MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon Magnus Bakke Botnan 21. august 2012 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 1 / 14
Introduksjon Praktisk Praktisk Faglærer Magnus B. Landstad: magnus.landstad@math.ntnu.no Øvingsansvarlig Magnus B. Botnan: botnan@math.ntnu.no Fem studasser. https://wiki.math.ntnu.no/ma1301/2012h/start Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 2 / 14
Notasjon Introduksjon Notasjon Notasjon Naturlige tall: N = {1, 2,...} Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 3 / 14
Introduksjon Notasjon Notasjon Notasjon Naturlige tall: N = {1, 2,...} Heltall: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 3 / 14
Notasjon Introduksjon Notasjon Notasjon Naturlige tall: N = {1, 2,...} Heltall: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} { m } Rasjonale tall: Q = n m, n Z Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 3 / 14
Notasjon Introduksjon Notasjon Notasjon Naturlige tall: N = {1, 2,...} Heltall: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} { m } Rasjonale tall: Q = n m, n Z Relle tall: R Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 3 / 14
Notasjon Introduksjon Notasjon Notasjon Naturlige tall: N = {1, 2,...} Heltall: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} { m } Rasjonale tall: Q = n m, n Z Relle tall: R Komplekse tall: C = {a + bi a, b R} der i = 1 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 3 / 14
Notasjon Introduksjon Notasjon Notasjon Naturlige tall: N = {1, 2,...} Heltall: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} { m } Rasjonale tall: Q = n m, n Z Relle tall: R Komplekse tall: C = {a + bi a, b R} der i = 1 N Z Q R C Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 3 / 14
Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 4 / 14
Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 4 / 14
Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Utsagn: alle positive heltall n er delelig på 3. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 4 / 14
Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Utsagn: alle positive heltall n er delelig på 3. Usant: 1 kan ikke deles på 3. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 4 / 14
Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Utsagn: alle positive heltall n er delelig på 3. Usant: 1 kan ikke deles på 3. Utsagn: 1 + 2 + 3 +... + n = n(n + 1) 2 for alle positive heltall. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 4 / 14
Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Utsagn: alle positive heltall n er delelig på 3. Usant: 1 kan ikke deles på 3. Utsagn: 1 + 2 + 3 +... + n = Sant: aritmetisk rekke n(n + 1) 2 for alle positive heltall. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 4 / 14
Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Utsagn: alle positive heltall n er delelig på 3. Usant: 1 kan ikke deles på 3. Utsagn: 1 + 2 + 3 +... + n = Sant: aritmetisk rekke Utsagn: 1 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 = n(n + 1) 2 for alle positive heltall. n(n + 1)(2n + 1). 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 4 / 14
Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Utsagn: alle positive heltall n er delelig på 3. Usant: 1 kan ikke deles på 3. Utsagn: 1 + 2 + 3 +... + n = Sant: aritmetisk rekke Utsagn: 1 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 = Sant: induksjon n(n + 1) 2 for alle positive heltall. n(n + 1)(2n + 1). 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 4 / 14
Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Induksjon ❶ Vis at P (1) er sann. ❷ Vis at P (k) sann impliserer P (k + 1) sann. Bruk dette til å konkludere at P (k) er sann for alle k. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 5 / 14
Induksjon = dominoeffekten (Copyright aussiegall, CC BY 2.0) Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 6 / 14
Induksjon: Idé og Eksempel s. 2 Vis at 1 2 + 2 2 +... + n 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 7 / 14
Induksjon: Idé og Eksempel s. 2 Vis at 1 2 + 2 2 +... + n 2 = ❶ 1 2 = 1 = 1 2 3 6 n(n + 1)(2n + 1) 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 7 / 14
Induksjon: idé og eksempler Eksempel s. 2 Vis at 1 2 + 2 2 +... + n 2 = 1 2 = 1 = 1 2 3 6 ❷ 1 2 + 2 2 +... + k 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 k(k + 1)(2k + 1) 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 7 / 14
Induksjon: idé og eksempler Eksempel s. 2 Vis at 1 2 + 2 2 +... + n 2 = 1 2 = 1 = 1 2 3 6 ❷ 1 2 + 2 2 +... + k 2 = Ønsker å vise at n(n + 1)(2n + 1) 6 k(k + 1)(2k + 1) 6 1 + 2 2 +... + (k + 1) 2 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = 6 = (k + 1)(2k2 + 7k + 6) 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 7 / 14
Induksjon: idé og eksempler Eksempel s. 2 Vis at 1 2 + 2 2 +... + n 2 = 1 2 = 1 = 1 2 3 6 ❷ 1 2 + 2 2 +... + k 2 + (k + 1) 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 k(k + 1)(2k + 1) 6 + (k + 1) 2 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 7 / 14
Induksjon: idé og eksempler Eksempel s. 2 Vis at 1 2 + 2 2 +... + n 2 = 1 2 = 1 = 1 2 3 6 n(n + 1)(2n + 1) 6 ❷ 1 2 + 2 2 +... + k 2 + (k + 1) 2 = (k + 1)(2k2 + 7k + 6) 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 7 / 14
Induksjon: idé og eksempler Eksempel s. 2 Vis at 1 2 + 2 2 +... + n 2 = 1 2 = 1 = 1 2 3 6 1 2 + 2 2 +... + k 2 + (k + 1) 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6 Påstanden er sann for alle positive heltall n. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 7 / 14
Bevis for induksjon Velordningsprinsippet For å vise at induksjon fungerer trenger vi følgende aksiom: Velordningsprinsippet (s.1) En hver ikke-tom mengde S av ikke-negative heltall inneholder et minste element: det eksisterer en a S slik at a b for alle b S. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 8 / 14
Bevis for induksjon Velordningsprinsippet For å vise at induksjon fungerer trenger vi følgende aksiom: Velordningsprinsippet (s.1) En hver ikke-tom mengde S av ikke-negative heltall inneholder et minste element: det eksisterer en a S slik at a b for alle b S. Teorem 1.1 (s.2) Hvis a og b er positive heltall, da eksisterer det et positivt heltall n slik at na b. n a 2a b 3a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 8 / 14
Bevis for induksjon Teorem 1.2 (s.2) Teorem 1.2 (s.2) (First Principle of Finite Induction) La S være en mengde av positive heltall med følgende egenskaper ❶ Heltallet 1 er inneholdt i S, (1 S) ❷ Hvis k er inneholdt i S er også k + 1 i S. (k S k + 1 S) Da er S mengden av alle positive heltall, N. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 9 / 14
Bevis for induksjon Teorem 1.2 (s.2) Teorem 1.2 (s.2) (First Principle of Finite Induction) La S være en mengde av positive heltall med følgende egenskaper ❶ Heltallet 1 er inneholdt i S, (1 S) ❷ Hvis k er inneholdt i S er også k + 1 i S. (k S k + 1 S) Da er S mengden av alle positive heltall, N. Variant av Teorem 1.2 (s.2) La S være en mengde av positive heltall med følgende egenskaper ❶ Heltallet n 0 er inneholdt i S, (n 0 S) ❷ Hvis k er inneholdt i S er også k + 1 i S. (k S k + 1 S) Da inneholder S mengden av alle positive heltall n n 0. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 9 / 14
Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 10 / 14
Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Merk at det ikke er sant for n = 1(4 > 2), n = 2(8 > 4), n = 3(12 > 8) og n = 4(16 = 16). Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 10 / 14
Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Merk at det ikke er sant for n = 1(4 > 2), n = 2(8 > 4), n = 3(12 > 8) og n = 4(16 = 16). ❶ 4 5 = 20 < 32 = 2 5. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 10 / 14
Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Merk at det ikke er sant for n = 1(4 > 2), n = 2(8 > 4), n = 3(12 > 8) og n = 4(16 = 16). 4 5 = 20 < 32 = 2 5. ❷ 4(k + 1) = 4k + 4 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 10 / 14
Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Merk at det ikke er sant for n = 1(4 > 2), n = 2(8 > 4), n = 3(12 > 8) og n = 4(16 = 16). 4 5 = 20 < 32 = 2 5. ❷ 4(k + 1) = 4k + 4 ind < 2 k + 2 2 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 10 / 14
Induksjon Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Merk at det ikke er sant for n = 1(4 > 2), n = 2(8 > 4), n = 3(12 > 8) og n = 4(16 = 16). 4 5 = 20 < 32 = 2 5. ❷ 4(k + 1) = 4k + 4 ind < 2 k + 2 2 (k>2) < 2 k + 2 k = 2 k+1. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 10 / 14
Induksjon Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Merk at det ikke er sant for n = 1(4 > 2), n = 2(8 > 4), n = 3(12 > 8) og n = 4(16 = 16). 4 5 = 20 < 32 = 2 5. 4(k + 1) = 4k + 4 ind < 2 k + 2 2 (k>2) < 2 k + 2 k = 2 k+1. Påstanden er sann for alle heltall n 5. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 10 / 14
Induksjon Eksempel (s.4) Påstand: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 + 3 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 11 / 14
Eksempel (s.4) Påstand: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 + 3 ❶ ❷ 1 + 3 + 5 +... + (2k 1) + (2k + 1) Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 11 / 14
Eksempel (s.4) Påstand: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 + 3 ❶ ❷ 1 + 3 + 5 +... + (2k 1) + (2k + 1) = k 2 + 3 + 2k + 1 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 11 / 14
