(x, y) med hensyn på x. Bruk Fouriert formasjonen til å finne en ordinær differensialligning for û(w, y) og løs denne.
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 7 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 8 a c) Anta at u(x, y) i tillegg til () og () også oppfyller lim u(x, y) = og u(x, ) = f(x), y der f er en gitt funksjon som kan Fouriertransformeres. Vis at u(x, y) kan skrives på formen u(x, y) = y f(t) dt for y>. (x t) + y Oppgave A-6 a) Bestem } L(t sin t), L(t cos t) og L ( + s ) ved å bruke formler for Laplacetransformasjonen i formelsamlingen. b) Finn ved hjelp av Laplacetransformasjonen de løsninger av differensialligningen som tilfredsstiller x() =. Oppgave A-7 a) Gitt funksjonen tx x + tx = x for <x<, for x<; som antas å være periodisk med periode. Finn Fourier-rekken til f(x). b) Funksjonen g(x) er også periodisk med periode og e x for <x<, g(x) = for x<. Det oppgis at g(x) har Fourier-rekke n n + e x ( ( ) n e ) sin nx. Hva er summen av rekken for x = / ogforx =3/? Finn også summen av rekken + 3 3 + + 5 5 + 7 7 + +. Oppgave A-8 Gitt den partielle differensialligningen () x +4 +6u + y x y =. a) Finn de løsninger på formen u(x, y) =F (x)g(y) som tilfredsstiller kravene u(,y)=u(, y) = for y>. b) Finn en løsning av () som i tillegg til oppfyller (Oppgitt formel: sin 3 x = 3 sin x sin 3x.) 4 4 u(x, ) = e x sin 3 x. Oppgave A-9 Det oppgis at Fourierintegralet til en funksjon f(x) kan skrives som [A(w)coswx + B(w)sinwx] dw der A(w) = f(x)coswx dx og B(w) = Bestem funksjonene A(w) ogb(w) for funksjonen for x<, e x for x>. Bruk resultatet til å finne verdien av integralene cos w dw og +w w sin w +w dw. Oppgave A- La f(x) være en odde funksjon som oppfyller for <x, for x>. a) Finn den Fouriertransformerte av f(x). f(x)sinwx dx.
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 9 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side a b) Bruk den inverse Fouriertransformasjonen til å beregne integralet a) Vis at Fourierrekken til f(x) er Oppgave A- Gitt den partielle differensialligningen ( cos t)sint dt. t x +4 x +3u = u, x, t. t a) Finn alle løsninger av som kan skrives på formen u(x, t) =F (x)g(t) og som oppfyller randbetingelsene (i) u(,t)=u(, t) =, t. b) Finn en løsning av som i tillegg til (i) også oppfyller initialbetingelsene b) Finn summen av rekkene Oppgave A-4 Finn f(x) av ligningen i) a + sin na cos nx. n sin na n, ii) e x = f(u)e (x u) du. sin na n. (ii) u(x, ) = e x (sin x sin3x), (x, ) =, x. t Oppgave A-5 Gitt den partielle differensialligningen Oppgave A- La u(x, y) være en løsning av x = + u, <x<, y, y som oppfyller u(x, ) = f(x) for alle x. Antaatu(x, y) kan Fouriertransformeres med hensyn på x, ogat lim Vis at u(x, y) kan skrives på formen og finn funksjonen h(t). u(x, y) = lim u(x, y) = e y (x, y) =. x f(x t y) h(t) dt Oppgave A-3 La <a<og la f(x) være en like funksjon med periode som oppfyller hvis x a, hvis a<x. x + t =, x, t. t a) Finn alle løsninger av som kan skrives på formen u(x, t) =F (x)g(t) og som opp betingelsene (i) u(,t)=u(, t) =, t. b) Finn en løsning av som i tillegg til (i) også oppfyller betingelsen (ii) u(x, ) = Oppgave A-6 Gitt et system av ordinære differensialligninger der og y i () = y i() = for i =,. sin nx n 3, x. y +y y = f(t) y +y y = f(t) f(t) = hvis t< hvis t>
