Statikk Etter Newtons. lov vil et legeme som er i ro, forbli i ro hvis summen av kreftene på legemet er lik null. Det er i hvert fall tilfellet for et punktformet legeme. Men for et legeme med utstrekning gir ikke Newtons. lov alltid noen fullstendig beskrivelse. Vi skal se på et eksempel: Vi har en svingstol og bruker begge hendene til å sette fart på setet. Da drar vi i stolsetet med den ene hånden og skyver på det med den andre, se figuren. Selv om F = 0, forblir ikke stolsetet i ro. Det begynner å rotere. Statikk handler om betingelsene for at et legeme skal være i likevekt. Av eksemplet skjønner vi det ikke alltid er nok å bruke Newtons. lov. For et legeme med utstrekning, som kan dreie om en akse, må det finnes andre betingelser. Stive legemer En kraft kan ikke bare endre bevegelsen til et legeme, den kan også endre formen: Kraften kan forandre på legemet ved å strekke det, presse det sammen, bøye eller vri det. Her skal vi stort sett behandle ideelle stive legemer. I slike legemer har alle punkter faste avstander i forhold til hverandre. Legemene endrer ikke form. I naturen fins det neppe noe stivt legeme, men for mange legemer er formendringene så små at vi ikke gjør noen stor feil når vi ser bort fra disse endringene, tenk bare på en stålkule eller en stein. Kraftmoment Vi begynner med noen eksempel på rotasjon og rotasjonslikevekt. Et barn og en voksen kan godt balansere på en vippe. Da må den voksne sitte nærmest opphengslingen, se figur a. Når vi skal flytte en stein som er så tung at vi ikke klarer å løfte den, kan vi bruke et spett. Vi trykker spettet inn under steinen og legger det over en mindre stein. Da klarer vi kanskje å vippe opp steinen ved å presse nedover med en kraft F som er mindre enn
tyngden G av steinen. Forutsetningen er at den lille steinen ligger nærmere den store steinen enn angrepspunktet for kraften F, se figur b på forrige side. Hvis vi vil løsne en mutter som sitter godt fast, klarer vi det neppe med bare fingrene; vi må bruke en skiftenøkkel. Jo lengre skiftenøkkelen er, desto lettere er det å løsne mutteren, se figur c. Når vi åpner en dør, tar vi tak i dørhåndtaket og drar. Det er ingen tilfeldighet at dørhåndtaket er plassert så langt fra hengslene som mulig, se figur d. Når vi skal åpne en dør, er det lettest om vi bruker en kraft som står vinkelrett på døra. Hvis vi drar i døra med en kraft som er parallell med døra, rikker den seg ikke. Når vinkelen mellom døra og dragkraften øker fra 0 til 90, øker dreieeffekten, se figurene e, f og g nedenfor. Dreieeffekten av dragkraften avhenger også av avstanden fra hengslene til kraftens angrepspunkt: Jo større avstand, desto større dreieffekt, se figurene h, i og j nedenfor.
Døra roterer om en linje gjennom hengslene. En slik linje som et legeme kan dreie omkring, kaller vi en omdreiningsakse eller bare en akse. Aksen kan falle sammen med en virkelig omdreiningsaksel, som dørhengslene, men det kan også være hensiktsmessig å la den være en vilkårlig tenkt linje. Angrepslinjen til en kraftvektor F er en linje som er parallell med kraftvektoren og som går gjennom angrepspunktet, se figuren nedenfor. Avstanden a fra aksen til kraftens angrepslinje kaller vi kraftens arm. F Vi kan nå definere størrelsen kraftmoment M: Kraftmoment Kraftmomentet M av en kraft om en akse er lik arm multiplisert med kraft, der armen er avstanden a fra aksen til angrepslinjen til kraften F. M = a F Når kraften står vinkelrett på linjen gjennom aksen og kraftens angrepspunkt, er armen a lik avstanden r fra aksen til angrepspunktet. Av figuren ovenfor ser vi at armen a ellers er gitt ved a = r sin ϕ der ϕ er vinkelen mellom r og F. Kraftmomentet er altså lik M = r F sin ϕ SI-enheten for kraftmoment er Nm. Vi bruker ikke J (joule) for Nm i forbindelse med kraftmoment. I uttrykket M = rf sinϕ er F sinϕ tangentialkomponenten F t av kraften F, se figuren nedenfor. Da kan vi skrive uttrykket for M slik: M = r F t 3
