Løsningsforslag for øvningsoppgaver: Kapittel 3 Jon Walter Lundberg 20.01.2015 2.324+ Fire personer skal dytte i gang en bil som ikke vil starte på vanlig måte. Mens motoren er frikoblet, skal farten til bilen øke fra 0 til 10 km t. Bilen veier 1200kg, og hver av de fire personene dytter med en kraft på 200N. Startforsøket blir gjort i en svak utforbakken som kompenserer for rullemotsanden. Hvor lang tid tar det før faren er 10 km t? V 0 = 0 m s, V 1 = 10 km t, m = 1200kg 10 km s = 10000m 3600s = 2, 78m s F = ma F = 200N 4 = 800N 800N = a(1200kg) a = 0, 67( m s 2 ) V = V 0 + at 2, 78 m s = 0, 67(m s 2 )t t = 4, 17s 2.326+ Tyngdekraften på tre legemer er 40N, 50N 100N. Det første er plassert oppå det andre som igjen er plassert oppå det tredje. Det treje legemet ligger på golvet. 1
a) Hvilke krefter virker på det andre legemet, og hvor store er de? Netwonts 3. lov: F = F Kraft fra det øverste(første) legement (40N) Legemets egen tyngdekraft (50N) Normalkraft fra det tredje legemet (90N) b) Hvilke krefter virker på det tredje legemet? Hvor store er disse kreftene? Kraft fra de øverste to legemene (90N) Legemets egen tyngdekraft (100N) Normalkraft fra det tredje golvet (190N) 2.343 Fguren viser en liten vogn med en fjærbuffer. Når vi presser sammen fjæra, er den kraften F vi bruker, avhengig av sammenpressingen x. Diagrammet øverst i høyre spalte viser kraten som funksjon av sammenpressingen. a) Bestem fjærstivheten til fjæra. Hookes lov: F = kx Fjærstivhet = k k = F x Punkter på grafen: [0.1m, 80N], [0.2m, 160N], [0.3m, 240N] k = 80N 0.1m = 800N m 2
b) Vogna med fjærbuffern har samlet masse 8kg og beveger seg uten friksjon mot en vegg. Hvor stor er akslerasjonen til vogna når sammenpressingen er 20cm? x = 0, 2m, m = 8kg F = kx = (800 N )(0, 2m) = 160N m F = ma a = F m a = 160N 8kg = 20m s 2 3.08 a) Bestem den relative usikkerheten for m = 85, 4g ± 0, 5g. Relativ usikkerhet = δt T T = middelverdi = 85, 4g, 0, 5g 85, 4g δt = usikkerhet = 0, 5g = 0, 059 = 6% b) Bestem (den absolutte) usikkerheten for massen m = 0, 37kg ± 3%) Relativ usikkerhet T = δt 370g ± 3% 3% = 0, 03 370g ±0, 03 = ±11g = ±0, 01kg 3.10 To lengder er målt til (2, 348 ± 0, 005)m og (2, 451 ± 0, 005)m 3
a) Finn den absolute og relative usikkerheten i summen? Usikkerhet for sum og differanse: Når vi adderer og/eller subtraherer målte størrelser, fnner vi den absolutte usikkerheten ved å summere de absolutte usikkerhetene i de målte størrelsene δt = δt1 + δt 2 = (0, 005 + 0, 005)m = 0, 01m Relativ usikkerhet = δt T 0, 01m Relativ usikkerhet = (2, 348m + 2, 451m) Relativ usikkerhet = 0, 002 = 0, 2% b) Samme spørsmål som i a), men nå med differansen av lengdene. Beste verdi = 2, 451m 2, 348m = 0, 103m Minste verdi = 2, 