Rapport Kraft på strømførende leder i statisk magnetfelt Kristian S Sagmo 1 ved Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge 4. april 2011 Sammendrag Vi undersøkte magnetiske krefter i et homogent magnetfelt ved et oppsett som inkluderte en elektromagnetisk vekt, en permanentmagnet og strømførende leder eller spole. Ved enkeltvis endring av parametrene lengde l, strømstyrke I og vinkel θ mellom lederretning og magnetfeltlinjene, undersøkte vi hvordan kraftutslaget endret seg gjennom endringen av en eektiv masse M målt på vekta. Det ble funnet en tilnærmet lineær sammenheng mellom resultantkraften og henholdsvis endring av lengden, strømstyrken og sinusfunksjonen til vinkelen. Vi fant at kraften på lederen fra magnetfeltet vil øke proporsjonalt med disse, og unngikk dermed å falsisere ligning (4) som var utgangspunktet for de empiriske undersøkelsene. Sentrale resultat fra forsøket er stigningstallene a 1 og b 1 til lineæregresjonen av målepunktene fra henholdsvis kraft som funksjon av strømstyrke I og kraft som funksjon av lederlengde l. De teoreitske verdiene for samme betingelser gitt i a 1 og b 1. a 1 = (0.2856 ± 0.0001)g/A, a 1 = (0.2864 ± 0.0001)g/A b 1 = (30.7 ± 0.1)g/m, b 1 = (28.8 ± 0.3)g/m 1
Innledning Magnetisk kraft utgjør sammen med elektrisk kraft en av de re fundamentale kraftvirkningene fysikere opererer med i dag; elektromagnatisk kraft. Begge to er knyttet til ladninger og forklares som en utveksling av fotoner. Kraften på lederen vi observerer oppstår som følge av vekselvirkningen mellom elektronene som passerer gjennom lederen og magneten. Utgangspunktet for magnetisk kraft som inngår i det totale uttrykket for elektisk og magnetisk kraft, kalt Lorentzkraft, som beskrevet i likning (1). Spesielt for den magnetiske kraftkomponenten er som tydelig kommer frem at en bevegelse er nødvendig, jf. hastighetsvektoren v som inngår i den generelle likningen (2). Hensikten med rapporten er å fremstille undersøkelsen av magnetisk kraft gjennom tre delforsøk angående magnetisk kraft og vurdere resultatene opp i mot kjente likninger. Det teoretiske grunnlaget er altså kjente tidligere observerte sammenhenger mellom magnetisk kraft og ladde partikler. Dette blir gjort ved først å se på likning (2) i teoridelen, som er det faktiske grunnlaget for likning (5) som danner basis for den direkte sammenlikningen. Vektorligningen (2) danner altså, kronologisk sett, grunnlaget for en magnetiske krefter og ble i sin nåværende form presentert av den engelske naturvitenskapsmannen Oliver Heaviside i 1880 - årene. Det skal legges til at forskningen på elektrisk ladde partikler strekker seg tilbake i tid til medio 1700- tallet. Konsekvenser av eksistensen av vekselvirkningen virkningen er selvsagt er observert mye tidligere enn dette, eksempelvis gjennom kompassbruk. Teori Med utgangspunkt i Lorentzkraften gitt i likning (1) skal det vises hvordan denne kan omskrives til en form som passer bedre for undersøkelser utført på en kjent leder. F = Eq + q v B (1) Ettersom det elektriske feltet inne i en leder netto er lik 0 får vi kun et magnetisk kraftbidrag gitt ved uttrykket i likning (2). Der ser vi at kraften F er en funksjon av ladningen q, ladningens hastighet v, og magnetfeltet B. F = q v B (2) Ettersom hastigheten v ikke er triviell å måle og kontrollere i seg selv er en omskrivning av likningen ønskelig. Først kan vi ta i bruk at vi har en leder og omdenere q og v. Vi kan da skrive at ladningen q e = nal, der n er elektrontetthet, A er