Likevektsbetingelser I eksempelet med vippa på figur a på side virker det fire krefter på vippa. Tre krefter virker nedover: Tyngden G av vippa, kraften av barnet. Den tredje kraften rettet oppover. F, som den voksne presser med, og kraften F som barnet presser med. F må være lik tyngden av den voksne siden den voksne er i ro, mens F må være lik tyngden T kommer fra hengslingen og er Ut fra Newtons. lov, F = 0, må F + F + T + G = 0 når vippa er i ro. Men det må være en likevektsbetingelse til. Kraften T og tyngden G går gjennom omdreiningsaksen og har derfor et kraftmoment som er lik null. Kreftene F og F prøver å dreie vippa hver sin vei. Vi vet at vippa kan være i likevekt selv om F er mindre enn F bare armen a er større enn armen a. Nøyaktige målinger viser at vippa er i likevekt når de to kraftmomentene er like store: a F = a F For å få en enklere formulering av likevektsbetingelsen skal vi regne kraftmomenter med fortegn. Da velger vi en positiv dreieretning. Det er vanlig å velge mot urviseren som positiv dreieretning. Da får vi disse fortegnsreglene: En kraft som dreier et legeme mot urviseren, har et positivt kraftmoment. En kraft som dreier et legeme med urviseren, har et negativt kraftmoment. I vårt eksempel med vippa har altså kraften F et positivt kraftmoment M = a F, mens kraftmomentet til F er negativt, M = a F. Vi får da likevektsbetingelsen M + M = 0 Summen av kraftmomentene er altså lik null. Nøyaktige forsøk viser at dette resultatet også gjelder når flere krefter virker på legemet. Fortegnsregler Likevektsbetingelsen Et stivt legeme som kan rotere om en akse, er i likevekt hvis summen av kreftene på legemet er lik null (Newtons. lov), og hvis summen av kraftmomentene på legemet, regnet med fortegn, er lik null. F r = 0 og M = 0 4
Tyngdepunkt Ei jente på 30 kg leker med faren sin som veier 80 kg. De sitter på hver sin side av ei vippe slik at vippa er i horisontal balanse. Jenta sitter,0 m fra aksen. Vi skal finne ut hvor langt fra aksen sitter faren. Siden jenta er i ro, er kraften på jenta fra vippa lik tyngden av jenta. Etter Newtons 3. lov presser jenta nedover på vippa med en kraft som er like stor. På tilsvarende måtte innser vi at faren presser vippa nedover med en kraft som er like stor som tyngden av faren. Vi bruker likevektsbetingelsen M = 0 og får amg+ a Mg = 0 Vi løser likningen med hensyn på a og får m kg a = a = 0, m 30 = 045, m M 80 kg Hvis vi legger en jevntykk stav, for eksempel en meterstav, oppå en finger, finner vi fort at staven er i balanse når vi plasserer fingeren under midten av staven. Vi sier at midtpunktet er et balansepunkt for staven, se fotografiet nedenfor til venstre. På tilsvarende måte kan vi finne et balansepunkt for en hammer, men det ligger ikke midt på hammerskaftet, se fotografiet nedenfor til høyre. Vi kan forstå disse observasjonene slik: Et legeme består av mange smådeler (atomer og molekyler), og det virker gravitasjonskrefter på alle disse smådelene. Noen av kreftene har et positivt kraftmoment om balansepunktet, mens andre har et negativt kraftmoment. Summen av alle kraftmomentene om balansepunktet er lik null. Summen av gravitasjonskreftene på alle smådelene som vi tenker oss at legemet består av, er lik tyngden G av legemet. Vi tenker vanligvis på tyngden som én kraft, og at denne kraften angriper i et punkt som vi kaller tyngdepunktet til legemet. Hvis tyngdepunktet T ligger rett over (eller rett under) balansepunktet, blir tyngdens kraftmoment om balansepunktet lik null. Dette kan vi bruke som en praktisk definisjon av tyngdepunkt. Hvis legemet kan dreie om en akse som ikke ligger på en vertikal linje gjennom tyngdepunktet, har tyngden et kraftmoment forskjellig fra null. Da vil legemet dreie om aksen hvis det ikke virker andre krefter på legemet som sørger for balanse. 5
Det kan vises at summen av kraftmomentene til gravitasjonskreftene som virker på alle smådelene i legemet om en vilkårlig akse, er lik kraftmomentet til tyngden G om denne aksen. Vi forutsetter da at tyngdens angrepspunkt er tyngdepunktet til legemet. Å bestemme tyngdepunktet til et legeme For å bestemme hvor tyngdepunktet til et plant legeme ligger, kan vi gå fram slik: Vi henger legemet opp i et punkt A på legemet. Legemet vil da være i balanse når tyngdepunktet T ligger på en vertikal linje gjennom A på legemet, se figur a. Vi gjentar forsøket ved å henge legemet opp i et annet punkt A. Tyngdepunktet ligger da på en vertikal linje gjennom A. T er altså skjæringspunktet mellom disse to linjene, se figur b. 6