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side a a) Vis at der Y (s) =L[y (t)]. b) Finn y (t) ogy (t). Y (s) = e s s(s +3) Oppgave A-9 a) Finn Fourierrekken til den funksjonen med periode som er gitt ved x for <x, for x. b) Bruk resultatet fra a) til å finne summen av rekkene Oppgave A-7 a) La f(x) være funksjonen Finn den Fouriertransformerte av f(x). b) Bruk resultatet fra a) til å beregne Oppgave A-8 Gitt den partielle differensialligningen der x og t. x for x, ellers. sin w dw. w x = x + t a) Finn alle løsninger av på formen u(x, t) =F (x)g(t) som oppfyller (i) u(,t)=u(, t) = for alle t. b) Finn den løsningen av som i tillegg til (i) også er slik at Fourierrekken til u(x, )e x er gitt ved (ii) u(x, )e x = for x. n= ( ) n sin(n +)x (n +) n= (n +) og n= ( ) n n +. c) La a + [a n cos nx + b n sin nx] være Fourierrekken fra a). Skisser den kontinuerlige f sjonen som har a + a n cos nx som sin Fourierrekke. Det er nok å skissere funksjonen for x. Oppgave A-3 Gitt den partielle differensialligningen () der c er en positiv konstant. a) Finn alle løsninger av () på formen som tilfredsstiller randkravene t = u c x u(x, t) =F (x)g(t) () u(,t)= (L, t) =fort> x der L er en positiv konstant. b) Finn løsningen u av () og () som også tilfredsstiller initialbetingelsene u(x, ) = sin L x, 3 (x, ) = sin t L x, x [,L].
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 3 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 4 a Oppgave A-3 La funksjonen g være definert ved for x, + x for <x, g(x) = x for <x<, for x. a) Finn den Fouriertransformerte, ĝ, til g. b) Bruk resultatet til å beregne integralet cos w dw. w Oppgave A-3 La h være definert ved h(t) =t + t for t (, ] ogh(t +) =h(t) for t R. a) Skisser funksjonen h for alle t R. b) Finn Fourierrekken til h. c) Bestem summen av Fourierrekken for alle t R. d) Finn summen av rekken Oppgave A-33 La funksjonen f α være definert ved der α er positiv konstant. f α (t) = a) Finn den Laplacetransformerte, L(f α ), til f α. b) Løs differensialligningen der f α er funksjonen ovenfor. ( 4 n + ). 4 n α for t [, +/α], ellers, y + y = f α, y() = y () =, c) Løsningen y av differensialligningen vil avhenge av parameteren α. Finn ϕ(t) = lim y(t). Hvilken differensialligning vil ϕ tilfredsstille? α Oppgave A-34 a) Finn L(te t sin t). } e as b) Finn L(t + b)u(t a)} og L der a og b er positive konstanter. (s + b) c) Bruk Laplacetransformasjonen til å finne funksjonen y(t) når for alle t. Oppgave A-35 Løs den partielle differensialligningen y(t) = d dt t u x = t der <x< og t, under betingelsene (i) (ii) lim u(x, t) = og lim u(x, ) = f(x) e τ y(t τ) dτ + t (x, t) = x der f(x) er en funksjon som har en Fouriertransformert. Vis at svaret kan skrives på formen u(x, t) = f(x st)g(s) ds der funksjonen g(s) skal bestemmes. Oppgave A-36 Funksjonen x,<x<, er gitt. a) Finn sinusrekken til funksjonen f(x). b) La for alle x, S(x) betegne summen av sinusrekken til f(x) ia). ( Hva blir S ) ( 5 ) og S? 4 4 Skisser grafen til S(x) i det lukkede intervallet [, +].
