Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel 2 I seksjon 2.1 far du velse i a lse ulikheter hvor tallverdier inngar (ogave 2.1.5) og enkel trening i a fre matematiske resonnementer ved a kombinere bruk av tallverdi, trekantulikheten og induksjon (ogave 2.1.9 og 2.1.10). Ogave 2.1.6 og 2.1.7 er gode eksemler a at du ikke br la deg avskrekke av at en ogavetekst begynner med \Vis at..." Du far ytterligere trening i enkel matematisk argumentasjon gjennom ogavene om rasjonale og irrasjonale tall i seksjon 2.2. Her br du merke deg strategien ved kontraositive bevis og bevis ved motsigelse. Ogavene om suremum og inmum i seksjon 2.3 faller i startfasen erfaringsmessig tyngre for mange studenter, og jeg har derfor laget fasit til alle grueogavene som ble gitt fra dette kaittelet (ogave 2.3.6 ble bare gitt som en tilleggsogave for de som hadde lyst a en ekstra utfordring). Ogave 2.1.5 a) For a lse ulikheten jx 2j < jx + 3j benytter vi oss av det faktum at jaj < jbj () a 2 < b 2. Flgende utsagn blir dermed ekvivalente. jx 2j < jx + 3j (x 2) 2 < (x + 3) 2 4x + 4 < 6x + 9 5 < 10x x > 1 2 b) Ulikheten jx 2 2x 8j > 8 er ofylt hvis og bare hvis vi har enten x 2 2x 8 > 8 eller x 2 2x 8 < 8. Den frste av disse ulikhetene kan skrives som (x 1) 2 > 17, hvilket er ekvivalent med at jx 1j > 17, det vil si at x 1 > 17 eller x 1 < 17, altsa at x 2 ( 1; 1 17) [ (1 + 17; 1). Den andre ulikheten kan skrives jx 1j 2 < 1, som er ekvivalent med at jx 1j < 1, det vil si at 1 < x 1 < 1, altsa er x 2 (0; 2). I alt har vi dermed at ulikheten jx 2 2x 8j > 8 er ofylt hvis og bare hvis x 2 ( 1; 1 17) [ (0; 2) [ (1 + 17; 1). Ogave 2.1.6 Per denisjon av absoluttverdi (side 62 i Kalkulus) har vi jxj = n x for x 0 x for x < 0 6
Fra skolematematikken husker vi at kvadratroten til et tall a er det ositive tallet som har kvadrat lik a. Men det betyr at x2 = n x for x 0 x for x < 0 Av denisjonene flger det dermed at jxj = x 2. Ogave 2.1.7 Identiteten jxyj = jxjjyj flger av ogave 2.1.4, idet vi har jxyj = (xy) 2 = x 2 y2 = jxjjyj Ogave 2.1.9 Vi skal vise at for alle tall x, y og z sa er jx yj jx zj + jz yj Smugler vi inn z i uttrykket og benytter trekantulikheten som sier at ja + bj jaj + jbj, far vi: jx yj = jx z + z yj = j(x z) + (z y)j jx zj + jz yj som vi skulle vise. Ogave 2.1.10 Vi skal vise ved induksjon a n at ja 1 + a 2 + + a n j ja 1 j + ja 2 j + + ja n j for alle reelle tall a 1 ; a 2 ; : : : ; a n. Vi betegner utsagnet ovenfor med P n. Da er P 1 olagt sann siden Anta sa at P m er sann, det vil si at ja 1 j ja 1 j ja 1 + a 2 + + a m j ja 1 j + ja 2 j + + ja m j Vi ma vise at da er ogsa P m+1 sann. Benytter vi trekantulikheten i frste skritt og induksjonsantagelsen i andre skritt, far vi j(a 1 + a 2 + + a m ) + a m+1 j ja 1 + a 2 + + a m j + ja m+1 j Altsa er P m+1 sann dersom P m er sann. ja 1 j + ja 2 j + + ja m j + ja m+1 j Induksjonsrinsiet sikrer da at formelen gjelder for alle n 2 N. 7
