Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et skoleår. 0 3 2 7 2 0 0 11 4 3 28 1 0 3 2 1 1 0 0 32 Bestem gjennomsnitt og median for elevenes fravær dette skoleåret. Når vi ordner antall elever i stigende rekkefølge, er medianen den midterste, eller gjennomsnittet av de to midterste. Vi ordner dataene i stigende rekkefølge: 0 0 0 0 0 0 1 1 1 222 3 3 3 4 7 11 28 32 Medianen: 2 Gjennomsnittet: 3 1 3 2 3 3 4 7 11 28 32 3 6 9 4 7 11 28 32 100 5 20 20 20 Oppgave 2 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 8 3 3,2 10 4,0 10 8 3 5 6 3,2 4,0 10 12,8 10 1,28 10 Oppgave 3 (1 poeng) Skriv så enkelt som mulig 2 3 4 (2 ) 4 2 3 2 4 2 3 4 2 1 2 (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 2 4
Oppgave 4 (2 poeng) Per satte inn 200 000 kroner i banken 1. januar 2008. Renten har vært 4,65 % per år. Sett opp et uttrykk som viser hvor mye penger Per har fått i rente i løpet av de fem årene fra 1. januar 2008 til 1. januar 2013. En årlig rente på 4,65 % gir oss en vekstfaktor på 1,0465. Ved å multiplisere 200 000 med denne vekstfaktoren opphøyd i 5 vil vi få det beløpet han har på kontoen etter 5 år. Trekker vi så fra de 200 000 han satte inn 1. januar 2008 finner vi hvor mye han har fått i renter i løpet av de fem årene. Vi får da følgende uttrykk: 5 5 200000 1,0465 200000 200000 (1,0465 1) Oppgave 5 (6 poeng) Ifølge en undersøkelse kan et 20 måneder gammelt barn i gjennomsnitt 300 ord. Et 50 måneder gammelt barn kan i gjennomsnitt 2100 ord. a) Framstill opplysningene ovenfor som punkter i et koordinatsystem med måneder som enhet langs x - aksen og ord som enhet langs y - aksen. Trekk en rett linje gjennom punktene. Linjen i oppgave a) kan brukes som modell for sammenhengen mellom et barns alder og hvor mange ord barnet kan.
b) Bruk linjen til å anslå hvor mange ord et 35 måneder gammelt barn i gjennomsnitt kan. I følge grafen vil et 35 måneder gammelt barn i gjennomsnitt kunne 1200 ord Bestem et matematisk uttrykk for modellen. Kommenter modellens gyldighetsområde. Et matematisk uttrykk for en rett linje er alltid på formen y ax b, der a er stigningstallet og b er konstantleddet (skjæringspunktet med y-aksen).
Linjen skjærer y-aksen i -900. Det betyr at konstantleddet i uttrykket er -900. Finner så stigningstallet: y 2100 300 1800 a 60 x 50 20 30 Får da følgende matematiske uttrykk: y 60x 900, der y er antall ord og x er alder i måneder. I følge modellen vil ikke et 15 måneder gammelt barn kunne noen ord, noe som ikke stemmer for de fleste barn i den alderen. Hvor lenge etter 50 måneder modellen gjelder, kan diskuteres. En lærer seg i hvert fall ikke 60 nye ord i måneden resten av barndommen. Modellens gyldighetsområde er først og fremst aldersgruppen 20 50 måneder, hvis en da antar at antall ord øker lineært i denne perioden. Oppgave 6 (4 poeng) Per kaster en stein. Funksjonen h gitt ved 2 h( t) 5t 20t 1 viser hvor mange meter over bakken steinen er etter t sekunder. a) Hvor høyt over bakken er steinen idet Per kaster den? Hvor høyt over bakken er steinen etter 3 s? Konstantleddet er 1. Ballen er 1 meter over bakken idet Per kaster den. Må regne ut h(3) 2 h (3) 5 3 20 3 1 5 9 60 1 45 60 1 16 Ballen er 16 meter over bakken etter 3 s b) Vil steinen treffe bakken før det har gått 5 s? Begrunn svaret. 2 h (5) 5 5 20 5 1 5 25 100 1 125 100 1 24 h(5) er negativ. Det betyr at ballen nå ville vært 24 meter under bakken. Ballen må derfor ha truffet bakken før 5 s
Oppgave 7 (4 poeng) I en klasse er det 15 jenter og 10 gutter. 5 av jentene og 5 av guttene drikker kaffe. a) Tegn av tabellen nedenfor, og fyll inn tall i de hvite rutene. Jenter Gutter Sum Drikker kaffe 5 5 10 Drikker ikke kaffe 10 5 15 Sum 15 10 25 Vi velger tilfeldig en elev fra klassen. b) Bestem sannsynligheten for at eleven drikker kaffe. 10 2 P(drikker kaffe) 0,4 25 5 Sannsynligheten for at eleven drikker kaffe er 0,4 En elev fra klassen drikker kaffe. c) Bestem sannsynligheten for at eleven er ei jente. 5 1 P(jente drikker kaffe) 0,5 10 2 Sannsynligheten for at eleven er ei jente er 0,5 Oppgave 8 (4 poeng) (Tallsystemer er ikke lenger i læreplanen) a) Skriv tallene 11, 22 og 44 i totallsystemet. b) Formuler en regel for hvordan vi dobler et tall i totallsystemet. Tallene 1213 og 1200103 er skrevet i tretallsystemet.
