UNIVESIEE I AGDE Gimsa E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: MA-9 Maemaikk LÆE: Pe Henik Hogsa Klasse: Dao:..5 Eksamensi a-il: 9.. Eksamensoppgaven beså av ølgene Anall sie: 5 inkl. osie velegg Anall oppgave: 5 Anall velegg: illae hjelpemile e: Kalkulao Hogsa: Fomle MA-9 Don Panic omann: Maemaisk omelsamling Ikke illa å skive i omelsamlingene KANDIDAEN MÅ SELV KONOLLEE A OPPGAVESEE E FULLSENDIG
MA-9 Oinæ Eksamen Høs 5 Oppg n Poeng a b a b a b a b c e g h i 5 --------------------- Sum 8 Poengene vise vekoelingen o e enkele elspøsmålene. Ve kaakeseing veklegges selvølgelig i illegg en oalvueing bl.a. en vueing av i hvilken ga kaniaen ha kunnskape inneno e ulike omåene gi i oppgavesee. Besvaelsen skal innehole mellomegninge. Kalkulao skal ikke benes i beegningene kun il evenuell konoll av egne sva. LYKKE IL!
. Vi ha gi ølgene obbel-inegal: a Vis ve hjelp av en igu e inegasjonsomåe som e he inegees ove. b Beegn obbel-inegale ve å be om inegasjons-ekkeølgen.. Vi ha gi sikelen og en veikale linjen. La væe e omåe som ligge inneno en gie sikelen og il høe o en gie linjen. Vi skal bene obbelinegal og polakooinae il å beegne aeale av omåe. a Vis ve hjelp av en igu i e kaesiske kooinasseme -kooinassem e inegasjonsomåe som e he skal inegees ove. Vis eee ve hjelp av en igu i e polae kooinasseme -kooinassem e inegasjonsomåe G som e he skal inegees ove nå vi bene polakooinae. b Beegn aeale av omåe ve å bene polakooinae.. Vi ha e omåe D i plane begense av e 5 ee linjeskkene vis i ig.. Beegn vha Geens aealeoem aeale av omåe D. Fig. a Paameeise e 5 ee linjeskkene som omslue omåe D. Fo alle isse 5 paameeiseingene skal paameeen væe innehol i inevalle [. b Beegn ve hjelp av Geens aealeoem aeale av omåe D.
. E legeme i omme e avgense av ølgene e lae: S : S : S : La C væe skjæingskuven mellom e o laene S og S. E vekoel F-veko e gi ve: F [ a egn kuven i -plane skjæingskuven mellom S og -plane. og vis a en polae ligningen o enne kuven e gi ve. b egn en skisse av legeme og okla hva slags lae S S og S e. c Beegn volume av legeme. Besem ivegens og cul il e gie vekoele. e Vis a kuven C ligge i e plan paallell me -aksen og inn ligningen o ee plane. Besem kuveinegale F C ve ieke beegning uen buk av Sokes eoem langs en lukkee kuven C. g Besem kuveinegale i oppgave men nå ve hjelp av Sokes eoem. h Besem neo luks av e gie vekoele u av bunnlaen i legeme. i Besem neo luks av e gie vekoele u av en lukkee laen som omslue legeme. 5. En unksjon kalles hamonisk i e omåe i omme hvis en ove hele opplle ølgene såkale Laplace-ligning: Ana a e hamonisk i e omåe omslue av en gla lae S. La n-veko væe enhesnomalveko u av laen S. Vis a a gjele ølgene: S ns S ns V
Velegg: u ± v u v u v u ± v u v ± u v u u u u u u u u u' u u' u an u' u h u' h u h u' h u e ln u e ' e uv uv u u vu u n nomalveko il en lae S som e en nivålae il enhesnomalveko il en lae S som e en nivålae il
. a Inegasjonsomåe skave omåe: Omåe e begense av kuvene.5 svaene il inegalgensene. b Inegal: [ -. a Inegasjonsomåe i kaesisk og pola kooinassem b Beegning av aeale av omåe : Fo gi vil løpe a / il. vil løpe a / il /. Ve inegal av / benes omel i velegge. [ an A A G
. a Paameeiseing V IV III II I [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ b Beegning av aeal vha Geens aealeoem: 9 5 5 5 III II III II IV IV III II I IV IV III II I C A Konoll omåe beså av sk apes: 9 5 A A A
. a Skisse av kuven i -plane: Kuven e en sikel me senum i punke og aius. Den polae ligningen o enne kuven e gi ve: enne e inklue i [ b Skisse av legeme : Flaen S : e -plane Flasen S : e en sline me seneaksen gjennom paallell me -aksen og aius se oppgave a. Flaen S : e en sikulæ paaboloie ¼ Me -aksen som seneaksen og bunnpunk i oigo.
c Volume av legeme : Fo bunnlaen a vi ugangspunk i paameeiseingen a oppgave a vs polakooinae. Mek a vinkelen ve en hel une løpe a il. 6 6 6 A A V V Elle: Paameeisee bunnlaen ve [ [ [ og [ hvo avsanen og vinkelen a ugangspunk i punke. De kan enkel vises a Jacobi-eeminanen he e lik samme som ve polakooinae. 6 [ A A A V V G
Divegens il e gie vekoele: [ F ivf Cul il e gie vekoele: [ [ k j i F culf e Kuven C: Kuven ligge i e plan sien ligningen e på omen a b c hvo ikke alle a b c e lik null he a b - c. Plane e paallell me -aksen sien mangle i ukke o ligningen av plane. Heav ølge a kuven C ligge i e plan paallell me -aksen og ligningen o plane e gi ve.
Kuveinegale av F-veko langs kuven C ieke beegning. Kuven paameeisees ve å la paameeen væe vinkelen som linjen i -plane a punke u il en punk på sikelen anne me -aksen. [ [ [ F [ F [6 5 F [6 5 [ 6 6 C F 6 6 [ 6 6 g Kuveinegale av F-veko langs kuven C buk av Sokes eoem. Vi la S C væe en elen av laen som ligge inneno legeme. Flaen S C ha a kuven C som an og vi kan bene Sokes eoem. Vi la skaleunksjonen væe gi ve -. Flaen S e a en nivålae il gi ve. Gaienen il [- vil a væe en nomalveko me koek ening il laen S. C F C F s F [ [ SC F ns A p A A Vi kunne også ha bene nee el av paaboloielaen som vå lae S. Mek a enhesnomalvekoen n-veko he må væe på innsien av paaboloielaen. h Neo luks u av bunnlaen : Enhesnomalveko u av bunnlaen e gi ve [-. Φ F ns [ [ S S S i Neo luks u av legeme bene Gauss ivegenseoem: Φ F ns FV V V 6 S
5. Fa Gauss ivegenseoem å vi ølgene: V V V ns S S V V ns ivegenseoem Gauss' Innseing i