Matematikk Forklaringer, oppgaver og bruksområder

Matematikk Forklaringer, oppgaver og bruksområder Tommy Odland Innhold Til leseren... Forklaringer... 3 Tall og algebra... 3 Måling... 6 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk... 7 Funksjoner... 8 Treningsoppgaver... 0 Tall og algebra... 0 Måling... 3 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk... 4 Funksjoner... 5 Blandede oppgaver... 6 Oppgaver basert på tidligere eksamener... 6 Utfordringer... Bruksområder... Programmering... Energi i tyngdefeltet... 7 Termodynamikk... 8 Beviser og forklaringer... 9 Hva er pi?... 9 Arealet av en sirkel... 30 Et tall opphøyd i 0 er lik... 3 Pytagorassetningen... 3 Kvadratsetningene... 3 Fasit... 33 Tall og algebra Fasit... 33 Måling Fasit... 34 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk Fasit... 35 Funksjoner Fasit... 35 Oppgaver basert på tidligere eksamener Fasit... 37 Utfordringer Fasit... 43 Side

Til leseren Formål Målet er at dette heftet skal være () en ressurs for mentorer som arbeider med ENT3R prosjektet, og () til hjelp for elever som vil lese og lære selv. Heftet inneholder fem hovedseksjoner, de er:. Forklaringer korte, konsise forklaringer av pensum for 0. klassinger (og noe utenfor pensum). Treningsoppgaver oppgaver med stigende vanskelighetsgrad, også basert på pensum 3. Blandede oppgaver blandede oppgaver, basert på tidligere eksamener for 0. klassinger 4. Bruksområder her vises noen bruksområder for matematikken, det meste er utenfor pensum 5. Beviser og forklaringer «svake» beviser og forklaringer på konsepter som kan være vanskelige Heftet er hovedsakelig basert på pensum for 0. klassinger, men inneholder også mye informasjon som ikke er en del av pensum. Det antas derfor at heftet kan brukes av elever på videregående skole også, alt etter hvilken matematikk disse elevene tar og ferdighetsnivået til den enkelte eleven. Hvorfor lære matematikk? Ofte mener elever at matematikk ikke har bruksområder i den virkelige verden. Det er forståelig at elever tror dette, men det er ikke riktig. Vi bruker tall til å kvantifisere verden rundt oss, det vil si å sette en tallverdi på noe. Vi bruker blant annet tall for å beskrive tid, lengde, temperatur og hastighet. Kan du se for deg en verden der vi ikke bruker tall? Noen yrkesgrupper som bruker matematikk er: Lærere -Lære bort matte, fysikk, planlegge Kjemikere -Regne på kjemiske reaksjoner Programmerere -Algoritmedesign, grafikk Aksjemeglere -Risikoanalyse, statistikk Økonomer -Renter, kredit/debit Geologer -Tallfeste egenskaper til bergarter Designere -Geometri, det gylne snitt Leger -Modeller for bakterievekst, dosering Investorer -Profittanalyse, risiko Sykepleiere -Dosering av medisiner, nedbrytning Statistikere -Tallfeste sammenhenger Arkitekter -Geometri, optimalisere varme og plass Selv om du ikke har lyst til å jobbe med noe av det overnevnte, er det allikevel nyttig å lære litt matte slik at du kan ivareta din egen personlige økonomi i fremtiden og lære å tenke logisk og løse problemer. Hvordan bør jeg lære matte?. Husk at det tar tid å bli god i matte. Det er en modningsprosess, så ikke fortvil dersom du gjør feil, eller føler at du ikke får det til. Alt er vanskelig når du ikke kan det, og alt virker lett i etterkant.. Prøv å forstå hvorfor formler er slik de er, det vil si prøv å forstå utledningen til en formel. I andre fag er du nødt til å pugge en god del, i matematikk er det en fordel hvis du forstår i stedet for å pugge. 3. Gjør oppgaver. Du må gjøre mange oppgaver for å bli flink. Ta deg god tid, les oppgavene flere ganger, skriv ned hva du vet, og hva du skal finne. Dersom du kan lage en tegning er det en fordel om du gjør det. 4. Bruk internett. Du har tilgang til nesten all informasjon via internett. Bruk de ressursene du har tilgang til youtube, wikipedia, dataprogrammer, osv. u t α u = 0 Side

Varmeoverføring i naturen er styrt av differensiallikningen ovenfor. Du lærer ikke om differensiallikninger i dette heftet, men du lærer litt om varmeoverføring, og litt om funksjoner som du må kunne når du skal lære om differensiallikninger. Forklaringer Tall og algebra Regnerekkefølge Regnerekkefølgen er:. Parentes. Potenser 3. Multiplikasjon og divisjon 4. Addisjon og subtraksjon Et eksempel: ( + 3 ) (5 8) + 3 5 + 8 + 8 5 + 8 4 + 6 5 + 8 3 Potenser Dersom du har 0 000 kroner i banken, med en rente på 3%, har du etter år: Etter 0 år har du: 0000kr,03 = 0300kr 0000kr,03,03,03,03,03,03,03,03,03,03 = 3439kr Dette blir tungvint å skrive, så vi skriver heller at: 0000kr,03 0 = 3439kr Der,03 0 betyr at,03 ganges med seg selv 0 ganger. Generelt kan vi si: Noter deg a n betyr at vi ganger a med seg selv n ganger. a n = a a a a n Vi kan utlede noen regneregler for potenser: Regel Eksempel a m a n = a m+a a a 3 = (a a) (a a a) = a a a a a = a 5 a m a a a a = am a an = = a a = a a a a (a m ) n = a m n (a ) 3 = (a a) 3 = (a a) (a a) (a a) = a 6 a 4 (a b) n = a n b n ( 3) = ( 3) ( 3) = 3 3 = 3 a n = a n a 0 = [Se forklaring] [Se forklaring] Side 3

Prosent, brøk og desimaltall Det er en klar sammenheng mellom prosent, brøk og desimaltall. La oss starte med prosent som betyr «hundredel». 0 % betyr derfor 0 / 00. La oss ta en kikk på sammenhengen: 0% = 0 00 = 0 0 0 = 0 = 5 = 5 = 0, 0% kan representeres som 0/00, /0 og /5. Den «beste» måten å skrive en brøk på er ofte den enkleste måten, dvs. når brøken ikke kan faktoriseres (reduseres) mer. Husk at a = a. Regnereglene for brøk er: ADDISJON SUBTRAKSJON MULTIPLIKASJON DIVISJON REGNEREGEL Finn fellesnevner. Pluss sammen tellerne. Finn fellesnevner. Trekk sammen tellerne. Gang sammen teller og nevner. Snu den siste brøken. Deretter gjør som multiplikasjon. EKSEMPEL 3 5 + 7 3 = 3 3 5 3 + 7 5 3 5 = 9 + 35 5 3 4 7 = 7 3 7 4 3 4 = 7 3 3 3 5 = 3 3 5 = 5 3 : 3 5 = 3 5 3 = 0 9 = 44 5 = Bokstavregning I matematikk bruker vi ofte bokstaver til å representere tall. Dette er for å utlede generelle løsninger på problemer. La oss se på et eksempel: Visste du at en sirkel med radius 3,5 har et areal på 38,48? En sirkel med radius har et areal på,57! Men hvem bryr seg egentlig om disse to spesifikke tilfellene? Det som er viktig er jo sammenhengen mellom radius og areal, denne sammenhengen er gitt ved: A = π r r = πr Nå kan vi finne arealet til en hvilken som helst sirkel, så lenge vi vet radiusen. Dette er mer verdifullt enn å vite at en sirkel med radius 3,5 har et areal på 38,48. Vi bruker bokstaver for å beskrive generelle egenskaper til tall, eller utlede generelle løsninger på problemer i fysikk og matematikk. Noter deg Vi bruker bokstaver i matematikken for å representere tall på en generell måte. Regnereglene for bokstavene (som ofte kalles variabler) er helt lik regnereglene som brukes for alle andre tall. Likninger Når vi løser en likning, løser vi for en ukjent verdi. Ofte er det vanskelig å se hva denne verdien er, så vi prøver å få den ukjente på en side. Vi kan gjøre hva som helst for å prøve å få til dette, men vi må følge en enkel regel: Vi må gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet. Formelen for areal av en sirkel er gitt ved A = πr. Løser for r: A = πr A π = πr π A π = r A π = r A π = r r = A π Noter deg Når du løser likninger, gjelder det å få den ukjente på en side av likhetstegnet. Du har lov til å gjøre hva som helst, men du må gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet. Side 4