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 5 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 6 a Gitt den partielle differensialligningen e) Finn den løsningen av som i tillegg til (i) også oppfyller med randkrav x = u +4 t, t (ii) u(x, ) = f(x), x, der f(x) er som i a). ( ) u(,t)==u(, t), t. c) Finn alle løsningene av på formen u(x, t) =F (x)g(t) som også tilfredsstiller ( ), og bestem en løsning av som tilfredsstiller ( ) og initialbetingelsen u(x, ) = f(x), <x<, t. Oppgave A-37 Bruk Laplacetransformasjonen til å finne f(t) når for alle t. f(t) =e t cos(t u)f(u) du Oppgave A-38 a) Finn Fouriercosinusrekka til funksjonen coshx, x. (Husk at sinh x = ex e x og cosh x = ex + e x.) b) Bruk resultatet i a) til åviseat n= ( ) n n + = sinh. c) Hvor mange ledd måvitamedirekkaib)forå beregne summen med feil mindre enn, 4? d) Finn alle løsninger av x = t, x, t >, t på formen u(x, t) = F (x)g(t) som oppfyller (i) x (,t)= (, t) =, t >. x Oppgave A-39 } } a) Finn L e 3s og L. s(s +) s(s +) b) Gitt et system av differensialligninger der og x() = x () = y() = y ()=. Finn x(t) ogy(t). x + x y = r(t) y + y x = r(t) r(t) = når t<3 når t>3 Oppgave A-4 a) La x( x) for x. Hva blir Fourier-sinusrekken til f(x)? Du kan bru Fourier-sinusrekken til x for x<er [ m 4 (m ) 3 b) Finn alle løsninger av Laplaces ligning ] sin (m )x } sin mx. m () u xx + u yy =, x, y på formen u(x, y) = F (x)g(y) som tilfredsstiller () u(x, ) = u(, y)=u(, y) =. c) Bestem en løsning av () og () som oppfyller (3) u(x, ) =f(x), x der f(x) er funksjonen definert i a).
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 7 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 8 a Oppgave A-4 a) Finn Fouriertransformasjonen til funksjonen e x cos x. b) Bruk resultatet fra a) til å finne verdien av integralet w + cos wdw. w 4 +4 Oppgave A-4 La f være definert ved cos x, x [,/),, x [/,). La g betegne den odde, periodiske utvidelsen av f med periode,oglah være den like, periodiske utvidelsen av f med periode. a) Skisser g og h på intervallet ( 3, 3]. (Merk av enhetene på aksene.) b) Finn Fourierrekken til h. Oppgave A-43 a) Finn Fouriertransformasjonen til funksjonen x for x for x >. b) Bruk resultatet fra a) til å finne verdien av integralet (Hint: cos w =sin w/) sin t dt. t Oppgave A-44 La a være en positiv konstant. Funksjonene f a og g a er definert ved f a (t) =e at for <t<a, for t> og g a (t) = e at for a<t. a) Finn de Laplacetransformerte Lf a } og Lg a }, og beregn (f a g a )(t). La G og H betegne summen av Fourierrekkene til henholdsvis g og h. c) Bestem G og H i punktene x = /4, x =ogx = /. d) Finn summen av rekkene ( ) m+ (m) og (m). e) Finn alle løsninger u av randverdiproblemet utt = u xx + u, x [,] u x (,t)=u x (, t) =, t > på formen u(x, t) =F (x)g(t). f) Bestem løsningen av som tilfredsstiller initialbetingelsene u(x, ) = f(x), u t (x, ) = der f er funksjonen gitt i begynnelsen av oppgaven. b) Bruk Laplacetransformasjonen til å finne en løsning av integralligningen y(t) der g er funksjonen g a for a =. e u y(t u) du = g (u)e t u du Oppgave A-45 a) Finn Fourier-sinusrekken til funksjonen på intervallet [,]. b) Differensialligningen (i) u xx +u x + u = tu t er gitt for <x<, t. Finn alle funksjoner av formen u(x, t) =F (x)g(t) tilfredsstiller (i) og randbetingelsen (ii) u(,t)=u(, t) = fort. c) Finn en formell løsning av (i) og (ii) som tilfredsstiller initialbetingelsen (iii) u(x, ) = e x for <x<.
