Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,... Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,... Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 36 / 56
Eksempel; styrke, Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Styrke Vi har sett på styrkefuksjo for esidige tester. Nå: Styrkefuksjo for tosidige tester. Først litt repetisjo! Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 37 / 56
Eksempel; styrke, Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Repetisjo av: Geerell defiisjo av styrke/styrkefuksjo Situasjo og modell fastlagt; test ag. parametere θ Følgede er også fastlagt: H 0 og H 1 Teststørrelse, sig.ivå og forkastigsområde / kritisk verdi Def.: Styrkefuksjoe, γ, er defiert ved: γ(θ = P(forkaste H 0 θ. For e bestemt verdi θ 1 (slik at H 1 er riktig, kalles sasylighete γ(θ 1 for styrke i alterativet θ 1. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 38 / 56
Eksempel; styrke, Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempel: Herdetider til betog. Forvetige, µ = E(X i : virkelig herdetid m/tils.stoff Vil teste : H 0 : µ = 120 mot H 1 : µ 120 Teststørrelse: Z = X 120, Nullfordelig: N(0, 1, til. Test (tilærmet sig.ivå α = 0.05: 0.5 0.4 Forkast H 0 dersom 0.3 0.2 Z z 0.025 } {{ } 1.96 eller Z z 0.025 } {{ } 1.96 0.1 0-3 -2-1 0 1 2 3 N(0, 1 tetthet Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 39 / 56
Eksempel; styrke, Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Styrkefuksjo til dee teste; Betrakt µ 1 slik at H 1 er riktig: γ(µ 1 = P(forkaste H 0 µ = µ 1 = P(Z z 0.025 µ = µ 1 + P(Z z 0.025 µ = µ 1 Vi ser på et av leddee om gage, først P(Z z 0.025 µ = µ 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 40 / 56
Eksempel; styrke, Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig P(Z z 0.025 µ = µ 1 = P = P P ( X 120 ( X µ1 (Z : teststørrelse z 0.025 µ = µ 1 z 0.025 µ 1 ( Z z 0.025 + 120 µ 1 + 120 µ = µ 1, der Z N(0, 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 41 / 56
Eksempel; styrke, Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Det adre leddet, P(Z z 0.025 µ = µ 1 : P(Z z 0.025 µ = µ 1 = P = P P = 1 P ( X 120 ( X µ1 (Z : teststørrelse z 0.025 µ = µ1 z 0.025 µ 1 ( Z z 0.025 + 120 µ 1 ( Z z 0.025 + 120 µ 1 + 120 µ = µ 1, der Z N(0, 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 42 / 56
Eksempel; styrke, Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Berege styrke: γ(µ 1 = P(forkaste H 0 µ = µ 1 = P(Z z 0.025 µ = µ 1 + P(Z z 0.025 µ = µ 1 P ( Z z 0.025 + 120 µ 1 ( = 40, : 18.7 2, z 0.025 = 1.96 + 1 P ( Z z0.025 + 120 µ 1 Uttrykkee på siste lije ka vi berege vha., N(0, 1-tabelle: γ(115 P(Z 0.27 + 1 P(Z 3.65 = 0.39 + 1 0.9999 0.39 γ(125 P(Z 3.65 + 1 P(Z 0.27 = 0.0001 + 1 0.61 0.39 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 43 / 56
Eksempel; styrke, Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Plott av styrkefuksjoe: γ(µ 1 P ( Z z 0.025 + 120 µ 1 ( = 40, : 18.7 2, z 0.025 = 1.96 1 + 1 P ( Z z0.025 + 120 µ 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 100 105 110 115 120 125 130 135 140 γ(µ 1 mot µ 1 (på x-akse. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 44 / 56
Eksempel; styrke, dimesjoerig Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Vi skal se på problemet: Hvor mage data (måliger må vi ha for å få e gitt øsket styrke? Dimesjoerig av forsøk Svært viktig fordi ihetig av data ka være resurskrevede. Tar utgagspukt i eksempel med utprøvig av y medisi. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 45 / 56