et tverrsnitt og l er lengde av lederen i strømretning. Vi ser på netto driftsfart langs lederen og skriver derfor v d for v. Ligningen tar dermed formen F = q e ( v d B)nA l. (3) Strømstyrke I er en skalar størrelse som kan reguleres med en strømforsyning og måles nøyaktig på et ampéremeter, og det vil derfor være fordelaktig å få inn I som parameter. Bruker at I, per denisjon, er ladninger som passerer et tverrsnitt per sekund og får dermed omskrevet ligningen til uttrykket F = I l B. (4) Deretter er det bare å bruke at kryssproduktet av to vektorer er lik lengden og sinus til vinkelen mellom dem som gir F = IlBsinθ. (5) 2
Denne likningen (5) vil videre være utgangspunktet for teoretiske beregninger, og inneholder alle parametrene som skal varieres; Strømmen I, lederens lengde l og sinusfunksjonen til vinkelen, sinθ, mellom l og B. Vi ser at den er proporsjonal med alle disse for et konstant magnetfelt. For å kunne måle kraft taes en elektromagnetisk vekt i bruk. Skalarformen av Newtons andre lov for tyngdekraften på stedet,likning (6), viser at denne er proporsjonal med den eektive massen M. F = Mg, (6) der g, som kjent, er tyngdeakselerasjonen på stedet. Ved å sette inn at magnetisk kraft er lik tyngdekraft (7), som den vil være når masseutslaget er i likevekt, får vi et uttrykk for den eektive massen som funksjon av våre denerte parametre, M = IlBsinθ. (7) g Dette betyr at vi kan bruke det at massen er lik en konstant, det vil si de konstante parametrene, ganger det vi varierer. Konstanten blir da lik stigningstallet til lineærregresjon av målingene i MATLAB, og uttrykkes teoretisk ved samt for henholdsvis variabel strøm I og variabel lederlengde l. a 1 = lb g, (8) b 1 = IB g, (9) Videre har en funnet det nødvendig å denere de aktuelle lederlengdene l som l = l t, (10) der l er lederlengden målt fra ytterpunkt til ytterpunkt og t er lederens bredde. Dette burde bli mer korrekt enn å gå utifra l = l ettersom en må annta at elektronene er fordelt inne i lederen, snarere enn på overaten. Nærmere forklaring på dette krever egentlig mer komplisert atom-teori, som en ikke vil gå nærmere innpå her. Likevel kan en også kort nevne at enkle kaos-teori prinsipper tilsier at det er mer sannsylig for et antall elektrone å utnytte rom, enn at alle skal benne seg på samme punkt inne i/utenpå lederen. Videre, tilsier prinsippet om minste motstands vei at elektronene vil følge en kortere bane enn ytter banen i lederen. Hva denne denisjonen av l vil ha å si for forsøksresultatene vil bli tatt opp under diskusjons-seksjonen. I forsøket skal det undersøkes om a 1 og b 1 stemmer overens med a 1 samt b 1 gitt av måleseriene. Usikkerheten i de aktuelle parametrene for beregning av de teoretiske verdiene vil påvirke sammenligningsgrunnlaget, og ved hjelp av Gauss' feilforplantningslov kan det vises at vi får utrykket ( l ) 2 a 1 = + l for usikkerheten i a 1, samt ( I ) 2 b 1 = + I ( ) 2 B a B 1, (11) ( ) 2 B b B 1, (12) for usikkerheten i b 1. Det forutsettes her at g er sikker, relativt til andre størrelser, og vil eventuelt inngå som en systematisk feil. Dette omtales nærmere i diskusjonen. 3
Metode og apparatur I forsøket var det ønskelig å se på tre forskjellige sammenhenger. Disse vil bli presentert i rekkefølgen de ble utført. Figur 1: Figuren viser det generelle oppsettet for alle tre delforsøk. Armen som holder kretskortet er så koblet i serie til type Delta strømforsyning, via et multimeter til måling av strøm i kretsen. Ved undersøkelse av kraftutslag som funksjon av strøm ble det montert en lederbane av type 1, vist i gur 2, normalt på et statisk magnetfelt. Her ligger det en utfordring i å få kortet og lederlengden til å stå så normalt som mulig på B-feltet, noe som kan munne ut i en systematisk feil. For å danne magnetfeltet ble det brukt en type permanent magnet. Denne var montert på en digital vekt av typen; Mettler, modell PM480, usikkerhet ± 1 mg. Deretter måltes vektutslag som funksjon av variende likestrøm (se Fig 4, resultater). Vektutslaget er som kjent proporsjonalt med kraftutslaget og danner et godt bilde over sammenhengen. Vekten ble nullstillt til magnetens egenmasse og måler dermed kun vekten utgjort av kraften som magnetfeltet utøver på lederbiten. Når en så skulle se på lederlengdens betydning for kraftutslag ble det montert ulike strømbanekort av overnevnte type (Fig 2) og registrert vektutslag ved konstant strøm. Se resultatene i tabell 2 og gur 6. Måleteknisk oppstår her et problem i denering av lederens lengde (illustrert i Fig 2), men dette taes nærmere opp under diskusjonen. Ved forsøket ble likevel lederens lengde l målt fra ytterpunkt til ytterpunkt, samt en bredde t av de respektive banene og utfra dette funnet en midlere lengde l. Ved begge disse to del-forsøk ble samme hesteskoformede permanentmagnet brukt (Fig 1), der magnetens feltstyrke ble målt med et gauss-meter via en Hallprobe. Måleteknisk skal det her nevnes at ettersom magnetens statiske magnetfelt ikke er uniformt ligger det en utfordring i å få registrert en representativ verdi for feltets ukstetthet. Siste del av forsøket bestod i å montere en dreibar spole i en ksert høyde over en litt bredere type hesteskomagnet (se Fig. 3). Spolen ble montert med gradskive og vektutslag som funksjon av vinkelutslag er listet under resultater i tabell 3 med tilhørende gur 8. Spesikt er det absoluttverdien av kraften som skal måles og dermed er det foretatt fortegnskifte på en serie av data for masse M å kunne gi et bedre sammenlikningsgrunnlag ved å ha alle deriverte som positive. Dette gjelder for tabell 3. 4
Figur 2: Figuren viser et par eksempler på hvordan kretskortene er utformet, samt en indikasjon på lederlengden l som er tatt opp under diskusjonen. En ser problemet i å denere lengden slik illustrert, da det er lite sannsynlig at elektronene vil følge ytterpunktene til lederbanen, som omtalt i diskusjonen. Figur 3: Her er oppsett for tredje del av forsøket, kraftutslag som følger av vinkel mellom leder og magnetfelt. En prinsippskisse er inkludert for klarhet (sett oventifra). 5
Sentralt i beregningene var et regresjonsskript med tilhørende funksjoner skrevet i programmerinsspråket MATLAB, for matematikkprogrammet av samme navn. Der ble minste kvadraters metode benyttet for å lage en regresjonlinje mellom målepunktetene og dermed ville avviket fra linja fortelle oss hvordan den faktiske lineæriteten til målepunktene våre var. 6
Resultater Resultatene vil bli presentert som tabeller og grafer produsert utifra dataene gitt der. Rekkefølgen i seksjonsteksten er som i fremgangsmåten presentert kronologisk. For å ha et sammenlikningsgrunnlag har vi kommet frem til teoretiske stigningstall som gitt i likningene for teoretisk a 1 (8) og teoretisk b 1 (9), med usikkerheter fra henholdsvis (11) og (12). Disse gir oss da a 1 = (0.2856 ± 0.0001)g/A og b 1 = (28.8 ± 0.03)g/m. a 1 sammenliknet med stigningstallet fra MatLab - regresjonen a 1 = (0.2864±0.0001)g/A, se gur 4, plottet på bakgrunn av tabell 1 ser vi at