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 9 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side a Oppgave A-46 a) Finn de Fouriertransformerte til funksjonene e x for x> og g(x) = for x< b) Bruk Fouriertransformasjonen til åviseatf g = (f + g). cos(aw) Beregn integralet dw der a er et reelt tall. +w Oppgave A-47 } a) Finn L }, L s + ω s(s + ω ) b) Løs initialverdiproblemet: for x> e x for x<. } e og L as når ω>, a. s + ω y +4y = r(t), y()=,y ()= for <t< der r(t) = når t> c) Skisser grafen til y(t) når y +4y = δ(t ), y()=,y ()=. Oppgave A-48 Funksjonen, <x<, er gitt. Beregn koeffisientene i Fourier-sinusrekken til f(x) og skriv opp rekken. Skisser også grafen til rekkens sum i det lukkede intervallet [, ]. Oppgave A-49 Gitt en sirkulær skive med radius og sentrum i origo. Temperaturen i et punkt på skiven med polarkoordinater (r, θ) betegnes u(r, θ). Den kontinuerlige funksjonen u(r, θ) er løsning av ligningen () r + r r + r θ = og oppfyller (selvsagt) betingelsen () u(r, θ +) =u(r, θ). (<r<, <θ< ) a) La p og bestem alle løsninger av () på formen u(r, θ) = r p G(θ). Hvilke av disse løsningene tilfredsstiller ()? b) (Kan besvares uavhengig av pkt. a)) La f(θ) være en funksjon med periode gitt ved for <θ< f(θ) = for <θ</ for / <θ<. Finn Fourierrekken til f(θ). c) Temperaturen på randen av sirkelskiven, u(,θ), er gitt ved u(,θ)=f(θ). Finn på rekkeform et uttrykk for temperaturen i et vilkårlig punkt (r, θ) på sirkelskive Oppgave A-5 Bruk Fouriertransformasjonen til å finne f(x) når e ax = f(u)e b(x u) du, b > a >. Oppgave A-5 a) Finn den inverse Laplacetransformerte til funksjonen F (s) =e as (s + b). b) Bruk Laplacetransformasjonen til å finne en løsning av initialverdiproblemet ẍ +ẋ + x = δ(t ) δ(t ) x()= ẋ() =. Oppgave A-5 a) Finn alle funksjoner av formen u(x, y) = F (x)g(y) i rektanglet < x < a, < y < b, tilfredsstiller u xx + u yy = u x (,y)=u x (a, y) =u(x, )=. b) Finn den funksjonen, som i tillegg til betingelsene under punkt a, tilfredsstiller u(x, b) =cos x a +cosx a.
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side a Oppgave A-53 a) Finn Fourier-cosinusrekken til funksjonen e x på intervallet [,]. b) Skisser summen av rekken i intervallet [, ]. c) Evaluer rekken for x =ogx = og bruk dette til å beregne summen av rekkene ( ) n (i) og (ii) +n +n. n= n= Oppgave A-57 Funksjonen u(x, y) er definert for x, y. Den tilfredsstiller differensialligningen () u xxy u = for x, y og randvilkårene () u(,y)=u(, y) = for y. a) Finn først alle funksjoner u(x, y) på formen u(x, y) = F (x)g(y) som tilfredsstiller () og Oppgave A-54 Strømmen i(t) tilfredsstiller ligningen C b) Finn deretter en funksjon u(x, y) som tilfredsstiller (), () og initialvilkåret (3) u(x, ) = sin x +sinx for x. Ri(t)+ i(τ) dτ = v(t), t<, C der v(t) =når t<5, v(t) =7når 5 t<, og v(t) =når t. a) Finn Laplacetransformasjonen b) Bestem i(t). Beregn i(), i(7) og i(). I(s) =Li(t)}. v(t) R c) Finn tilslutt en formell rekke u(x, y) som tilfredsstiller (), () og initialvilkåret (4) u y (x, ) = for <x<. Oppgave A-58 a) Funksjonen f er definert ved for a<x<b ellers Oppgave A-55 Bestem på kompleks form Fourierrekken til e x for <x der f(x) erperiodisk med periode. Oppgave A-56 a) Løs integralligningen b) Funksjonen f er definert ved y(t) =(t +)e t e t e τ y(τ) dτ. f(t) = 8sint for t, for t>. Løs differensialligningen y +9y = f(t) med initialverdier y() =, y () =. der a, b er konstanter, <a<b. Regn ut den Fouriertransformerte av f(x). Uttrykk dernest den inverse Fouriertransformasjonen ved f(x). b) Bruk resultatet i a) til å finne verdien av integralene e iwa dw og w Oppgave A-59 Gitt følgende partielle differensialligning sin aw w t u x = e x, <x<, t med randkravene lim u(x, t) = lim u x(x, t) = Vis at en løsning som oppfyller initialbetingelsen u(x, ) = dw.
