NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV POLYNOM (PARENTESUTTRYKK)... 4 SUBTRAKSJON AV POLYNOM (PARENTESUTTRYKK)... 4 MULTIPLIKASJON AV MONOM MED POLYNOM... 4 MULTIPLIKASJON AV POLYNOMER... 5 SAMMENSATTE PROBLEMER... 5 FAKTORISERING AV MONOM... 5 FAKTORISERING AV POLYNOM... 5 IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 1 av 18
FORKORTING AV BRØKER... 6 FORMELREGNING... 6 KVADRATSETNINGENE... 6 I: FØRSTE KVADRATSETNING... 6 II: ANDRE KVADRATSETNING... 6 III: KONJUGATSETNINGEN («TREDJE» KVADRATSETNING)... 7 KVADRATSETNINGENE BRUKT TIL FAKTORISERING... 7 LIKNINGER MED EN UKJENT.... 8 «OVERFLYTTINGSREGELEN»... 10 SETTE PRØVE... 10 FUNKSJONER... 11 LINEÆRE FUNKSJONER... 12 GRAFEN TIL EN LINEÆR FUNKSJON... 12 PROPORSJONALITET... 13 OMVENDT PROPORSJONALITET... 13 KVADRATFUNKSJONER... 14 LIKNINGER MED EN UKJENT. GRAFISK LØSNING.... 15 LIKNINGER MED TO UKJENTE.... 15 A: GRAFISK LØSNING.... 15 LØSNING VHA VERDITABELLER:... 15 LØSNING VED TOLKING AV FUNKSJONSUTTRYKKENE:... 16 B: ALGEBRAISKE METODER.... 16 B-1: INNSETTINGSMETODEN.... 16 B-2: ADDISJONS SUBTRAKSJONSMETODEN.... 17 ET PAR SPESIELLE TILFELLER... 17 EGNE NOTATER... 18 FORORD Dette heftet er ment å være en oppsummering av de viktigste elementene innenfor emnet Algebra. Det kan egne seg for bruk som REGELBOK, tillatt på heldagsprøver og eksamen (under Delprøve 2). Hvis den skal fungere godt, må du bruke heftet aktivt. Ta notater, marker viktige punkter, legg til egne eksempler osv. Bruk heftet til repetisjon foran prøver. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 2 av 18
LÆREPLAN Kompetansemål etter 10. året: Tal og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne samanlikne og rekne om mellom heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, uttrykkje slike tal på varierte måtar og vurdere i kva for situasjonar ulike representasjonar er formålstenlege rekne med brøk, utføre divisjon av brøkar og forenkle brøkuttrykk bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar utvikle, bruke og gjere greie for ulike metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk, knyte uttrykka til praktiske situasjonar, rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk og bruke kvadratsetningane løyse likningar og ulikskapar av første grad og likningssystem med to ukjende og bruke dette til å løyse praktiske og teoretiske problem gjere berekningar om forbruk, bruk av kredittkort, inntekt, lån og sparing, setje opp budsjett og rekneskap ved å bruke rekneark og gjere greie for berekningar og presentere resultata analysere samansette problemstillingar, identifisere faste og variable storleikar, kople samansette problemstillingar til kjende løysingsmetodar, gjennomføre berekningar og presentere resultata på ein formålstenleg måte bruke tal og variablar i utforsking, eksperimentering og praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design ALGEBRA. REGNING MED VARIABLER Husk: Variablene (bokstavene) brukes for tall som varierer. De regnereglene vi har lært tidligere (tallregning) gjelder fortsatt! a + a + a + a = 4. a = 4a 3+3+3+3+3 = 5. 3 = 15 [Gjentatt addisjon => Multiplikasjon] b. b. b = b 3 2. 2. 2 = 2 3 = 8 [Gjentatt multiplikasjon => Potens] MONOM Algebraisk uttrykk med ett ledd: 3a -5b 2 3x 2 y 5 [Ledd skilles med + eller -.] Legg merke til at man kan sløyfe gangetegnet: 3a = 3. a. POLYNOM Algebraisk uttrykk med flere ledd: 2x + 3 3x 2 y y a 2 + 2ab + b 2 IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 3 av 18
TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon) Regel: Bare like variabler (eller like kombinasjoner av variabler) kan trekkes sammen. 3a + 2b + a + 4b = 4a + 6b 4x 2 + 3x - 2x 2 + x = 2x 2 + 4x [NB! x 2 x] 5a 2 b + 3ab 2 2a 2 b + ab 2 = 3a 2 b + 4ab 2 [NB! a 2 b ab 2 ] MULTIPLIKASJON 2. a. 3. b. a. b. 5. b = 30a 2 b 3 (2. 3. 5. a. a. b. b. b) 3x 2. 4x 3 = 12x 5 DIVISJON 4a = 2a 5x 2 y 5 x x y [= ] = x 2 10xy 2 5 x y 2 Vi finner felles faktorer i teller og nevner og forkorter med disse. (Det som er satt i klammeparentes [ ] er ikke nødvendig å gjøre hvis du ser felles faktorer uten å faktorisere på papiret.) Her er det viktig å huske at et tall alltid er delelig med sine faktorer. 30 er delelig med 2, 3 og 5 siden 30 = 2. 3. 5. Du kan kanskje se at 30 også er delelig med 6, 10 og 15. Legg merke til at disse tallene inneholder to av faktorene 2, 3 og 5. (Se også Forkorting av brøker nedenfor.) ADDISJON AV POLYNOM (PARENTESUTTRYKK) 5a + (3a + 2b) = 5a + 3a + 2b = 8a + 2b 3x 2 + (-2y 2x 2 ) = 3x 2 2y 2x 2 = x 2 2y Her kan det være greit å repetere regneregler for potenser med samme grunntall: [Regel: Med + foran parentesen beholder vi tegnene (+/-) som de er, når parentesen fjernes.] Multiplikasjon: behold grunntallet og adder eksponentene. Divisjon: behold grunntallet og subtraher eksponentene. SUBTRAKSJON AV POLYNOM (PARENTESUTTRYKK) 5x (3x + y) = 5x 3x y = 2x y 4a (- 3b 2a) = 4a + 3b + 2a = 6a + 3b [Regel: Med foran parentesen endrer vi alle tegnene (+/-) når parentesen fjernes.] MULTIPLIKASJON AV MONOM MED POLYNOM 5. (30 + 5) = 5. 30 + 5. 5 = 150 + 25 = 175 2a. (a + 2) = 2a 2 + 4a [Regel: Multiplisere monomet (utenfor parentesen) med alle ledd i polynomet (parentesen).] IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 4 av 18
MULTIPLIKASJON AV POLYNOMER (20 + 3)(60 + 7) = 20. 60 + 20. 7 + 3. 60 + 3. 7 = 1200 + 140 + 180+ 21 = 1541 (2a + 3)(3a 4) = 2a. 3a 2a. 4 + 3. 3a 3. 4 = 6a 2-8a + 9a 12 = 6a 2 + a - 12 [Regel: Multiplisere alle ledd i det ene polynomet med alle ledd i det andre polynomet.] SAMMENSATTE PROBLEMER Vi ser nærmere på kombinasjoner av multiplikasjon med og subtraksjon av polynomer. Til å begynne med vil jeg anbefale at du gjør en ting av gangen; fullfør multiplikasjonene før du fjerner parentesene. Når du har trent deg opp til et visst nivå av sikkerhet, kan du gjøre flere handlinger parallelt. 2a 3(a + 4) (a + 2)(2a - 3) = 2a (3a + 12) (2a 2 3a + 4a 6) = 2a 3a 12-2a 2 + 3a 4a + 6 = [multipliserer uten å fjerne parenteser] [fjerner parenteser bytter tegn] [trekker sammen] -2a 2-2a - 6 FAKTORISERING AV MONOM 60 = 2. 2. 3. 5 15x 2 y 3 = 3. 5. x. x. y. y. y FAKTORISERING AV POLYNOM Handler om å finne faktorer som er felles i alle leddene. Disse faktorene settes utenfor en parentes. «Resten» setter vi i parentesen. (2x 2 + 8x) = 2x (x + 4) (5ab 15a 2 b) = 5ab (1 3a) Hvis du ikke ser, umiddelbart, hvilke faktorer som er felles, kan det lønne seg å faktorisere hvert enkelt ledd hver for seg. 15ab 2 6a 2 b = 3. 5. a. b. b 2. 3. a. a. b = 3. a. b (5. b 2. a) = 3ab(5b 2a) TIPS! Ta en kjapp kontroll ved å sjekke om multiplikasjonen gir deg det uttrykket du startet med! IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 5 av 18
FORKORTING AV BRØKER Når vi forkorter en brøk, deler vi TELLER og NEVNER med samme tall. Et tall er delelig med sine faktorer. Derfor kan det være lurt å faktorisere teller og nevner først. 3x 2 y 3 9x 3 y 2 = 3 x x y y y 3 3 x x x y y = y 3x 2a 2 b+4ab = 2 a a b+2 2 a b = 2 a b(a+2) = 2 3a 2 b+6ab 3 a a b+2 3 a b 3 a b(a+2) 3 Når du finner to like faktorer i teller og nevner kan de forkortes mot hverandre. FORMELREGNING s =v. t v = s t t = s v [der s = strekning, v = fart og t = tid] O = πd d = O π [Her har du også definisjonen av π: π = O d ] A = πr 2 r = A π A = g h 2 g = 2 A h h = 2 A g KVADRATSETNINGENE I: FØRSTE KVADRATSETNING Vi multipliserer summen av to ledd med seg selv. (Sagt på en annen måte: Vi kvadrerer summen av to ledd.) (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2 [Sjekk ved å gjennomføre multiplikasjon av polynomer.] Produktet blir: kvadratet av det første leddet pluss det dobbelte produkt av de to leddene pluss kvadratet av det andre leddet. EKS: (3x + 2y) 2 = 9x 2 + 6xy + 4y 2 II: ANDRE KVADRATSETNING Vi multipliserer differensen mellom to ledd med seg selv. (Sagt på en annen måte: Vi kvadrerer differensen mellom to ledd.) (a - b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2-2ab + b 2 IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 6 av 18
Produktet blir: kvadratet av det første leddet minus det dobbelte produkt av de to leddene pluss kvadratet av det andre leddet. EKS: (2a 3b) 2 = 4a 2-6ab + 9b 2 III: KONJUGATSETNINGEN («TREDJE» KVADRATSETNING) Vi multipliserer summen av to ledd med differensen mellom de samme to leddene. (a + b)(a - b) = a 2 - b 2 Produktet blir: kvadratet av det første leddet minus kvadratet av det andre leddet. EKS: (3x + 2y)(3x 2y) = 9x 2 4y 2 Et lite hoderegningstips der konjugatsetningen brukes: 44. 36 = (40 + 4)(40 4) = 40 2 4 2 = 1600 16 = 1584 KVADRATSETNINGENE BRUKT TIL FAKTORISERING Kan vi kjenne igjen et uttrykk som resultat av bruk av kvadratsetningene? Det betyr at vi jakter etter uttrykk som passer inn i ett av tre mønstre: a 2 + 2ab + b 2 [Sum av tre ledd, to ledd er kvadrater av to tall, det tredje er det dobbelte produkt av de to tallene. Husk at rekkefølgen kan være tilfeldig.] a 2-2ab + b 2 [To ledd adderes og de er kvadrater av to tall, ett ledd subtraheres og det er det dobbelte produkt av de to tallene.] a 2 - b 2 [Differensen mellom to ledd. Begge er kvadrater.] EKS: 4 9x 2 = (2 3x)(2 + 3x) [Konjugatsetningen.] 9a 2 6ab + 4b 2 = (3a - 2b) 2 4x 2 + 10xy + 25y 2 = (2x + 5y) 2 [2. kvadratsetning.] [1. kvadratsetning.] IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 7 av 18
I sammensatte situasjoner: Forkort brøken: x 2 +4x+4 x 2 4 = (x+2)(x+2) = (x+2) (x+2)(x 2) (x 2) som selvsagt også kan skrives: x+2 x 2 [Forkorting krever like faktorer i teller og nevner. Faktorer er adskilt med gangetegn.] Et lite eksempel på en litt mer sammensatt problemstilling: Her kjenner vi igjen telleren som et resultat av 1. kvadrat-setning, nevneren er et resultat av konjugatsetningen. Forkort brøken: 2a2 4ab+2b 2 6a 2 6b 2 2(a 2 2ab + b 2 ) 2 3(a 2 b 2 ) = 2(a b) 2 2 3(a b)(a + b) = a b 3(a+b) = a b 3a+3b Faktoriserer teller og nevner. Gjenkjenner 2.- kvadratsetning i teller og konjugatsetningen i nevner. Forkorter like faktorer i teller og nevner. [(a-b) 2 = (a-b)(a-b).] Begge disse kan godtas som endelig «svar». LIKNINGER MED EN UKJENT. Prinsippet for en likning er at vi har to matematiske uttrykk som er lik hverandre: en venstreside = en høyreside. Som regel vil de to uttrykkene også inneholde en eller flere ukjente (variabler). Vi kan gjøre hva vi måtte ønske med likningen, forutsatt at vi ikke endrer likheten. Sammenlikne gjerne med en skålvekt: ta bort eller legg på det du måtte ønske, men sørg for at det hele tiden er likevekt! IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 8 av 18
Det betyr at vi kan: Legge til like mye på begge sider. Trekke fra like mye på begge sider. Multiplisere begge sider med samme tall, men husk: alle ledd må multipliseres med tallet. Dividere begge sider med samme tall, men husk: alle ledd må divideres med tallet. Gjør vi dette riktig, så endres verdiene på begge sider, men sidene er fortsatt lik hverandre Arbeidsmåten er at vi steg for steg prøver å forenkle likningen slik at vi ender opp med den enklest mulige f. eks. x = <et eller annet>. Da har vi fått løsningen. Vi prøver å komme dit ved å få samlet ledd med den ukjente på den ene siden av likhetstegnet og konstanter/«tall» på den motsatte siden. Noen eksempler: I: 2x + 4 = x + 7 x + 4 = 7 x = 3 - x -4 Trekker fra x på begge sider. Trekker fra 4 på begge sider. II: 2x + (3 x) (2x + 5) = 5x 20 2x + 3 x 2x 5 = 5x 20 -x 2 = 5x 20-2 = 6x -20 18 = 6x 3 = x x = 3 +x +20 :6 Fjerner parenteser og forenkler mest mulig på hver av sidene. Legger til x på begge sider. Legger til 20 på begge sider. Dividerer med 6 på begge sider. III: x 3 + 2x 5 1 = 2x 3 3 5 15 x 3 15 2x 15 2x + 15 1 = 15 3 5 3 5 5x + 6x 15 = 10x -9 11x 15 = 10x 9 x 15 = -9 x = 6. 15-10x +15 Multipliserer alle ledd med fellesnevner: 15. Forkorter og multipliserer. (I og med at vi multipliserer med fellesnevner, vil alle brøkene forkortes «bort».) Trekker sammen. Trekker fra 10x på begge sider. Legger til 15 på begge sider. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 9 av 18
IV: x + 2 2 1 = 3x + 4 2 4 4(x + 2) 4 1 = 2 2(x + 2) 4 = 3x + 4 8 2x + 4 4 = 3x + 4 8 2x = 3x 4 -x = -4 x = 4 4(3x + 4) 4 2 4. 4-3x. (-1) Multipliserer med fellesnevner: 4. Legg merke til at hele telleren skal multipliseres. Derfor parenteser! Forkorter. Multipliserer. Trekker sammen. Trekker fra 3x på begge sider. Multipliserer med (-1). «OVERFLYTTINGSREGELEN» Mange foretrekker denne «regelen» når de forenkler likninger. Det er viktig å være klar over at «regelen» egentlig anvender prinsippet om å legge til eller trekke fra like mye på begge sider av likningen. Et eksempel: 5x + 3 = 2x + 6 5x 2x = 6 3 3x = 3 x = 1 Overflyttingsregelen sier at vi kan flytte et ledd fra den ene sida til den andre hvis vi samtidig bytter fortegn. Her har leddet 2x byttet side og fortegn, det samme har leddet 3. Det vi egentlig har gjort er å trekke fra 2x og 3 på begge sider. [Regel: Du kan flytte et ledd til motsatt side av likningen dersom du samtidig bytter fortegn på leddet.] SETTE PRØVE Når vi har funnet en løsning, må vi teste om den faktisk stemmer. Er det slik at venstre side og høyre side blir like når vi setter inn den verdien (for x) vi har regnet oss fram til? Viktig at du setter inn i den opprinnelige likninga! IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 10 av 18
Setter prøve på likning II her: (Likningen ble løst ovenfor med løsning x = 3.) VS 2x + (3 x) (2x + 5) = 2. 3 + (3 3) (2. 3 + 5) = 6 + 0 11 = - 5 HS 5x 20 = 5. 3 20 = 15 20 = - 5 VS = HS = - 5 Legg merke til føring! Starter med opprinnelig likning. Sidene hver for seg. Setter inn x = 3 Når VS = HS betyr det at x = 3 er riktig løsning! FUNKSJONER En funksjon er et matematisk uttrykk som gir oss en, entydig, sammenheng mellom to størrelser. Vi kan betrakte den som en «maskin» som er slik at dersom du putter inn en verdi (x), vil funksjonen regne ut en verdi (y). Funksjonen inneholder en «oppskrift» på hvordan beregningen skal gjøres. Variablene kan selvsagt ha andre betegnelser. Vi velger ofte betegnelser som samtidig forteller oss noe om betydningen. (P = pris, V = volum, t = tid, s = strekning osv.) Et par eksempler: Du skal handle epler til en kilopris på kr 23. Funksjonen y = 23x viser hvor mye (y kr) du må betale for x kg epler. Arealet til et kvadrat: A = s 2. (Denne formelen kjenner du fra før formlene våre er funksjoner.) En elev tilbyr seg å klippe plen på følgende betingelser: 50,- kr for å møte til jobben og deretter 2,- kr pr m 2 som klippes. Funksjonen: L = 2. x + 50 viser hvor mye hun skal ha i lønn (L) for å klippe x m 2. En forening skal leie en buss til en utflukt. Bussen koster 6000,- kr og utgiften skal deles likt mellom deltakerne. Funksjonen: P = 6000 x viser hvor mye (P) det vil koste for hver når antall deltakere er x. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 11 av 18
Funksjoner kan avbildes i et koordinatsystem ved å tegne grafen til funksjonen. For å finne punkter på grafen kan vi lage en verditabell. Deretter kan vi avbilde punktene i koordinatsystemet. y = 2x + 50 x y 0 50 100 250 200 450 LINEÆRE FUNKSJONER Dersom grafen til en funksjon er en rett linje sier vi at funksjonen er lineær. En lineær funksjon kan alltid skrives på formen y= ax + b Eksempler: y = 2x + 3 L = 2x + 50 y = -2x - 3 y = 2x y = 3 y = 2 3 x 2 s = 60t a og b kan ha alle verdier, positive eller negative. De kan også være lik 0. Sjekk hvilke verdier a og b har i eksemplene over. Tallet a kaller vi stigningstallet. Det forteller hvor bratt grafen er; hvor mye y-verdien øker når vi øker x-verdien med 1. Tallet b viser oss hvor grafen skjærer y-aksen. GRAFEN TIL EN LINEÆR FUNKSJON Som nevnt vil grafen alltid være ei rett linje. Vi kan tegne grafen ved først å lage en verditabell. Dette er vist ovenfor. Du trenger bare to punkter, men det gir litt sikkerhet å ta med et tredje punkt for kontroll. Den andre muligheten er å tegne grafen ved å analysere funksjonsuttrykket. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 12 av 18
Vi ser på eksemplet: y = 2x + 1 1: Start med å finne skjæringspunktet med y- aksen: 1. 2: Fra dette punktet går vi ett skritt til høyre (øker x- verdien med 1) og 2 opp (stigningstallet). 3: Trekk opp grafen gjennom de to punktene du har funnet. PROPORSJONALITET En proporsjonalitet er en funksjon der y-verdien dobles når vi dobler x-verdien. Eksempel: Billettprisen til et arrangement er 200,- kr. Funksjonen y = 200 x viser billettinntektene (y) når antall tilskuere (x) varierer. Når antall tilskuere dobles fra 100 til 200, vil billettinntektene dobles fra 20 000,- kr til 40 000, - kr. En proporsjonalitet har formen: y = ax. Grafen er en rett linje som går gjennom Origo. (Forholdet mellom y og x er konstant: y x = a.) OMVENDT PROPORSJONALITET En omvendt proporsjonalitet er en sammenheng der y-verdien blir halvert når x-verdien dobles. (Produktet av x og y-verdien er konstant.) Eksempel: Sykkelrittet Trondheim Oslo er 540 km langt. Tiden som brukes er avhengig av farten. Jo fortere du sykler jo kortere tid bruker du Funksjonen: t = 540 v der v er gjennomsnittsfarten er v og tiden som brukes er t. En gjennomsnittsfart på 27 km/h gir 20 timer (54 km/h gir 10 timer dobling av farta gir halvering av tida). En fart på 30 km/h gir 18 timer. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 13 av 18
En omvendt proporsjonalitet har formen: y = a x NB! x kan ikke være 0! Grafen til en omvendt proporsjonalitet er en hyperbel. (Legg merke til at den er delt i to og blir liggende i 1. og 3. kvadrant når a>0.) I figuren er y = 4 x avbildet. KVADRATFUNKSJONER En kvadratfunksjon inneholder alltid et tall (a) multiplisert med x 2. Til høyre ser du grafen til: y = 2x 2 Grafen til en kvadratfunksjon (andregradsfunksjon) er en parabel. Et eksempel: Når en stein faller, øker farten for hvert sekund den akselererer. Strekningen som steinen har falt kan vi finne ved hjelp av funksjonen: s = 5t 2 der s er strekningen (i meter) og t er tiden (i sekunder). Grafen til høyre viser sammenhengen. Avlesing viser at steinen har falt 20 m etter 2 sekunder og 80 m etter 4 sekunder. (Her er det valgt å begrense tiden til mellom 0 og 5 sekunder.) IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 14 av 18
LIKNINGER MED EN UKJENT. GRAFISK LØSNING. Likningen x + 2 = 4 x - 4 Her ser vi på en grafisk løsning. Tanken er da å se venstre og høyre side hver for seg, og betrakte dem som funksjoner: y 1 = x + 2 y 2 = 4x - 4 Vi vet også at y 1 = y 2. Her gjorde vi en enkel løsning vha GeoGebra. y 1 = y 2 der grafene skjærer hverandre. I dette punktet er x = 3. det betyr at x = 3 er løsning for likningen. LIKNINGER MED TO UKJENTE. A: GRAFISK LØSNING. I: x y = 4 II: 4x + 2y = 10 I: x y = 4 I: - y = - x + 4 I: y = x - 4 II: 4x + 2y = 10 II: 2y = -4x + 10 II: y = -2x + 5 Omformer likningene slik at de begge kommer på funksjonsform. Trekker fra x på begge sider. Multipliserer med (-1). Legg merke til hva som skjer når vi gjør nettopp dette den «nøkkelen» får du ofte bruk for. Trekker fra 4x på begge sider. Deler med 2. (Husk! Alle ledd deles...) Det neste steget blir å tegne grafene til disse to funksjonene. Det kan gjøres på to måter; enten ved å lage verditabeller eller å tolke funksjonsuttrykket. Her vises begge: LØSNING VHA VERDITABELLER: I: y = x - 4 II: y = -2x + 5 x y x y 0-4 0 5 2 2 2 1 5 1 5-5 Her er poenget at du selv velger x-verdier og deretter regner ut tilhørende y verdi. Du får da en rekke tallpar (x, y) som du kan merke av i koordinatsystemet. TIPS! Ta en funksjon av gangen. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 15 av 18
Vi ser at skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (3, -1). Det betyr at løsningen på likningssettet er: x = 3 og y = - 1 Vi tester løsningen ved å sette prøve: I: x y = 4 3 (-1) = 4 3 + 1 = 4 4 = 4 VS = HS II: 4x + 2y = 10 4. 3 + 2. (-1) = 10 12 + (-2) = 10 12 2 = 10 10 = 10 VS = HS Viktig at du setter prøve på begge de opprinnelige likningene. LØSNING VED TOLKING AV FUNKSJONSUTTRYKKENE: Vi har funksjonsuttrykkene: I: y = x - 4 Vi ser at begge er lineære funksjoner siden de er på formen y = ax + b. Konstantleddet (b) gir oss skjæringspunktet med y-aksen. Her: (- 4). Faktoren foran x gir stigningstallet (a). Her er tallet 1. Det betyr at når vi øker x- verdien med 1 øker y-verdien med 1. (1 til høyre, 1 opp). II: y = -2x + 5 Konstantleddet (b) gir oss skjæringspunktet med y-aksen. Her: 5. Faktoren foran x gir stigningstallet (a). Her er tallet -2. Det betyr at når vi øker x- verdien med en «øker» y-verdien med -2. (1 til høyre, - 2 opp; som betyr 2 ned). Løsning på likningssettet avleses på samme måte som over. B: ALGEBRAISKE METODER. B-1: INNSETTINGSMETODEN. I: 2x y = 5 Utgangspunktet er at vi fra en av likningene velger å finne et uttrykk for enten II: x + 3y = 13 x eller y. (Vi ønsker å finne et eller annet på formen x =. eller y = ) Siden vi selv kan velge er det greit å velge det som ser enklest ut. Jeg velger her å bruke likning II til å finne et uttrykk for x. II: x = 13 3y Trekker fra 3y på begge sider. Innsatt i I: I: 2x y = 5 2. (13 3y) - y = 5 26 6y y = 5-7y = 5 26-7y = - 21 y = 3 Dette uttrykket (for x) settes inn i den andre likningen. Hensikten er å få en likning med en ukjent. Den løses så med kjente metoder. Multipliserer Forenkler og trekker fra 26 på begge sider. Dividerer med (-7). IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 16 av 18
Innsatt i II: x = 13 3y x = 13 3. 3 x = 13 9 = 4 Løsning: x = 4, y =3 Setter inn i det uttrykket vi tidligere fant for x. Sett prøve! B-2: ADDISJONS SUBTRAKSJONSMETODEN. I: 2x 4y = -8. 2 II: 7x + 8y = 104 Tanken bak denne metoden er at vi ved å addere de to venstresidene og de to høyresidene med hverandre skal ende opp med en likning med en ukjent. En av de ukjente skal «elimineres». Da må vi være litt i forkant og se for oss hvilke endringer vi må gjøre med likningene for å få til dette. Vi må bestemme oss for hvilken variabel vi ønsker å eliminere (i første omgang). Her tar jeg sikte på å eliminere y-leddet og starter med å multiplisere den første likninga med 2. Da får jeg motsatte faktorer foran y. I: 4x 8y = - 16 II: 7x + 8y = 104 11x = 88 :11 x = 8 Innsatt i I: 2x 4y = -8 2. 8 4y = -8 16 4y = -8-16 -4y = -24 :4 y = 6 Løsning: x = 8, y = 6 Adderer de to likningene. Løsningen bekreftes ved å sette prøve. Husk at du må sette prøven på begge de opprinnelige likningene. ET PAR SPESIELLE TILFELLER I: 2x + 3y = 6 II: 4x + 6y = 12 :2 I: 2x + 3y = 6 II: 2x + 3y = 6 I: x + y = 4 II: 2x + 2y = 6 :2 Når vi deler likning II med 2, ser vi at likningene er identiske. Vi kan si at vi egentlig bare har en likning. Det betyr at likningssettet har uendelig mange løsninger. Hvis vi framstiller dette grafisk, vil vi se at grafene blir liggende på hverandre. Vi dividerer likning II med 2. I: x + y = 4 Dette ser vi, kanskje, er umulig å finne løsninger til. (Summen av de II: x + y = 6 variable kan jo ikke være både 4 og 6!) Det vi si at likningssettet ikke har løsninger. Grafisk vil vi se to grafer som er parallelle, ingen felles punkter (løsninger). Et likningssett med to ukjente kan ha en, ingen eller uendelig mange løsninger! IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 17 av 18
EGNE NOTATER IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, 16.11.2016. Side 18 av 18