Differeniallikninger I er enn 300 år har ateatik analye vært et vært viktig kapittel i faget. Teaet differeniallikninger blir av ange ateatikere betraktet o diaanten i ateatik analye eller kalkulu. Det er allent akeptert blant ateatikere at differeniallikninger piller en viktig rolle både i teoretik og anvendt ateatikk. Differeniallikninger er deuten av uvurderlig nytte og et abolutt nødvendig redkap for fyikere og ingeniører. Differeniallikninger har ange anvendeleoråder teperaturen til en gjentand o avkjøle, ekponeniell vekt, elektrik utladning, radioaktiv tråling, akelerert bevegele, ogå videre. En differeniallikning inneholder deriverte eller differenialer. Det er viktig å være i tand til å identifiere hvilken type differeniallikning vi har ed å gjøre, før vi forøker å løe likningen på ClaPad 300. En differeniallikning o inneholder ledd der den førtederiverte er den høyete orden av den deriverte, kaller vi en førteorden differeniallikning. En andreorden differeniallikning har ledd der den andrederiverte er høyete orden av den deriverte. Differeniallikninger av andre orden kan altå inneholde ledd ed førtederivert. Graden til en differeniallikning er betet av ekponenten til den høyete deriverte o finne i likningen. 4 5 Differeniallikningen ( y ) + 3( y ) 4y = 3 har orden iden den høyete deriverte o finne i denne likningen, er den andrederiverte. Siden ekponenten til den høyete deriverte i denne differeniallikningen er 4, har likningen graden 4. Generell og partikulær løning Vi huker at da vi løte integraler å fikk vi ført en åkalt generell løning o inneholdt en kontant C. En åkalt partikulær løning får vi ført etter at C tar en betet verdi. Verdien for kontanten finner vi ved hjelp av kjente verdier for x og y o følge av gitte betingeler. De kjente betingelene kaller vi grenebetingeler eller initialbetingeler. Det forholder eg på tilvarende vi når det gjelder differeniallikninger. La o ført finne den generelle løningen til den eleentære differeniallikningen hjelp av ClaPad 300. y = 5 ved 119
Funkjonen dsolve på ClaPad 300 løer differeniallikninger av førte, andre og tredje orden at likningett av førteorden differeniallikninger. For å finne den generelle løningen benytter vi følgende yntak [likning, uavhengig variabel, avhengig variabel]. Se kjerbildet. Vi fortetter å ed å finne den partikulære løningen til differeniallikningen initialbetingelen er x = 0 når y =. y = 5 der For å finne den partikulære løningen å vi benytte følgende yntak [likning, uavhengig variabel, avhengig variabel, initialbetingele]. Se kjerbildet. Ekepel Vi har gitt tredjeorden differeniallikningen y = 0 ed initialbetingelene y(0) = 3, y (1) = 4 og y () = 6. Finn den partikulære løningen til differeniallikningen på ClaPad 300. 10
Syntaken er o vi er av kjerbildene ovenfor, [likning, uavhengig variabel, avhengig variabel, initialbetingele-1, initialbetingele-, initialbetingele-3]. Utforkning Vi ved hjelp av ClaPad 300 at den generelle løningen til differeniallikningen x x y 3y+ y =0 kan uttrykke o y = Ae + Be der A og B er kontanter. Velg elv ulike initialbetingeler og finn partikulære løninger. Ekepel: Hatighet og akelerajon. I nærheten av jordoverflaten er gravitajonakelerajonen otrent 9,8. Det betyr at hatigheten til en gjentand o faller fritt i vakuu, øker ed kan altå krive at akelerajonen (hatighetendring per ekund) er 9,8 for hvert ekund. Vi dv dt = 9,8. Vi lipper en gjentand ed utganghatighet null. Vi tenker o at gjentanden faller ot bakken uten å øte luftottand. Hvor tor hatighet har gjentanden t ekunder etter at den ble luppet? dv dt Vi løer differeniallikningen = 9,8 der initialbetingelen er at v = 0 når t = 0. Se nete kjerbilde. 11
dsolve(v'=9.8,t,v,t=0,v=0) ClaPad 300 gir at hatigheten til gjentanden o faller fritt, er vt () = 9,8 t t ekunder etter at den ble luppet. Separajon av variabler En betet type differeniallikninger kaller vi for eparable. Denne typen differeniallikninger kan vi løe ved hjelp av en etode o innebærer åkalt variabeleparajon. Metoden er ulig bare dero vi kan krive differeniallikningen på foren Axdx ( ) + By ( ) = 0 hvor A( x ) er en funkjon av kun x og der B( y ) er en funkjon av kun y. Etter at differeniallikningen o nødvendig er krevet på foren o vit ovenfor, kan vi ale ledd ed y på ventre ide og ledd ed x på høyre ide. Så integrerer vi alle ledd for å finne en generell løning. La o løe differeniallikningen 3 y+ xdx= 0. Denne likningen er heldigvi allerede på den ønkede for. Vi iolerer leddene o bekrevet ovenfor og foretar integrering på begge ider av likhettegnet. Da får vi 3 y= xdx 3 4 y x = + C 3 4 o altå er en generell løning av differeniallikningen. 1
Siden = y dx kan vi krive den opprinnelig differeniallikningen o 3 + = 0. y y x Så finner vi en generell løning på ClaPad 300 ved å følge den kjente yntaken. Utforkning y Vi at differeniallikningen ln x = 0 kan bli løt ved hjelp av variabeleparajon. Lø dx x å likningen for hånd. y Kontroller varet ditt ved å løe y ln x = 0 direkte på ClaPad 300. x Ekepel Finn, ved hjelp av variabeleparajon, den partikulære løningen til + y = 6 ed dx initialbetingelen y = 1 når x = 0. Separajon av variable gir 6 y = dx. Vi integrerer på begge ider av likhettegnet og får at dx 6 y = 1 o iplierer at ln 6 y = x+ C. 1 1 Siden y = 1 når x = 0 får vi at ln 6 1 = 0 + C o videre gir at C = ln 4. 1 Når vi etter C = ln 4 inn i den generelle løningen får vi likningen 1 1 ln 6 y = x ln 4. Vi velger å løe denne likningen på ClaPad 300 for til lutt å betee den partikulære løningen til differeniallikningen y 6 dx + =. Den ae differeniallikningen er ogå løt direkte på ClaPad 300. Se nete kjerbilde. 13
1 ln(4) olve(- ln(6-y)= x-,y) dsolve(y +y = 6,x,y,x =0,y =1) Vi erker o at de to varene på ClaPad 300 er like. Øving I en elektrik kret gir Kirchhoff lov følgende differeniallikning: der R = 10Ω, L = H, U = 60V og I = 0 når t = 0. di R I + L = U, dt Lø differeniallikningen både ved variabeleparajon og direkte på ClaPad 300. 14