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 3 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 4 a er gitt på formen u(x, t) = e s /4 g(s, t)cossx ds. Funksjonen g(s, t) skal bestemmes. ( Husk at differensialligningen dy/dt + ay = b, a og b konstanter, a, har generell løsning y = Ce at + b/a. ) Oppgave A-6 Løs følgende system av differensialligninger med initialbetingelse y () = og y () =. Oppgave A-6 La funksjonen f være definert ved y + y + y = δ(t ) y +3y y = ( a)x for x a ( x)a for x>a når x [,]oga er en gitt konstant i intervallet (,). a) Bestem Fourier-sinusrekken til f. Hva er summen av Fourier-sinusrekken til f i x = a? b) Sett a =. Hva er summen av Fourier-sinusrekken til f i x =? c) Bruk Parsevals teorem (også kalt Parsevals identitet) til å bestemme sin na n 4. Oppgave A-6 a) La g være en funksjon med Fouriertransformert ĝ(ω). Vis at F (ĝe αω )= g(y)e (x y) /4α dy α b) Anta at u tilfredsstiller initialverdiproblemet u t = u xx + F (x, t) u(x, ) = f(x) der u og u x når x.laf og F være slik at de Fouriertransform eksisterer. Vis at den Fouriertransformerte û oppfyller û(ω, t) = f(ω)e t ωt + F (ω, τ)e ω (t τ) dτ. c) Vis at u kan skrives som u(x, t) = G(x y, t)f(y) dy + G(x y, t τ)f (y, τ) dy dτ der G(x, t) = t e x /4t. Oppgave A-63 a) Bestem en løsning på formen v(x, t) =Ax + B av randverdiproblemet v t = v xx v x (,t)=k v(, t) =K der K og K er gitte reelle tall. La u og v være vilkårlige løsninger av. Vis at da vil w = u v tilfredsstille b) Finn løsningen u(x, t) av w t = w xx w x (,t)=w(, t) =. u t = u xx u x (,t)= u(, t) =3 u(x, ) = x + +cos(x/) cos(3x/).
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 5 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 6 a Oppgave A-64 a) Funksjonen f(x) er definert for x ved Det oppgis at x x. f(x)sinnxdx= ( cos n) for n =,,... n3 Skriv opp Fourier-sinusrekken til f(x). b) Funksjonen u(x, t) tilfredsstiller differensialligningen () u t + tu u xx = for x, t. Finn alle løsninger på formen u(x, t) =F (x)g(t) som også tilfredsstiller randvilkårene () u(,t)=,u(, t) = for t. c) Finn en løsning av () og () som tilfredsstiller initialvilkåret (3) u(x, ) = f(x) 8 sin x for x, c) Bestem løsningen av som oppfyller Oppgave A-67 La x = x(t) ogy = y(t) løse u(x, ) =xe x. x x +5y = t y 4y x = med initialbetingelse x() = y() = x () = y () =. a) Vis at X = L(x) ogy = L(y) kan skrives på formen X = s + 8 3(s +4) 5 3(s +) s Y = (s +4)(s +). b) Bestem løsningen x = x(t) ogy = y(t). der f(x) er funksjonen definert i punkt a). Oppgave A-65 Gitt funksjonen e ax, a > a) Regn ut den Fouriertransformerte av f konvolusjon med seg selv (dvs. F(f f)). Oppgave A-68 Bruk Fouriertransform til å vise for alle x R og a>. a cos ωx dω = ω e a x + a b) Bruk resultatet i a) til å finne verdien av e a(x u) e au du for alle x R. Oppgave A-66 a) Bestem Fourier-sinusrekka til x for x [,]. b) Finn alle løsninger på form u(x, y) = F (x)g(y) av u xx u x + u yy = u(x, ) =, x [,] u(,y)=u(, y) =, y [, Fasit A- a) + 6 ( ) n cos (n +)x (n +) n= b) u n (x, t) =A n e nt cos nx, n =,,,... c) u(x, t) = + 6 ( ) n (n +) e (n+)t cos (n +)x n= u(x, t) = e 4t cos x A- y(t) =e t (cos t +sint) e e t sin t u(t )