y-aksen Likningssett Likningssett er et sett med likninger og ukjente. I 0. klasse pensum innebærer dette likninger, og ukjente. Et likningssett kan ikke løses dersom man har flere ukjente enn unike likninger. For å løse et likningssett gjør du slik:. Få en ukjent alene i en av likningene, dvs. på en side av likhetstegnet.. Sett inn i den andre likningen. Du har nå en likning med en ukjent. 3. Løs denne likningen. 4. Sett verdien du fikk inn i en av de likningene du startet med. 5. Sjekk at det stemmer. Et eksempel: Likning A: x = y Likning B: x + y = Løsning med penn og papir x + = y + Får y alene i likning A. () y = x 0 x + y = x + (x 0) = Setter inn i likning B. () x + (x 0) = Vi har nå en ukjent i en likning, løser. x + 4x 0 = 6x = + 0 x = 8 6 = 3 x = y (3) = y 6 = y y = 4 x = y x + y = Setter verdien x = 3 inn i en av likningene. (4) Vi setter inn i likning A. Sjekker at svaret stemmer. (5) x = 3 og y = 4 stemmer. (3) = ( 4) (3) + ( 4) = 6 = 6 = Grafisk løsning Vi uttrykker likningene som funksjoner. Deretter lager vi en graf. Vi ser at x = 3 og y = - 4 er løsninger på figuren. Likning A: x = y y = x 0 Likning B: x + y = y = x 5 4 3 0-5 -4-3 - - - 0 3 4 5 - -3-4 -5 x-aksen Side 5

Måling Det å kvantifisere (sette en tallverdi på) forskjellige ting er viktig både for forskere, ingeniører, og andre yrkesgrupper. Det er også viktig for mennesker i dagliglivet. Det finnes 7 fundamentale enheter, disse kalles SIenhetene (SI: Le Système international d'unités). De fundamentale enhetene er: Ampere (mål på elektrisk strøm) Kilogram (mål på masse) Meter (mål på lengde) Sekund (mål på tid) Kelvin (mål på temperatur) Mol (mål på stoffmengde) Candela (mål på lys) Alle andre enheter stammer fra disse 7 fundamentale enhetene, det vil si at de er en kombinasjon av de fundamentale enhetene. F.eks. vet du kanskje at fart måles i kilometer/time, eller meter/sekund. m/s er utledet fra meter og sekund. Areal måles i m, som er utledet fra meter ganget med meter. Noter deg En viktig sammenheng er: liter = 0,00 m 3 = 0cm * 0 cm* 0cm. liter med vann = kg Navn Verdi Med ord Kilo (k) 0 3 Tusen Hekto (h) 0 Hundre Deka (da) 0 Ti Deci (d) 0 - Tidel Centi (c) 0 - Hundredel Milli (m) 0-3 Tusendel Når vi har store eller små tall, bruker vi ofte prefikser foran tallene. Noen vanlige prefikser finner du i tabellen til venstre, du kan finne flere her. Noen eksempler: Eks. Hvor mange desiliter er det i m 3? Vi vet at L = 0,00m 3, og at L = 0 dl. Setter disse to sammen og får: 0,00m 3 = 0 dl 0,00m 3 000 = 0 dl 000 m 3 = 0000 dl Eks. En dør måler 94 cm i høyden, og 65 cm in bredden. Hva er dørens areal i m? Vi vet at m = 00cm. Vi opphøyer i andre og får (m) = (00cm) m = 0000cm Denne likningen kan vi snu på, på to forskjellige måter: = m 0000cm = 0000cm m Døren måler 94cm 65cm = 60cm. Vi bruker den første likningen over, fordi vi kan kansellere cm over og under brøkstreken: 60cm = 60cm m 0000cm = 60 cm m 0000 cm =,6m Side 6

Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk Statistikk Statistikk blir brukt til å beskrive datamengder. I statistikkfaget samler man inn, analyserer og representerer (ofte ved hjelp av diagrammer) data. Ofte ser man om det er mulig å trekke konklusjoner fra dataene. Vi må være veldig forsiktige med konklusjonene vi trekker. Hvis man f.eks. ser på sammenhengen mellom drukningsulykker og salg av iskrem, vil man finne en sammenheng men det betyr selvsagt ikke at salg av iskrem direkte påvirker drukning, eller motsatt! Gjennomsnittet sier noe om hva en typisk verdi i et datasett er. Det er definert som summen av observasjonene, delt på antall observasjoner. Hvis vi har observasjonene x, x, x 3,, x n, så er gjennomsnittet: E(x) = n x i Medianen finner man ved å først sortere observasjonene i stigende rekkefølge. Deretter finner man observasjonen som er i midten av den sorterte listen. Dersom antall observasjoner er et partall, tar man gjennomsnitt av de midterste verdiene. Et eksempel: 5, 5, 8, 5, 5, 7, 8, 6, 7, Vi sorterer verdiene og får:, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8 n i= Medianen er 5+6 = 5,5 Typetall (modus) er den observasjonen det er mest av. I eksempelet ovenfor er typetallet 5. Sannsynlighetsregning Vi starter med å definere en stokastisk variabel: en stokastisk variabel er en variabel som kan ha flere verdier. Dersom X er antall øyne på en terning etter et terningkast, kan X være {,, 3, 4, 5, 6}. Vi sier at verdimengden til X er {,, 3, 4, 5, 6}. Vi vet ikke hva X er før vi har trillet terningen. Sannsynligheten for et utfall er: P(X = x) = gunstige utfall mulige utfall La oss f.eks. se på sannsynligheten for at antall øyne på en terning er høyere enn, eller lik 5. P(X 5) = 6 = 3 Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle. La oss definere fakultet til et tall. Fakultet betegnes med «!», og betyr ganske enkelt at vi ganger med alle tall nedover til. Matematisk sier vi at: n! = n (n ) (n ) (n 3) Eksempelvis så er 5! = 5 4 3 = 0. La oss se hva fakultet kan brukes til: Anta at du har tre ting foran deg, en blyant (B), en penn (P) og et viskelær (H). På hvor mange måter kan du sortere disse 3 tingene? Det viser seg at du kan sortere 3 ting på 6 forskjellige måter: PBH PHB BPH BHP HPB HBP Du kan selv prøve med 4 forskjellige ting. Du vil se at 4 ting kan sorteres på 4 forskjellige måter. Noter deg n forskjellige ting kan sorteres på n! måter. n! uttales «n fakultet», og betyr at vi ganger n nedover til. Eksempelvis så kan 6 ting sorteres på 70 måter, fordi 6! = 6*5*4*3** = 70. Side 7

