TFE4101 Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for elektronikk og telekomunikasjon Løsningsforslag Øving 2 1 Strøm- og spenningsdeling. (5 poeng) Sett opp formelen for strømdeling for i R1 i Figur 1. i R1 = i a R 2 R 1 +R 2 Figur 1: Krets 1 Sett opp formelen for spenningsdeling for V R1 i Figur 2. V R1 = v a R 1 R 1 +R 2 Figur 2: Krets 2 26. januar 2016 Side 1 av 10
2 Nodespenning. (15 poeng) Figur 3: Krets 3 I denne oppgaven brukes kretsen i Figur 3. Benytt følgende verdier: i a = 2A, i b = 1A, R 1 = 10Ω, R 2 = 5Ω, R 3 = 20Ω a) Finn spenningene v 1 og v 2 ved hjelp av nodespenningsmetoden. Vi setter opp ligninger for nodene I (v 1 ) og II (v 2 ). Bruker strøm ut av noden som positivt bidrag. I: i a + i R1 + i R2 = 0 i a + v 1 v 2 R1 + v 1 R 2 = 0 II: i b i R1 + i R3 = 0 i b + v 2 v 1 + v 2 = 0 R1 R 3 Finner et uttrykk for v 2 fra ligning I og et uttrykk for v 1 fra ligning II. Setter så inn kjente verdier. I: v 2 = ( V 1 R 1 + V 1 R 2 i a )R 1 = 3v 1 20V II: v 1 = ( V 2 + V 2 i b )R 1 = 3 R 1 R 3 2 v 2 10V Setter I inn i II: v 1 = 3 2 (3v 1 20V ) 10V = 9 2 v 1 30V 10V v 1 = 2 40V = 80 V 11, 4V Setter inn i uttrykket for v 2 : v 2 = 3 80 V 20V 14, 3V b) Finn strømmen gjennom R 1, i R1. Finn også strømmen gjennom de andre to motstandene R 2 og R 3. 80 i R1 = v 1 v 2 = V 100 V = 2 A 0, 29A R1 10Ω i R2 = i a i R1 = 2A ( 2 i R3 = i b + i R1 = 1A + ( 2 16 )A = A 2, 3A )A = 5 A 0, A c) Finn bidraget til strømmen fra i a i R 2. Finn også bidraget fra i a i R 1 og R 3. 26. januar 2016 Side 2 av 10
Figur 4: Krets 3 Bruker superposisjon. Kobler ut strømkilden i b, og får dermed bidraget fra i a. Se Figur 4. Vi har nå strømdeling mellom R 2 og seriekoblingen R 1 og R 3. v 1 = i a (R 2 (R 1 + R 3 )) = i a R 2 (R 1 + R 2 ) R 2 + R 1 + R 3 i R2 = v 1 R 1 + R 2 = i a R 2 R 1 + R 2 + R 3 i R2 = R 1 + R 3 R 1 + R 2 + R 3 i a = 10 + 20 10 + 5 + 20 2A = 12 A 1, A i R1 = i R3 = i a i R2 = (2 12 )A = 2 A 0, 3A 3 Teorispørsmål. (20 poeng) a) Beskriv følgende med egne ord: Metoden for å finne Thévenin ekvivalenten til en krets. 1. Bestem åpen-krets-spenningen v t ved å måle spenningen uten last på terminalene. 2. Kortslutt utgangen for å finne maks strøm, og dermed den indre motstanden, Théveninmotstanden R t, til kilden. 3. Théveninekvivalenten vil nå være en spenningskilde med spenningen v t, med en seriemotstand R t. Maks effektoverføring og hvordan det oppnås. Prinsippet med maks effektoverføring innebører å få overført maksimal effekt av det kilden gir ut til lastmotstanden. Dette oppnås ved at lastmotstanden er lik kildens indre motstand. Vi har da impedansmatching. Superposisjonsprinsippet. 26. januar 2016 Side 3 av 10
