side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001 Eksamen i : Fys-1001 Mekanikk Eksamensdato : 06.12.2012 Tid : 09.00-13.00 Sted : Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler : 2 dobbeltsidige A4-ark med egne notater Kalkulator er ikke tillatt! Oppgavesettet er på 6 sider inkludert forside Kontaktperson under eksamen: Kristoffer Rypdal, mobiltelefon 47712863
side 2 av 6 sider Oppgave 1 I denne oppgaven skal vi betrakte en fysisk pendel som består av en sylinderskive med masse M og radius R festet til en stang med masse m og lengde l slik figuren viser. Pendelen svinger omkring en akse perpendikulært på papirplanet gjennom punktet O. Anta at massene er homogent fordelt og at det virker et kraftmoment τ f = bdθ/dt omkring denne aksen på grunn av friksjon. O l θ m R M Bestem avstanden r cm mellom opphengningspunktet O og massesenteret til pendelen. Bestem treghetsmomentet I O til pendelen om rotasjonsaksen gjennom O. Treghetsmomentet om symmetriaksen til en sylinder er 1 2 MR2, og treghetsmomentet om en akse gjennom massesenteret på tvers av en lang, tynn stang er 1 12 ml2. Beregn det totale kraftmomentet om rotasjonsaksen gjennom O, og vis at for liten utslagsvinkel θ vil bevegelsesligningen for pendelen være d 2 θ dt 2 + b dθ I O dt + (m + M)gr cm θ = 0. (1) I O Dersom friksjonskoeffisienten b ikke er for stor har den generelle løsningen av ligning (1) formen av en dempet svingning; θ(t) = Ae λt sin(ωt + δ), der A og δ er konstanter som må bestemmes fra startverdibetingelsene.
side 3 av 6 sider Bestem vinkelfrekvensen ω og dempningskoeffisienten λ som funksjon av b, I O, m, M, g og r cm ved å sette løsningen inn i likninga. Hint: Du kommer mye raskere til svaret hvis du søker en kompleks løsning på formen θ(t) = Be ( λ+iω)t, der B er en kompleks konstant og λ og ω er reelle tall. Vis at løsninga er en dempet svingning (underkritisk) bare hvis b < 4I O (m + M)gr cm. Skisser grafen til funksjonen θ(t) for dette tilfellet. Oppgave 2 Figuren nedenfor viser ei homogen kule med masse m og radius R som triller nedover et skråplan. Den starter i ro fra høyde h. Bevegelsesretningen er normalt på linjen A, som markerer overgangen til et horisontalt plan. Anta at det er nok statisk friksjon til at bevegelsen både på skråplanet og horisontalplanet er en ren rullebevegelse. Se bort fra andre former for friksjon. Tegn et frilegemediagram for kulen som inneholder friksjonskraften F s, og skriv opp bevegelsesligningene for massesenterbevegelsen og for rotasjonsbevegelsen omkring massesenteret. Vis at massesenterakselerasjonen parallelt med skråplanet er a = 5 7gsinφ og at friksjonskraften er gitt ved F s = 2 7 mgsinφ. Hint: Treghetsmomentet til ei kule om massesenteret er I c = 2 5 mr2. Finn kulens massesenterhastighet like etter at den har begynt å trille på horisontalplanet. Hint: L O = R (mv) + L c. Hvorfor er ikke den mekaniske energien bevart gjennom hele bevegelsen?
side 4 av 6 sider Oppgave 3 I et punkt på jordoverflaten ved breddegraden φ kan momentumligningen for en ideell fluid skrives som ρ Du Dt der sentrifugalkraften og friksjonskrefter er neglisjert. = p + ρg ρ2ω u, (2) Definer de forskjellige variablene i likninga og lag en figur der du tegner inn retningene av vektorene p, g og Ω. Forklar betydningen av leddene i likninga og spesielt derivasjonen Du Dt = u t + u u Skriv likning (2) på komponentform i et lokalt kartesisk koordinatsystem der x-aksen er rettet østover, y-aksen nordover og z-aksen langs vertikalen. Beskriv kort betydningen av de forskjellige leddene. På midlere breddegrader kan uttrykket 2Ω u approksimeres til f ẑ u der f = 2Ωsinφ. La oss nå betrakte en elv med bredde D som renner i meridional retning (sør nord) med konstant hastighet V. Overflaten til elven være skrå slik som skissert i figuren nedenfor. Anta at approksimasjonen er gyldig og at ρ er konstant. Vis at likning (2) reduseres til p x = ρ fv, p y = 0, p z = ρg,
side 5 av 6 sider og bruk dette til å vise at trykket i elva er gitt ved, der p 0 er trykket ved overflaten. p(x,z) = p 0 ρgz + ρ fv x, Bruk resultatet fra punkt til å vise at overflaten til elven er beskrevet ved h(x) = h 0 + fv g x, der h 0 er høyden ved x = 0. (e) Bruk resultatet fra punkt til å estimere differansen i vann-nivået mellom østsiden og vestsiden av det danske sundet Storebælt. Sundet er 20 km bredt, ligger på 56 nord og vannet strømmer nordover gjennom sundet med hastighet ca. 1 m/s. Vinkelhastigheten i jordrotasjonen er gitt ved Ω 7.3 10 5 rad/s. Oppgave 4 La oss betrakte et mangepartikkelsystem bestående av n partikler. For slike systemer er det vanlig å skille mellom indre krefter F i j og ytre krefter F iy. Bevegelseslikninga for massesenterbevegelsen er M d2 R dt 2 = F Y. (3) Beskriv kort forskjellen mellom indre og ytre krefter. Hva betyr M, R, og F Y i likninga ovenfor? Hvorfor inngår ikke de indre kreftene i likninga for massesenterbevegelsen? Hvilken av Newtons lover følger dette av? La oss nå betrakte et system bestående av en båt med en mann ombord. Båten ligger i ro, og mannen sitter stille bakerst i båten. Så går mannen forover i båten og setter seg forrest. Der blir han sittende. Båtens masse er M, mannens masse er m og båtens lengde er L. Vi skal foreløpig se bort fra vannmotstanden. Hvilken hastighet har båten etter at mannen har satt seg? Har massesenteret flyttet seg? Hvor langt, og i hvilken retning, har båten beveget seg? Vi skal nå ta hensyn til vannmotstanden, som vi regner er proporsjonal med hastigheten til båten. Retningen fremover i båten tas som positiv. Mannens hastighet relativt til båten kalles u, og båtens
side 6 av 6 sider hastighet relativt til vannet kalles v. Vannmotstanden er kv, der k er en friksjonkoeffisient. Vis at følgende differensialligning (M + m) dv dt + mdu + kv = 0 (4) dt beskriver systemets bevegelse både før, mens og etter at mannen har beveget seg. Vis ved integrasjon av ligning (4) at båtens tilbakelagte strekning s er gitt ved (M + m) ds + mu + ks = 0. dt Hint: Ved tida t = 0, i øyeblikket mannen begynner å bevege seg, er v = 0, u = 0, og s = 0. (e) Når mannen setter seg, har båten flyttet seg en strekning s 1. Du skal ikke beregne s 1, men vis at båtens posisjon etter at han har satt seg beskrives av likninga (M + m) ds + ks = 0, dt og bruk denne til å vise at båten vil komme tilbake til utgangsposisjonen s = 0 når t. Hvor langt har massesenteret da flyttet seg? Forklar kvalitativt ved hjelp av likning (3) hvorfor massesenteret har flyttet seg.