Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer

Kapittel 2 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Oppgave Gitt funksjonen f(x,y,z) = x 2 y+z 2 x. Vi regner først ut de partielt deriverte med hensyn på x, y og z: f x = 2xy f +z2, = f x2, = 2zx. De dobbeltderiverte blir nå Oppgave 2 2 f x = 2x, 2 f x = 2x, 2 f x = 2z 2 f x = 2z. Taylor-approksimasjonen av første orden til en funksjon f = f(x) om punktet x 0 er gitt ved T (x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ). For funksjoner av to variable, g = g(x,y), om punktet (x 0,y 0 ) har vi T (x,y) = g(x 0,y 0 )+g x (x 0,y 0 )(x x 0 )+g y (x 0,y 0 )(y y 0 ) der g x og g y betegner de partielt deriverte av g med hensyn på henholdsvis x og y. a) f(x) = sinx, x 0 = 0, f (x) = cosx. T (x) = sin0+cos0 (x 0) = 0+ x = x. b) f(x) = cosx, x 0 = 0, f (x) = sinx. T (x) = cos0 sin0 (x 0) = 0 x =. 9

20 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer c) f(x) = e x2, f (x) = 2xe x2. x 0 = 0 : T (x) = e 0 +2 0 e 0 (x 0) = +0 (x 0) = x 0 = : T (x) = e +2 e (x ) = e+2e(x ) = e(2x ). d) f(x) = sin x, x 0 = π 2, f (x) = 2 x 2 cos x. T (x) = sinπ + 2 (π2 ) 2 cosπ(x π 2 ) = 0+ 2π ( )(x π2 ) = 2π (x π2 ). e) g(x,y) = sinxcosy, (x 0,y 0 ) = (0,0), g x = cosxcosy, g y = sinxsiny. T (x,y) = sin0cos0+cos0cos0(x 0) sin0sin0(y 0) = 0+ (x 0) 0 (y 0) = x. f) g(x,y) = xy 2 e x+y, (x 0,y 0 ) = (, ), g x = y 2 e x+y, g y = 2xy e x+y. T (x,y) = ( ) 2 e + ( ( ) 2 e ) (x )+ ( 2 ( ) e ) (y +) g) g(x,y) = = +( )(x )+( 2 )(y +) = 3y 3. xy +x 2 +y 2, (x 0,y 0 ) = (,2). g x = y ( +x 2 +y 2) xy 2x ( +x 2 +y 2) 2 = y x2 y +y 3 ( +x 2 +y 2) 2 g = x( +x 2 +y 2) xy 2y ( +x 2 +y 2) 2 = x xy2 +x 3 ( +x 2 +y 2) 2 T (x,y) = 2 ++4 + 2 2+8 (x+)+ +4 (y 2) 36 36 = 3 + 2 9 (x+)+ (y 2) 8 = 4x+y 4. 8

2 Oppgave 3 Taylor-approksimasjonen av andre orden til en funksjon f = f(x) om punktet x 0 er gitt ved T 2 (x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2. a) f(x) = sinx, x 0 = 0, f (x) = cosx, f (x) = sinx. T 2 (x) = 0+ (x 0)+ 2 0 (x 0)2 = x. b) f(c) = cosx, x 0 = 0, f (x) = sinx, f (x) = cosx. T 2 (x) = +0 (x 0)+ 2 ( )(x 0)2 = 2 x2. c) f(x) = lnx, x 0 = 2, f (x) = x, f (x) = x 2. T 2 (x) = ln2+ 2 (x 2) 8 (x 2)2. d) f(x) = 2 e x, x 0 =, f (x) = 2 e x, f (x) = 2 e x. T 2 (x) = 2 e 2 e(x+)+ 4 e(x+)2. Oppgave 4 Vi følger hintet og rekkeutvikler teller og nevner ln(x+) = x x2 2 + x3 3 + sinx = x x3 6 + Så utfører vi en polynomdivisjon og beholder kun ledd til andre orden x x2 2 + x3 3 x x3 6 Så kan vi sette inn verdien x = 0.0 = x 2 + x2 2 + log(.0) sin(0.0) 0.99505. Legg merke til at det er nødvendig å rekkeutvikle både teller og nevner til tredje orden for at sluttresultatet skal bli nøyaktig til andre orden, det skyldes at rekkeutviklingene til både teller og nevner starter med ledd av første orden.

22 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Oppgave 5 Gradienten til et skalarfelt β, også kalt gradientvektoren, er definert ved β = i+ x j + k. Vi skal i denne oppgaven benytte oss av r-vektoren: r = xi+yj +zk, r = r = (x 2 +y 2 +z 2 ) 2. a) β = x 2 +xy +z 2 : x = 2x+y = x = 2z β = (2x+y)i+xj +2zk. b) β = e (xy+z) : x = e (xy+z) ( y) = e (xy+z) ( x) = e (xy+z) ( ) β = e (xy+z) (yi+xj +k). c) β = x 2 +y 2 +z 2 : x = = = β = 2x 2 x 2 +y 2 +z 2 2y 2 x 2 +y 2 +z 2 2z 2 x 2 +y 2 +z 2 x 2 +y 2 +z 2(xi+yj +zk) = r r.

23 d) β = x 2 +y 2 +z 2 = (x2 +y 2 +z 2 ) 2: x = 2 (x2 +y 2 +z 2 ) 3 2 2x = 2 (x2 +y 2 +z 2 ) 3 2 2y = 2 (x2 +y 2 +z 2 ) 3 2 2z β = (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 (xi+yj +zk) = r r 3. e) β = β(r), r = (x 2 +y 2 +z 2 ) 2: x = dβ r dr x = dβ dr 2 (x2 +y 2 +z 2 dβ x ) 2 2x = dr r = dβ r dr = dβ dr 2 (x2 +y 2 +z 2 ) 2 2y = dβ y dr r = dβ r dr = dβ dr 2 (x2 +y 2 +z 2 dβ z ) 2 2z = dr r β = dβ dβ r (xi+yj +zk) = dr r dr r. Vi kontrollerer ved å sammenlikne resultatene fra deloppgavene c) og d): c) β = r β = r r = r r. Ok! d) β = r Oppgave 6 β = r 2 r r = r r3. Ok! Gradienten til et skalarfelt β er definert ved a) β = yzi+xzj +xyk: β = i+ x j + k. x = yz β(x,y,z) = xyz +f (y,z) = xz β(x,y,z) = xyz +f 2 (x,z) = xy β(x,y,z) = xyz +f 3 (x,y). For å få en entydig β må vi velge f = f 2 = f 3 = C (= konstant) slik at β(x,y,z) = xyz +C.

24 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer b) β = cos(yz)i xzsin(yz)j xysin(yz)k: x = cos(yz) β(x,y,z) = xcos(yz)+f (y,z) = xzsin(yz) β(x,y,z) = xcos(yz)+f 2 (x,z) = xysin(yz) β(x,y,z) = xcos(yz)+f 3 (x,y). Entydig β krever f = f 2 = f 3 = C: c) β = e x i e y j e z k: x = e x β(x,y,z) = xcos(yz)+c. β(x,y,z) = e x +f (y,z) = e y β(x,y,z) = e y +f 2 (x,z) = e z β(x,y,z) = e z +f 3 (x,y). Her må vi velge funksjonene f, f 2 og f 3 slik at Oppgave 7 f (y,z) = e y +e z +C f 2 (x,z) = e x +e z +C f 3 (x,y) = e x +e y +C β(x,y,z) = e x +e y +e z +C. Definisjonen av gradientvektoren av en skalarfunksjon β er a) β = i+ x j + k. (α+β) = x (α+β)i+ (α+β)j + (α+β)k = α α i+ x = α+ β. j + α k+ i+ x j + k b) (cβ) = x (cβ)i+ (cβ)j + (cβ)k = c x i+c j +c k = c β.