Ogave 2.2.3 a) Brken 7=3 er rasjonal, siden bade telleren og nevneren er rasjonale 28=5 (setning 2.2.1). b) I brken 2 7 2 4 er telleren irrasjonal (siden den er en dierens mellom det rasjonale tallet 2 og det irrasjonale tallet 7 2 (roduktet av et rasjonalt og et irrasjonalt tall er irrasjonalt)), mens nevneren er rasjonal. Iflge setning 2.2.2 er da brken selv irrasjonal. c) Siden dierensen mellom to irrasjonale tall noen ganger blir et rasjonalt tall og andre ganger et irrasjonalt tall, ma vi omforme uttrykket og se hva vi far. = 3 2 6 + 24 = 24 2 3 2 6 12 4 Dierensen er altsa rasjonal. d) En brk hvor bade telleren og nevneren er irrasjonale, kan noen ganger vre rasjonal og andre ganger irrasjonal, sa vi ma omforme brken og se hva vi far. 3 + 2 3 2 = (3 + 2) 2 (3 2)(3 + 2) = 9 + 6 2 + 2 9 + 2 = 11 + 6 2 11 Her er telleren irrasjonal og nevneren rasjonal, sa brken er irrasjonal (setning 2.2.2). e) Som i unkt d) er bade telleren og nevneren irrasjonale, sa vi omformer brken 3 + 2 og ser at den er rasjonal. Ogave 2.2.5 4(3 + 2) = 1 4 a) Det er galt at summen av to irrasjonale tall alltid er irrasjonal. Moteksemel: Summen 2+(3 2) = 3 av de to irrasjonale tallene 2 og (3 2) er rasjonal. b) Det er sant at hvis a er irrasjonal, sa er a det ogsa. Bevis: Anta at a er irrasjonal. Da er a = ( 1)a som er et rodukt mellom et rasjonalt tall og et irrasjonalt tall, og derfor selv et irrasjonalt tall. c) Det er galt at hvis a 2 er rasjonal, sa er a det ogsa. Moteksemel: a 2 = 2 er rasjonal, men a = 2 er irrasjonal. 8
d) Det er sant at hvis a 2 er irrasjonal, sa er a det ogsa. Bevis: Vi viser det kontraositive utsagnet, nemlig at hvis a er rasjonal, sa er a 2 ogsa rasjonal. Anta altsa at a er rasjonal. Da kan vi skrive a = b=c hvor b; c 2 Z og c 6= 0. Men da er a 2 = b 2 =c 2 med b 2 ; c 2 2 Z og c 2 6= 0. Men det betyr jo netto at a 2 er rasjonal. e) Det er sant at hvis a er irrasjonal, sa er 1=a det ogsa. Bevis: Anta at a er irrasjonal. Da har brken 1=a en rasjonal teller og en irrasjonal nevner, og er da iflge setning 2.2.2 selv irrasjonal. Ogave 2.2.7 Vi skal bevise at 3 er irrasjonal. Anta (for motsigelse) at 3 er rasjonal, det vil si at vi kan skrive 3 = a=b hvor a og b er naturlige tall. La a = 1 2 m og b = q 1 q 2 q n vre rimfaktoriseringene til a og b. Da har vi a 3 = b = 1 2 m q 1 q 2 q n Kvadrerer vi begge sider av ligningen, far vi det vil si 3 = 2 1 2 2 2 m q 2 1 q2 2 q2 n 3q 2 1q 2 2 q 2 n = 2 1 2 2 2 m Pa hyre side av likhetstegnet forekommer alle rimfaktorene et like antall ganger (sesielt gjelder dette for rimfaktoren 3), men a venstre side forekommer rimfaktoren 3 et odde antall ganger. Det betyr at vi har funnet to forskjellige rimfaktoriseringer av det samme tallet, noe som er umulig iflge aritmetikkens fundamentalteorem. Altsa har vi vist at antagelsen om at 3 er rasjonal leder til en selvmotsigelse, sa eneste mulighet er at 3 er irrasjonal. Ogave 2.2.13 Anta at a > 0. Vi skal vise at uansett hvor stor b 2 R er, sa ns en n 2 N slik at na > b. Siden a > 0, er dette ekvivalent med a vise at vi kan nne en n 2 N slik at n > b=a. Men dette flger direkte fra Arkimedes rinsi som sier at vi for ethvert reelt tall r, og dermed sesielt for r = b=a, kan nne et naturlig tall n slik at n > r. 9
