John Engeseth Odd Heir BOKMÅL fo re nk Håvard Moe l t e Særtrykk Matematikk for yrkesfag
Innhold 1 Tall Vi øver på å legge sammen og trekke fra 4 Regning med positive og negative tall 5 Vi øver på å gange og dele 7 Regning med desimaltall 9 Regnerekkefølge 13 Brøk 14 Avrunding 15 Veien om 1 16 Likninger Bokstavregning 18 Likninger 19 3 Formler Formler 7 Proporsjonalitet 9 4 Prosent Prosent 34 Vanlig prosentregning 37 5 Lønn Lønn 47 Skatt 48 Feriepenger 49 6 Lengde og målestokk Lengdeenheter 51 Målestokk 57 7 Flate Pytagorassetningen 59 Omkrets 64 Areal 66 8 Rom Perspektivtegning 70 Liter, desiliter, centiliter og milliliter 71 Volum av prisme 74 Overflaten av prisme 76 9 Sparing Sparing 78 Fasit 83
John Engeseth Odd Heir Håvard Moe BOKMÅL Matematikk for yrkesfag forenklet
18 Likninger Likninger Bokstavregning NB! 3 betyr 3 betyr 1 Eksempel 1 Trekk sammen. a 5 + 3 b 5 3 c 3 5 a 5 + 3 8 b 5 3 c 3 5 Tenk slik: 5 + 3 8 5 3 3 5 01 Trekk sammen. a 7 + b 7 c 7 0 Trekk sammen. a + b 7 + c 03 Trekk sammen. a 7 6 b 7 8 c 5 04 Trekk sammen. a + 3 + 4 b + 7 + 8 c + 5 Eksempel Skriv uttrykket + 5 + 4 + 8 så enkelt som mulig. + 5 + 4 + 8 5 + 8 + + 4 13 + 6 Sorter leddene. Trekk sammen ledd av samme type.
Likninger 19 05 Skriv uttrykkene så enkelt som mulig. a 4 + 3 + 5 + b 7 + 8 3 + 6 c 1 3 + 4 + 5 06 Skriv uttrykkene så enkelt som mulig. a 1 + 7 + b 4 + c 3 4 8 + 1 Likninger En likning består av en venstreside og en høyreside som skal være lik hverandre. Derfor skriver vi mellom de to sidene. 4 9 er et eksempel på en likning.? Å løse en likning vil si å finne ut hvilket tall må være for at venstre og høyre side i likningen skal være lik. De fleste likninger er slik at du ikke ser løsningen uten å omforme likningen. Du skal lære tre regler som er nyttige når du løser likninger: 1 Flytte-bytte-regelen Deleregelen 3 Gangeregelen Flytte-bytte-regelen NB! Du kan flytte et ledd over på andre siden av hvis du samtidig skifter fortegn. Eksempel 3 Løs likningen 4 9. 4 9 9+ 4 4 +4 13
0 Likninger 07 Løs likningene ved å fylle inn riktig regnetegn og tall. a 8 7 b + 9 14 c 6 7 7 8 14 9 08 a 3 5 b + 7 c 8 3 5 3 7 Eksempel 4 Løs likningen 3 + 4 5 +. 3 + 4 5+ 3 5 4 1 1 1 +4 4 + 09 a 9 5+ 8 b 6 + 7 5 + 1 c 3 8 + 1 9 8 5 6 5 1 7 10 a 4 5 5 b + 7 3 + 4 c 6 8 1+ 5 4 5 5 74 3
Likninger 1 Deleregelen NB! Du kan dele med det samme tallet på begge sider av Eksempel 5 Løs likningen 4 1. 4 1 4 1 4 4 3 Vi deler på begge sider med tallet foran. 11 a 8 8 b 3 18 3 18 c 5, 10 5, 10 NB! + delt på + gir + delt på gir + + delt på gir delt på + gir 1 a 10 10 b 8 48 8 48 c 5 30 5 30