c) Hvilket tall i tretallsystemet er tre ganger så stort som tallet 1213? Hvilket tall i tretallsystemet er en tredjedel av tallet 1200103? DEL 2 Med hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) Ovenfor ser du hvor mange utenlandske spillere som spilte i den norske eliteserien hvert år i perioden 2000 2012. Bestem gjennomsnitt og standardavvik for dette datamaterialet. Jeg legger tallene inn i et regneark i GeoGebra: Deretter merker jeg alle tallene, høyreklikker, og velger Lag liste. Listen får navnet Liste1, og for å finne gjennomsnitt og standardavvik bruker jeg kommandoene Gjennomsnitt[Liste1] og Standardavvik[Liste1] i CAS i GeoGebra:
Gjennomsnittet er 87 og standardavviket er 24. Oppgave 2 (2 poeng) Antall elever Går 4 Sykler 7 Kjører privat bil 3 Tar buss 10 Tar tog 6 I tabellen ovenfor ser du hvordan elevene i en klasse kommer seg til og fra skolen. Bruk et sektordiagram til å presentere datamaterialet fra tabellen. Jeg skriver inn tabellen i Excel, markerer tabellen og velger «sett inn sektordiagram». Jeg velger en passende diagramtype. Antall elever 20 % 34 % 13 % 10 % 23 % Går Sykler Kjører privat bil Tar buss Tar tog
Oppgave 3 (4 poeng) I et atomkraftverk omdannes radioaktive atomkjerner. I omdanningen forsvinner noe av massen fra atomkjernene, og energi blir frigitt. Når massen m kilogram forsvinner fra atomkjernene, er den frigitte energien, E Joule (J), gitt ved E m c Konstanten c har verdien 3,0 10 2 8 a) Hvor mye energi blir frigitt når en masse på 0,010 kg forsvinner fra atomkjernene? E 8 2 2 16 16 2 14 0,010 (3,0 10 ) 1,0 10 9,0 10 9,0 10 9,0 10 Det blir frigjort 9,0 10 14 J 10 En norsk husholdning har et årlig energiforbruk på 9,0 10 J b) Hvor mye masse må forsvinne for å gi nok energi til en norsk husholdning i et år? E m c E m c 2 m 2 9,0 10 9,0 10 (3,0 10 ) 9,0 10 10 10 10 16 6 8 2 16 10 10 0,000001 0,000001 kg masse må forsvinne for å gi nok energi til en norsk husholdning i et år Oppgave 4 (10 poeng) Årstall 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Prosent mannlige røykere 42 37 34 31 25 19 Tabellen ovenfor viser hvor mange prosent av norske menn i alderen 16 74 år som røykte hver dag noen år i perioden 1985 2010. Sett x = 0 i 1985, x = 5 i 1990 og så videre, og bruk opplysningene i tabellen til å bestemme
a) 1) en lineær modell som viser hvordan andelen mannlige røykere har endret seg Jeg skriver inn punktene 0,42, 5,37 osv. i GeoGebra. Jeg bruker så kommandoen RegLin[{A,B,C,D,E,F}] Jeg får følgende lineære modell: y 0,88x 42,3 2) en eksponentiell modell som viser hvordan andelen mannlige røykere har endret seg
Jeg bruker kommandoen RegEksp[{A,B,C,D,E,F}] Jeg får følgende modell: y 44,1 0,97 x b) Hvor mange prosent av norske menn i alderen 16 74 år vil være røykere i 2020 ifølge hver av de to modellene i oppgave a)? Jeg tegner linja x = 35, og finner skjæringspunktet med denne linja og hver av de to modellene:
Ifølge den lineære modellen vil 11,5 % av norske menn være røykere i 2020. Ifølge den eksponentielle modellen vil 15,5 % av norske menn være røykere i 2020. c) Når vil andelen mannlige røykere bli lavere enn 5 % ifølge hver av de to modellene i oppgave a)? Jeg tegner linja y = 5, og finner skjæringspunktet med denne linja og hver av de to modellene: 1985 42 2027 1985 72 2057 Ifølge den lineære modellen vil andelen mannlige røykere bli lavere enn 5 % i løpet av 2027 Ifølge den eksponentielle modellen vil andelen mannlige røykere bli lavere enn 5 % i løpet av 2057 d) Kommenter modellenes gyldighetsområde. Det er alltid mange faktorer som påvirker slike tall, så usikkerheten vil være stor når en skal bruke modellen til å gjøre beregninger langt inn i framtiden. Den eksponentielle modellen ser ikke ut til å passe så godt med de seks verdiene en har, men det er allikevel kanskje mest rimelig å tenke seg at det alltid vil være noen røykere igjen i befolkningen, enn å tenke seg at andelen bare vil være jevnt synkende fram til det ikke er noen menn igjen som røyker?
