NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg kontinuasjonseksamen TFY 4104 Fysikk august 011 Faglærar: Professor Jens O Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon: 73593131 Fredag 1 august 011 kl 0900-1300 Hjelpemiddel: Godkjend kalkulator Rottmann: Matematisk Formelsamling Rottmann: Matematische Formelsammlung Barnett & Cronin: Mathematical Formulae Oppgåve 1 a) Vi bruker bevaring av energi Med nullpunkt i y = 0, får vi mgl = 1 mv 1 v 1 = gl 1
b) Kula beveger seg i sirkelbane med radius r = l og banefarta er v 1 når dei to kulene kolliderer Akselerasjonen er difor a = v1 /l og Newtons andre lov i radiell retning gjev då eller S mg = mv 1/l = mg, S = 3mg c) Kollisjonen er fullstendig uelastisk som tyder at kulene beveger som ein lekam med masse m og fart v Bevaring av impuls gjev eller (m)v = mv 1, v = 1 v 1 = 1 gl Den kinetiske energien etter kollisjonen er E etter k = 1 (m)v = 1 mgl Den kinetiske energien rett før kollisjonen er Ek før = 1 mv 1 = mgl og den kinetiske energien rett etter kollisjonen er Ek etter = 1 (m)v = 1 mgl Varmemengda Q er då differansen Q = 1 mgl d) Maksimalhøgda h finn ein frå bevaring av energi: (m)gh = E etter k = 1 mgl h = 1 4 l
Oppgåve Sidan ladningsfordelinga er sylindersymmetrisk, er det elektriske feltet retta i radiell retning i xy-planet og avheng berre av avstanden r frå z-aksen, kan vi skrive E = E(r) e r Vi legg inn ei sylinderforma Gaussflate med radius r og lengde L Den elektriske fluksen gjennom denne flata er Φ = E n ds = πrle(r), der vi har nytta at n = e r Gauss lov gjev da πrle(r) = Q ǫ 0, der Q er ladninga innafor Gaussflata For r < R, er ladninga innafor ( ) r Q = πlρ 0 1 r r dr 0 R ( ) r = πlρ 0 r3, 3R og vi får E(r) = ρ ( ) 0 r ǫ 0 r 3R For r > R får vi ( ) R Q = πlρ 0 1 r 0 R = πlρ 0 R 6 r dr E(r) = ρ 0 ǫ 0 R 6r Vi noterer oss at E(r) er kontinuerleg b) Vi har E = V 3
I sylinderkoordinatar gjev dette V = V r e r + 1 V r θ e θ + V z e z Sidan vi har E = E(r) e r, gjev dette Integrasjon gjev for r < R E(r) = V r V (r) = ρ 0 ǫ 0 ( ) r 4 r3 9R der integrasjonskonstanten C = 0 fordi V (r = 0) = 0 For r > R får vi V (r) = ρ 0 6ǫ 0 R ln r R + K, der K er ein (annan) integrasjonskonstant Dersom vi krev at V (r) er kontinuerleg i r = R finn vi K = ρ 0 5R ǫ 0 36 V (r) = ρ ( 0 R ln r 6ǫ 0 R 5 ) 6, Oppgåve 3 a) Varme tilført er dq = C P dt = (C V + nr)dt = 5 nrdt Q 1 = 5 nr T dt = 5 nr(t ) Vi har ds = dq rev /T = C P dt/t Entropiendringa blir difor S 1 = 5 nr T dt T = 5 nr ln T b) Arbeidet for ein adiabatisk prosess er W 3 = C V (T 3 T ) = 3 nr(t 3 T ) 4
Sidan prosessen er adiabatisk er dq = 0 S 3 = 0 c) Infinitesimalt arbeid gjort på gassen er dw = PdV W 31 V1 = PdV = nrt V1 dv V, der vi har brukt ideell gasslov P V = nrt og at T er konstant Integrasjon gjev W 31 = nrt 3 ln V 1 Vi har dq + dw = 0 fordi den indre energien til gassen er konstant under ein isoterm prosess Integrasjons gjev da ds = P T dv = nr dv V S 31 V1 dv = nr V = nr ln V 1 Alternativt kan ein bruke at Q 31 = W 31 og at S 31 = Q 31 /T 3 sidan T = = T 3 er konstant d) Frå svara i a) - c) får vi S = 5 nr ln T + nr ln V 1 = 5 nr ln T T 3 + nr ln P 3 P der vi har brukt = T 3, P 1 = P og P 1 V 1 = P 3 Adiabatlikninga gjev T γ P γ 1 = konstant, 5
der γ = C P /C V = 5/3 samanhengen mellom trykk og temperatur i punkta og 3: P 3 P = ( T3 T ) γ γ 1 S = 5 nr ln T + nr γ T 3 γ 1 ln T 3 T = 0 Sidan entropien er ein tilstandsfunksjon er det inga endring i entropien når gassen har gått gjennom ein syklus Oppgåve 4 a) Faradays induksjonslov er E = d dt B nds Her er B magnetfeltet, n er ein normalvektor til flata og ds er eit flateelement E er den elektromotoriske spenninga og likninga seier at E er gjeve ved minus endringa i magnetisk fluks gjennom flata der positiv retning er gjeve ved høgrehandsregelen b) Den effektive kapasitansen har total ladning Q = Q 1 + Q Vi bruker nå at Q = CV for ein kondensator Vi får V C eff = V 1 C 1 + V C, der V 1 er spenningsfallet over C 1, V er spenningsfallet over C og V er spenningsfallet over C eff Spenningsfalla over dei tre kondensatorane er like c) Steiners sats er C eff = C 1 + C I = I cm + mh der cm er tregheitsmomentet for ei massefordeling om ein akse gjennom massesenteret og tregheitsmomentet I om ein akse som er parallell der avstanden mellom aksene er h og m er massen til fordelinga 6