446m 2, 353m = 0, 093m Maks verdi = 2, 456m 2, 343m = 0, 113m Absolutt usikkerhet = ±0, 01m Relativ usikkerhet = 0, 01m = 9, 7% 0, 103m c) Samme spørsmål som i a), men nå om produktet av lengdene. Usikkerhet for produkt og kvotient Den relative usikkerheten i en sammensatt størrelse som vi finner ed multiplikasjon og/eller divisjon av de målte størrelsene, er lik summen av de relative usikkerhetene i de målte størrelsene Beste verdi(produkt) = (2, 451m)(2, 348m) = 5, 755m 2 Relativ usikkerhet (1): 0, 005m = 0, 2% 2, 451m 4
Relativ usikkerhet (2): 0, 005m = 0, 2% 2, 348m Sum av relativ usikkerhet: 0, 2% 2 = 0, 4% Absolutt usikkerhet: (5, 755m 2 )(0, 004) = 0, 023m 2 d) Samme spørsmål som i a), men nå om forholdet av lengdene. Beste verdi(forhold) Forhold (minst): Forhold (mest): Relativ usikkerhet: 2, 451m = 1, 0438 2, 348m 2, 446m = 1, 0395 2, 353m 2, 456m = 1, 0482 2, 343m 0, 005m = 0, 2% 2, 348m Absolutt usikkerhet: 0, 004 Relativ usikkerhet: 0,004 1,0438 = 04% 3.11 Beregn størrelsen X med relativ og absolutt usikkerhet når X er gitt ved: a) X = ab der a = (14, 6cm ± 0, 5cm), b = (2, 56cm ± 0, 01cm) beste verdi: (14, 6cm)(2, 56cm) = 37, 376cm 2 0, 5cm Relativ usikkerhet (1): = 3, 4% 14, 6cm Relativ usikkerhet (2): 0, 01cm = 0, 4% 2, 56cm Sum av relativ usikkerhet: 3, 4% + 0, 4% = 3, 8% Absolutt usikkerhet; (37, 376cm 2 )(0, 038) = 1, 4cm 2 Størrelse: 37, 376cm 2 ± 1, 4cm 2, 37, 376cm 2 ± 3, 8% 5
b) X = a, Når a = (100 ± 4)cm og b = (50 ± 1)cm b Beste verdi = a b = 100cm 50cm = 2 Maks verdi = 104cm 49cm = 2, 122 Minste verdi = 96m 51m = 1, 88 Absolutt usikkerhet = ±0, 122m Relativ usikkerhet = 0,112 2 = 5, 6% (2 ± 0, 112)m, (2 ± 5, 6%)m c) X = ab, der a = (7, 00 ± 0, 04)m, b = (3, 50 ± 0, 03)m Beste verdi = (3, 50m) 2 (7, 00m) = 85, 75m 2 Sum av relativ usikkerhet = ( 0,03m 3,5m ) 2 + 0,04m 7m (ab) relativ usikkerhet = 1, 7% + 0, 6% = 2, 3% Absolutt usikkerhet = (0, 023)(85, 75m 3 ) = 1, 97m (86 ± 1, 97)m 3, (86m 3 ± 2, 3%) d) Hvilken av de to størrelsene a og d er det viktigst å måle mer nøyaktig dersom vi vil ha en lavere usikkerhet i svarene? Siden usikkerhetene i svaret er summen av de relative usikkerhetene i størrelsene som inngår, er det de størrelsene som har den største relative usikkerheten det er viktigst at vi måler nøyaktigere. 3.12 Volumet av et vannkar er gitt ved V = abc = (166, 3 21, 7 9, 4)cm 3 Usikkerheten i hver av størrelsene er 0,1cm. 6
a) Finn den relative usikkerheten for hvert av de oppgitte målene. Relativ usikkerhet (abc) = Relativ usikkerhet a = 0, 06% Relativ usikkerhet b = 0, 4% Relativ usikkerhet c = 1% 0, 1cm 0, 1cm 0, 1cm + + 166, 3cm 21, 7cm 9, 4cm b) Finn den relative usikkerheten for V. Relativ usikkerhet (abc) = Relativ usikkerhet (V) = 1, 46% 7