Superposisjonsprinsippet sier at enhver respons fra en lineær krets er lik summen av responser fra hver enkelt uavhengige kilde hvor de andre kildene er nøytralisert. Nøytralisering av en kilde innebærer åpen krets for strømkilder og kortsluttning for spenningskilder. b) Gitt et praktisk tilfelle med en svart boks med to terminaler. La oss si at boksen inneholder et litium-ion batteri, og dermed ikke tåler kortsluttning. Hvordan kan du da gå frem for å finne théveninmotstanden til den svarte boksen? Vi må her være påpasselige med å ikke trekke mer strøm enn hva boksen tåler. For å finne Thévenin trenger vi å finne to ukjente, v t og R t. v t finner vi enkelt ved å måle spenningen på boksen uten last. Ettersom vi ikke trekker noen strøm ut av boksen, vil R t ikke ha spenningsfall og vi måler v t direkte. Deretter må vi koble på en last som er innenfor det boksen vår tåler. Siden vi nå har belastet boksen, kan vi måle en strøm i L og en spenning v L, ved last. Avviket mellom v t som vi målte først og v L, målt med last, vil være den spenningen som ligger over Théveninmotstanden R t. Vi har nå og strømmen, i L, og kan da via Ohms lov beregne R t. 4 Superposisjon. (10 poeng) Figur 5: Krets 4 a) Bruk superposisjonsprinsippet til å beregne spenningen v 2 i Figur 5. Benytt følgende verdier: v a = 20V, R 1 = 15Ω, R 2 = 5Ω, i b = 4 3 A 26. januar 2016 Side 4 av 10
Figur 6: Krets 4 Nuller først ut spenningskilden. Se Figur 6. i b = i R1 + i R2, i R1 R 1 = i R2 R 2 i R1 = R 2 R 1 i R2 i b = i R2 ( R 2 R 1 + R 2 + 1) = i R2 R 1 R 1 R 1 i R2 = i b = 15 R 1 + R 2 15 + 5 4 3 A = 1A, Dette er bidraget fra strømkilden i b. Figur : Krets 4 Nuller så ut strømkilden. Se Figur. V a i R2 = = 20V R 1 + R 2 20Ω = 1A, Dette er bidraget fra spenningskilden V a. Totalt før vi da: i R2 = 1A + 1A = 2A v 2 = i R2 R 2 = 2A 5Ω = 10V b) Hvor mye effekt bidrar hver av de to kildene i kretsen i Figur 5 med? 26. januar 2016 Side 5 av 10
Strømmen gjennom V a er lik den som går gjennom motstanden R 1. i Va = V a V 2 20V 10V = = 2 R 1 15Ω 3 A P Va = V a i Va = 20V 2 3 A = 40 W 13, 3W 3 P ib = V 2 i b = 10V 4 3 A = 40 W 13, 3W 3 5 Thévenin. (20 poeng) a) Beregn Thévenin-ekvivalenten sett fra terminalene a-b i Figur 8. Vi finner først R T h ved å nullstille spenningskilden, det vil si at spenningen settes til null, som blir det samme som en kortslutning. Uttrykket for R T h blir da: R T h = R 1 R 2 R 3 = ( 1 + 1 + 1 ) 1 = ( 1 R 1 R 2 R 3 20Ω + 1 20Ω + 1 30Ω ) 1 =, 5Ω Thévenin-spenningen, V T h kan finnes vha. spenningsdeling mellom motstand R 1 og motstand R 2 R 3 : R 2 R 3 = R 2R 3 20Ω 30Ω = R 2 + R 3 20Ω + 30Ω = 12Ω 12Ω V T h = 120V = 45V 20Ω + 12Ω V T h = 45V, R T h =, 5Ω alternativ Kortslutter klemmene a og b, og beregner kortslutningstrømmen I SC, V T h blir beregnet som ovenfor. I SC = V S = 120V R 1 20Ω = 6A V T h = 45V R T h = V T h = 45V I SC 6A =, 5Ω Figur 8: Théveninkrets 26. januar 2016 Side 6 av 10
b) Beregn Thévenin-ekvivalenten sett fra terminalene til kretsen i Figur 9. (Hint: bruk nodespenningsmetoden for å beregne spenningen.) Benytt følgende verdier: v a = 15V, R 1 = 6Ω, R 2 = 20Ω, R 3 = 5Ω, R 4 = 30Ω, R 5 = 20Ω Figur 9: Krets 5 Vi finner først R T h ved å nullstille alle kilder i kretsen. Vi får da utrykket: 1 R T h = R 2 (R 1 R 4 + R 3 ) R 5 = 1 1 + R R 2 1 R 4 + 1 = R 1 +R 4 + R 3 R 5 1 1 20Ω + 1 6Ω30Ω 6Ω+30Ω + 5Ω + 1 = 5Ω 20Ω Benytter så nodespenningsmetoden for å finne v T h Se Figur 9. Node 1: i 1 + i 2 + i 3 = 0 v 1 v a + v 1 + v 1 v 2 = 0 R 1 R 4 R 3 Setter inn kjente verdier og løser med hensyn på v 1 : 1 6Ω v 1 1 6Ω v a + 1 30Ω v 1 + 1 5Ω v 1 1 5Ω v 2 = 0 v 1 = 5 12 v a + 1 2 v 2 Node 2: i 4 + i 5 + i 6 = 0 v 2 v 1 + v 2 + v 2 v a = 0 R 3 R 5 R 2 Setter inn kjente verdier og løser med hensyn på v 2 : 1 5Ω v 2 1 5Ω v 1 + 1 20Ω v 2 + 1 20Ω v 2 1 20Ω v a = 0 v 2 = 2 3 v 1 + 1 6 v a Setter uttrykket for v 1 inn i utrykket for v 2 : v 2 = 2 3 ( 5 12 v a + 1 2 v 2) + 1 6 v a v 2 = 2 3 v a = 10V v T h = v 2 = 10V 26. januar 2016 Side av 10
6 Nodespenning og Avhengige kilder. (30 poeng) Figur 10: Krets med supernode a) Finn nodespenningene v 1 og v 2 til kretsen i Figur 10. Benytt følgende verdier: v c = 4V, i a = 2A, i b = 9A, R 1 = 15Ω, R 2 = 2Ω, R 3 = 4Ω. Figur 11: Krets med supernode Nodene v 1 og v 2 utgjør en supernode. Se Figur 11. Vi setter opp ligningen for supernoden: i a + v 1 + v 2 i b = 0 R 2 R 3 Setter inn de oppgitte verdiene og får følgende formel: v 2 = 28V 2v 1 Vi trenger en ligning til og benytter KVL rundt den indre sløyfen. Se Figur 12. Dette gir oss følgende formel: v 1 v c + v 2 = 0 v 2 = v 1 + 4V Vi har nå to ligninger med to ukjente. Finner så v 1 = 32 V 10, 6V og 3 26. januar 2016 Side 8 av 10
Figur 12: Krets med supernode v 2 = 20 V 6, 6V 3 b) Hvordan endres nodespenningene hvis R 1 byttes med 30Ω? Ettersom R 1 står over en spenningskilde, vil spenningen over motstanden være bestemt av spenningskilden, og den vil således ikke påvirkes av endring i motstandsverdien. Nodespenningene v 1 og v 2 vil derfor forbli uforandret. c) I kretsen i Figur 13 er spenningen v 2 en avhengig spenningskilde som avhenger av V R2. V 2 er 5 ganger så stor som V R2. Sett opp et uttrykk for V R2 som funksjon av v 1. Vi bruker KVL og får følgende uttrykk for kretsen. v 1 + (R 1 i) + (5 V R2 ) + (R 2 i) = 0 Utrykket for V R2 finner vi med ohms lov: V R2 = i R 2. Setter dette inn for V R2 og finner et uttrykk for strømmen i. v 1 + (R 1 i) + 5 (R 2 i) + (R 2 i) = 0 (R 1 + 6R 2 )i = v 1 v 1 i = R 1 + 6R 2 Setter tilsutt dette inn i uttrykket for V R2 : R 2 V R2 = v 1 R 1 + 6R 2 26. januar 2016 Side 9 av 10
Figur 13: Krets med avhengig kilde 26. januar 2016 Side 10 av 10