Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene i stigende rekkefølge: 3, 19, 3, 009, 3, 3, 9, 3, 0100 og 3, 10. (i) Du har tallene 2, 3, 5, 7, 11, 13 osv. Hva kaller vi disse tallene? Skriv de tre neste tallene i denne rekken. (ii) Tallene 1, 4, 9, 16 osv. kaller vi for kvadrattallene. Skriv et generelt uttrykk for det nte tallet i denne rekken. (iii) Skriv de tre første oddetallene og summer dem. Ser du en sammenheng mellom kvadrattallene og summen av de første n oddetallene? Forklar med ord, figur eller matematisk uttrykk det du kommer frem til. (iv) Forholdet mellom radiene i to sirkler er 4. Finn forholdet mellom arealene av sirklene. (v) Den assosiative lov for multiplikasjon kan skrives (a b) c = a (b c), der a, b og c er tall. Formuler denne loven med egne ord og gi et eksempel som tydeliggjør at loven kan forenkle regningsoperasjoner. Del C Solveig og Anders følger den samme stien når de er ute på tur. Anders tar hver gang en ekstra avstikker på 1,2 km. På en uke går de fem turer, og de finner ut at de til sammen har gått 44 km. (i) Sett opp en likning der x km er den strekningen Solveig går hver gang. Løs likningen. Hvor langt går hver av dem hver gang? 1
(ii) Forklar hvordan du kan tenke for å finne ut hvor langt hver av dem går hver gang uten å bruke likning. Oppgave 2 Frida og Gjertrud løper kappløp. Frida starter i et punkt A. Siden Frida er tre år eldre og flinkere til å løpe, får Gjertrud starte 50m foran Frida. Når de begynner å løpe, viser det seg at Frida løper 6,5m/s og Gjertrud 5 m/s. (i) Finn et uttrykk f(t) for Fridas distanse fra A etter t sekunder. (ii) Finn et uttrykk g(t) for Gjertruds distanse fra A etter t sekunder. (iii) Hva slags funksjoner er f(t) og g(t)? Hvilken spesiell egenskap har f(t)? (iv) Hvor langt står Frida fra A etter 15 sekunder? (v) Kappløpet slutter 250m fra A. Hvem er vinneren? (vi) Tegn grafen til g(t) fra 0 til 8 sekunder. Hva forteller stigningstallet til grafen til g(t) deg om løpet til Gjertrud. Vennligst besvar ENTEN ELLER Del C. Vi betrakter funksjonen h(x) = (2x 3)(1 + x) = 2x 2 x 3. (i) Hva slags funksjon er h(x)? Begrunn svaret ditt. (ii) Hva kaller vi grafen til h(x)? (iii) Her er en delvis utfylt tabell med verdier til h(x). Fyll ut de tomme feltene. x 2 1 0 1 2 h(x) 7 (iv) Bruk informasjonen du har funnet i (i)-(iii) til å skissere grafen til h(x) mellom 2 og 2. (v) Finn nullpunktene til h(x). Bruk bare opplysningene ovenfor (altså, ikke bruk formel eller kalkulator). Forklar fremgangsmåten din. 2
(vi) Ved hjelp av grafen, eller på et annet vis, finn punktene der grafen til h(x) skjærer linja 2y x + 6 = 0. Hvis du har gjort, da skal du IKKE gjøre Del C. Del C Vi betrakter funksjonen h(x) = 3x 1 2x + 4. (i) Hva slags funksjon er h(x)? Begrunn svaret ditt. (ii) Her er en delvis utfylt tabell med verdier til h(x). Fyll ut de tomme feltene. x 5 3 1 1 3 h(x) 8 3 (iii) Grafen til h(x) har to asymptoter, én vannrett og én loddrett. Finn asymptotene. (iv) Bruk det du har funnet ut i (i)-(iii) til å skissere grafen til h(x) mellom 5 og 3. (v) Hva kaller vi grafen til h(x)? (vi) Det finnes ett tall som ikke er en funksjonsverdi av h(x). Hvilket tall er dette? Oppgave 3 Skriv regnestykkene nedenfor med matematiske symboler og regn ut svaret. (Husk å sette parenteser der det skal være.) (i) Til summen av 6 og 3 skal du addere det firedobbelte av det du får når du subtraherer 7 fra 13. (ii) Differansen 4 3a skal multipliseres med 5. (iii) 4 3a skal adderes til 6 4a. 3