Likninger 13 Løs likningen 6,5 45,5. Skriv opp likningen Del på begge sider med tallet foran Forkort og regn ut Eksempel 6 Løs likningen 3 + 7. 3 + 7 3 + 7 Flytte-bytte-regelen 5 15 5 15 5 5 3 Deleregelen 14 Løs likningene ved å bruke flytte-bytte-regelen og deleregelen. a 7 5 4 4 57 b 11 5 3 3 511 c 1 4 5 + 10 4 5 10 1
Likninger 3 15 Løs likningene ved å bruke flytte-bytte-regelen og deleregelen. a 3 + 5 6 4 b + 9 5 5 c 3 5 4 Gangeregelen NB! Du kan gange med det samme tallet på begge sider av Eksempel 7 Løs likningen 7 6. 6 7 7 7 6 7 4 Vi ganger på begge sider med tallet som er delt med. 16 a 8 b 3 7 c 75, 84, 8 7 3 84, 75,
4 Likninger NB! + ganger + gir + ganger gir + + ganger gir ganger + gir 17 a 8 b 6 4 c 4,8 1,5 ( 8) 6 4 1,5 ( 4,8) 18 Løs likningen 5, 84,. Skriv opp likningen Gang på begge sider med tallet er delt med Forkort og regn ut Eksempel 8 Løs likningen 4. 7 4 7 4 4 4 7 84 7 1 Gangeregelen
Likninger 5 19 a 3 4 b 5 6 c 3 4 7 4 3 6 5 3 4 7 0 a 4 + 3 9 b 8 5 0 c 3 1,5 3,5 7 d 35 7
6 Likninger Potenslikninger NB! k har løsningen k. Undersøk hvor du finner kvadratrottasten på kalkulatoren din. Eksempel 9 Løs likningen 6 6 6 Ta kvadratroten 5,1 Regn ut og rund av til én desimal 1 a 9 b 11 Ta kvadratroten Regn ut og rund av c 100 d 1000
3 Formler Eksempel 1 Gjennomsnittsfarten er v. Tilbakelagt strekning er s. Tiden er t. s Dette gir formelen v. t a Håvard sykler 6 km på timer. Hva er gjennom snittsfarten? s 6 a v t 3 Gjennomsnittsfarten er 3 km/h. b John sykler 6 km på en halvtime. Hva er gjennomsnittsfarten? s 6 b v t 05, 1 Gjennomsnittsfarten er 1 km/h. Legg merke til at å dele med 0,5 er det samme som å gange med. 301 a Nanna sykler 0 km på timer. Hva er gjennomsnittsfarten? s v t Gjennomsnittsfarten er. b Markus sykler 8 km på en halvtime. Hva er gjennomsnittsfarten?
8 3 Formler 30 Den årlige energiproduksjonen fra en type vindmølle er gitt ved formelen E 015, l E er den årlige produksjonen målt i kwh. l er lengden av vingene målt i cm. Regn ut den årlige produksjonen når lengden av vingene er a 50 cm Svar: b 60 cm E 0,15 Produksjonen er kwh. Produksjonen er kwh. 303 Makspulsen for friske voksne mennesker kan en finne ved å bruke formelen M 11 0,64 M er makspulsen i antall slag per minutt. er alderen i år. Hva er makspulsen ved alderen a 16 år Svar: b 0 år M 11 064, Makspulsen er slag per minutt. Makspulsen er slag per minutt. 304 Strømmen til en frysedisk blir slått av. Vi antar at timer etterpå er temperaturen gitt ved T 050, 0. Her er T målt i C. a Hva er temperaturen idet strømmen blir slått av? b Hva er temperaturen 8 timer etter at strømmen blir slått av? Svar: Temperaturen er C. c Hva er temperaturen 40 timer etter at strømmen blir slått av?
3 Formler 9 305 t Noen dyr settes ut på en øy. Etter t år er antallet dyr N gitt ved formelen N 00 110,. a Hvor mange dyr er det etter 5 år? b Hvor mange dyr ble satt ut på øya? Proporsjonalitet NB! Når to størrelser og y øker i samme i takt, kan vi skrive y k, der k er et fast tall. Tallet k kaller vi proporsjonalitetskonstanten. Eksempel Elin tjener 10 kr per time. Vi lar y kr være lønna når hun jobber timer. Er og y proporsjonale størrelser? Sammenhengen mellom y og kan vi skrive slik: y 10 og y er derfor proporsjonale størrelser. Proporsjonalitetskonstanten er 10. 306 Parth tjener 140 kr per time. a Skriv sammenhengen mellom lønna y kr og antall timer han jobber. b Er lønna y kr og antall timer han jobber, proporsjonale størrelser? c Hva er proporsjonalitetskonstanten? 307 I en butikk koster laksekaker 110 kr per kg. a Er prisen y kr proporsjonal med vekten kg vi kjøper? b Hva er proporsjonalitetskonstanten?
30 3 Formler 308 Vi setter kursen for euro lik 7,50. Sammenhengen mellom euro og y norske kroner er da y 750,. a Hva koster 10 euro? b Er norske kroner og euro proporsjonale størrelser? c Hva er proporsjonalitetskonstanten? g 3_3 309 Maria tjener 150 kr per time. Formelen for lønna til Maria er y 150. Vi tegner grafen til formelen for lønna. y y 150 600 450 300 150 0 0 1 3 4 Bruk figuren til å finne y når 4. Regn ut y. y Av figuren ser vi at y 600 når 4. y 600 150 4 a Bruk figuren til å finne y når 3. Regn ut y. y når 3 y b Bruk figuren til å finne y når. Regn ut y. y når y y I oppgave 309 er forholdet lik timelønna til Maria, som altså er 150 kr.
3 Formler 31 NB! Når og y er slik at y er fast tall, er y og proporsjonale. En graf som viser sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser, vil alltid være en rett linje som går gjennom origo. Eksempel 3 I en kjøttdisk ligger det forskjellige pakker med karbonadedeig. Tabellen viser vekten m i kg og prisen P i kroner for pakkene. m (kg) 0,4 0,6 0,75 P (kr) 44,00 66,00 8,50 Er prisen og vekten proporsjonale størrelser? Hva er proporsjonalitetskonstanten? P m 44 04, 110 P m 66 06, 110 P m 8, 50 075 110, P m er konstant. Prisen og vekten er proporsjonale størrelser. Proporsjonalitetskonstanten er 110. 310 Vaskepulveret Superrent selges i pakninger på 0,5 kg, 0,8 kg og 1, kg. Vekt m i kg 0,5 0,8 1, Pris P i kr 0,00 3,00 48,00 a Er prisen og vekten proporsjonale størrelser? P m P m P m b Hva er kiloprisen på Superrent?
3 3 Formler 311 I en butikk finner vi paprika i pakninger med forskjellig vekt. Tabellen viser vekten og tilsvarende pris. Vekt m i kg 0,5 0,30 0,35 Pris P i kr 6,30 7,56 8,8 a Regn ut P for hver av de tre pakningene. m Hvis prisen og vekten skal være proporsjonale størrelser, må de tre for holdene du fant i oppgave a, være like. b Er prisen og vekten proporsjonale størrelser? c Hva er proporsjonalitetskonstanten, og hva sier den? Fig_3_0 31 Grafen viser bensinforbruket for en bil i antall liter y når bilen kjører mil. 6 y liter 5 4 3 1 0 antall mil 0 4 6 8 a Regn ut y når 4.
3 Formler 33 b Regn ut y når 8. c Er y og proporsjonale størrelser? d Sett opp en formel som viser hvor mye (y liter) som går med på en mil lang tur. e Hvor mye bensin går med på en 0 mil lang tur? Fig 3_4 313 a b c Figur 1 Figur Figur 3 y y y 3 1 0 0 1 3 3 1 0 0 1 3 1 0 0 1 3 Er det noen av grafene som viser sammenhengen mellom proporsjonale størrelser? Begrunn svaret. Hva er i tilfellet proporsjonalitetskonstanten? Svar: