Anvendelser av integrasjon.

Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 44 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4 Anvendelser av integrasjon. Oppgave Flatestykket F er trekanten i. kvadrant avgrenset av koordinataksen og linja gitt ved y = x (tegn figur). a ) Regn (ved hjelp av skivemetoden) ut volumet av det legemet vi får når F roterer om x aksen. Ser du hvordan du også kunne funnet dette volumet ved en kjent volumformel fra geometrien? b) La nå F rotere rundt linja gitt ved y =. Regn ut volumet av dette legemet ved integrasjon. Det er mulig å modifisere formelen for volum av omdreiningslegeme om x aksen for å løse oppgaven. Men det er nok mer nyttig læring i åforsøkeå konstruere integralformelen (ved hjelp av figur og Riemannsum) fra grunnen av. c) La F rotere rundt y aksen. Regn ut volumet ved hjelp av sylinderskallmetoden. Er det tilfeldig at svaret er det samme som i a oppgaven? d) La F rotere rundt aksen gitt ved x =. Regn ut volumet av det omdreiningslegemet som nå framkommer. Oppgave Koordinataksene og kurven gitt ved y = 36 4x ( x 3) avgrenser en kvart ellipse i første kvadrant i xy planet. a ) b ) d ) Sett opp et integral (ved skivemetoden) for volumet av den halve ellipsoiden vi får når dette flatestykket roteres om x aksen. Regn ut dette volumet. Sett opp et integral (ved sylinderskallmetoden) for volumet av den halve ellipsoiden vi får når dette flatestykket roteres om y aksen. Regn ut dette volumet (ved hjelp av substitusjon). Oppgave 3 Et flatestykke F i xy planet er avgrenset av x aksen, y aksen og linja gitt ved y = h h r x, der h og r er positive konstanter. a ) Tegn opp flatestykket F, og angi koordinatene i hjørnene. b) La K være det legemet som framkommer når F roterer om y aksen. Bruk sylinderskallmetoden til å regne ut volumet av K

Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. Hva slags legeme er K? Stemmer svaret med forrige deloppgave med den kjente formelen for slike legemer? Oppgave 4 Et flatestykke F i x planet ligger i første kvadrant (x, y ), og er avgrenset av parabelen gitt ved likninga y = x, linja gitt ved y = h, der parameteren h er en positiv konstant, og y aksen. a ) Skisser flatestykket F, og angi koordinatene i skjæringspunktet mellom parabelen og den horisontale linja gitt ved y = h ifiguren. b ) Regn ut arealet av F. Et romlegeme dannes ved at F roterer om x aksen. Regn ut volumet av dette legemet, hvis h =. d ) Regn ut volumet av det legemet som dannes når F roterer om linja gitt ved y =, med h =. e ) Et romlegeme T dannes ved at F roteres om y aksen. Regn ut V (h), volumet av T (som funksjon av h). f ) En vannfyllt tank er slik at innsiden har fasong som legemet T (enheter i desimeter), med høyde meter. Vann lekker ut fra bunnen med en fart på liter i minuttet. Hvor raskt minker dybden i det øyeblikket dybden er h = 5 desimeter? Hint: Det kan være en ide åtaentittpå eksemplene i slutten av kapittel 3.3 (Rate-Of-Change) før du løser denne delopgaven. Etter oppgave 8 er det flere øvelsesoppgaver om volum av omdreiningslegemer. Oppgave 5 La f være den lineære funksjonen gitt ved f(x) = 3 x, L være den delen av grafen til f som 4 ligger mellom puntene med koordinater (, ) og (4, 3). a ) Regn ut buedifferensialet ds for denne funksjonen. b ) Bruk integrasjonsformelen for buelengde til å regne ut lengden av L. Sjekk svaret ved en direkte geometrisk utregning. Finn arealet av den flaten vi får når L roterer om x aksen (ved integrasjon). d ) Finn arealet av den flaten vi får når L roterer om linja gitt ved y = (ved integrasjon). e ) Finn arealet av den flaten vi får når L roterer om y aksen (ved integrasjon). f ) Finn arealet av den flaten vi får når L roterer om linja gitt ved x = 4 (ved integrasjon). Hvorfor blir svaret på de to siste deloppgavene like? Oppgave 6 La K være kurvestykket gitt ved likningen y = x, x. a) La ds være buedifferensialet til y. Sett opp ds (som et eksplisitt utrykk med x).

Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. 3 b) La L være lengden av K, S y overflaten av det flatestykket vi får om K roteres om y aksen og S x overflaten av det flatestykket vi får om K roteres om x aksen. Sett opp integraler som gir L, S y og S x. Det vil si at dere skal skrive opp uttrykkene så langt dere kommer uten å begynne å integrere. c) Regn ut S y (både eksakt og som desimaltall, prøv å klare det uten bruk av formelsamlinga). d ) I formelsamlinga (kap.5, formel 6, s. 8) er følgende formel oppgitt: x ± a dx = x x ± a ± a ln x + x ± a + C Bruk denne til å regne ut L (både eksakt og som desimaltall). e) RegnutS x numerisk, dvs. som desimaltall. Bruk kalkulator, Maple eller hva dere måtte ønske, men gi en kort forklaring på hvordan dere fant tallet. Oppgave 7 La kurven L være grafen til funksjonen gitt ved formelen f(t) = et + e t, t ln() a ) Vis at for denne funksjonen er ds = et + e t dt. b ) Finn lengden av L. Finn overflatearealet av det flatestykket vi får når L roterer om x aksen. Oppgave 8 Hvis vi har et kurvestykke gitt av vektorfunksjonen r(t) =x(t),y(t)], t t t har vi en alternativ fysisk utledning av formelen for buelengde. Denne kan lett utvides til kurver i rommet: Hastighetsvektoren er v(t) erẋ(t), ẏ(t)], og banefarten er v(t) = v(t) = ẋ(t) +ẏ(t). Konstant fart er veg dividert med tid, så veg er fart multiplisert med tid. På etδt-intervall gir dette vegen v(t ) Δt, som integreres opp til s = t t v(t) dt. Vifår dermed formelen ẋ(t) s = +ẏ(t) dt. t a ) Test ut denne formelen ved å regne ut omkretsen av en sirkel med radius R, parametrisert ved R cos(t),rsin(t)], t π. b) Kurvengittvedy = f(x) kan parametriseres ved x, f(x)] (altså navnebytte fra t til x på parameteren). Bruk dette til åutledeatds = +(y ) dx fra ds = ẋ +ẏ dt. Oppgave 9 Et flatestykke F er avgrenset av x aksen, linjene gitt ved x =ogx = og grafen til funksjonen f gitt ved formelen f(x) = x a ) Finn volumet av det omdreiningslegemet som framkommer når F roterer om y aksen. b ) Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får når F roterer om linja gitt ved x =. Finn volumet av det omdreiningslegemet som framkommer når F roterer om x aksen. d ) Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får når F roterer om linja gitt ved y =.

4 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. Oppgave : Eksamensoppgave 3, august 3 En funksjon f er gitt ved f(x) = +x D f = R a ) Forklar hvorfor grafen til f i sin helhet ligger over x aksen. b ) Et flatestykke F er avgrenset av x aksen, y aksen, linja x = og grafen til f. Regn ut arealet av F. Finn volumet av det rotasjonslegemet som framkommer når flatestykket F roteres om y aksen. 4..9, Hans Petter Hornæs

Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. 5 Fasit, Anvendelser av integrasjon. Oppgave F er en rettvinklet trekant, med begge kateter av lengde, så horisontal avgrensning er x. a) V = πy dx = π ( x) dx = π ( x + x dx = π x x + ] 3 x3 = π 3 Legemet blir en (liggende) kjegle med grunnflateradius r =oghøydeh =,ogvolumformlen for kjegle er 3 πr h. b) Skiven får nå et hull med radius i midten. Ytre radius er f(x)+. Volumelementet dv kan da skrives dv = π(y +) dx π dx = π ( ( x +) ) dx = π ( x 4x +3 ) dx, så volumet er V = π ] x 4x +3dx = π 3 x3 x +3x = π( 3 +3)= 4π 3 c) V = πxy dx =π x( x) dx =π x x ) dx =π x ] 3 x3 = π 3 d ) Radien i sylinderskallet blir nå x, så volumelementet blir dv =π( x)( x) dx, og volumet er V = π( x) dx =π x + x ) dx =π x x + ] 3 x3 = π 3 som vi geometrisk ser stemmer da legemet er en sylinder med radius og høyde, fratrukket en kjegleformet fordypning med radius og høyde. Oppgave 3 3 a) V = π y dx = π 36 4x dx b) V = π 36x 4 ] 3 3 x3 = π(36 3 4 9) = 7π 3 3 c) V =π xy dx =π x 36 4x dx d ) Substituer med u =36 4x, du = 8xdx xdx= 8 du. ØG: u =36 4 3 =,NG:u =36 4 = 36: V = π u / du = π ] 8 36 4 3 u3/ = π ( 36 ) 36 =36π. 36 6