Eksempel; styrke, dimesjoerig Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempel: E y medisi for e bestemt sykdom skal prøves ut. Gammel medisi for dee sykdomme helbreder i 60% av tilfellee (fastslått etter lag tids erfarig. Forsøk for å prøve ut de ye: 20 tilfeldig valgte idivid med sykdomme får medisie og det blir registrert at 14 blir helbredet; 14 av 20 er 70%. Tyder dette resultatet på at de ye er bedre e de gamle? Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 46 / 56
Eksempel; styrke, dimesjoerig Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Vi betrakter resultatet (14 av 20 helbredet som utfall av e tilfeldig variabel Y, der Y B(, p, = 20, p: ukjet. Vi vil teste H 0 : p = 0.6 mot H 1 : p > 0.6 Teststørrelse: Y ; ullfordelig: Y B(20, 0.6 0.2 0.15 Test (sig.ivå ca. 0.05: 0.1 0.05 Forkast H 0 dersom Y 16. 0 0 5 10 15 20 Y B(20, 0.6-fordelig Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 47 / 56
Eksempel; styrke, dimesjoerig Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Styrkefuksjo til dee teste; Betrakt p 1 slik at H 1 er riktig (p 1 > 0.6: γ(p 1 = P(forkaste H 0 p = p 1 = P ( Y 16 p = p 1 = 1 P ( Y 15 p = p1 Ka bereges vha. biomiske tabeller. p 1 (0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 γ(p 1 (0.051 0.238 0.630 0.957 0.998 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 48 / 56
Eksempel; styrke, dimesjoerig Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Hvor mye forbedres styrke dersom vi hadde hatt = 200 idivid med i utprøvige? Test med ormaltilærmig (til. 5% sig.ivå: Forkast H 0 dersom p 0.6 0.6(1 0.6 200 z 0.05 = 1.645 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 49 / 56
Eksempel; styrke, dimesjoerig Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Styrkefuksjo: γ(p 1 = P(forkaste H 0 p = p 1 = P ( p 0.6 0.6(1 0.6 200 z 0.05 p = p 1 Obs: år p = p 1, er p p 1 p 1 (1 p 1 200 N(0, 1, tilærmet Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 50 / 56
Eksempel; styrke, dimesjoerig Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Styrkefuksjo: ( p 0.6 γ(p 1 = P z 0.05 p = p 1 0.6(1 0.6 200 ( 0.6(1 0.6 = P p z 0.05 + 0.6 200 p = p 1 ( p p1 = P z 0.6(1 0.6 0.05 200 + 0.6 p 1 p 1 (1 p 1 p 1 (1 p 1 200 200 1 P ( Z z 0.05 0.6(1 0.6 200 + 0.6 p 1, p 1 (1 p 1 200 p = p 1 der Z N(0, 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 51 / 56
Eksempel; styrke, dimesjoerig Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Beregiger, for p 1 = 0.7: γ(0.7 1 P ( Z 1.645 0.6(1 0.6 200 + 0.6 0.7 0.7(1 0.7 200 = 1 P(Z 1.33 = 1 0.0918 = 0.9078 (Med = 20 var styrke 0.2375 i alterativet p 1 = 0.7. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 52 / 56
Eksempel; styrke, dimesjoerig Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Dimesjoerig; Eksempel på problemstillig: Hvor mage pasieter måtte vi hatt med i forsøket for å få styrke mist 0.9 i alterativet p 1 = 0.8? Test med ormaltilærmig (til. 5% sig.ivå: Forkast H 0 dersom p 0.6 0.6(1 0.6 z 0.05 = 1.645 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 53 / 56
Eksempel; styrke, dimesjoerig Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Styrke: γ(p 1 = P P ( p p1 p 1 (1 p 1 ( Z 0.6(1 0.6 z 0.05 0.6(1 0.6 z 0.05 p 1 (1 p 1 p 1 (1 p 1 + 0.6 p 1 + 0.6 p 1 p = p 1, der Z N(0, 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 54 / 56
Eksempel; styrke, dimesjoerig Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Styrke for p 1 = 0.8 lik 0.9: γ(0.8 0.9 γ(0.8 P ( Z dersom 0.6(1 0.6 z 0.05 + 0.6 0.8 0.8(1 0.8 0.6(1 0.6 z 0.05 + 0.6 0.8 0.8(1 0.8 0.5 0.4 0.3 = z 0.1 = 1.282 0.2 0.1 = 0.9, 0-3 -2-1 0 1 2 3 N(0, 1 tetthet Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 55 / 56
Eksempel; styrke, dimesjoerig Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig 0.6(1 0.6 z 0.05 + 0.6 0.8 0.8(1 0.8 0.6(1 0.6 0.6 0.8 = z 0.05 + 0.8(1 0.8 0.8(1 0.8 = z 0.1 0.6(1 0.6 0.8(1 0.8 = z 0.1 z 0.05 0.6 0.8 = 6.59 = 6.59 2 44 0.8(1 0.8 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 56 / 56