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 7 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 8 a A-3 4 xe x for t<, A-4 a) f(t) = for t, t sin t for t< b) y = sin t for t c) x (t) =, x (t) = A-5 a) sin x = sin x ( ) m [ b) /4, /4, /8 A-6 a) û(w, y) =ĝ(w)e w y b) h(p, y) = y e p /4y A-7 y = e t (cos t +3sint)+t g(t) = for t< for t sin 3x sin 4x + 3 4 sin(m )x (m ) A-8 a) u n (x, t) =A n t n sin nx, n =,,... b) u(x, t) =t sin x 3t 9 sin 3x A-9 a) U(w, t) =B(w)e (w +)t + t for t< for t + sin 5x ] sin mx m b) u(x, t) = e t f(u)e (x u) /4t du t c) F ( e x ) = w + } F ( x )e x / =(w +)e w / A- f(t) = 4 4 et + tet 5 ++ A- a) u n (x, t) =B n e x sin nx e (n +3)t, n =,, 3,... b) u(x, t) =e x sin xe 7t c) u(x, t) = ( ) n+ n ex sin nx e (n +3)t n= A-3 a) r(t) = u(t n), R(s) = n= b) [ e (t n)] u(t n), x(t) =r(t) A-4 a) 6 cos mx m s e ns = s( e s ) e (t n) u(t n) b) u n (x, y) =C n e n y / cos nx, n =,,,... c) u(x, y) = 6 cos mx my e m u(x, y) =e y cos x + e 8y cos 4x a A-5 a) x + a b) û(w, y) =A(w)e w y + B(w)e w y s A-6 a) (s +), s (s +), (sin t t cos t) b) x(t) =C(sin t t cos t) A-7 a) 4 cos (n )x (n ) + b) e /, e /, ( ) n sin nx n e / +e A-8 a) u n (x, y) =C n e x sin nx e ( n )/y, n =,, 3,... b) u(x, y) = 3 4 e x sin x e /y 4 e7 x sin 3x e 7/y for s> cos wx A- +w dw A-9 A(w) = +w, B(w) = w +w, cos w +w dw = w sin w +w dw = e
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 9 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 3 a A- a) b) / cos w i w A- a) u n (x, t) = [ A n cos n +t + B n sin n +t ] e x sin nx, n =,,3,... b) u(x, t) =e x[ cos t sin x cos t sin 3x ] A- h(t) =e t A-3 b) i) a, ii) 4 a A-4 e x A-5 a) u n (x, t) =C n t n sin nx, n =,, t n b) u(x, t) = sin nx n3 A-6 b) y = 3 3 cos 3 t u(t ) [ 3 3 cos 3(t ) ], y = y A-7 a) b) / cos w w A-8 a) u n (x, t) =B n e (n +)t e x sin nx, n =,,... b) u(x, t) =e x ( ) n +]t (n +) e [(n+) sin (n +)x n= A-9 a) 4 + [ ( ) n n b) /8, /4 cos nx + ( )n n ( (n )ct A-3 a) u n (x, t) = A n cos + B n sin L b) u(x, t) =cos ct x sin L L + L 3c ] sin nx 3ct 3x sin sin L L (n )ct ) sin L (n )x, n =,,... L cos w A-3 a) w b) / A-3 b) 3 + [4 ( )n n h(t) c) d) 4 45 + 6 cos nt + ( )n+ n for t (n ), n heltall for t =(n ), n heltall ] sin nt A-33 a) αe s α ( e s/α ) for t b) y(t) = α[ cos(t )] for <t +/α α[cos(t /α) cos(t )] for t>+/α for t, c) ϕ(t) = y + y = δ(t ), y() = y () = sin(t ) for t>; A-34 a) 4(s +) [(s +) +4] ( a + b b) e as + ), (t a)e b(t a) u(t a) s s c) y(t) =t A-35 g(s) =e s / ( ) n A-36 a) sin nx n b) 7/8, 5/8 c) u n (x, t) =B n e [(n +)/4]t sin nx, n =,,3,... ( ) n u(x, t) = e [(n +)/4]t sin nx n A-37 f(t) =e t (t )