6 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. Oppgave 3 a) F er en rettvinklet trekant med koordinataksene som kateter. Hypotenusen skjærer y aksen ved y = h og x aksen ved x = r. b) V =π 3 πr h r xy dx =π r hx h r x dx =π hx h ] r 3r x3 ( =π hr ) 3 hr = Dette blir en kjegle med grunnflateradius r og høyde h, og volumfomelen for en kjegle er utledet. Oppgave 4 a) h ( h, h) F y = x h b) A = h h x dx = hx 3 ] h x3 = h h 3 ( h ) 3 = 3 h h Ved skivemetoden har vi volumformelen for området mellom y = h og y = x,rotertom x aksen: V x = π ( y ) y dx = π ( x 4) dx = π ] 5 x5 = 4π 5 d) Vedskivemetodenblirradienien dx skive x, og dermed volumet π( x ) dx: e ) f ) V y= = π ( x ) dx = π π ( x + x 4) dx = x 3 x3 + ] 5 x5 = π ( 3 + 5 Sylinderskallmetoden gir formelen V y = h πx(y y ) dx: V y = h πx(h x ) dx =π h π hx 4 x4 hx x 3 dx = ] h Vi har fra forrige deloppgave at V (h) = πh,ogdermed dv dh dh =når h = 5. Det spørres etter at dv dt dt ) = 8π 5 ( =π h h ( ) ) 4 h = 4 πh = πh. Det er dessuten oppgitt, og vi kan ved kjerneregelen sette opp dv dt = dv dh dh =π 5 dh dt dt dh dt = 5π (desimeter i minuttet)

Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. 7 Oppgave 5 a) Vi har y = f (x) =3/4, og dermed er lengdeelementet ds: +(y ) = +(3/4) = 6/6 + 9/6 = 5/6 = 5/4 ds = +(y ) dx ds = 5 4 dx. b ) Lengden er ] 5 5 4 ds = x= 4 dx = 4 x =5 som vi også finner fra Pytagoras, da L er hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter av lengde 4og3. c) Flateelementet ds er arealet av et sylindrisk (vertikalt) bånd med bredde ds og radius y, så det er ds =πy ds, og arealet er S = x= πy ds =π 3 4 x 5 dx =π 4 ] 5 5 4 6 xdx=π 3 x =5π d) Nåerradienibåndet y +,så flateelementet er ds =π(y +)ds, og arealet er S = x= ( ) 3 5 5 π(y +)ds =π 4 x + dx =π 4 3 x + 5 ] 4 4 x =5π e) Vi får nå en horisontal variant av dette båndet, og radien er avastanden x inn til y aksen, og dermed arealelement ds = πxds, og overflate S = x= πx ds =π ] 5 5 4 4 xdx=π 8 x =π f) Radien i båndet er nå 4 x, så ds =π(4 x) ds, og S = x= π(4 x) ds =π (4 x) 5 4 dx =π 5 5 4 xdx=π 5x 5 8 x ] 4 =π Kjeglen har akkurat samme fasong som i forrige deloppgave, men nå har den spissen ned. Oppgave 6 a) y =x, så ds = +(y ) dx = +4x dx. b) L = x= ds = +4x dx S y = x= πx ds = πx +4x dx S x = x= πy ds = πx +4x dx

8 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. c) S y er det enkleste av disse tre integralene, da en substitusjon med u =+4x rakt fører til målet. du =8xdx xdx= 8 du, ØG=+4 =5,NG =+4 =: d ) S y = π 8 5 u / du = π 4 ] 5 3 u3/ = π ( 5 ) 5 5.33 6 Det er viktig for bruken av formelen at det ikke står noe tall foran x. Dette oppnåes ved å sette 4 tallet utenfor slik: ( ) +4x = 4 4 + x = 4 4 + x = x + 4. Nå kan formelen brukes, med a =/4 (og + varianten i ±): L = x + 4 dx = x x + 4 + /4 ] ln x + x + = 4 ( ( + 4 + 8 )) ln + + ( + ) 4 8 ln( /4) = e ) 5 + ln( + 5/) ln(/) 5 = 4 + ln( + 5) 4 Med Maple kommer vi fram til S x 3.8 med kommandoen > evalf(int(*pi*x^*sqrt(+4*x^),x=..)); 3.897975.48. Oppgave 7 a) f (t) =(e t e t )/ så ( e f (t) t e t ) = = ( (e t ) e t e t + ( e t) ) = 4 4 et + 4 e t Dette medfører at vi har +f (t) =+ 4 et + 4 e t = 4 et + + 4 e t Nå kan vi innse at dette må være det samme som ( (e t + e t )/ ) påfleremåter. En mulighet er å regne sammen ( (e t + e t )/ ) (siden svaret er oppgitt er det jo mulig åse at det er dette vi skal fram til). En annen mulighet er å se at uttrykket for +f (t) er det samme som det for f (t),bortsett fra motsatt fortegn på midterste ledd. Dette tilsvarer en endring fra. til. kvadratsetning. Vi kan derfor gjøre tilsvarende omforming som ved utregning av f (t) baklengs, etter først åskrive som et e t osv. Vi har derfor at ds = (e +f (t) dt = t + e t ) dt = et + e t dt b ) Siden L = b L = ln t=a e t + e t ds, harvi dt = e t e t ] ln = ( e ln() ) ] e ln() (e e ) = ( )=3 4

Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. 9 Overflatearealet er S x =π ln() t= yds.sidends = f(t) dt er yds= f(t) ds = f(t) dt, ogvi har ln() ( e t + e t ) ln() S x =π dt =π 4 et + + 4 e t dt =π 8 et + t ] ln() 8 e t ( = π 4 eln() +ln() ) 4 e ln() ( 4 e + 4 e Siden ln() = ln =ln(4)ere ln() =4.Siden ln() = ln =ln(/ )=ln(/4) er e ln() =/4, og vi kan regne sammen til S x = π +ln() 6 4 + ] ( ) 5 = π 4 6 +ln() )] Oppgave 9 a ) Rotasjon om y aksen (sylinderskallmetoden) gir : V y =π xy dx =π x x dx =π dx =π b ) Avstanden fra en vilkårlig verdi x i mellom og, og aksen x =erx i. Denne gir radien i sylinderskallet, som derfor får volumet ΔV =π(x i ) f(x i )Δx. Dette integreres opp til π (x )y dx=π x dx =π x ln x ] =π( ln()) ( ln())] = π( ln()) d ) Formel for rotasjon om x aksen (skivemetoden, kap. 6.) gir: V x = π y dx = π x dx = π x ] = π ( )] = π/ Ved skivemetoden blir den vertikale skiva nå en sylinder med et sylindrisk hull. Hele sylinderen har avstanden fra y i til aksen y = som radius, og dette er R i = y i +. Hullet har avstanden fra omdreiningsaksen til nedre avgrensning, som er x aksen, som radius. Denne avstanden er r i =. Dermed får skiva volum ΔV i = πri Δx πri Δx = π ( (y i +) ) Δx, og dette integreres opp til : V y= = π (y +) dx = π y +ydx= π x + x dx = π ] x +ln x = π ( /+ln()) ( + ln())] = π(/+ln) Oppgave a ) b ) Siden x er+x >. Dermed er både teller og nevner i funksjonsuttrykket alltid større enn. Derfor er f(x) > for alle x. Integrerer funksjonen for å finne arealet: A = +x dx = arctan(x)] =arctan() arctan() = π/4 =π/4

Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. Ved sylinderskalmetoden finner vi at dette volumet er V y =π xy dx =π x +x dx Dette integreres ved å substituere med nevneren: u = x +,u =x du/dx =x du =xdx du = xdx. Grensene for u er + =og+ =: V y =π u du = π ln u ] = π(ln() ln()) = π ln() Hans Petter Hornæs