Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter oppfatter dette som veldig teoretisk, og er utålmodige etter å komme i gang med konkret regning. Jeg har ikke helt funnet løsningen på dette, men vil i år prøve en hurtiggjennomgang basert på transparenter. Dette notatet er ment som forelesningsnotater til dette innledende stoffet, og er min versjon av det som tilsvarer lærebokas kapittel.., og starten på. (selv om litt andre temaer er vektlagt). Tallmengder. Denaturligetall De naturlige tall er tallsystemet for telling: N = {,,,,, 5,...} () Ikke alle lærebøker har med tallet blant de naturlige tall. De naturlige tall N har addisjon og multiplikasjon. Deterogså lineær ordning for N, dvs. at for to tall n og m gjelder nøyaktig en av relasjonene n<m, n = m eller n>m. De naturlige tall har ikke generelt subtraksjon og divisjon. F.eks. gir ikke 5 7 eller 5/7 naturlige tall som svar.. De hele tall Dette er både de negative og positive heltall: Z = {...,,,,,,,...} () De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.. De rasjonale tall De rasjonale tall er tallmengden av alle brøker mellom heltall. Nevneren kan ikke være. Q = { a/b a Z,b N \{ }} () Skrivemåten er ikke entydig, f.eks. er 6/9og/ det samme rasjonale tallet. Hvis brøken forkortes så mye som mulig og en eventuell minus settes i telleren, blir skrivemåten entydig. De rasjonale tall har de fire regningsartene og lineær ordning.
. Den reelle tall.. Tallinjen På grunn av den lineære ordninga kan vi naturlig tenke oss de rasjonale tall som punkter langs en uendelig lang rett linje: 5/ π 6.6-5 - - - - 5 6 7 8 Punktene for rasjonale tall ligger tett, det er uendelig mange av dem på et vilkårlig lite intervall. Likevel er det mange størrelser som naturlig representerer punkter på en rett linje som ikke kan skrives som rasjonale tall. Et eksempel finnes det ikke noe rasjonalt tall m/n slik at (m/n) =,altsåettallviønsker å kalle. Beviset for at ikke er noe rasjonalt tall finner du i læreboka, eksempel.5. (s. 58). Likevel representerer et helt konkret et punkt på tallinjen da det er lengden av diagonalen i et kvadrat med sidelengde. Tallet π, som er omkretsen av en sirkel med diameter, kan heller ikke skrives som en brøk melom heltall. Det samme gjelder svært mange andre tall vi trenger i matematikken. Tall som ikke kan skrives som en brøk kalles irrasjonale tall. De relle tall er et tallsystem som på en naturlig måte kan sies å fylle opp hele tallinjen... De reelle tall Selve konstruksjonen av de reelle tall er altfor komplisert til å komme inn på her. Stort sett klarer vi oss med to varianter av forståelsen av de reelle tall: Enten som alle punktene på tallinja (og mer generelt som en intuitiv forståelse av en sammenhengende kurve). Eller som desimaltall, med (i prinsippet) uendelig mange desimaler. For eksempel =...., 6/7 =.777..., =.56. De reelle tall betegnes med R. De reelle tallene har de fire regningsartene og lineær ordning. Ved naturlige identifiseringer (som 5 = 5/ eller 5 = 5....) kan tallsystemene over betraktes som skrittvise utvidelser, N Z Q R. Vi skal seinere i Matematikk se på en ytterligere utvidelse, de komplekse tall C, som også inneholder et tall j slik at j =. Da kan ikke j være noe reellt tall, da for alle reelle tall. C har også de fire regningsartene, men ikke lenger lineær ordning. Dette tallsystemet kan identifiseres med hele planet. Uttrykt bl.a. ved skjæringssetningen, lærebokas setning.5.., side 97.
.. Intervaller Intervaller er viktige delmengder av de reelle tall. Åpent intervall: a, b = { R <aog >b} () Lukket intervall: [ a, b]={ R a og b } (5) Halvåpne intervall, f.eks., ] (reelle tall større enn og mindre eller lik ) Ubegrensede intervall, f.eks., (alle reelle tall større enn ) Unioner av intervall, f.eks.,, (tall med absoluttverdi mellom og ). Punkterte intervall, f.eks. R \{ } = R : Alle reelle tall forskjellig fra, eller R \{,, }. Reelle funksjoner. Definisjoner (uformelt) Generelt er en funksjon med navn f fra en mengde med navn A til en mengde med navn B en tilordningsregel slik at det til hvert element i mengden A er tilordnet et entydig element (kalt f()) i mengden B. Grafen til en funksjon er alle par av formen (, f()). Vi skal i første omgang konsentrere oss om funksjoner der A er de reelle tall R, eller en delmengde av typen beskrevet i avsnitt.., og B = R. Dette kalles reelle funksjoner. Grafen til en reell funksjon kan identifiseres med en delmengde av y planet, bestående av alle punkter påformen(, f()). Disse vil ofte utgjøre en helt eller delvis sammenhengende kurve. Mengden A kalles da domenet til funksjonen f, forkortet D f. Et annet navn på det samme er definisjonsområdet. Mengden B er kodomenet og vi setter ofte B = R selv om ikke alle verdier y R oppnåes som funksjonsverdier f(). Verdiene som faktisk oppnås som f() forminsten A kalles verdimengden (range på engelsk) til funksjonen f, forkortet V f. En mer formell definisjon kan lages ved å si at en funksjon f er en delmengde av A B, mengden av alle ordnede par (a, b), som er slik at hver a A forekommer i nøyaktig et slikt par.
. Funksjonsuttrykk Skal vi ha praktisk nytte av en funksjon må vi ha en håndterbar beskrivelse av hvordan tilordningen mellom og f() skjer Dette vil ofte (men ikke alltid) være en formel til å regne ut f() når er gitt. En slik formel skal vi kalle et funksjonsuttrykk... Eksempel, enkel formel Et eksempel er en funksjon som vi her sklal gi navnet f og som er gitt ved funksjonsuttrykket f() =. Dette gir en enkel oppskrift på hvordan funksjonsverdien f() finnes når er gitt: Multipliser med seg selv. For eksempel er f( ) = ( ) ( ) = 9. Det er ingenting i veien for åladefinisjonsområdet til denne funksjonen være alle reelle tall, D f = R (om ikke funksjonen hører til i en praktisk sammenheng der det er fysisk umulig eller meningsløst å sette inn for eksempel negative verdier av ). Siden et reelt tall kvadrert aldri blir negativt, mens alle ikke negative tall kan oppnås som for en passende, er vedimengden det ubegrensede intervallet V f =[,. Et plott av grafen til denne funksjonen, for i intervallet [, ]: - - Egentlig er f() = funksjonsuttrykket, ikke selve funksjonen. Selve funksjonen beskrives slik: f :. Som regel er dette skillet bare av filosofisk interesse i bruken i Matematikk. Det er likevel verdt åmerke seg at funksjoner i matamatikkprogrammet Maple defineres i henhold til notasjonen med pil. I definisjonen av begrepet funksjon ligger det at det skal finnes en entydig y = f() B tilordnet enhver A, men ikke nødvendigvis at det skal være noen enkel metode (for eksempel en formel) til å regne ut f() selvom er oppgitt. For eksempel kan vi godt definere en funksjon slik at f() =hvis er rasjonal og f() =hvis er irrasjonal. Det finnes (mange) kjente tall der matematikerne ikke er i stand til å avgjøre om Q eller R \ Q, og følgelig om f() = eller f() =.
.. Eksempel, stykkevis definert funksjon Vi vil innimellom støte på funksjoner der det ikke er hensiktsmessig åprøveå finne en formel som gjelder i hele definisjonsområdet, men definere den med forskjellige funksjonsuttrykk på forskjellige deler av definisjonsområdet. For eksempel: f() = for < for for > Dette kalles delt funksjonsforskrift. Grafen til denne funksjonen ser slik ut, mellom = og =: - -.. Eksempel, ikke elementære funksjon Hva man aksepterer som en gyldig formel i et funksjonsuttrykk avhenger av matematisk bakgrunnskunnskap og erfaring, men for mange studenter er dette omtrent synonymt med det som kalles elementære funksjoner, som vi kommer tilbake til. Mange funksjoner som dukker opp lar seg imidlertid ikke beskrive med en slik formel. Et eksempel er funksjonen gitt ved f() = e t dt Dette integralet lar seg ikke løse i betydningen å sette det opp som et elementært funksjonsuttrykk uten integrasjonstegn. Geometrisk kan det tolkes som arealet av den biten av grafen til funksjonen gitt ved e t som ligger mellom y aksen og den vertikale linja t = : f() - - t 5
Det er vel intuitivt klart at dette må væreettallnå vi velger et tall for, og at det dermed definerer en funksjon. Deterogså mulig å regne ut funksjonsverdier som desimaltall, og det er ikke noe problem å behandle den og for eksempel plotte grafen. I figuren under er dette gjort i Maple: - - - - - En variant av denne funksjonen er for eksempel svært viktig i faget Statistikk (Normalfordeling). Funksjoner definert på denne måten kalles integralfunksjoner. Andre varianter av funksjoner uten noen elementær funksjonsbeskrivelse dere vil støte på under studiet er gitt ved differensiallikninger, potensrekker eller implisitt funksjonsbeskrivelse... Eksempel, punktvis definert funksjon Mange funksjoner i praktiske anvendelser stammer fra gjentatte målinger eller observasjoner. For eksempel kan vi tenke oss at det gjøres målinger av vannstanden i Mjøsa (centimeter opp på enmålestav) hver uke et år. Vannstanden i centimeter er da en funksjon av tiden i uker (etter nyttår), og kan f.eks. se slik ut: 5 5 5 Her har vi ingen formel for funksjonsuttrykket, og heller ikke eksakt kjennskap til funksjonsverdiene mellom måletidspunktene. Det finnes likevel mange metoder til å behandle slike funksjoner. Metodene avhenger av hvilken informasjon vi ønsker å trekke ut av datamaterialet. Vi kommer i liten grad inn på slike metoder i Matematikk, men grunnlaget for dem finnes i metoder vi utvikler og blir fortrolige med gjennom funksjoner med kjent formel. 6
Elementære funksjoner. Kontinuitet Hvis grafen til en funksjon danner en sammenhengende kurve, kalles funksjonen kontinuerlig. Hvis grafen består av et endelig antall sammenhengende kurvestykker, kalles funksjonen stykkevis kontinuerlig. Kontinuerlig funksjon Stykkevis kontinuerlig funksjon - - - - - f() = /5 f() =( ) - - + ( ) Dette er ikke noen presis definisjon, den sier ikke presist hva som menes med sammenhengende graf og gir heller ikke noe kriterium til å avgjøre om et funksjonsuttrykk gir sammenhengende graf. I første omgang skal vi likevel nøye oss med denne forståelsen av kontinuitet. Alle funksjoner vi skal behandle i Matematikk, og de fleste vi møter i praksis ellers også, er kontinuerlige eller stykkevis kontinuerlige.. Elementære funksjoner En gruppe funksjoner har fått betegnelsen elementære funksjoner. Hvilke funksjoner dette gjelder er nok tildels et resultat av historiske tilfeldigheter, men de passer nok bra med det studenter flest oppfatter som funksjoner som er gitt ved en vanlig formel. Disse funksjonene er vanligvis programmert inn på en litt avansert kalkulator. De elementære funksjonene er Litt mer presist: Hvis den delen av grafen som ligger innenfor et endelig intervall består av et enderlig antall kontinuerlige strykker. Funksjonen f gitt ved f() =for Q, f() =for R \ Q hopper ustanselig opp og ned mellom og,ogereteksempelpå en funksjon som ikke er kontinuerlig noe sted. 7
Funksjonstype Eksempler, funksjonsuttrykk Polynomer og konstantfunksjoner f() =, + 5 Rasjonale funkjsoner Rotfunksjoner, + + +, 5 (6) Eksponential- og logaritmefunksjoner e, ln() Trigonometriske funksjoner sin(), cos(), tan() Inverse trigonometriske funksjoner arctan(), arcsin() Samt alle funksjoner som kan dannes fra disse med et endelig antall gangers bruk av de fire regningsartene og funksjonssammensetning, f.eks sinh() = e e, =, ( ) +/( ) De elementære funksjonene er stort sett kontinuerlige, med mulig unntak av punkter som stammer fra: Brøker der nevneren er, inklusiv tan() = sin()/ cos() (som har assymptoter der cos() = ). Logaritmen satt sammen med en funksjon som har et nullpunkt, f.eks (ln(( ) ( +) ), som har assymptoter for = og =. Sammensatte funksjoner der den indre funksjonen vokser mot eller avtar mot, for eksempel ( ) +/( ), der det inni rottegnet vokser mot for = og = (grafen til denne er plottet som et eksempel på en stykkevis kontinuerlig funksjon). 5. april 8, Hans Petter Hornæs. 8