4 Ukeoppgaver, ke 4, i Matematikk, Sbstitsjon. Fasit, Sbstitsjon. Oppgave a) Med = +4er = slik at d d = d =d. Dermed kan faktorene d i integralet erstattes med d, mens + 4 inne i parentesen erstattes med : ( +4) 4 d= 4 d = 5 5 + C = 5 ( +4) 5 + C b) Med = + er = så d = d. Dette står ikke helt ferdig i integranden, med fra telleren og d er tilsammen d. Vedå dividere d med får vi d = d, så d settes inn for d, mens nevneren erstattes med : + d = ln + C = ln + + C c) Med =,er = slik at d/ d, ogd står ferdig i integranden ved åta en som er første faktor og slå sammen med d: e / e d = e + C = e / + C d) Med =ln() er =/ slik at d// d = d/ som er ferdig i integranden etter en liten omskriving: Oppgave ln() ln() / d = / + C = ln()+c a) = + gir d = d som kan omformes til d = d (siden d står ferdig i integranden). Sbstitsjon også i grensene: Øvre grense, ØG, = + = og nedre grense, NG, = +=: + d = ] = 6 (7 8) = 9 6 b) Med = erd =d d/, NG = =,ØG= =5: 5 ( ) d = ] 5 4 = 4 5 4 = 4 = 6 5 c) Med =πt er d =πdt dt = d, NG=π =,ØG=π π = π:...= π π sin() d = π cos()]π = ( cos(π) ( cos())) = π π ( ( ) + ) = π
Ukeoppgaver, ke 4, i Matematikk, Sbstitsjon. 5 d ) Setter =sin(), d =cos() d, NG= sin() =, ØG = sin(π/4) = /: π/4 sin (t) cos(t)dt = / d = ] / = ( ) ( ) / = = = e) =, d = d d =d,øg= =,NG= 4 =. Dessten er = : 4 + d= + + d =ln + ] =ln() ln() =ln9/4 Oppgave Vi behøver ikke tføre integrasjonene først, at derivasjon og integrasjon er motsatte regnearter er i denne sammenheng slik (Fndamentalsetningen i analysen, del, (læreboka s. 66, formel (7)): a) F () = b) G () = sin() c ) Brker kjerneregelen med H() = et dt, medh () =e,og = med () = H () =H () = e = e( ) = e : Oppgave 4 Formelen for linearisering er P () =f(a)+f (a)( a). Her er a =4,mensf må erstattes med F. Vi har at F (a) =F (4) = 4 4 e t /t dt =, siden øvre og nedre grense er like. Vi finner F () ved fndamentalsetninfen for analysen (del ) direkte som integranden, med t erstattet med, så F () =e /. Dermed er F (a) =F (4) = e 4 /4=e /4=/4. Dette gir lineariseringa P () =+ 4 ( 4) P () = 4 Inærhetenav =4erP () F (). For =6får vi F () P (6) = 4 6 =/ =.5 (Vi kan regne t F (6) ved nmerisk integrasjon, f.eks. i Maple. Vi finner da F (6) =.58.) Oppgave 5 Siden et integral med samme verdi i øvre og nedre grense er, og e = =girdirekte innsetting et ( ) ttrykk. Vi kan da brke L Hopitals regel. Telleren er en integralfnksjon med integranden som derivert: Oppgave 6 lim cos(t ) dt e = ( ) L Hopital cos( ) = lim e = cos() e = = a ) Sbstiter med = +, som gir d = d d = d som står ferdig i integranden: ( +) d = d = +C = +C = ( +) + C
6 Ukeoppgaver, ke 4, i Matematikk, Sbstitsjon. b) =, som gir d =d d = d: e e d = e + C = e + C c) cos() =cos () cos () = + cos(). Sbstiter etterhvert med =, d/ =d: cos () + cos() d + cos() = + cos() d = + 4 sin()+c = + 4 sin()+c Oppgave 7 a) = +,d =d, ØG: = +=ogng: = +=: + d = ln ] = (ln() ln()) = ln() b ) Setter =+cos(t), d = sin(t) dt, ØG=+cos(π/) = + /, NG = + cos() = : π/ sin(t) / +cos(t) dt = d = ln ]/ =ln() ln(/) = ln(4) ln() = ln(4/) c) Viharatsin (t) = cos (t), og dermed sin 5 (t) =sin (t)sin (t)sin(t) =( cos (t)) sin(t). Setter =cos(t), d = sin(t) dt, ØG=cos(π/) =, NG = cos() = : π/ sin 5 (t) dt = ( ) d = + 4 d = + ] 5 5 = 8 5 d) = ( e ln()) = e ln(). =ln(), d =ln()d, ØG=ln(),NG=ln(): ln() ] ln() ln() e d = ln() e = ln() eln() ln() e = ln() e ) Sbstiter med =sin() som gir d =cos() d. NG: = sin() =. ØG:= =sin(π) =: π cos() e sin () Når nedre og øvre grense er like er integralet nll! e d = Merk at d ikke klarer å regne t e d med antiderivasjon, dette er ingen elementær fnksjon. Likevel ble det enkelt i dette tilfellet. f) = e +gir d = e d som vi får ved åbrkee faktoren fra telleren sammen med d. NG : = e +=.NG: = e ln() +=. ln() e ln(e +) e + ln() d
Ukeoppgaver, ke 4, i Matematikk, Sbstitsjon. 7 Merk at vi nå kanbetraktedettesometheltnyttintegralogglemmeatdetvarmeden opprinnelig. Dette er en av fordelene med å sbstitere i grensene, vi slipper å nøste oss bakover i regnestykket ved innsetting av grensene. Dette integralet løses som i siste oppgave i oppgave. Vi sbstiterer med v =ln() som gir dv d = dv = d, som finnes i integranden. NG: v =ln().øg:v =ln() = ln() ln() vdv= ] ln() v = ( ln() ln() ) ln() Svaret kan forenkles litt slik: ( ln() ln() ) = (ln() ln())) (ln() + ln())) = ( ) ln ln(6). Oppgave 8 a) Ved åbrke =sin(t) harvid/dt =cos(t) cos(t) dt. Videre er f((t)) = sin (t) = cos (t) =cos(t) (sidencos(t) for π/ t π/). Ved å sette inn dette i integralet får vi f() cos(t) cos(t) dt = cos (t) dt Vi har videre ved å brke omvendte fnksjoner at t =arcsin() (merk at definisjonsområdet til t er valgt slik at dette stemmer). b) Vi får omskrivinga cos (t) = + cos(t). Integralet av dette løses ved en ny sbstitsjon, =t med dt = d:... = + cos(t) dt = 4 + 4 cos() d = 4 + 4 sin()+c. Tilbakesbstiterer = t = arcsin(): arcsin()+ sin( arcsin()) + C 4 c ) Vi har sin(arcsin()) = og cos(arcsin()) = (vist bl.a. i heftet om inverse trigonometriske fnskjoner. Vi får dermed at integralet er arcsin()+ sin(arcsin()) cos(arcsin())+c = arcsin()+ + C d) f() ( arcsin() + ) ( arcsin( ) + ) ( ) ( ) = arcsin() + ( arcsin() ) = arcsin() = π. Siden en sirkel med sentrm i origo og radis har likning + y = y =,er grafen til f() øvre halvsirkel. Integralet er arealet av denne, dvs π = π/.
8 Ukeoppgaver, ke 4, i Matematikk, Sbstitsjon. Oppgave 9 Tar bare med tilfellet n =her: i= kf( i )+lg( i )=(kf( )+lg( )) + (kf( )+lg( )) = k (f( )+f( )) + l (f( )+f( )) = k i= f( i )+l i= g( i ) Hans Petter Hornæs