(iv) 4 3a skal subtraheres fra 6 4a. (i) Faktoriser 2a 2 32. (ii) Faktoriser (2a + 6) 2 16a 2. (iii) Løs likningen (2x + 6) 2 16x 2 = 0. (iv) Løs likningssystemet 2x + 3y = 3 x 3y = 6 (v) Bestem konstanten b slik at likningssystemet får en løsning der x = 3. 3x + by = 5 2x 3y = 9 Oppgave 4 Per Arne har kjøpt seg ny kodelås med fire hjul. Hvert hjul har åtte posisjoner, tilsvarende siffer 1 til 8. (i) Hvor mange mulige koder har han å velge mellom? (ii) I hvor mange av disse kodene er alle sifferne forskjellige? (iii) Hvis Per Arne bestemmer seg for å bruke kun oddetall, hvor mange koder har han å velge mellom? (Her kan samme siffer brukes flere ganger.) En klasse med tjuefem elever skal velge en komité på fire stykker. Klassen består av 12 gutter og 13 jenter. (i) Hvor mange muligheter er det for komitéen? (ii) Hvor stor er sannsynligheten for at den utvalgte komitéen består av to jenter og to gutter? 4
(iii) Komitéen skal jobbe to og to på en oppgave. På hvor mange måter kan de dele seg i to lag på to? Del C En videregående klasse på 40 elever hadde prøver en uke i både matematikk og fysikk. Det var 32 elever som bestod fysikkprøven og 29 som bestod matematikkprøven. Blant elevene som bestod i fysikk var det 7 stykker som ikke bestod i matematikk. (i) Hvor stor er sannsynligheten for at en tilfeldig utvalgt student bestod fysikkprøven? Svaret skal uttrykkes som en brøk. (ii) Hvor stor er sannsynligheten for at en student som bestod i fysikk også bestod i matematikk? Svaret skal uttrykkes som en brøk. Oppgave 5 (i) Konstruer en trekant ABC der C = 120 og AC = BC = 5 cm. (ii) Nedfell normalen CD fra C på AB. (iii) Hvor lang er CD? Begrunn svaret ditt. (iv) Slå tre sirkler med radius 2, 5 cm, en med senter i A, en i B og en i C. (v) Regn ut det arealet som ligger inne i trekant ABC, men utenfor de tre sirklene. (i) Konstruer et kvadrat ABCD med side 8 cm. (ii) Konstruer den delen av en sirkelbue som har sentrum i B, radius 8 cm og ligger inne i kvadratet. (iii) Konstruer den delen av en sirkelbue som har sentrum i D, radius 8 cm og ligger inne i kvadratet. (iv) Regn ut omkretsen av den figuren ( pølsen ) som er begrenset av disse to sirkelbuene inne i kvadratet. 5
Del C Her er et trapes der A = D = 90 og lengdene på sidene er avhengig av et parameter a: AB = 9a + 10, BC = 13a og CD = 4a + 10. I tillegg får vi vite at omkretsen av trapeset er 38a + 20. (i) Finn lengden til AD. (Dette vil også være avhengig av a.) (ii) Vis at arealet av trapeset kan skrives som 78a 2 + 120a. (iii) Vis at hvis du setter inn a = 2, så får du samme areal om du først setter inn i uttrykket for sidene og så regner ut, eller om du setter a = 2 direkt inn i uttrykket for arealet som vi fant i (ii). SLUTT 6