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 3 av 34 A-38 a) sinh + sinh ( ) n n + cos nx c) 4 (fra restleddsestimat for alternerende rekke) d) u n (x, t) =A n t n cos nx, n =,,,... e) u(x, t) = sinh + sinh ( ) n n + t n cos nx A-39 a) [ cos t]; [ cos (t 3)]u(t 3) b) x(t) = [ cos t] [ cos (t 3)]u(t 3), y(t) = x(t) A-4 a) 8 sin (m )x (m ) 3 b) u n (x, y) =C sin nx sinh ny, n =,,... c) u(x, y) = 8 sin (m )x sinh (m )y (m ) 3 sinh (m ) w + A-4 a) w 4 +4 b) cos e TMA4 Matematikk 4K H-3 A-44 a) s a, e a(s a) s a ; eat (t a)u(t a) b) (f g )(t) =e t (t )u(t ) A-45 a) 4 sin(n +)x n + n= b) u n (x, t) =e x sin nx t n, n =,,3,... c) u(x, t) = 4 sin(n +)x e x (n +)t (n+) A-46 a) f(w) = b) e a n= iw ( + w ), ĝ(w) = +iw ( + w ) A-47 a) ω sin ωt; ω ( cos ωt); sin ω(t a)u(t a) ω b) sin t + ] 4[ cos (t ) u(t ) A-48 4 sin (m )x m Side 3 a A-4 b) + cos x + ( ) m+ cos mx 4m c) G( /4) = /, G() =, G(/) = H( /4) = /, H() =, H(/)= d) ; 4 e) u (x, t) =A e t + B e t u (x, t) =(A + B t)cosx u n (x, t) =(A n cos n t + B n sin n t)cosnx, n =,3,4,... f) u(x, t) = cosh t + cos x + ( ) m+ 4m cos 4m t cos mx A-43 a) f(w) = b) cos w w A-49 a) u(r, θ) =A + Bθ (p =) og u(r, θ) =r p (A cos pθ + B sin pθ) (p>) u (r, θ) =A og u n (r, θ) =r n (A n cos nθ + B n sin nθ) (n =,,...) b) a = 4, a n = sin(n/) ( ) (n )/ /n for n =,3,5,... = n for n =,4,6,... b n = cos(n/) /n for n =,3,5,... = /n for n =,6,,... n for n =4,8,,... f(θ) 4 + [ ] m cos(m +)θ sin(m +)θ sin (m +)θ ( ) + + m + m + m + m= c) 4 + [ ] } r m+ m cos(m +)θ sin(m +)θ (m+) sin (m +)θ ( ) + + r m + m + m + A-5 m= b (b a) e abx /(b a) A-5 a) e b(t a) (t a)u(t a)
TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 33 av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 34 a b) e t (t +)+e (t ) (t )u(t ) e (t ) (t )u(t ) A-5 a) u (x, y) =B y og u n (x, y) =B n cos nx ny sinh a a sinh (y/a) x sinh (y/a) x b) u(x, y) = cos + cos sinh (b/a) a sinh (b/a) a A-53 a) [ ] e + b) n= +n = cosh sinh +, ( ) n e +n cos nx n= ( ) n +n = sinh + (n =,,...) A-54 a) I(s) = 7C ( e 5s e s) CRs + b) i(t) = 7 ( e (t 5)/RC u(t 5) e (t )/RC u(t ) ) R i() =, i(7) = (7/R)e /RC, i() = (7/R) ( e 6/RC e /RC) A-55 ( ) n e +n e inx A-56 a) y(t) =cosht sin t sin 3t b) y(t) = for t 3 for t> A-57 a) u n (x, y) =A n e y/n sin nx (n =,,...) b) u(x, y) =e y sin x + e y/4 sin x c) u(x, y) = 4 (m )e y/(m ) sin(m )x A-58 a) f(w) = i e ibw e iaw w i e i(x b)w e i(x a)w dw = w b) i, / f(x +)+f(x ) A-6 y = sinh t + ( 4 e (t ) +3e (t )) u(t ) y = 3 4 et 4 e t 3 sinh (t ) u(t ) sin na A-6 a) sin nx, ( a)a n b) ( )(3 ) c) ( a) a /6 A-63 a) v(x, t) =K x + K K b) u(x, t) =x + + e t/4 cos(x/) e 9t/4 cos(3x/) A-64 a) 8 sin(m +)x (m +) 3 m= b) u n (x, t) =B n e n t t / sin nx (n =,,...) c) u(x, t) = 8 / e t (m +) 3 e (m+)t sin(m +)x e w /a A-65 a) a / b) a e ax A-66 a) ( ) n+ sin nx n b) u n (x, y) =A n e x sin nx sinh( n +y) (n =,,...) c) u(x, y) = ( ) n+ sinh( n +y) n sinh( n +) ex sin nx A-67 b) x = t 5 sin t + 4 sin t 3 3 y = (cos t cos t) 3 A-59 g(s, t) = e s t s