Oppgave 5 (4 poeng) Tora er en ivrig skiskytter. Hun treffer blinken med 84 % av skuddene sine. I en konkurranse skyter hun fem skudd. a) Bestem sannsynligheten for at hun treffer blinken med de fire første skuddene og bommer med det siste. P(treff) 0,84 P(bom) 1 0,84 0,16 4 P(treff,treff,treff,treff,bom) 0,84 0,16 0,08 Sannsynligheten for at Tora treffer blinken med de fire første skuddene og bommer med det siste er 0,08 b) Bestem sannsynligheten for at hun treffer blinken med fire av skuddene. Det er fem måter dette kan skje på: bom på første, bom på andre, bom på tredje, bom på fjerde eller bom på femte. 4 Sannsynligheten for hver av disse hendelsene er 0,84 0,16 0,08 Vi får da: 4 P(fire treff og en bom) 5 0,84 0,16 0,4 Sannsynligheten for at Tora treffer blinken med fire av skuddene er 0,4 Oppgave 6 (6 poeng) I en undersøkelse ble 30 elever spurt om hvor lang tid de bruker på å komme seg til og fra skolen hver dag. Elevene oppga tiden i minutter. Resultatet av undersøkelsen er vist nedenfor. 28 56 12 16 34 78 64 18 10 21 32 26 54 62 64 70 50 44 70 86 16 20 38 14 80 24 20 32 14 10
a) Lag et klassedelt materiale av tallene ovenfor. La den første klassen starte i 10, og la alle klassene ha klassebredde 10. Tid Antall elever [10,20 8 [20,30 6 [30,40 4 [40,50 1 [50,60 3 [60,70 3 [70,80 3 [80,90 2 b) Ta utgangspunkt i det klassedelte materialet i a), og bestem gjennomsnittet. Bruker regneark i GeoGebra: Med formler:
Gjennomsnittstiden er 40,3 minutter c) Bruk det klassedelte materialet til å avgjøre hvor stor andel av elevene som trenger mindre enn 60 min på å komme seg til og fra skolen. 8 6 4 1 3 22elever trenger mindre enn 60 minutter 22 0,733 30 73,3 % av elevene trenger mindre enn 60 min på å komme seg til og fra skolen Oppgave 7 (8 poeng) Funksjonen f gitt ved 3 2 f( x) 9x 270x 1400 x 3000 viser hvor mange personer som var logget på en nettside x timer etter midnatt et gitt døgn. a) Tegn grafen til f for 0 x 24. Tegner grafen i GeoGebra:
b) Hvor mye var klokka da det var flest personer logget på nettsiden? Hvor mange personer var logget på nettsiden da? Jeg finner toppunktet grafisk i GeoGebra ved å skrive kommandoen Ekstremalpunkt[f(x)] Flest personer var logget på nettsiden ca. kl. 17. Da var 13 014 personer logget på.
c) Når var flere enn 1 500 personer logget på nettsiden? Jeg tegner linja y=1500 i koordinatsystemet, og finner skjæringspunktene mellom denne og f ved å bruke kommandoen skjæring mellom to objekt: 1,5 = 01:30 4,8 = ca. 04:50 23,7 = ca. 23:40 Flere enn 1500 personer var logget på nettsiden mellom midnatt og kl. 01:30, og mellom ca. kl. 04:50 og 23:40. d) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til f for 6 x 16. Hva forteller dette svaret? Jeg tegner linjene x = 6 og x = 16 i koordinatsystemet, og finner skjæringspunktet mellom disse og grafen ved å bruke kommandoen skjæring mellom to objekt. Deretter tegner jeg ei linje mellom disse to punktene ved å bruke kommandoen linje gjennom to punkt. Stigningstallet til denne linja er den gjennomsnittlige vekstfarten.
Den gjennomsnittlige vekstfarten er 1048. Dette forteller oss at i tidsrommet fra kl. 06:00 til 16:00 økte antall personer som var logget på nettsiden med 1048 personer i timen i snitt. Bildeliste Fotball: http://www.vg.no/sport/fotball/norsk/artikkel.php?artid=10078823 (12.02.2013) Tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet