Temaer fra vitenskapen i antikken Matematikkens utvikling i det gamle Hellas. Etablering av begrepet om aksiomatisk system. Utvikling av astronomien som et geosentrisk matematisk system. 1
Nøkkelmomenter i antikkens matematikk før 300 f.kr. Matematikken var fra starten av konkret og visuell. Oppdagelsen av inkommensrable størrelser ( 2). Bruk av indirekte bevis. Mistillit til aritmetikken, styrket interesse for geometrien Eudoxos proporsjonslære gir solid fundamentering av geometrien. Utvikling av aksiomatisk system. 2
Utvikling av bevis i antikken Thales. Visuelt bevis. Pythagoreerne. Utvikler det visuelle / anskuelige bevis. Eleatene / pythagoreerne. Tar i bruk indirekte bevis. Oinipodes. Konstruksjon ved linjal og passer. Aristoteles. Utvikling av bevis i henhold til slutningsregler (kategoriske syllogismer). Stoikerne. Utvikling av bevis i henhold til slutningsregler (hypotetiske syllogismer). 3
Euklid ca. 300 f.kr. Elementa. Oppdelt i 13 bøker. Fremstiller den elementære geometrien I VI: Plan geometri VII IX: Geometrisk algebra X: Inkommensurable størrelser XI XIII: Rom geometri Organiserert som et aksiomatisk system. Verket ble et mønster for vitenskapelig fremstilling. 4
Det aksiomatiske vitenskapsidealet Første utgangspunkter: (aksiomer/postulater) Avledet kunnskap: (teoremer) Slutningsregler: Eventuelle definisjoner: Grunnleggende utsagn som ikke bevises men er utgangspunkt for bevis. Det som bevises, fra postulat/aksiom eller fra andre teoremer. Det som legitimerer de enkelte skritt i bevisene. Definisjon av termer. Noen termer tas da som primitive (udefinerte). 5
Elementa: tre slags prinsipper Euclid opererer med tre slags prinsipper: definisjoner, aksiomer og postualter. 1. Definisjoner En rekke begreper defineres, punkt, linje, plan, vinkel. F.eks.: Punkt: Det som ikke har noen del. Linje: Lengde uten bredde. Definisjonen tar noe for gitt, f.eks. hva en lengde er, og hva en bredde er. Hva en lengde er blir udefinert, primitiv. 6
Elementa: tre slags prinsipper 2. Aksiomer Aksiomene er felles sannheter for flere vitenskaper. Euklid gir 5 aksiomer, som ikke angår geometrien spesielt, men angår størrelser i allmenhet. F.eks.: Det hele er større enn delen. Sannheten av aksiomene skal oppfattes som selvinnlysende. Med dette menes at hvis man forstår meningen av et aksiom, så forstår man samtidig at aksiomet er sant. 7
Elementa: tre slags prinsipper 3. Postulater Euclid s postulater holder spesielt for geometrien. De er 5 i antall og anvender definerte termer. Leseren bes om å godta bestemte utsagn som umiddelbare sannheter. De er formulert som konstruksjonsregler: Visse konstruksjoner skal antas som mulige. Avgrenser til bruk av linjal og passer. 8
Elementa: tre slags prinsipper 3. Postulater: 1 Å trekke en rett linje fra et punkt til et annet punkt. 2 Å forlenge en rett linje til en lengre rett linje. 3 Å beskrive en sirkel som helst radius. rundt hvilket som senter og med hvilken 4 5 Alle rette vinkler er like store. Om en rett linje skjærer to rette linjer slik at summen av de indre vinklene er mindre enn to rette på den samme siden, vil de to linjene hvis de forlenges ubegrenset, skjære hverandre på den siden der vinklene er mindre enn to rette. 9
Elementa Postulatene er om ideele størrelser eller figurer. Objekter for tanken. Platonsk eller aristotelisk forutsetning. Bees om å anta, ikke om å tegne ved hjelp av blyant og linjal. Følgelig er ikke linje og sirkel noe vi tegner på papiret. Postulatene tar for gitt at linjer og sirkler kan tenkes. Definisjoner sier hva gjenstanden er. F.eks. hva en linje er. Men det betyr ikke at de derved eksisterer i virkeligheten. Selve postulatene påstår at noe eksisterer. Først når vi har et postulat kan vi ha kunnskap, og kan ha avledet kunnskap. 10
Kosmologi universets struktur fysikk Matematisk astronomi geometrisk modell forklaring (grekerne) Førsokratikerne Platon c. 428 - c. 348 f.kr. Eudoxos c. 390 - c. 337 f.kr. Aristoteles 384-322 f.kr. (babylonerne: tabeller) Aristarchos c. 310 - c. 230 f.kr. Hipparchos c. 190 - c. 125 f.kr. forutsigelse Ptolemaios c. 100 - c. 165 e.kr. Almagest Planethypoteser 11
12 Det aristoteliske verdensbilde
Ptolemaios ca. 100 e.kr. i Aleksandria Ho megas astronomos ( Almagest). Verk bestående av 13 bøker. Inneholder beskrivelse av planetbanene, Solens bane og Månens. Planethypoteser. Forsøk på å integrere den matematiske astronomien med kosmologien. 13
Eksentrisk sirkel, episirkel og ekvant episirkel deferent Q Jorden (E) er plassert utenfor senter for geometrisk konstruksjon (C). Planeten beveger seg rundt i en episirkel. Modellen er ekvivalent til den eksentriske. Planeten beveger seg med uniform vinkelhastighet rundt ekvantpunktet Q. 14
Ptolemaios planetmodeller Senter av episyklisk bevegelse beveger seg mot klokken på deferenten, og planeten beveger seg mot klokken på episirkelen. Den kombinerte bevegelsen resulterer i en sykloid bane. Fra 3 til 5 har vi retrograd bevegelse. 15
Ptolemaios forutsetninger Jorden er i ro. Grunnen: aristotelisk naturfilosofi. Den matematiske astronomien må være i overensstemmelse med kosmologien. Bryte ned de komplekse planetbevegelsene til komponenter av perfekte sirkelbevegelser. Det godtas en forskjell mellom tilsynelatende bevegelser og virkelig bevegelser. Redde fenomenene : redegjørelse for å vise at fenomenene er i overensstemmelse med naturfilosofien. 16
Copernicus forklaring av retrograd bevegelse 17
Antikkens undergang 650 600 640: Muslimene erobrer Alexandria og ødelegger de siste bøkene. 550 500 529: Keiser Justinian stenger alle greske filosofiskoler. 450 400 350 415: Hypatia myrdes av en mobb av kristne fanatikere. 392: Keiser Theodosius forbyr hedenske religioner. Som et resultat blir store samlinger av greske bøker brent. 18