vi har et avvik størrelsesmessig, og usikkerhetsintervallet ir ikke overlappende. Verdiene må altså være skilt av en systematisk feil. Usikkerheten, eller avviket i plottet er begge av samme lave størrelsesorden og tilnærmet ser det dermed at vi har en god lineærisering for masse og dermed kraft som funksjon av strøm. Usikkerheten viser som vist i gur 5 ingen trend. Det kan nevnes at to av 28 punkt skiller seg ut negativt. b 1 sammenliknet med stigningstallet fra MatLab - regresjonen b 1 = (28.8±0.03)g/m, se gur 6 ser vi at vi har et avvik størrelsesmessig, det heller ikke her overlapp mellom usikkerhetsintervallene. Verdiene må altså være skilt av en systematisk feil. Vi ser likevel en tydelig lineærisering. Usikkerheten er her mye større i målingene en den teoretisk beregnede. Det er et tegn på en variabel størrelse det ikke er tatt hensyn til. Se gur 7 for avviksplot. Til sist er resultatverdier for kraft som funksjon av vinkel θ listet i tabell 3 med tilhørende sinusregresjon, samt en lineærregresjon av sin(θ). Alle vinkler er i kurvediagrammene konvertert til radianer fra grader. 7
Tabell 1: Målte data for Masse M ved variabel strøm I ved l = (0, 0418 ± 0, 0005)m og B = (0, 0671 ± 0, 00022)T I M (A) (g) 0,000 0,000 0,098 0,027 0,202 0,058 0,301 0,085 0,405 0,116 0,503 0,144 0,706 0,202 0,908 0,260 1,101 0,314 1,306 0,373 1,501 0,429 1,708 0,489 1,901 0,542 2,103 0,602 2,311 0,661 2,511 0,719 2,714 0,776 2,916 0,835 3,104 0,889 3,301 0,945 3,515 1,006 3,706 1,061 3,904 1,118 4,101 1,174 4,309 1,234 4,500 1,287 4,731 1,355 4,909 1,406 Tabell 2: Målte data for masse M ved variabel lengde l, beregnet fra korresponderende bredde t og ytre dimensjon l, gitt i ligning (10). Målt ved I = (4, 500 ± 0, 0005)A og B = (0, 0671 ± 0, 0002)T l M l t (A) (g) (m) (m) 0,0122 0,352 0,0102 0,0020 0,0220 0,664 0,0200 0,0020 0,0321 0,969 0,0302 0,0019 0,0640 1,862 0,0622 0,0018 0,0840 2,438 0,0821 0,0019 8
Tabell 3: Målte data for Masse M ved variabel vinkel og den målte vinkelen θ. M θ (A) ( ) -0,253-90 -0,328-85 -0,332-75 -0,308-65 -0,228-45 -0,118-25 -0,008-5 0,110 15 0,230 35 0,336 55 0,397 75 0,403 95 Diskusjon Under resultatene er det listet en svært liten a 1 regnet utifra regresjonen og en kan dermed med god sikkerhet påstå lineær sammenheng mellom strøm i leder og magnetisk kraftutslag. Eventuelt feil vil her særlig kunne ligge i verdiene for målte masse av magnet, ettersom det under eksperimentet foregikk en del rystninger i laboratoriet som kunne gi feilutslag på vekten på opptil ± 0.2 g.feilkilder i g, B og l vil her ha lite å si, ettersom det kan antaas at disse er de samme, relativ til hver måle verdi, og vil kun kunne forskyve lineæriseringen noe. Dette kan så resultere i at lineæriseringen ikke krysser y-akse i origo, slik den egentlig burde i henhold til teorien, likning (4). For delforsøk 2, kraft som funksjon av lengde, observeres en større usikkerhet i stigningsgraden for linjen, b, enn i a. Dette er naturlig da det foreligger færre målepunkter som regresjonen kan ta utgangspunkt i, i tillegg til at de relative usikkerhetene er større. Dette ettersom hver gang et lederbanekort byttes ut og plasseres på nytt i magnetfeltet kan en komme til å plassere det noe ulikt. Slik oppstår en varierende eektiv verdi for B lederbiten blir påvirket av, ettersom magnetfeltet ikke er homogent. En forskyvning av lineæriseringen vil kunne oppstå som følge av feil valgt eektiv lengde l av lederbit i magnetfeltet. Denne lengden må kunne oppfattes som gjennomsnittlig elektronbanelengde i lederretning. Da er det problematisk at lederens grenser til feltet er i to svinger slik at den blir fysisk lengre enn de este elektronbanene. Fordi elektronene har lik ladning vil de frastøte hverandre. Samtidig vil de gå korteste vei pga bevegelse etter høyeste potensial. Uten å kunne vurdere den faktiske bevegelsen kvantitativt synes det som en god tilnærmelse å anta at elektronene i snitt benner seg i midten av lederen til enhver tid. Det medfører at lengden må kortes ned med en verdi ekvivalent med lederens bredde t, som forutsettes konstant, illustrert i likning (10). Når en ser på gur 6 ser en at regresjonslinjen krysser y-aksen litt over origo. Det betyr at vi eektivt sett har en lengde som er lengre enn midlere leder lengde l. Måleresultatene ser altså ut til å anntyde at l eektivt sett er nærmere lengden av lederen målt fra ytterpunkt til ytterpunkt enn midlere lengde. Dette er oppsiktsvekkende. Andre feilkilder som kan forskyve linæriseringen er vekten. Dersom vekten viser et utslag som er over null når det ikke går noe strøm i lederen ville dette kunne forklart at linjen ikke krysser origo men viser positiv masse for en leder med lengde lik 0. Som nevnt under seksjonen for metode og apparatur var det mye forstyrrelser i rommet 9
1.6 1.4 1.2 Masse M (g) 1 0.8 0.6 0.4 Måling Regresjon 0.2 0-0.2 0 1 2 3 4 5 Strøm I (A) Figur 4: Masse M som funksjon av strøm I, samt regresjon med a 1 stigningstall. = 0.2856 g/a som 1 x 10-3 0.5 Masse M (g) 0-0.5-1 Måling -1.5-2 0 1 2 3 4 5 Strøm I (A) 10
2.5 2 Masse M (g) 1.5 1 Måling Regresjon 0.5 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Lengde l (m) Figur 6: Masse M som funksjon av strøm I, og regresjon med med 1 = 28.8g/A som stigningstall. 0.025 0.02 0.015 0.01 Masse M (g) 0.005 0-0.005-0.01 Måling -0.015-0.02-0.025 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Lengde l (m) Figur 7: Avvik i masse M som funksjon av lengde l.dette illustrerer at b 1 = ±0.3)g/m. 11
0.5 0.4 0.3 Masse M (g) 0.2 0.1 0-0.1 Måling Regresjon -0.2-0.3-0.4-2 -1 0 1 2 Vinkel (rad) Figur 8: Masse M som funksjon av vinkel θ. 0.5 0.4 0.3 Masse M (g) 0.2 0.1 0-0.1 Måling Regresjon -0.2-0.3-0.4-1 -0.5 0 0.5 1 Sinusfunksjon av vinkel sin (1) Figur 9: Masse M som funksjon av sinusfunksjonen til vinkel, sinθ. 12
under forsøket, og selv om det er tvilsomt kan det hende at vekten konsekvent viste en høyere verdi for massen M enn den egntlige. Videre er det en del usikkerhet knyttet til kalibreringen av målevekten som må kunne nevnes som en mulig systematisk feil. Ettersom det ikke var mulig å oppdrive noe konkret verdi for g som vekten var kalibrert etter, er det blitt antatt en g-verdi lik tabellverdien, avrundet lik 9.8066 m/s 2. Dette vil ha nokså mye å si for sammenligning av teoretisk a 1 og målt a 1, som en ser av likning (8). Hadde en i motsetning tatt utgangspunkt i en kalibrerings verdi for g lik den på stedet, avrundet lik 9.8214 2 m/s 2 vil dette gjøre et utslag allerede i andre desimal i verdien for a 1. 13
Konklusjon Ut fra grask vurdering av data, samt usikkerhetsanalysen, ser det denitivt ut til at formelen for magnetisk kraft, som i likning (5) på en strømførende leder er korrekt, etter som vi på ingen måte har kunnet falsisere den, på tross av mindre avvik. 14
Referanser 1 TFY4155 Elektrisitet og magnetisme, laboratoriekurs, V2011, Gruppe 6, Utført av Sigurd Norem Slettmo og Kristian Sagmo, 21. mars 2011. 2 Laboratoriehefte i Mekanisk fysikk TFY4145/FY1001, NTNU, H2010 15