Logaritmer og eksponentialfunksjoner Dette er fra e to første forelesningene i MA02 våren 2008. Noe er skrevet mer ut, men mange etaljer er utelatt. De er utelatt me vilje, for at u skal fylle em ut selv! Spesielt bør u fylle ut etaljene hver gang et kommer et spørsmål, men ikke bare a. Dette er starten på et førsteutkast. Jeg legger et ut nå, slik at e som var litt slappe me noteringen har noe å arbeie me. Hvis ere ser noe åpenbart feil eller ting ere ikke finner mening i, sen meg en epost. Oppvarming Kanskje startet bruken av potenser som en ren latskap? Det er litt kortere å skrive 3 7 enn 3 3 3 3 3 3 3. Uansett hva årsaken er til notasjonen er vi enige om at hvis n er et positivt heltall, og a er et tall, så skal a n bety a a a a }{{} n ganger Hvis n og m er to positive heltall bure et a være lett å overbevise seg selv om at a n a m = a a a a }{{} n ganger a a a a }{{} m ganger = } a a a {{ a} = a m+n () n + m ganger Fortsatt me n som et positivt heltall, har sikkert e fleste av ere vært me på å efinere a /n som et tallet som opphøy i n-te gir a. me anre or betyr et samme som a /n = b a = b n. Når n er et partall er et en forutsetning her at a er positiv, så la oss fra nå av nøye oss me å ta potenser av positive tall. Vi blir også fort enige om at a m/n må bety /n + /n + + /n }{{} a m/n = a m ganger = } a /n a /n {{ a /n } = (a /n ) m. m ganger
Hvis r er et positivt tall er vi også enige om at a r skal bety a r = a r. Derme er vi enige om hva et vil si å opphøye et (positivt) tall a i en potens r, a r, så lenge r er et rasjonalt tall. Men hva skal for eksempel 2 2 bety? Det er absolutt legitimt å spørre seg selv: Hvorfor skal vi bry oss me et?, og u kan jo prøve å finne noen goe svar på et spørsmålet selv. Hvis u ikke kommer på et got svar me en gang, kan u jo ha spørsmålet i bakhoet mens u leser viere, og se om u gravis formulerer et svar etter hvert. Kanskje får u flere svar, og kanskje enrer u mening unerveis? 2 Eksponentialfunksjoner og logaritmer, el Det vi har gjort over efinerer hva funksjonen g(x) = a x er hvis a er et positivt tall og x er et rasjonalt tall. En annen måte å si et på, er at efinisjonsmengen til g er D g = Q. Vi kaller enne funksjonen eksponentialfunksjonen me grunntall a. Innholet i ligning () blir her g(x + y) = g(x)g(y) (2) eller a x+y = a x a y. Vi vet også at g har en omvent funksjon (hvorfor?) som er et vi har kalt logaritmen me grunntall a eller a-logaritmen, g (x) = log a x. Det vil si at u = log a x er tallet vi må opphøye a i for å få x, eller me anre or: u = log a x er et samme som a u = x. Fra ligning (2) og at log a er en omvente funksjonen til g får vi at log a xy = log a x + log a y. (3) Så langt er alt vel og bra, men vi har et lite problem: hvilke tall er log a efinert for? Jo, kun e som kommer ut av en tilhørene eksponentialfunksjonen, som foreløpig kun har e rasjonale tallene som efinisjonsmenge. Det vi vet er at vi kun er interessert i å ta logaritmer av positive tall (hvorfor?). Det hae kanskje vært mest naturlig å fikse ette problemet me eksponentialfunksjonene først, vi har tross alt en ganske go følelse for hva slags funksjon et er, men vi skal heller starte baklengs, og ene opp me å ta eksponentialfunksjoner til sist. 2
3 Logaritmefunksjoner Vi skal se om vi kan finne funksjoner som kan gjøre jobben som logaritmer, og som er efinert for alle positive reelle tall, R + = (0, ). La f være en slik funksjon. Ligning (3) sier at vi skal kreve f(xy) = f(x) + f(y), (4) og vi vil kreve ette for alle x D f = R +. Hvis vi setter x = y = i enne ligningen får vi umielbart at f() = 0. (5) Legg merke til at ette er noe som må gjele for alle funksjoner som tilfresstiller ligning (4). Skal vi kunne bruke en el av et verktøyet vi har utviklet vil vi også håpe at vi kan finne en eriverbar funksjon til å gjøre jobben for oss, så la oss anta at f er eriverbar. (6) Hvis vi eriverer hver sie av ligning (4) me hensyn på x får vi (gjør ette, hvilke(n) erivasjonsregel bruker u?) f (x) = f (xy) y. Hvis vi setter x = i ligningen over får vi f (y) = f (), eller, om u heller vil, y f (x) = c x (7) er c er en konstant, c = f (). Hvis vi ser på et lukket intervall i R + har vi at f (x) = c/x er integrerbar på ette intervallet (hvorfor? u kan ikke bruke at u kjenner en antierivert til /x ennå (hvorfor ikke?)). Vi vet selvfølgelig også at f er en antierivert til f. Derme sier analysens funamentalsetning (se tillegget) at f(x) f(a) = x a f (t)t = x a c t = c x hvis a og x er positive tall. Vi er interessert i f(x), og legg merke til at ligningen over er sann for alle positive a. For eksempel kan vi bruke a =, og vi gjør selvfølgelig ette valget fori (5) gjør uttrykket enklest mulig: x f(x) = c a t t t. (8) t Husk at tallet c = f (). Eneste grunn til at vi skriver c i steet er latskap og at et er lettere å lese (men så må vi huske på innholet i steet... ) Legg merke til at funksjonene i (8) er e eneste som finnes som tilfresstiller (4) og (6). Vi får kanskje en aller enkleste av isse hvis vi velger c =, og vi kaller en funksjonen for en naturlige logaritmen: 3
Definisjon (Den naturlige logaritmen:) Den naturlige logaritmen er en funksjon ln me efinisjonsmenge D ln = R + som er efinert ve ln x = x t. (9) t Merkna 2 Selv om u sikkert kjenner til ln fra før, er et ikke gitt at et vi nå kaller ln er et samme. Valget av notasjon skulle tye på et, men et er noe vi er nøt til å vise. (Og et skal vi gjøre.) Vi har startet me nesten ingenting, og kommet frem til en funksjonen vi nettopp efinerte. Men vi kan nå si ganske mye om funksjonen: Setning 3 Egenskaper til ln x = x t t:. ln = 0. 2. x ln x = x. 3. ln xy = ln x + ln y. 4. ln x er en strengt voksene funksjon. 5. For n N har vi ln(a n ) = n ln a. 6. ln x når x. 7. ln x = ln x. 8. ln x når x 0 +. 9. For et hvert tall u R så finnes et nøyaktig ett tall y R + slik at ln y = u. Merkna 4 Legg spesielt merke til et siste punktet. Det sier at bilet V ln til ln er hele tall-linjen, og at ln er en injektiv (en-til-en) funksjon. Derme har ln en omvent funksjon me hele tall-linjen som efinisjonsområe. (Så kan u, før u leser viere, gjette hvilken funksjon et er.) Noen av egenskapene nevnt over er lette å vise, anre er litt mer arbei. Her er hoveieene til bevis, me mer eller minre etaljer. Fyll ut etaljene selv, og pass på at u er overbevist om at et som står her er riktig!. Hva er integralet fra til? 2. Følger fra analysens funamentalsetning. 4
3. ln xy = xy x t t = xy t t + y x t t = ln x + u = ln x + ln y. u I en treje likheten har vi brukt substitusjonen u = t/x. Husk å sjekke etaljene i utregningen. Ser u hvorfor vi har brukt enne substitusjonen? Ser u hvorfor vi elte opp integralet slik vi gjore i en første likheten? 4. Følger fra punkt 2. og at x er positiv. 5. Påstanen er sann for n = : ln a = ln a. Anta at påstanen er sann for et heltall k : ln(a k ) = k ln a. Da følger et at ln(a k+ ) = ln(a k a) = ln(a k ) + ln a = k ln a+ln a = (k+) ln a. Ve inuksjonsprinsippet følger et erme at påstanen er sann for alle heltall. 6. Dette betyr at for ethvert (stort) tall M finnes et et tall m slik at ln x > M når x > m. Sett inn a = 2 i punktet over. ln = 0, og ln er strengt voksene, så ln 2 > 0. Hvis M er gitt kan vi erfor finne et tall n som er slik at ln 2 n = n ln 2 > M. Fori ln er strengt voksene har vi at ln x > ln 2 n > M, som var et vi trengte vise. 7. Bruk 0 = ln = ln x x = ln x x = ln x + ln x. 8. Bruk e to foregåene punktene. 9. Denne blir litt mer jobb. La oss først vise at et finnes minst ett slikt tall: Anta først at u er positiv. Vi vet at ln x er en kontinuerlig funksjon (hvorfor)? Ta et tall α slik at ln α > u. (Punkt 6. forteller oss at vi kan finne et slikt tall.) Vi vet også at ln = 0, så vi har 0 = ln < u < ln α. Da sier skjæringssetningen (se tillegg) at et finnes et tall y mellom 0 og α slik at ln y = u. Jeg overlater til eg å sjekke ette når u er negativ. (Bruk punkt 7. eller bytt ut punkt 6. me punkt 8. og gjør e nøvenige tilpasningene i argumentet over.) Vi har altså vist at et finnes minst et tall y som gjør jobben. La oss nå vise at et ikke finnes flere. La oss anta at et finnes flere. Kall et av em y. Da har vi at ln y = ln y (hvorfor?). Da sier sekantsetningen at et må finnes et punkt β mellom y og y slik at en eriverte til ln er lik null i β. Men i følge punkt 2. er ikke ette mulig, så antagelsen om at et finnes et slikt punkt y må være feil, altså finnes et nøyaktig ett tall y slik at ln y = u. Tegn noen biler, så ser u lettere hvoran u bruker skjæringssetningen og sekantsetningen. Da har vi fått sagt litt om enne nye funksjonen vår, ln. La oss avslutte me en liten efinisjon. Definisjon 5 Bruk e til å betegne et tallet som er slik at ln e =. 5
Legg merke til at i utgangspunktet ikke er gitt at et slikt tall finnes! Det er et siste punktet i setning 3 som garanterer oss at tallet e eksisterer. Legg merke til at = ln e = e t t. Tallet e kan erme tolkes som et tallet som gjør at arealet mellom kurvene y = /x, x =, x = e og x-aksen blir. Bruk enne beskrivelsen til å overbevise eg selv om at 2 < e < 4. (Det kan hjelpe å tegne noen biler.) 4 Invers til en naturlige logaritmen I et forrige avsnittet startet vi me å snakke om hva vi syntes var et minimumskrav til en funksjon som skulle kunne kalle seg en logaritme, og ente opp me å efinere en slik funksjon, ln x. Vi har sett at en funksjonen vi har efinert har hele en positive reelle aksen som efinisjonsmenge, og at en er injektiv (hvilket punkt var et?). Vi kan erfor efinere en omvente funksjonen til f(x) = ln x. Vi vil bruke en en el, så la oss gi en et eget navn en også: f (x) = exp x. Legg merke til at så langt er exp bare et navn! Fori bilet til ln x er hele tall-linjen har vi at efinisjonsmengen til exp x er D exp = R og bilet er V exp = R +. Men ve å bruke at exp x er en omvente funksjonen til ln x, som vi nå vet en el om, kan vi faktisk si ganske mye mer: Setning 6 Egenskaper ve exp x :. exp 0 =. 2. exp = e. 3. exp(x + y) = (exp x) (exp y). 4. (exp x) = exp x. x 5. Hvis r Q så har vi exp r = e r. Før vi viser isse tingene er et nesten umulig å ikke kommentere et siste punktet. Vi startet, for en el sier sien, me å se på potenser, og kom til at vi kunne snakke om em, så lenge potensen var et rasjonalt tall. Vi har nå laget oss en funksjon, exp x, som er efinert for alle tall på tall-linja, og som gjør akkurat et en skal på e rasjonale tallene. I tillegg er en eriverbar, og egenskapen i ligning () gjeler for alle reelle tall (punkt 3. i setningen over). La oss nå vise at setningen er sann. Som vanlig er en el av jobben overlatt til eg!. Følger fra ln = 0. (hvorfor?) 2. Følger fra ln e =. 3. Sett u = exp x og v = exp y. Da har vi ln u = x og ln v = y. Fyll ut resten av etaljene selv (bruk at ln uv = ln u + ln v.) 6
4. Denne blir litt jobb. exp(x + h) exp(x) (exp x) = lim x h 0 h = lim h 0 exp(x) exp(h) h Sjekk hver av isse likhetene selv! = lim h 0 exp(x) exp(h) exp(x) h = exp(x) lim h 0 exp(h) h Vi må altså vise at en siste grensen er lik. ln x er kontinuerlig, så exp x er kontinuerlig, så lim h 0 exp(h) = og k = exp(h) går mot null når h går mot null og motsatt. Vi vet noe om en eriverte til ln x, så la oss bruke ette. Vi ser på når h (et som går inn i exp) går mot null, så et bure tilsvare at et som puttes inn i ln går mot. La oss erfor se om en eriverte til ln i kan hjelpe oss: = ( ln( + k) ln ln)() = lim x k 0 k = lim k 0 ln( + k) k = lim k 0 h exp(h) = lim h 0 ln( + k) ln = lim k 0 k h exp(h) Igjen: sjekk alle likhetene selv, inkluert en første og en siste. Det siste leet her er nesten et vi ønsket, et er bare snu på hoet. Klarer u å fullføre argumentet selv? 5. Før vi setter i gang: legg merke til at vi nå er tilbake til noe vi kjenner fra før. Det som står på høyre sie er akkurat et vi snakket om i innleningen! La oss starte me å anta at r = n, er m og n er positive heltall. La oss først se m at exp(na) = (exp a) n. (0) Det er sant hvis n = : exp( a) = exp(a) = (exp a). Anta nå at et er sant for et heltall k. Da har vi at exp((k + )a) = exp(ka + a) = exp(ka) exp a = (exp a) k exp a = (exp a) k+. Inuksjonsprinsippet sier erme at ligning (0) er sann for alle positive heltall. Hvis vi nå tar a = får vi Hvis vi tar a = /m får vi exp n = (exp ) n = e n. e = exp = exp m m = (exp(/m))m. Fori uttrykket over er positivt kan vi ta m-te rot (opphøye i /m) og får exp(/m) = e /m. Til slutt får vi exp(n/m) = exp(n m ) = (exp( m ))n = (e /m ) n = e n/m. Derme var vi ferig me positive rasjonale tall. 7
Vi har = exp 0 = exp(a a) = exp a exp( a), så exp( a) = / exp a. Hvis r er et negativt rasjonalt tall får vi erfor (husk at r a er positiv, så vi kan bruke et vi har gjort over): exp r = exp r = e = r er. Da er vi enelig ferige! Pass på at u sjekker hvorfor alle likhetene i ette punktet er riktige. 5 Eksponentialfunksjoner og logaritmer, el 2 5. Et lite sammenrag Vi startet me å se på heltallspotenser. De førte oss over til å se på røtter (kvaratrot, kubikkrot, n-te rot), og vi ble enige om hva et ville si å opphøye et positivt tall a i et rasjonalt tall r. Problemet var e irrasjonale tallene. Vi så på en eneste egenskap ve potenser/eksponentialfunksjoner, og så hvoran en måtte bli for omvente funksjoner til eksponentialfunksjonene (logaritmer). Ut fra enne ene egenskapen, og ønsket om at funksjonene skulle være eriverbare, fant vi en velig liten klasse funksjoner som hae muligheten til å tilfresstille ønskene våre. Den enkleste av isse funksjonene ga vi et navn, en naturlige logaritmen, ln x, og vi viste en el egenskaper enne funksjonen har. Blant annet viste vi at en har en omvent funksjon, og vi betegnet en me exp x. Vi efinerte oss også et helt spesielt tall, og brukte e til å betegne ette tallet. Helt til slutt har vi vist at exp x er en eksponentialfunksjon hvis x er et rasjonalt tall og at exp x tilfresstiller e ønskene vi hae til en slik funksjon. 5.2 e x og ln x Som vi avsluttet me i forrige setning, har vi vist at når x er et rasjonalt tall, så er e r = exp r. Vi går nå til et skrittet å efinere e x slik for alle reelle tall x. Definisjon 7 Hvis x R efinerer vi e x som e x = exp x. () Da har vi selvfølgelig at g(x) = e x arver alle egenskapene til exp x. Blant annet er en omvente funksjonen lik g (x) = ln x. 5.3 a x og log a x Vi startet me et ønske om å vite mer om hva a x skulle være hvis a er et positivt tall. Så langt har vi funnet ut alt vi ønsker å vite, men kun når a = e, et ganske spesielt tall som vi ikke vet alt for mye om. Husk at e eneste mulighetene for logaritmefunksjoner var f(x) = c ln x, 8
er c = f (). (Vi har kanskje ikke sagt ette rett ut, men et følger av ting vi har sagt.) Vi er nå interessert i å se på a x og inversfunksjonen log a x. Vi vil ha at a = a, som tilsvarer log a a =, me anre or = log a a = c ln a (hvorfor?). Dette gir bare en mulighet for hva log a kan være. Vi kan a efinere a x som inversen til log a x, er mer irekte som vi gjør her (men a må vi vise at ette er en omvente funksjonen): Definisjon 8 Hvis a R + efinerer vi a x og log a x ve og log a x = ln a ln x for x R + (2) a x = e x ln a for x R. (3) Vi kan bruke efinisjonene og et vi alleree har gjort for å finne ut en el om isse funksjonene. Her er noe av et: Setning 9 Egenskaper ve log a x og a x :. x ax = (ln a)a x. 2. x log a x = ln x =. ln a x ln a x 3. a x er en voksene funksjon hvis a >, og en avtagene funksjon hvis 0 < a <. 4. log a x er en voksene funksjon hvis a >, og en avtagene funksjon hvis 0 < a <. 5. log a x og a x er omvente funksjoner (forutsatt at a ). 6. log a xy = log a x + log a y. 7. a x+y = a x a y. 8. ln a x = x ln a. 9. log b a x = x log b a. 0. (ab) x = a x b x.. (a x ) y = (a y ) x = a xy. Vis ette selv! Merkna 0 Hva skal a bc bety? Vi har hvertfall to muligheter a (bc ) og (a b ) c. Det er fristene å tro at et er et samme, men et er et ikke. Tenk på hva notasjonen betyr. Du kan kanskje bruke a = b = c = 3 for å hjelpe eg. I et ene tilfellet får u 3 9 og i et anre tilfellet får u 3 27. (Hvilken gir eg hvilken?) Hvis vi noen gang skal skrive a bc må vi erfor bli enige om hva et skal bety. La oss være enige om å bruke en venstre tolkningen, altså a bc = a (bc). Hvoran vil u nå tolke a bc? 9
6 Oppgaver oppgave : Vis at hvis f er en funksjon som har hele tall-linja som efinisjonsmenge, D f = R, og tilfresstiller f(xy) = f(x) + f(y), så må f være konstant lik null. oppgave 2: Vi viste i setning 3 at f(x) = ln x er eriverbar, og at f (x) = /x. Vi har også blitt enige om at e x er en omvente funksjonen til f(x) = ln x. Bruk hva u husker om erivasjon av omvente funksjoner, eller bruk implisitt erivasjon, til å vise at x ex = e x. (Vi har alleree vist ette, et er punkt 4. i setning 6, så et u gjør nå er å gi et annet bevis.) oppgave 3: Vis alle egenskapene i setning 9. 7 Etteror Vi har nå gitt en grunig og fornuftig efinisjon av hva et bure si å ta potenser av positive tall. Vi gjore et ikke ve å angripe spørsmålet irekte. I steet snek oss inn bakveien, men passet på at vi tok vare på et som var viktig. Det viste seg at et resultatet vi fikk var bra. Det er viktig å merke seg at ette ikke er en eneste måten vi kunne gjort ette på. Vi kunne for eksempel efinert g(x) = e x mer irekte ve å si at et er en eneste funksjonen som har g(x) = g (x) for alle x R og som har g(0) =. Da måtte vi vist at et finnes en slik funksjon (og at et ikke finnes flere, men et vet vi (hvorfor?)). Hae vi valgt en veien ville vi efinert ln x som en omvente funksjonen til e x. Denne angrepsmåten virker kanskje mer fristene, men jeg er ikke så sikker på om en hae blitt noe lettere, kanskje heller et motsatte. Nok en angrepsmåte er følgene: Start slik vi gjore, me å efinere hva et vil si å opphøye et tall i en rasjonal potens, a m/n. Definer a x for alle x ve å fylle inn hullene mellom alle e rasjonale tallene. Du kan jo tenke på hvoran u ville gjøre ette, og når u har gjort et må u vise at en funksjonen u har fått har alle e egenskapene en skal ha. (Når u virkelig forstår et vi har gjort her vil u se at et på mange måter er et vi har gjort. Men vi har fylt inn hullene ve å gå via logaritmen og tilbake, ikke først gjøre oss helt ferige me potenser og eretter snakke om logaritmer.) Det finnes flere (sikkert mange) måter å gjøre ette, men et får e spesielt interesserte finne ut av selv. Start me en tur på biblioteket. Vi har brukt ganske mye ti på noe som kanskje kan virke som en liten ting, men samtiig har vi fått brukt og repetert ganske mye go matematikk og fått mye go trening. Når u har arbeiet eg orentlig gjennom ette et par ganger synes u essuten kanskje at et ikke lenger var bare en liten ting? Det som uansett er sikkert er at u kan være litt stolt av eg selv når u forstår alt som står her, og er i stan til å fylle ut alt jeg har overlatt til eg. Og selv om vi har laget oss en abstrakt og vakker efinisjon, ikke glem hvor en kommer fra. Husker u et som står i en første elen, så greier u også å bruke ette til noe.... 0
8 Tillegg Her er noen begreper vi har brukt som et kan være nyttig at u er sikker på: Funksjoner Omvente funksjoner (kalles også ofte inverse funksjoner) Kontinuerlige funksjoner Derivasjon Integrasjon (og a tenker jeg på et bestemte integralet) Setning (Skjæringssetningen) La f : [a, b] R være en kontinuerlig funksjon, og et tall mellom f(a) og f(b). Da finnes et et punkt c (a, b) slik at f(c) =. Setning 2 (Sekantsetningen) La f : [a, b] R være en kontinuerlig funksjon. Anta at f er eriverbar på (a, b). Da finnes et et punkt c (a, b) slik at f (c) = f(b) f(a). b a Tegn et bile til hver av e to setningene, så båe forstår og husker u hva e sier! Slik vi har efinert begrepene er et absolutt en stor forskjell på antierivasjon og bestemte integral. Tenk litt over hva som er innholet i e to begrepene før u leser følgene setning, som sier at e likevel har mye me hveranre å gjøre. Det er kanskje en velig tette sammenhengen som enne setningen gir som gjør et så vanskelig å skille e to begrepene? Setning 3 (Analysens funamentalsetning) Anta at f : [a, b] R er en kontinuerlig funksjon. DEL I: Da er f integrerbar på ethvert intervall [a, x], er a x b. I tillegg har vi at funksjonen F (x) = x a f(t)t er kontinuerlig på [a, b] og F (x) = f(x) for alle x i (a, b). DEL II: Anta at G er en antierivert til f. Da er b a f(x)x = G(b) G(a). Legg merke til at et el I sier er at vi har laget en funksjon som er en antierivert til en gitte funksjonen f.