Eksempel (s.4) Påstand: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 + 3 ❶ ❷ 1 + 3 + 5 +... + (2k 1) + (2k + 1) = k 2 + 3 + 2k + 1 = (k + 1) 2 + 3. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 11 / 14
Eksempel (s.4) Påstand: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 + 3 ❶ 1 4. 1 + 3 + 5 +... + (2k 1) + (2k + 1) = k 2 + 3 + 2k + 1 = (k + 1) 2 + 3 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 11 / 14
Eksempel (s.4) Påstand: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 + 3 1 4. 1 + 3 + 5 +... + (2k 1) + (2k + 1) = k 2 + 3 + 2k + 1 = (k + 1) 2 + 3. Hvis det eksisterer en k slik at påstanden holder har vi vist at påstanden også holder for alle l k. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 11 / 14
Eksempel (s.4) Påstand: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 + 3 1 4. 1 + 3 + 5 +... + (2k 1) + (2k + 1) = k 2 + 3 + 2k + 1 = (k + 1) 2 + 3. Hvis det eksisterer en k slik at påstanden holder har vi vist at påstanden også holder for alle l k.! En slik k kan ikke eksistere: Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 11 / 14
Eksempel (s.4) Påstand: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 + 3 1 4. 1 + 3 + 5 +... + (2k 1) + (2k + 1) = k 2 + 3 + 2k + 1 = (k + 1) 2 + 3. Hvis det eksisterer en k slik at påstanden holder har vi vist at påstanden også holder for alle l k.! En slik k kan ikke eksistere: la k være et oddetall, da blir venstresiden et oddetall og høyresiden et partall. For k partall blir venstresiden partall og høyresiden oddetall. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 11 / 14
Eksempel (s.4) Påstand: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 + 3 1 4. 1 + 3 + 5 +... + (2k 1) + (2k + 1) = k 2 + 3 + 2k + 1 = (k + 1) 2 + 3. Hvis det eksisterer en k slik at påstanden holder har vi vist at påstanden også holder for alle l k.! En slik k kan ikke eksistere: la k være et oddetall, da blir venstresiden et oddetall og høyresiden et partall. For k partall blir venstresiden partall og høyresiden oddetall. E Moral: både ❶ og ❷ må være oppfylt. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 11 / 14
Sterk induksjon Sterk induksjon Sterk induksjon (s.5) (Second Principle of Finite Induction) La S være en mengde med positive heltall slik at ❶ Heltallet 1 er inneholdt i S, (1 S) ❷ Hvis 1, 2,..., k er inneholdt i S er også k + 1 i S. ({1,..., k} S k + 1 S). Da inneholder S mengden av alle positive heltall, N. Merk Ønsker å bevise P (n) er sann for alle n ved sterk induksjon. Ekvivalent til å bevise at P (n) er sann for alle k n med svak induksjon. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 12 / 14
Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 13 / 14
Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Påstand: a n < (7/4) n holder for alle positive heltall n. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 13 / 14
Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Påstand: a n < (7/4) n holder for alle positive heltall n. ❶ a 1 = 1 < 7/4 a 2 = 3 = 48/16 < 49/16 = (7/4) 2. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 13 / 14
Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Påstand: a n < (7/4) n holder for alle positive heltall n. a 1 = 1 < 7/4 a 2 = 3 = 48/16 < 49/16 = (7/4) 2. ❷ a k+1 = a k + a k 1 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 13 / 14
Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Påstand: a n < (7/4) n holder for alle positive heltall n. a 1 = 1 < 7/4 a 2 = 3 = 48/16 < 49/16 = (7/4) 2. ❷ a k+1 = a k + a k 1 ind < (7/4) k + (7/4) k 1 < Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 13 / 14
Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Påstand: a n < (7/4) n holder for alle positive heltall n. a 1 = 1 < 7/4 a 2 = 3 = 48/16 < 49/16 = (7/4) 2. ❷ a k+1 = a k + a k 1 ind < (7/4) k + (7/4) k 1 < (7/4) k+1 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 13 / 14
Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Påstand: a n < (7/4) n holder for alle positive heltall n. a 1 = 1 < 7/4 a 2 = 3 = 48/16 < 49/16 = (7/4) 2. a k+1 = a k + a k 1 ind < (7/4) k + (7/4) k 1 < (7/4) k+1 Påstanden er sann for alle positive heltall. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 13 / 14
Induksjon Sterk induksjon Eksempel eksamen sommer 2012 Vis at for alle n N n [ n(n + 1) i 3 = 2 i=1 ] 2 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 14 / 14
Induksjon Sterk induksjon Eksempel eksamen sommer 2012 Vis at for alle n N n [ n(n + 1) i 3 = 2 i=1 ] 2 Eksempel geometrisk rekke La x R og x 1, da er 1 + x +... + x n = xn+1 1 x 1 for alle n N. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 14 / 14