Ogave 2.3.3 b) Mengden N er kun nedad begrenset med strste nedre skranke 1. d) Da eksonentialfunksjonen er strengt voksende, blir utsagnet ekvivalent med utsagnet 2 < ln x 3 e 2 < x e 3 Mengden M = fx : 2 < ln x 3g er derfor lik intervallet (e 2 ; e 3 ] som er bade oad og nedad begrenset med su M = e 3 og inf M = e 2. Her er su M 2 M, men inf M =2 M. Ogave 2.3.5 a) Vi viser ulikhet begge veier. i) Siden su A er en vre skranke for A og su B er en vre skranke for B, blir max(su A; su B) en vre skranke bade for A og for B, altsa en vre skranke for A [ B. Og da su(a [ B) er mindre enn enhver annen vre skranke for A [ B, flger at su(a [ B) max(su A; su B). ii) Siden su(a [ B) er en vre skranke for A [ B, blir su(a [ B) ogsa en vre skranke for hver av delmengdene A og B. Og da su A og su B er mindre enn enhver annen vre skranke for henholdsvis A og B, flger at su(a [ B) max(su A; su B). Av i) og ii) flger at su(a [ B) = max(su A; su B). b) Siden A \ B er en delmengde bade av A og av B, blir bade su A og su B vre skranker for A \ B. Og da su(a \ B) er mindre enn enhver annen vre skranke for A \ B, flger generelt ulikheten su(a \ B) min(su A; su B). Denne ulikheten kan imidlertid ikke skjeres til en likhet. Lar vi for eksemel A = f1; 2g og B = f1; 3g, blir su(a \ B) = 1 som er forskjellig fra min(su A; su B) = 2. c) Vi viser ulikhet begge veier. i) Siden inf A er en nedre skranke for A og inf B en nedre skranke for B, blir min(inf A; inf B) en nedre skranke bade for A og for B, altsa en nedre skranke for A [ B. Og da inf(a [ B) er strre enn enhver annen nedre skranke for A [ B, flger at inf(a [ B) min(inf A; inf B). 10
ii) Siden inf(a [ B) er en nedre skranke for A [ B, blir inf(a [ B) ogsa en nedre skranke for hver av delmengdene A og B. Og da inf A og inf B er strre enn enhver annen nedre skranke for henholdsvis A og B, flger at inf(a [ B) min(inf A; inf B). Av i) og ii) flger at inf(a [ B) = min(inf A; inf B). d) Siden A \ B er en delmengde bade av A og av B, blir bade inf A og inf B nedre skranker for A \ B. Og da inf(a \ B) er strre enn enhver annen nedre skranke for A \ B, flger generelt ulikheten inf(a \ B) max(inf A; inf B). Denne ulikheten kan imidlertid ikke skjeres til en likhet. Lar vi for eksemel A = f2; 3g og B = f1; 3g, blir inf(a \ B) = 3 som er forskjellig fra max(inf A; inf B) = 2. Ogave 2.3.6 a) Vi viser likheten su(a+b) = su A+su B ved a vise ulikhet begge veier. i) Da aenbart a + b su A + su B for alle a 2 A og b 2 B, flger det at su(a + B) su A + su B. ii) For enhver ositiv " nnes en a 2 A og en b 2 B slik at a > su A "=2 og b > su B "=2. Da er a + b > su A + su B " og flgelig su(a + B) > su A + su B ". Siden dette gjelder for alle " > 0, ma vi ha su(a + B) su A + su B. b) Vi viser likheten inf(a + B) = inf A + inf B ved a vise ulikhet begge veier. i) Da aenbart a + b inf A + inf B for alle a 2 A og b 2 B, flger det at inf(a + B) inf A + inf B. ii) For enhver ositiv " nnes en a 2 A og en b 2 B slik at a < inf A + "=2 og b < inf B + "=2. Da er a + b < inf A + inf B + " og flgelig inf(a + B) < inf A + inf B + ". Siden dette gjelder for alle " > 0, ma vi ha inf(a + B) inf A + inf B. 11