1 PARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE Vi har tidligere sett hordan i kan lage en parameterframstilling for et plan ed å uttrykke koordinatene ed to parametere, f. eks s og t. Fra 1.2 et i at x = x0 + a1s+ a2t y = y0 + b1s+ b2t z = z0 + c1s+ c2t er en parameterframstilling for planet som går gjennom punktet ( x0, y0, z 0) og er parallelt med ektorene [ a1, b1, c 1] og [ a2, b2, c 2]. Vi kan også lage parameterframstillinger for flater som ikke er plane. Før i ser på parameterframstilling for en kuleflate minner i om parameterframstillingen for en sirkel fra R1. I planet har en sirkel med sentrum i origo og radius r parameterframstillingen x = rcos y = rsin, [0º, 360º Dette bruker i som utgangspunkt når i skal utlede en parameterframstilling for en kuleflate. Vi plasserer kula i et koordinatsystem slik at kulesenteret ligger i origo. Vinkelrett på z-aksen har i lagt to plan, det ene ed z = 0 og det andre ed z = a. De to planene skjærer kuleflaten i her sin sirkel. Radien er r i den ene sirkelen og r 1 i den andre.
2 De to sirklene på figuren får da parameterframstillingene x = rcos y = rsin z = 0 og x = r cos y = r sin z = a 1 1 Den enkleste parameterframstillingen får i nå ed å uttrykke z- koordinaten a og sirkelradien r 1 ed en felles parameter, nemlig inkelen u på figuren. Ser du at a = rsin u, og at r1 = rcos u? Vi lar Px (, y, z ) ære et punkt på kuleflaten som har radius r og sentrum i origo. Så lar i Q ære fotpunktet for normalen fra P på xy-planet. u er inkelen mellom xy-planet og OP. For den positie z-aksen er u = 90º. For den negatie z-aksen er u = 90º. er inkelen mellom den positie x-aksen og OQ. A trekant OQP får i at OQ = OP cos u = r cos u. x-, y- og z-koordinaten til P kan i nå uttrykke ed kuleradien r og inklene u og : x = OQ cos = r cos u cos y = OQ sin = r cos u sin z = OP sin u = r sin u Lar i parameteren u ha erdier i interallet [ 90º, 90º ] og ha erdier i [0º, 360º, får i med alle punktene på kuleflaten. NB! Vinkelen u regner i som negati når z-koordinaten til punktet P er negati.
3 Eksempel 1 Punkter på kuleflate Figuren iser en kuleflate med sentrum i origo. Punktene A og B ligger på kuleflaten. Vi skal lage en parameterframstilling for kuleflaten og finne parametererdiene som sarer til punktene A og B. Både A og B har astanden 7 fra origo, og i får parameterframstillingen x = 7 cos u cos y = 7 cos u sin z = 7 sin u Da A ligger på y-aksen er inkelen mellom OA og xy-planet 0º. Det betyr at u = 0º. Vinkelen = 90º. For punktet B setter i inn x-, y- og z-koordinatene i parameterframstillingen og løser med hensyn på u og. For z får i For x får i 6 = 7 sin u 6 sin u = 7 1 6 sin = 59,0º 7 u = 59,0º 2 = 7 cos59,0º cos 2 cos = = 0,5547 7 cos59,0º = 56, 3º 1 cos 0,5547 = 56,3º Kontroller sel at u = 59,0º og = 56,3º gir riktig y-erdi. Oppgae 1 a Lag en parameterframstilling for en kuleoerflate med radius 12 og sentrum i origo. b Finn punktet som sarer til parametererdiene u = 30º og = 45º i parameterframstillingen x = 4cos u cos y = 4cos u sin z = 4sin u
4 c Punktet P = (2, 1, 2) ligger på en kuleflate med sentrum i origo. Finn en parameterframstillling for kuleflaten og bestem parametererdiene som sarer til P. Oppgae 2 Bestem parametererdiene u og for punktet P i kuleflaten med sentrum i origo. a b Oppgae 3 2 2 Bruk den trigonometriske formelen cos + sin = 1 til å ise at parameterframstillingen x = rcos u cos y = rcos u sin z = rsin u 2 2 2 2 gir likningen x + y + z = r. Oppgae 4 En kuleflate er gitt ed x = cos u cos y = cos u sin z = sin u, u 90º [, 90º ] og [ 0º, 360º. a Hor finner i de punktene som har parametererdien u = 60º? b Hor finner i de punktene som har parametererdien = 45º?
5 I en kuleflate med sentrum i ( x0, y0, z 0), er alle punktene på kuleflaten flyttet ektoren [ x0, y0, z 0] i forhold til en like stor kule med sentrum i origo. Vi har derfor: En kuleflate med sentrum i ( x0, y0, z 0) og med radius r har parameterframstillingen x = x0 + rcos u cos y = y0 + rcos u sin z = z0 + rsin u u [ 90º, 90º ] og [0º, 360º Eksempel 2 Fra likning til parameterframstilling Vi skal bestemme en parameterframstilling for kuleflaten gitt ed likningen x 2 4x+ y 2 + 2y+ z 2 6z = 11. Vi omformer og finner sentrum og radius til kula: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 4x+ 2 + y + 2y+ 1 + z 6z + 3 = 11 + 2 + 1 + 3 2 2 2 2 ( x 2) + ( y+ 1) + ( z 3 ) = 25= 5 Kuleflaten har sentrum i (2, 1, 3) og radius 5. Parameterframstillingen for kuleflaten er x = 2 + 5cos u cos y = 1 + 5cos u sin z = 3 + 5sin u Oppgae 5 Bestem en parameterframstilling for kuleflaten gitt ed likningen a x 2 + 2x+ y 2 + z 2 8z = 19 b 2x 4x+ 2y 6y+ 2z + 10z = 2 2 2 11 2 Oppgae 6 Bestem likningen for kuleflaten gitt ed parameterframstillingen a x = 4 cos u cos y = 2 + 4 cos u sin z = 1 + 4 sin u b x = 7 cos u cos + 3 y = 1 + 7 cos u sin z = 7 sin u 4 Lengde- og breddegrader Jordoerflaten er delt inn i lengde- og breddegrader. Halsirkelen fra nordpolen til sørpolen som går gjennom Greenwich i London kaller i nullmeridianen (lengdegrad 0º). Så blir alle lengdegrader målt ut fra denne. Norge ligger mellom ca 5º østlig lengde og 31º østlig lengde. Nordlig og sørlig breddegrad blir målt ut fra ekator, som er sirkelen som ligger midt mellom Nord- og Sørpolen. Vi bruker en kuleflate som en tilnærming til jordoerflaten, og tenker oss et koordinatsystem med origo i jordsentret, z-aksen i nord-retningen og x- aksen ut gjennom nullmeridianen. Så setter i opp parameterframstillingen for kuleflaten: x = rcos u cos y = rcos u sin z = rsin u
6 Da il østlig lengde for et punkt på jordoerflaten sare til parameteren. Nordlig breddegrad sarer til parameteren u for positie u-erdier. For negatie inkler u er i sør for ekator. Vi regner jorden som en kule med radius 6371 km. Eksempel 3 Astanden mellom to punkter på en kule På en globus (Google Earth) finner i at Oslo ligger på 60º nordlig bredde og 11º østlig lengde. Reykjaik ligger på 64º nordlig bredde og 22º estlig lengde. Vi skal bruke dette til å finne astanden mellom Oslo og Reykjaik langs jordoerflaten. Vi regner med jordradien 6371 km. x= 6371cos u cos y = 6371cos u sin z = 6371 sin u er en parameterframstilling for jordoerflaten. Parametererdiene for Oslo (P) er u = 60º og = 11º. For Reykjaik (R) er de u = 64º og = 360º 22º = 338º. Det gir koordinatene P = (6371cos60º cos11º, 6371cos60º sin11º, 6371sin60º) = (3127,608, 5517) R = (6371cos64º cos338º, 6371cos64º sin338º, 6371sin64º) = (2589, 1046, 5726) Nå kan i bruke skalarprodukt for å finne inkelen POR (O er origo): OP OR [3127, 608, 5517] [2589, 1046, 5726] cos POR = = = 39 050 177 0,9621 2 OP OR 6371 40 589 641 = 1 POR = cos 0,9621 = 15,8º POR 15,8 Vinkelbuen PR langs jordoerflaten er da 2πr = 2π 6371 = 1757 360º 360 Astanden mellom Oslo og Reykjaik er altså ca 1760 km.
7 Oppgae 7 Lindesnes ligger på 7,05º østlig lengde og 57,98º nordlig bredde. Nordkapp ligger på 25,80º østlig lengde og 71,17º nordlig bredde. a Bestem x-, y- og z-koordinatene til Lindesnes og Nordkapp. b Finn astanden mellom Lindesnes og Nordkapp. Oppgae 8 Madrid og New York ligger begge på ca 40º nordlig bredde. Lengdegradene er 4º estlig lengde og 74º estlig lengde. a Regn ut astanden fra Madrid til New York langs 40. breddegrad. b Ha er den minste astanden fra Madrid til New York (langs jordoerflaten)? Oppgae 9 To punkter A og B på jordoerflaten ligger henholdsis 30º nord for ekator og 30º sør for ekator. De ligger på samme lengdegrad. To andre punkter P og Q ligger henholdsis 30º øst og 30º est for nullmeridianen. De ligger på samme breddegrad. Vurder påstanden: A og B ligger lengre fra herandre enn P og Q. (Astanden målt langs jordoerflaten.)
8 Fasit 1a x = 12cos u cos y = 12cos u sin z = 12sin u b (2, 45, 2, 45, 2) c x= 3cos u cos y = 3cos u sin z = 3sin u u = 41,8º, = 26,6º 2a u = 45º, = 0º b u = 35, 3º, = 225º 4a Sirkel i plan parallelt med xy-planet, (radius 0,5 og sentrum i (0,0,0,87) b Halsirkel mellom (0,0,1) og (0,0, 1)i planet x = y 5a x = 1 + 6 cos ucos y = 6 cos usin z = 4 + 6sin u 7 3 7 5 7 b x= 1 + cos ucos y = + cos usin z = + sin u 2 2 2 2 2 6a x 2 + ( y 2) 2 + (( z + 1) 2 = 16 b ( x 3) 2 + ( y 1) 2 + ( z + 4) 2 = 49 7a x= 3352,2, y = 414,6, z = 5401,9 og x = 1851,6, y = 895,1, z = 6029,9 b 1701 km 8a 5963 km b 5797 km