Funksjoner Funksjoner er ekstremt viktige, og har mange bruksområder. Funksjoner er kanskje den viktigste delen av mattepensum i 0. klasse. Du kan tenke på funksjoner på måter, tenk slik det passer deg: () en funksjon beskriver en sammenheng mellom to variabler (f.eks. pris og antall kjøpte varer), () en funksjon er som en maskin, vi sender noe inn, og får noe ut. La oss se på funksjoner med utgangspunkt i begge måtene å tenke på: () En funksjon er en sammenheng mellom variabler (noe er avhengig av noe annet) Du skal kjøpe kinobilletter til deg selv og vennegjengen. Prisen er avhengig av antall kinobilletter du kjøper, og prisen per kinobillett er 0 kr. Funksjonen P(b) = 0 b Er en funksjon som beskriver pris (P) som funksjon av billetter (b). Hvis du kjøper 3 billetter, blir prisen: P(3) = 0 3 = 360 P(b) betyr at prisen (P) er avhengig av antall billetter (b) (det er jo ganske logisk!). () En funksjon er som en maskin, vi sender noe inn, og får noe ut La oss se på funksjonen f(x) = x. Denne funksjonen tar et tall inn (x) og vi får et tall ut (f(x)). La oss sende inn tallet, vi får: f() = = 4. La oss sende inn flere verdier, og lage en tabell. x f(x) -4 6-3 9-4 - 0 0 4 3 9 4 6 f(x) = x^ 0 5 0 5 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 Lineære funksjoner Noter deg Lineære funksjoner er alltid på formen f(x) = Ax + B, der A og B er tall. A kalles stigningstallet, og B er skjæringspunktet med y-aksen (den vertikale aksen). En lineær funksjon ser ut som en rett linje, som vist på de tre figurene under. La oss ta en kikk på noen lineære funksjoner. Legg merke til skjæringspunktet (B) og stigningen (A). f(x) = x + 0 f(x) = x + f(x) = x 3 5 4 3 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 - -3-4 -5 5 4 3 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 - -3-4 -5 5 4 3 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 - -3-4 -5 Side 8

LØNN For å tegne en lineær graf gjør du slik: () Tegn inn et punkt på y-aksen for B (skjæringspunktet) () Gå en enhet til høyre, deretter går du opp eller ned (opp dersom A er et positivt tall, ned dersom A er negativt) en lengde A. Tegn et nytt punkt. (3) Linja som går gjennom begge punktene er den lineære funksjonen f(x) = Ax + B Lineære funksjoner et praktisk eksempel Tenk deg at du har fått jobb som selger. Når du blir ansatt, får du to alternativer for lønn: () fast lønn på 80 kroner per time, eller () fastlønn på 0 kroner timen, pluss 30 kroner per salg. Hva bør du velge? Vi kan sette opp to funksjoner for alternativene, og gjøre en liten analyse. Vi setter opp Lønn (L) som funksjon av antall salg (s), for de alternativene får vi: () L (s) = 80 og () L (s) = 30s + 0. La oss ta en kikk på funksjonene: L_(s) L_(s) 300 50 00 50 00 50 0 0 3 4 5 6 ANTALL SALG Vi ser at dersom man selger mindre enn varer per time, bør man velge alternativ (). Dersom man selger mer enn varer per time, bør man velge alternativ (). Dersom man selger akkurat varer per time, har det ikke noe å si hvilket alternativ man velger man får en lønn på 80 kroner per time uansett. Krysningspunktet kan også regnes ut uten å bruke grafen. Funksjonene krysser når de har lik verdi. L (s) = L (s) funksjonene krysser L (s) = L (s) 80 = 30s + 0 80 0 = 30s 60 30 = s = Funksjonen har altså krysningspunkt når s =, men hva er da L (s) og L (s)? Vi setter inn: L () = 80 L () = 30() + 0 = 60 + 0 = 80 Med andre ord er L (s) = L (s), når =. Og krysningspunktet er (, 80). Noter deg Selv om f(x) er den vanligste måten å skrive om en funksjon på, er det ingenting spesielt med verken f eller x - P(b) eller L(s) er også tillatt. Du velger bokstaver som beksriver problemet bra. Høyden til et tre, som funksjon av tid kan f.eks skrives h(t) eller f(x). Side 9

Treningsoppgaver Tall og algebra [Les om «Tall og algebra» før du gjør oppgavene] [Se fasit] Regnerekkefølge Regn ut: a) 5 3 + 5 = b) 36 4 + = c) 7 3 + 8 = a) ( ) 5 = b) ( ) ( 3) = c) ( ) ( ) ( ) = 3a) ( ) 5 = b) (3 5) = c) ( 5) (3 4) = 4a) 3 ( + ) = b) ( 3) (3 + ) = c) ( ) (5 7) = 5a) ( ) (4 + 6) + 3 (3 6) = b) ( 4 3) 5 ( 4) = 6a) ( 3 + 5) = b) 3 ( 3) + 3 5 = Brøk, present og desimaltall a) + = a) 3a) 4a) 5a) 5 8 4 = = 4 7 : = (3 4 + 3 ) = b) b) b) b) b) 4 + 6 = 3 5 7 0 = 3 4 = 3 4 : 4 3 = 3 (0 5 ) = c) c) c) c) 5 + 3 = 3 4 7 3 = π π = 3 : 4 = Uttrykk tallene som brøk, present og desimaltall. 6a) d) g) 0,3333 45% b) e) h) 4 90%, c) f) i) 5,75 35% Forenkling av uttrykk a) 3a + a b) a + 3a c) 3a 5a + a a) ( + a) b) 3(a + ) c) ( a + a) 3a) a + 3a + a + a b) 3a + a + 4a a c) a b a + b + a 4a) a + (a ) b) a a(3 a) c) b + 3( + b + b ) 6 5a) (a + )(a + 3) b) (a + b) c) (a b)(a + b) + b 6a) ( a)(3 + b) + ab b) ( + a)(b + ) b(a + ) c) (a + b) (a b) (ab + ) Side 0

Forenkling av uttrykk a) 5a 3a b) 5a 7 a c) (3a 7a) + 8a a) a + 3b (a + b) b) 7b + 8a + a b c) (a + b) ab 3a) a b) a b 3 c) a b 3 c 4a) 5a) 6a) 7a) a a a a 3 + a 6 a + b b(a + b) b b) b) b) b) a b a 3 b ab 4 a( a) + a 4 a b b a 3a + (6 + a) 0 c) c) c) c) ab c z b z 3 b z (a 3) 3(a ) + 3 3(a + a ) + a b a( + 4) (a + a) 8a) 3z + a (b z a) b) b (b + b) b ( 6 3 ) c) (a + b) ab( a b + b a ) Likninger med en ukjent Løs likningene. a) x = 3 6 b) 5 = y 3 c) 4 = 3 + x 8 a) z = 3 7 b) 30 = 6 y c) 56 = 3 x 3a) 30 = (0 + x) b) 0 = (y 5) 5 c) 36 = 6 (7 x) 4a) 5a) 8 x = 7 = (( 5) x) 3 b) b) y 4 = 7 30 = x + 5 c) c) x = 6 : 6 4 3y = 4 5y Side

Likninger med to ukjente. Lag grafer for likningene, løs grafisk og løs deretter med regning. I: y = x + II: y = x. Lag grafer for likningene, løs grafisk og løs deretter med regning. I: y = x 4 II: y = x 3. Lag grafer for likningene, løs grafisk og løs deretter med regning. I: y = x II: x = 4 + y 4. Løs likningssettet. I: 4x 6 = 5y II: y = x 5. Løs likningssettet. I: 3x + 6 = y II: (x + y) = 4 6. Løs likningssettet. I: xy = 6y II: 3x = + 5y 7. En kiosk selger pølser og is. En familie kjøper 3 is og pølser, og betaler til sammen 65 kroner. Den en annen familie kjøper is og pølser, og betaler til sammen 50 kroner. Hva koster en pølse? Hva koster en is? 8. For 5 år siden var Ola dobbelt så gammel som Per. I dag er Ola fem år eldre enn Per. Hvor gammel er Per og Ola i dag? 9. Du veier 5 epler og appelsiner, og vekta viser,6kg. Deretter veier du epler og 4 appelsiner, og vekta viser det samme. Hva veier eplene og appelsinene? 0. En mattelærer gir deg et matematisk problem, der du har 3 ukjente verdier og likninger. Kan dette problemet løses slik at hver ukjente har en spesifikk verdi?. Kan dette problemet løses? Prøv og forklar hva du kom frem til. Hint: Still opp som lineære funksjoner og tegn funksjonene. I: y = x + 5 II: 4x = y 0 Side

Måling [Les om «Måling» før du gjør oppgavene] [Se fasit]. Skriv som cm (centimeter) a) m b),6 m c),375 m. Skriv som m (meter) a) 3 cm b) 7 mm c),5 km 3. Skriv som m (meter * meter) a) 0 000 cm b) 7 500 cm c) 870 000 mm 4. Skriv som L (liter) a) 0,05 m 3 b) 750 cm 3 c) 0,00034 m 3 5. Skriv som km/t (kilometer per time) a) 5 m/s b) 466,66 m/minutt c) 6 mil/døgn 6. Skriv på standardform a) 300 b) 0,0 c) 47365 d) 0,0034 e) 0,0 * 0,0 c) 300 * 00 Side 3

Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk [Les om «Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk» før du gjør oppgavene] [Se fasit]. Du kaster en terning. Vi definerer A som «antall summen av antall øyne etter kastet». a. Hva er P(A > 3)? (Dvs. sannsynligheten for at summen er større enn 3) b. Hva er P(A )? (Dvs sannsynligheten for at summen ikke er lik ) c. Hva er P(A < A > 5)? (Dvs sannsynligheten for at summen er mindre enn, eller større enn 5). En boks inneholder 5 røde og grønne drops. Du trekker drops, uten å se hvilke du trekker. Hva er.. a. Sannsynligheten for at du får røde drops på rad? P(RR) b. Sannsynligheten for at du får grønne drops på rad? P(GG) c. Sannsynligheten for at du får en grønn drops, og en rød (eller motsatt rekkefølge)? 3. Du kaster terninger samtidig. a. Hvor mange mulige utfall finnes? b. Hva er sannsynligheten for å få 6ere? c. Hva er sannsynligheten for å få en sum som er større enn 0? 4. Finn gjennomsnittet og medianen til disse 3 datasettene: a., 6, 9, 7, b. 5, 4,, 6, 5,, 4 c. 5,, 4, 7, 5,,, 5 5. Lise måler temperaturen hver eneste dag fra mandag til og med lørdag. Han måler følgende temperaturer: 0, 9,, 6,, 8 Hva må han måle på søndagen, dersom gjennomsnittet av temperaturene hele uka skal være 0 grader? 6. I en dagligvarebutikk er det 3 typer tannkoster, 4 typer tanntråd og 5 typer tannkrem. Dersom du kjøper en tannkost, en tanntråd og en tannkrem, hvor mange forskjellige kombinasjoner kan du kjøpe? 7. 0 fotballag deltar i en turnering. Hvor mange kamper må minst spilles for å finne en vinner? 8. I en svømmekonkurranse er det 8 deltakere, der hver deltaker har en «bane» i bassenger. Hvor mange ulike startposisjoner kan svømmerne innta? 9. Vi har fire «ting». Vi kaller dem A, B, C og D. Disse kan sorteres på 4 forskjellige måter, f.eks ADBC, BCDA og DBCA. Lag en liste over alle 4 mulighetene. Side 4

Funksjoner [Les om «Funksjoner» før du gjør oppgavene] [Se fasit]. En funksjon er gitt ved f(x) = x +. Forklar med ord hva denne funksjonen gjør, og evaluer funksjonen for x =, x = 5 og x = -3. Dvs. regn ut f(), f(5) og f( 3).. Nedenfor ser du en liste med 6 forskjellige funksjoner. Hvilke funksjoner er lineære? Regn ut f() for alle funksjonene. f(x) = x + f(x) = x f(x) = x + 5 f(x) = 5 f(x) = x f(x) = x 4 π 3. Tegn funksjonene. Det kan være veldig nyttig å sette opp en tabell. f(x) = x g(x) = x + f(x) = x 4. Tre av de seks funksjonene nedenfor er avbildet. A) Hvilke av de seks funksjonene er lineære funksjoner? B) Klarer du å finne hvilken funksjon som passer til hvilken graf? (Tre av funksjonene er ikke avbildet) f(x) = 5 x y(x) = x + g(x) = 3x + h(x) = x z(x) = x u(x) = x 3 5 4 3 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 - -3-4 -5 5 4 3 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 - -3-4 -5 5. Tegn funksjonen f(x) = x +. Hva er f(x) når x = 5? Løs grafisk og ved regning. 6. Tegn funksjonen f(x) = x 4. Hva er f(x) når x = 0? Løs grafisk og ved regning. 5 4 3 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 - -3-4 -5 7. Tegn funksjonen f(x) = x. Hva er f(x) når x =? Løs grafisk og ved regning. 8. Registrering i en ungdomsklubb koster 00kr, pluss 50kr per måned. Lag en funksjon som viser total kostnad, som en funksjon av måneder. (Hint: f(x) er total kostnad, x er måneder) 9. En energiavtale koster 50 kroner å tegne, pluss 5 øre per kilowattime (kwh). Hva er total kostnad, som funksjon av kwh? Hva er total pris om man tegner avtalen, og bruker 00 kwh? 0. Ungdomsklubben i oppgave 4. bestemmer seg for å tilby typer medlemskap: a. Registrering for 00 kroner, pluss 50 kroner per måned b. Gratis registrering, men 60 kroner per måned Du har tenkt å være medlem i år, hva er billigst da? Hva er billigst om du har tenkt å være medlem i år?. Tegn en rettvinklet trekant. Tenkt deg at det ene katetet er lik 5cm, og at det andre katetet kan endre lengde. Da vil også hypotenusen endre lengde. Kall hypotenusen for y, det fastsatte katetet for 5 og det siste katetet for x. Lag en funksjon som viser endring i y som funksjon av endring i x. Er funksjonen lineær? Side 5

Blandede oppgaver Oppgaver basert på tidligere eksamener [Se fasit] Disse oppgavene er basert på tidligere eksamensoppgaver for 0. klassinger. De er i hovedsak basert på Del, der tillatte hjelpemidler kun er vanlige skrivesaker. Prøv derfor å løse oppgavene uten kalkulator først. Oppgavene er basert på tidligere eksamensoppgaver, men er ikke eksakte kopier det kan derfor hende at du trenger kalkulator til et par av oppgavene. Du kan finne tidligere eksamenssett her: http://www.ent3r.no/bergen/hogskolen-i-bergen/elever/. En bil kjører med en fart på 70 kilometer pr time. Hvor mange meter pr sekund kjører bilen i?. En genser koster opprinnelig 800 kroner. Det er salg, og 30 prosent tilbud. Hva er prisen nå? 3. Det tar timer og 30 minutter å løpe en spesiell type maraton. Hvor mange minutter har du løpt når du har kommet /3 av veien? 4. En hytte koster 500 kroner, uansett hvor mange mennesker som leier den. Hvilket funksjonsuttrykk beskriver prisen som funksjon av mennesker P(m)? a. P(m) = 500m b. P(m) = m 500 c. P(m) = 500 m 5. Du skal finne arealet av en sirkel med radius 0,00 m. Svaret du får er 0,0000034 m. Hvordan skriver du dette tallet på standardform? a. 3,4 0 6 b. 3,4 0 6 c. 3,4 0 5 6. En rettvinklet trekant har to kateter med lenger: A = 7 og B = 4. Hva er lengden til hypotenusen? 7. For å få god gjennomstrømning i et vannrør, må arealet av det sirkulære røret være 8 cm. Hva må radiusen være for å få god gjennomstrømning? 8. Du kaster to terninger. a. Hvor mange forskjellige utfall kan du få? b. Hva er sjansen for å få sum lik 4? 9. Regn ut uten kalkulator. a. 34 + 7 = b. 4 5 = c. *4 = 0. Mattekarakterene i en klasse ser slikt ut: 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 a. Hva er gjennomsnittskarakteren? b. Hva er medianen? Side 6

. Løs oppgavene uten kalkulator a. - = b. (-3) = c. (-) * * (-) * (-) =. En venn av deg kjøpte en jakke for 00 kroner. Du vil kjøpe en lik jakke, men når du kommer til butikken koster jakken 000 kroner. Hvor mange prosent var jakken på tilbud da vennen din kjøpte den? 3. Løs likningene. a. x * 3 = 0 b. ( x * 8 ) / 4 = 0 c. X - 6 = 0 4. Du skal ro over en elv. Bredden på elven er 8 meter. For å ikke bli tatt av strømmen må du samtidig ro deg mot strømmen. Du sikter deg 6 meter mot strømmen. Hvor langt må du ro før du kommer deg over elva? (Hint: Tegn elva) (Hint: Pytagoras) 5. Løs oppgavene uten kalkulator. a. 4 ( 3 + 5 ) = b. (3/4) + (/3) (/) = c. 5 = 6. En rettvinklet trekant består av katetene A og B, samt hypotenusen C. A = 4, B = 3. a. Hva er arealet av trekanten? b. Hva er lengden til C? 7. En terning har like lange sider. Hver side har lengde cm. (Hint: Lag tegning) a. Hva er volumet? b. Hva er overflatearealet? 8. En terning har like lange sider. Hver side har lengde a cm. (Hint: Lag tegning) a. Hva er volumet? b. Hva er overflatearealet? 9. Løs ligningssettet med regning. Ligning I: x + y = 3 Ligning II: x + 3y = 8 0. Tegn grafen til funksjonsuttrykket y = x +. En kortstokk har 5 kort. Du trekker et tilfeldig kort. a. Hva er sjansen for å trekke et rødt kort? b. Hva er sjansen for å trekke et kort med bilde? c. Hva er sjansen for å trekke en konge? d. Hva er sjansen for å trekke kløverkonge?. Det har kommet nok en reform i skolesystemet, som har bestemt at en matteeksamen skal vare i timer, 33 minutter og 3 sekunder. Bruk en kalkulator og finn ut hvor mange sekunder du har. Side 7

3. Du kan velge mellom to typer eksamen, der oppgavene er like vanskelige. a. 5 oppgaver på en time b. 40 oppgaver på to timer og 5 minutter Hvilken type eksamen gir deg mest tid per oppgave? 4. Løs likningen. (3 + x) - 4 = 5 + x 5. En dyreglad person eier 5 katter og 3 hunder. Hvor mange prosent av dyrene er hunder? a. Ca % b. Ca 38 % c. Ca 63 % 6. Hvis r er radius, og h er høyden til en sylinder. Hva er da formelen for a. Volumet? b. Overflatearealet? 7. Leger og sykepleiere bruker også matematikk. En del stoffer har halveringstid i kroppen, f.eks koffein (fra kaffe) og medisiner. Halveringstid vil si tiden før halvparten av stoffet et brutt ned av kroppen. Har man f.eks 00mg koffein i kroppen, og halveringstiden er 4 timer, har man etter 4 timer 50mg, etter 8 timer 5mg, etter timer,5mg, og så videre. a. Tegn en graf som viser koffein i kroppen (y-akse) og tid (x-akse). b. Er dette en lineær funksjon? 8. Her er to kjente formler fra elektronikken, der I = Strøm, V = Spenning, R = Motstand og P = Effekt. I = V P = I V R Vis at om dette er sant, må nødvendigvis også følgende være sant: P = V R 9. Fem kilo epler koster 90 kroner. Tre kilo pærer koster 45 kroner. Hva er billigst å kjøpe per kilo? 30. Du betaler 600 kroner for en ipod, og du har fått 0% rabatt. Hva var den originale prisen? 3. Ifølge utdanning.no får dataingeniører gjennomsnittlig en lønn på 575 000 kroner per år. Vi regner med at skatten er på 40%. Hvor mye kan en dataingeniør forvente å få utbetalt per måned? 3. Etter å ha jobbet med dette oppgaveheftet i en time og 40 minutter, har jeg kommer til oppgave 3. Jeg har tenkt å lage 50 oppgaver basert på tidligere eksamener. Anslå hvor lang tid vil det ta å lage alle de 50 oppgavene. 33. Du jobber på verksted. Sjefen din vil vite hvor mye en bolt veier, og hvor mye en mutter veier. Problemet er at alle mutterne og boltene sitter fastlåst. Du veier opp fastlåste bolter og muttere: En bolt med 3 muttere veier 74 gram En bolt med 7 muttere veier 06 gram Hvor mye veier en bolt? Hvor mye veier en mutter? Side 8

34. I vennegjengen din er høydene på deg og vennene dine følgende 58 cm 66 cm 73 cm 65 cm 78 cm a. Hva er gjennomsnittshøyden? b. Hva er medianen? c. Hva er forskjellen mellom høyeste og laveste person? 35. Gjør uttrykkene så enkle som mulig a. 6a (a + 3a) b. 3(a - 5) + (-a + 8) c. (3a + b) 36. En husvegg måler meter i høyden og 5 meter i lengden. Plankene du skal bruke til å dekke veggen er 0 centimeter i bredden, og koster 8 kroner per meter. a. Hva er arealet av veggen? b. Hvor mange meter med planke trenger du får dekke alt? c. Hvor mye vil det koste deg å dekke veggen? 37. Epler koster 50 kroner per kilo. Pærer koster 70 kroner per kilo. Et eple veier omlag 00 gram. En pære veier omlag 50 gram. a. Hvor mye koster 4 epler og 7 pærer? 38. En kalkulator koster vanligvis 800 kroner. Men du får 30% rabatt av butikken. Hvor mye får du i rabatt, og hva må du betale? Denne oppgaven regnes selvsagt uten kalkulator, da du ikke har kjøpt kalkulatoren enda. 39. Du kaster en terning. Hva er sjansen for å få en sekser? Du har to terninger, som du kaster på likt. Hva er sjansen for å få to seksere? 40. En bil kjører med farten 7 kilometer per time. Hvor langt kommer bilen på fem timer? 4. Du løper 60 meteren på 8 sekunder. Hva er farten din i meter per sekund og kilometer per time? 4. Du begynner på sprint. Første gang du løper 300 meter klarte du det på et minutt. Hva var farten din i meter per sekund? Treneren sier at etter et halvt år med hard trening er det vanlig å redusere tiden med 0 prosent. Hva er tiden din da? Hva blir farten din da? 43. Du får oppgitt følgende tabell. x Y 0 - - 3 7 Hvilken funksjon representerer denne tabellen? a) Y = x b) Y = x c) Y = x + Side 9

44. I en 30 60 90 trekant er det korteste katetet lik 3. a. Hva er lengden til hypotenusen? b. er lengden til det lengste katetet? 45. To kaster to terninger. Hva er sjansen for at summen av øynene er større en, eller lik, 8? (Hint: Tegn opp tabell som viser alle utfall) 46. Sorter tallene i stigende rekkefølge: 5 π 7 9 7 47. En sirkel har et areal på π,5,5. Hva er diameteren til sirkelen? 48. Du har grønne drops og 4 røde drops i en bolle. a. Du tar en tilfeldig drops. Hva er sjansen for å ta en grønn? b. Du har drops. Hva er sjansen for å ta begge de grønne? 49. Skriv de neste to tallene i Fibonacci-tallfølgen 3 5 8 3 50. En pizza har en diameter på 40 centimeter, og en høyde på centimeter. Et pizzastykke er /6 av pizzaen. Hva er volumet til et pizzastykke? Side 0

Utfordringer Nedenfor er noen utfordrende oppgaver. [Se fasit]. Summen av de 0 første positive heltallene er lik 55: + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 55 Hva er summen av de 00 første positive heltallene? + + 3 + + 00 =?. En bensinstasjon har tre forskjellige tilbud for kaffe: a. Kunden betaler 0 kroner for hver kaffekopp. b. Kunden betaler 50 kroner for et kaffekort, og 5 kr per kaffekopp. c. Kunden betaler krone for første kaffe, kroner for neste, deretter 3 kroner, osv.. Hva er billigst dersom man kjøper 0 kaffekopper? Hva er billigst dersom man kjøper 5 kaffekopper? Hva er billigst dersom man kjøper 50 kaffekopper? 3. 0 ukjente personer møtes på en fest. Hvor mange håndtrykk må til for at alle skal hilse på alle? 4. I en fotballturnering er det 37 påmeldte lag. Hvor mange kamper må minst spilles for å finne en vinner? 5. Tallrekka + + + + + + + kan skrives på denne måten: 4 8 6 3 64 n = 0 + + + 3 + 4 + n n=0 Hva blir summen av rekka dersom vi lar n gå mot evig? Med andre ord: hva blir summen dersom vi tar med evig mange ledd? 6. Vi har fem bokstaver: A, B, C, D og E i en boks. Vi trekker ut alle fem i en tilfeldig rekkefølge. På hvor mange forskjellige måter kan vi trekke ut A, B, C, D og E? 7. Dersom man kaster tre terninger, er den laveste summen + + = 3 og den høyeste er 6 + 6 + 6 = 8. Noen summer kan man få på flere måter, f.eks. gir både 4 + 5 + 5 og 5 + 5 + 4 summen 4. Du har tre terninger, og kaster dem på likt. Hvor mange utfall gir en sum som er over 5? 8. Gitt at A D, D G, E H. Hvilken melding skuler seg i teksten: Gy hu iolqn l pdxxh 9. Løs ligningssystemet nedenfor, som inneholder 3 ukjente verdier, og 3 likninger. I: x + 4y z = 8 II: 3x y + z = III: x + 3y + z = 5 Side

Bruksområder Programmering Datamaskiner har utallige bruksområder i dagens samfunn, og det kan være veldig nyttig å kunne litt programmering. I tillegg er programmering veldig gøy når du forstår hvordan det fungerer. I denne seksjonen vil vise litt programmering med programmeringsspråket Python (oppkalt etter Monty Python). Python er ganske lett å lese og forstå, og brukes i stor grad til vitenskapelige utregninger. For å følge denne seksjonen anbefales det at du kjører eksempelkoden min, og prøver å skrive litt kode selv. Installer Python Gå til http://winpython.sourceforge.net/ og installer WinPython.x.x til din datamaskin, enten 3 bit eller 64 bit. I mappen du har installert åpner du programmet Spyder. Dersom du ikke ønsker å installere Python, kan du kjøre programmer på nettet her: http://www.compileonline.com/execute_python_online.php http://repl.it/languages/python For å kjøre et program i Spyder, trykker du F5 tasten, eller klikker på den grønne pilen oppe til venstre. La oss ta en kikk på et enkelt program! Kopier gjerne programmet inn i Spyder og kjør det. Et enkelt program # -*- coding: utf-8 -*- #En linje som starter med # er en kommentar, og tolkes ikke #når vi kjører programmet. #Slik printer vi ut tekst print 'Mitt første program!' #a, b og c er variabler med tallverdier a = b = 3 c = a + b print c #Hva tror du c er lik? Side

Areal av sirkel i Python # -*- coding: utf-8 -*- #Vi skal definere en funksjon som gir oss arealet av en sirkel, #når vi sender inn en radius til funksjonen. Husk A(r) = pi * r * r def areal_av_sirkel(radius): #Alle linjene i funksjonen må ha en 'tab' i starten pi = 3.45965359 areal = radius * radius * pi #Vi sender arealet tilbake return areal #Vi bruker ikke 'tab' lengre, fordi vi er ute av funksjonen #La oss teste funksjonen med tallene, 5, og 0 print areal_av_sirkel() print areal_av_sirkel(5) print areal_av_sirkel(0) Klarer du å lage en funksjon som ganger et tall med seg selv? Gjennomsnitt i Python # -*- coding: utf-8 -*- #Det er mulig at vi skal dele med heltall, da er det alltid lurt å #importere divisjon i starten av programmet. Vi gjør det slik: from future import division #Vi skal definere en funksjon som tar en liste med verdier, og #returnerer gjennomsnittet av verdiene. Husk at gjennomsnittet #er summen av verdiene, delt på antall verdier def gjennomsnitt(liste): summen = sum(liste) #sum() er en innebygget funksjon, som finner summen antall = len(liste) #len() er en innebygget funksjon, som finner lengden gjennomsnitt = summen / antall return gjennomsnitt #Slik definerer du en liste i python enlistemedtall = [,,3,5,3,8,9,,3] #La oss printe resultatet av funksjonen, når vi sender inn lista print gjennomsnitt(enlistemedtall) Listen kan selvfølgelig være mye lengre. Min datamaskin brukte 0,36 sekunder på å finne gjennomsnittet av en million tall. Resultatene fra en nasjonal matteprøve ved en skole var: [3, 4, 6, 5, 4, 4, 4, 6, 4, 5, 3, 4, 4, 4, 6, 4, 4, 3, 3, 3,, 4, 4, 4, 3, 4, 3, 3, 4, 3, 5,, 4, 5, 4, 4, 3, 5, 3, 5, 4, 5, 4, 3, 4,, 3, 6,, 5, 4, 3, 6, 3, 3, 3,, 4, 3, 3, 4, 3,, 4, 5, 4, 3,, 5,, 5, 4,, 4, 3] Klarer du å bruke Python til å finne ut hvor mange elever som tok prøven, og hva gjennomsnittskarakteren var? Side 3

Mer om lister i python # -*- coding: utf-8 -*- #Vi kan lag en tom liste slik tomliste = [] #Deretter kan vi legge til et tall tomliste.append() print tomliste # Print gir: [] #Vi kan legge til en ny liste i listen vår nyliste = [, 3, 4, 4] tomliste.extend(nyliste) print tomliste # Print gir: [,, 3, 4, 4] #Vi kan telle antall av et element slik print tomliste.count(4) # Print gir: '''Dette er kommentar som kan gå over flere linjer! Nå skal vi lage noen lister dynamisk''' #Denne listen inneholder heltall = [i for i in range(, 0)] print heltall # Print gir: [,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] talliandre = [i*i for i in range(,0)] print talliandre # Print gir: [, 4, 9, 6, 5, 36, 49, 64, 8] Legg merke til at range(, n) går opp til det siste tallet, men inkluderer det ikke. Klarer du ved hjelp av Python å bevise at summen av + + 3 + + 00 = 338350? Dersom du klarte utfordringen ovenfor, er det enda et utfordring til deg. Her er en liste over de 00 første desimaltallene i pi: [, 4,, 5, 9,, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3,, 3, 8, 4, 6,, 6, 4, 3, 3, 8, 3,, 7, 9, 5, 0,, 8, 8, 4,, 9, 7,, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5,, 0, 5, 8,, 0, 9, 7, 4, 9, 4, 4, 5, 9,, 3, 0, 7, 8,, 6, 4, 0, 6,, 8, 6,, 0, 8, 9, 9, 8, 6,, 8, 0, 3, 4, 8,, 5, 3, 4,,,, 7, 0, 6, 7, 9] Klarer du få finne ut hvilket tall som dukker opp flest ganger? Side 4

Numeriske metoder i Python Noter deg En analytisk løsning kan gjøres med penn og papir. En numerisk løsning krever en datamaskin. I virkeligheten må vi ofte bruke numeriske metoder for å løse en likning. Vi kan løse likninger på måter: () analytisk eller () numerisk. Likningen x 4 = 0 kan løses analytisk. Når vi løser en likning analytisk samler vi den ukjente på en side. La oss ta en kikk på en vanskeligere likning: x 4x = 0 Det er umulig å få x på en side men vi kan allikevel gjette. Dersom vi prøver med x = 4 ser vi at dette er en løsning på likningen, men det finnes løsninger. Ta en kikk på grafen til funksjonen f(x) = x 4 : 4.00.00 0.00 8.00 6.00 4.00.00 0.00 -.000.00.00.00 3.00 4.00 5.00 6.00-4.00-6.00 Grafen har like mange nullpunkter som x 4x = 0 har løsninger. Vi kan lage et program i Python som løser denne likningen. Logikken er slik:. Vi starter på x =, og hopper en distanse D til venstre (f.eks D = ) a. Dersom funksjonen er positiv, har vi gått for langt vi hopper D/ til høyre. b. Dersom funksjonen er negativ, hopper vi D/ videre til venstre. Side 5

# -*- coding: utf-8 -*- #Vi henter inn divisjon from future import division #Vi definerer startverdiene våre x = f = **x - 4*x D = while f < -0.000 or f > 0.000: #Koden fra nå av vil kjøre helt til f(x) er nær null if f < 0: #Dersom funksjonen er lavere enn null x = x - D #Trekker vi fra verdien D i x if f > 0: #Dersom funksjonen er høyere enn null x = x + D #Legger vi til verdien D i x f = **x - 4*x #Vi regner ut f(x) på nytt med ny x-verdi D = D/ #Vi halverer verdien D print 'f(x) = {} når x = {}'.format(f, x) #Vi printer ut info Vi får x = 0.3099 som svar, noe som stemmer bra. Dersom du forsto dette eksempelet, er du veldig flink. (Dersom du ikke forsto det kan du trøste deg med at det er langt over ungdomsskolenivå.) Prøve å finn løsningene til likningen 3 x 8x = 0. Dersom du liker programmering, kan du lese mer om Python her https://docs.python.org//tutorial/. Om du leser fra kap til og med kap 5 kan du allerede veldig mye. Side 6

Energi i tyngdefeltet Termodynamikkens første lov sier at energi ikke kan forsvinne eller bli skapt, den kan bare endre form. Basert på dette kan vi utlede en formel, som vi kan bruke til å regne på energi i tyngdefeltet. Når vi bruker denne formelen, ser vi bort ifra all friksjon, luftmotstand, etc. Kinetisk energi er «fartsenergi», og er gitt ved: KE = mv Potensiell energi er potensialet som et legeme har ved en viss høyde, gitt ved: PE = mgh Energien i tyngdefeltet består av kinetisk energi (farten) og potensiell energi (høyden), og er alltid lik: E = E KE + PE = KE + PE mv + mgh = mv + mgh Høyden (h) kan være målt fra hvor som helst, men vi må bruke samme utgangspunkt for høyden på begge sider av likhetstegnet. Massen (m) finnes i alle ledd, vi kan derfor dele på massen i alle ledd og kvitte oss med m, dersom massen ikke endrer seg. Gravitasjonen (g) er konstant lik 9,8 m/s på jordkloden. Farten (v) betegnes med v på grunn av det engelske ordet velocity (fart). Eks. En stuper hopper fra 5 meteren, hva er farten til stuperen når han treffer vannet? Løsning: Vi setter basen for høyden vår på vannflaten. I starten har vi ingen fart (kinetisk energi), men vi har potensiell energi. Når stuperen treffer vannet har han ingen potensiell energi (vi valgte h = 0 på vannet), men han har kinetisk energi. mv + mgh = mv + mgh mgh = mv Massen er lik før og etter, så vi kan dele på m. Deretter snur vi likningen for løser for v. Eks. v = gh = 9,8 5 = 9,9 m/s En syklist har en startfart på m/s (43, kilometer / time). Han sykler til starten av en bakke (se bildet på toppen av denne siden) og slutter å gi fart når han når bakken, hvor langt opp kan han komme før han triller bakover? Løsning: Vi setter basen for høyden før bakken. Syklisten har da kinetisk energi før han når bakken, men ingen potensiell energi. Rett før han triller bakover har han ingen kinetisk energi, men han har potensiell energi. mv + 0 = 0 + mgh h = v g = 9,8 = 7,34m Side 7

Termodynamikk Termodynamikkens første lov sier at energi verken kan forsvinne, eller bli skapt. Energi er med andre ord bevart, men endrer form (f.eks. fra elektrisk energi til varmeenergi i en varmeovn). Alle stoffer har en tallverdi som kalles spesifikk varmekapasitet. Et stoffs spesifikke varmekapasitet er hvor mye energi man trenger for å varme kg opp med grad celcius. Grunnen til at det føles kaldere å sitte på en steinbenk kontra en trebenk, selv om begge har samme temperatur, er fordi stein har høyere spesifikk varmekapasitet. Det kreves med andre ord en del energi for å varme steinbenken opp til kroppstemperatur, og denne energien kommer fra kroppen til personen som sitter på benken. Energi måles i Joule, der en Joule er energimengden man brukes hvis man utøver en kraft på Newton langs en distanse på meter. Eks. Se for deg at vi har en bøtte med vann, som inneholder 30 L vann, med en temperatur på 90 grader celsius. Bøtta står i et varmeisolert rom som måler 5m x 5m x m. Romtemperaturen er 8 grader celsius. Når systemet (rommet og bøtta) oppnår samme temperatur, hva vil temperaturen til rommet og vannet være? Luft har en massetetthet på,4kg/m 3, og en spesifikk varmekapasitet på 005 J/(kg*C). Vann har en spesifikk varmekapasitet på 480 J/(kg*C). E før = E etter E vann + E luft = E vann + E luft m v c v T v + m l c l T l = m v c v T + m l c l T m v c v T v + m l c l T l = T ( m v c v + m l c l ) T = m vc v T v + m l c l T l ( m v c v + m l c l ) Vi må finne massen til vannet, og massen til luften. Siden L vann har en masse på kg, er massen til vannet lik 30kg. Massen til luften regner vi ut slik: Vi kan nå sette inn verdier og løse for T: T = m l = (5m 5m m),4 kg m 3 = 6kg 30 480 90 + 6 005 8 (30 480 + 6 005) = 66, C Merk deg at dersom du utfører et slikt eksperiment, vil temperaturen neppe nå 66, C, fordi energi vil også forlate rommet. Gjenta mine utregninger, men gjør to endringer: Bruk et overslag på rommet du befinner deg i, i stedet for 5m * 5m * m. Tenk deg at i stedet for en stor bøtte, så har du en kaffekopp med 0, liter vann. Virker svaret realistisk? Alt etter hvor stort rommet er, får du nok et svar på mellom 0,5 og grader. Side 8

Beviser og forklaringer Hva er pi? Pi er rett og slett forholdet mellom diameteren (d) og omkretsen (O) til en sirkel. Dette er definisjonen av pi: π O d Legg merke til at vi bruker tegnet i stedet for «=». Det nye tegnet betyr at det er en definisjon, og ikke et resultat fra som stammer fra andre utregninger. Skolebøkene liker å gange denne definisjonen med d på begge sider, vi får da: O = dπ = rπ Dette fordi d = r (diameteren er alltid det dobbelte av radiusen). Den kjente formelen O = rπ er altså bare et resultat av å snu rundt på en definisjon. La oss gå tilbake til tallet pi. Det rare med pi er at det er et irrasjonelt tall, det vil si at det ikke kan uttrykkes som en brøk. Videre er det et transcendentalt tall, noe som betyr at det ikke kan uttrykkes med hjelp av f.eks en kvadratrot. Hvordan regner vi ut desimaltallene i pi? Den enkleste måten er å tegne et stor, pen sirkel på et ark. Mål omkretsen til sirkelen, mål deretter diameteren. Du får nok noe som ligner på 3,4. For de aller fleste praktiske bruksområder er 3,4 nøyaktig nok. Dersom du ønsker å finne ut flere desimaler, kan man bruke en datamaskin. F.eks kan det være interessant å vite at: π = 4( 3 + 5 7 + 9 + 3 ) Dersom vi forsetter med evig mange ledd, ender vi opp med pi! Det viktigste å huske er at pi ikke er et magisk tall, det er kun forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel. For de aller fleste praktiske formål holder det med et par desimalverdier av pi, det kan allikevel være interessant å vita at det finnes matematiske metoder for å regne ut millioner av desimaltall. Side 9

Arealet av en sirkel Ta en kikk på bildet til venstre. Vi deler en sirkel opp i «kakestykker», dersom vi har 8 kakestykker (slik som på bildet) ligner det litt på en sirkel. Desto flere kakestykker, desto mer ligner det på en sirkel. Arealet av et kakestykke er A k = s h Hvor mange kakestykker har vi? Vi vet at lengden s, ganget antallet, er lik πr dersom vi har veldig mange kakestykker. Vi skriver dette som en formel: s a = πr For ryddighetens skyld snur vi på formelen over, og løser for antall: a = πr s Hva er arealet av en sirkel? Arealet til et kakestykke, ganget med antall kakestykker(nå kakestykkene er veldig små)! Den ant siste likheten kommer av at r = h. A sirkel = A k a = ( s h ) (πr ) = πrh = πrr = πr s Enda et bevis Vi arrangerer kakestykkene slik som bildet til venstre viser. Dersom du tar store kakestykker, stemmer det ikke veldig godt. Desto mindre kakestykker du velger, desto lettere er det å forstå og se at arealet blir lik πr. Høyden i parallellogrammet lik r, omkretsen er lik πr men siden bunnen av parallellogrammet er halvparten av omkretsen, er bunnen av parallellogrammet lik πr. A sirkel = A parallellogram = lengde høyde = πr r = πr Side 30

Et tall opphøyd i 0 er lik Når vi introduserer potenser, introduserer vi det ofte som «et tall a oppnøyd i n er lik a ganget med seg selv n ganger». La oss sette opp en tabell, og lete etter et mønster. Målet et å prøve å finne ut hva a 0 er. a 3 a a a a a a a a a 0? a? a? Det ser ut som om vi deler med a nedover. For å gå fra øverste kolonne og nedover deler vi med a. F.eks: a a a a = a a Vi fortsetter med denne tankegangen. Og vi vet at a =, da kan vi fylle ut hele tabellen slik: a a 3 a a a a a a a a a 0 a a a a a Pytagorassetningen Det beste beviset er nok å studere denne figuren. Husk at vi prøver å bevise at a + b = c Dersom du ikke ble overbevist, kan du gå på Youtube og se disse videoene: Visual Proof of the Pythagorean Theorem Pythagoras in 60 Seconds Side 3

Kvadratsetningene Kvadratsetningene er 3 nyttige regler, de er: Navn Formel Første kvadratsetning (a + b) = a + ab + b Andre kvadratsetning (a b) = a ab + b Tredje kvadratsetning eller konjugatsetningen (a + b)(a b) = a b La oss første se på et eksempel. Det blir din oppgave å vise at andre kvadratsetning og tredje kvadratsetning også stemmer - vi ser på den første kvadratsetningen her: La oss begynne med regnestykket 5 5 = 5. Husk at a og b bare er tall. Vi skriver om regnestykket, er du enig i at 5 = 4 +? La oss sette inn: 5 5 = (4 + ) (4 + ). Nå ligner regnestykket på første kvadratsetning, der a = 4 og b =. La oss se om regelen stemmer: (a + b) = a + ab + b = (4 + ) = 4 + 4 + = 6 + 8 + = 5 Prøve selv med noen andre tall, og se om dette stemmer. Du vet f.eks at 6 6 = 36. Skriv om slik at 6 = 4 +, og følg regelen se om du får 36. Her er et grafisk bevis for første kvadratsetning, hentet fra Wikipedias artikkel om kvadratsetningene: I et kvadrat vil side side = areal. Her er sidene lik (a + b). side side = (a + b) (a + b) = a + ab + ab + b = a + ab + b Matematikken stemmer, og du kan se at det stemmer med tegningen også. Side 3

Fasit Tall og algebra Fasit [Gå til oppgavene] Regnerekkefølge a) 7 b) c) - a) -5 b) 6 c) -4 3a) -0 b) 30 c) -60 4a) b) -5 c) 4 5a) -9 b) 4 6a) 0 b) 3 Brøk, prosent og desimaltall a) b) 3/8 c) /5 a) /8 b) (/0) c) (9/) 3a) b) /6 c) 4a) 8/7 b) 9/6 c) 8/3 5a) 9/8 b) 6a) 0,5 = 50% b) 0,5 = 5% c) 0, = 0% d) 33% = /3 e) 9/0 = 0,9 f) 75% = 7/4 g) 0,45 = 9/0 h) 0% = /0 i),35 = 7/0 Forenkling av uttrykk a) 5a b) a c) -a a) 4 + a b) -3a - 3 c) -a 3a) 3a + 5a b) a + a c) 3a a + b 4a) 4a - 4 b) 3a 3a c) 4b + 3b 5a) a + 5a + 6 b) a +ab + b c) a 6a) ab + b 3a + 6 b) a + c) ab - 4 Forenkling av uttrykk a) a b) (3/)a c) 0 a) -b b) 0a + 6b c) a + b 3a) a b) b c) abc 4a) / a b) a / b c) 5a) a / b) (5a a ) / 4 c) 3a - 7 6a) (a + b) / (ab) b) (a b )/(ab) c) (3b+3ab+)/b ELLER 3+3a+(/b) 7a) ab b) a+ c) 0 8a) 4a b + 5z b) 0 c) ab Likninger med en ukjent a) 7 b) 8 c) 9 a) b) 5 c) 7 3a) 5 b) 5 c) 4a) 4 b) 8 c) 5a) -4 b) 5 eller -5 c) -3 Side 33

Likninger med to ukjente. y = 5 og x = 3. y = 4 og x = 4 3. y = -3 og x = - 4. y = og x = 4 5. y = 0 og x = - 6. y = - og x = -3 7. Is koster 5kr, og pølser koster 0kr. 8. Ola er 5 år, Per er 0 år. 9. Epler veier 00 gram (0, kg), appelsiner veier 300 gram (0,3 kg) 0. Problemet kan ikke løses. For at problemet skal være løselig, trenger vi minst like mange unike likninger som ukjente.. Problemet kan ikke løses. Vi har likninger og ukjente, men likningene er ikke unike de inneholder samme informasjon. Alle x og y verdier som tilfredsstiller y = x + 5 er løsninger. Det finnes evig mange løsninger. Måling Fasit [Gå til oppgavene]. Skriv som cm (centimeter) a) m = 00 cm b),6 m = 60 cm c),375 m = 37,5 cm. Skriv som m (meter) a) 3 cm = 0,3 m b) 7 mm = 0,007 m c),5 km = 500 m 3. Skriv som m (meter * meter) a) 0 000 cm = m b) 7 500 cm = 0,75 m c) 870 000 mm = 0,87 m 4. Skriv som L (liter) a) 0,05 m 3 = 50 L b) 750 cm 3 = 0,75 L c) 0,00034 m 3 = 0,34 L 5. Skriv som km/t (kilometer per time) a) 5 m/s = 54 km/t b) 466,66 m/minutt = 8 km/t c) 6 mil/døgn = 90 km/t 6. Skriv på standardform a) 300 = 3 *0 b) 0,0 = * 0 - c) 47365 = 4,7365 * 0 4 d) 0,0034 = 3,4 *0-3 e) 0,0 * 0,0 = 4 * 0-4 c) 300 * 00 = 6 * 0 4 Side 34