25 c) (αβ) = x (αβ)i+ (αβ)j + (αβ)k ( ) ( α α = x β +α i+ x β +α ( α α = β i+ x j + α ) ( k +α = β α+α β. ) ( α j + β +α ) i+ x j + k ) k d) ( ) β = x ( ) i+ β ( ) j + β = β 2 x i β 2 j β 2 k = ( β 2 i+ x j + k ) ( ) k β = β 2 β. Oppgave 8 Vi har gitt temperaturmodellen T = T 0 R r der T 0 og R er konstanter og r = ( x 2 +y 2 +z 2) /2. a) Vi regner først ut temperaturgradienten i et vilkårlig punkt: ( ) ( ) R T = T 0 = T 0 R. r r Den siste likheten får vi fra oppgave 8b. Fra oppgave 5d får vi følgende resultat: ( ) = r r r 3 som gir oss temperaturgradienten Ved jordoverflaten er r = R og T = T 0R r 3 r. (2.) T = T 0 R 2r. Retningen er her r, dvs. fra jordoverflaten og inn mot sentrum av jorden, mens størrelsen blir T = T 0 R 2 r = T 0 R. MERK: Oppgaven spør om retning, men ikke om retningsvektor med enhets lengde. Det er derfor valgfritt om vi angir retningen ved en vektor med vilkårlig lengde.

26 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer b) Vi skalerer T med temperaturkonstanten T 0 og r med avstandskonstanten R. Da får vi to nye dimensjonsløse variabler: T = T T 0, r = r R. Vi kan nå sette T = T T 0 og r = r R inn i likning 2.: T T 0 = T 0 R r R T = r. Oppgave 9 Et fjellpass er beskrevet ved der h 0, R og a er konstanter. h(x,y) = h 0 + a R2xy (2.2) a) Høydekonturene finner vi ved å sette h(x,y) = C = konstant: C = h 0 + a R 2xy xy = C h 0 R 2. a Hvis C = h 0 har vi at xy = 0 som gir x = 0 og y = 0. Både x- og y-aksen er altså høydekonturer. Hvis C h 0 har vi: For x = R og y = R: For x = R og y = R: y = R 2C h 0 a x. R = C h 0 R C = h 0 +a (= 450m) a o.s.v. R = C h 0 R C = h 0 a (= 950m) a b) Gradientvektoren peker mot større verdier av skalarfunksjonen: h = h h i+ x j = a R 2(yi+xj). Størrelsen til gradientvektoren sier hvor bratt stigningen er: h = a R 2 x 2 +y 2. Stigningen er altså like bratt på sirkler med sentrum i origo og det blir brattere jo lenger vekk fra origo vi kommer.

450 27 0 8 950 2200 6 200 200 4 2 0 2 200 950 450 200 2200 950 450 200 450 200 200 950 2200 200 450 950 4 6 2200 200 200 8 450 950 0 0 5 0 5 0 Figur 2.: Konturlinjene til fjellpassmodellen (2.2) c) Det er mange måter å løse denne oppgaven. En opplagt måte er å innføre nye dimensjonsløse variabler: h = h h 0, x = x R, y = y R. Vi kan nå sette h = h h 0, x = x R og y = y R inn i likning 2.2: h h 0 = h 0 + a R 2x Ry R h = + a h 0 x y. Brøken a/h 0 er dimensjonsløs siden både a og h 0 har dimensjon meter. Vi markerer dette ved å innføre a = a/h 0 slik at den dimensjonsløse likningen blir En bedre måte er å innføre h = h h 0, x = x R h = +a x y. a, y = y a. h 0 R h 0 Da oppnår vi at konstanten a blir borte slik at den dimensjonsløse likningen blir En enda bedre måte er å innføre h = +x y. h = h h 0, x = x a R, y = y R. Da oppnår vi at både konstanten a og konstantleddet blir borte slik at den dimensjonsløse likningen blir h = x y.

28 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Oppgave 0 a) v = ai+bj, u = a, v = b. udy = vdx ady = bdx ady = bdx ay = bx+c y = b a x+c. (C er en vilkårlig konstant C/a = C.) b) v = ayi+bxj, u = ay, v = bx. udy = vdx aydy = bxdx aydy = bxdx 2 ay2 = 2 x2 +C y 2 = b a x2 +C b y = ± a x2 +C. Hvis a er negativ får vi y 2 +αx 2 = C, α = b a > 0 og strømlinjene blir ellipser med sentrum i origo. c) v = ai+bxj, u = a, v = bx. udy = vdx ady = bxdx ady = bxdx ay = 2 bx2 +C y = b 2a x2 +C.

29 5 4 3 2 0 2 3 4 5 5 4 3 2 0 2 3 4 5 Figur 2.2: Konturlinjene C = 8, 6,...,6,8 til vektorfeltet v = ai+bj der a = b =. 5 4 3 2 0 2 3 4 5 5 4 3 2 0 2 3 4 5 Figur 2.3: Konturlinjene C = 5, 5,0,5,5 til vektorfeltet v = ayi+bxj der a = b =.

30 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer 5 4 3 2 0 2 3 4 5 5 4 3 2 0 2 3 4 5 Figur 2.4: Konturlinjene C = 4, 2,0,2,4 til vektorfeltet v = ai+bxj der a = b =. Oppgave Gitt vektorfeltet v = cy cx x 2 +y2i+ x 2 +y 2j. Vi finner som vanlig strømlinjene ved å sette inn i formelen udy = vdx. Før vi integrerer må vi huske på å forkorte så mye som mulig. cy x 2 +y 2 dy = cx x 2 +y 2 dx ydy = xdx ydy = xdx 2 y2 = 2 x2 +C x 2 +y 2 = 2C. Strømlinjene blir sirkler med sentrum i orgio.

3 Oppgave 2 La oss først finne v uttrykt ved hjelp av β: i j k v = k β = 0 0 = Strømlinjene er gitt ved likningen x 0 udy = vdx dy = x dx dx+ dy = 0. x i+ x j. Venstresiden over kjenner vi igjen som dβ, tilveksten i β. Hvis tilveksten i β er null må β være konstant. Strømlinjene til vektorfunksjonen v er altså gitt ved Oppgave 3 Vi har gitt et hastighetsfelt β(x,y) = β 0 = konstant. v = 2kxi+2kyj 4kzk, k > 0. a) I xz-planet har v komponentene u = 2kx og w = 4kz. Likningen for strømlinjene blir udz = wdx 2kxdz = 4kzdx. Før vi går løs på integreringen, må vi forkorte så mye som mulig og sørge for at alle uttrykk med x er på samme side som dx og alle uttrykk med z er på samme side som dz. xdz = 2zdx z dz = 2 x dx dz = 2 z x dx lnz = 2lnx+C e lnz = e 2lnx+C z = e lnx 2 e C z = Cx 2 z = C x 2.

32 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer 5 4 3 2 0 2 3 4 5 6 4 2 0 2 4 6 Figur 2.5: Konturlinjene C = 25, 0,,0,,0,25 til vektorfeltet v = 2kxi 4kzk der k =. b) Det er tre måter strømmen kan være aksesymmetrisk på: om x-aksen, om y-aksen eller om z-aksen. Strømstyrken i xy-planet er gitt ved: v = u 2 +v 2 = 4k 2 x 2 +4k 2 y 2 = 2k x 2 +y 2. Vi har samme strømstyrke på sirkler med sentrum i origo. Retningen er gitt ved v = 2k(xi+yj) = 2kr. Vi har altså symmetri om z-aksen. 5 4 3 2 0 2 3 4 5 6 4 2 0 2 4 6 Figur 2.6: Vektorfeltet v = 2kxi+2kyj er symmetrisk om z-aksen.