Generell trigonometri

7 Generell trigonometri 7.1 et utvidede vinkelbegrepet Oppgave 7.110 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 30 b) 120 c) 210 d) 300 Oppgave 7.111 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 45 b) 360 c) 540 d) 720 Oppgave 7.112 Tegn disse vinklene i grunnstilling. a) 170 b) 300 c) 400 d) 800 Oppgave 7.113 Tenk deg at du kjører inn i en rund kjøring med kjøreretningen. a) Kjører du da i positiv eller negativ dreieretning? b) Tegn en situasjon der du dreier vinkelen v fra du er kommet inn til du kjører ut, når 1) v = 180 2) v = 270 Oppgave 7.114 Tenk deg at du står med ansiktet mot øst. Så dreier du deg 180, deretter 90 og til slutt 270. Hvilken retning peker ansiktet mot nå? Oppgave 7.115 Lag et koordinatsystem på et ruteark og tegn enhetssirkelen. ruk ti ruter som radius i enhetssirkelen. a) Tegn vinkelen v i grunnstilling når 1) v = 60 2) v = 135 3) v = 210 b) ruk enhetssirkelen til å finne tilnærmede verdier for sin v og cos v der v er vinkelen i de tre tilfellene i oppgave a. Oppgave 7.116 Klokka er 15.00. a) Hvor mange grader har storeviseren flyttet seg når klokka er 16.30? b) Hvor mange grader har lilleviseren flyttet seg når klokka er 16.30? c) Hva er vinkelen mellom storeviseren og lilleviseren når klokka er 16.30? 61

Oppgave 7.117 a) Tegn en enhetssirkel og tegn vinkelen 60 i grunnstilling. b) Finn alle vinklene mellom 0 og 720 som har samme sinusverdi som 60. c) Finn alle vinklene mellom 0 og 720 som har samme cosinusverdi som 60. Oppgave 7.118 a) Lag et koordinatsystem på et ruteark og tegn enhetssirkelen. ruk 5 ruter som radius i enhetssirkelen. b) Tegn nøyaktig vinklene u i grunnstilling slik at cos u = 2 5. c) Tegn nøyaktig vinklene v i grunnstilling slik at sin v = 3 5. d) Finn vinklene u og v ved å bruke lommeregneren. Oppgave 7.119 Vinkelen v er tegnet i grunnstilling sammen med enhetssirkelen. 1 1 O 1 a) Forklar at lengden av PQ er lik tan v, v 0, 90. b) ruk oppgave a til å bestemme tan v når 1) v = 45 2) v = 60 3) v = 30 c) La 0 < v < 90. Hva skjer med tan v når v nærmer seg 90? v Q 1 P 7.2 Eksakte trigonometriske verdier Oppgave 7.120 Tegn enhetssirkelen og finn de eksakte verdiene til a) sin 210 b) cos 210 c) tan 210 Oppgave 7.121 I en trekant er = 45, = 90 og = a. Finn eksakte uttrykk for og. Oppgave 7.122 I en trekant er = 60, = 90 og = a. Finn eksakte uttrykk for og. Oppgave 7.123 I en trekant er = 30, = 90 og = a. Finn eksakte uttrykk for og. Oppgave 7.124 I en firkant er = 30, = 105 og = 60. Videre er = 60 og = a. a) Finn og uttrykt ved a. b) Finn arealet av uttrykt ved a. Oppgave 7.125 I en firkant er en likesidet trekant med høyde a. er likebeint med =, og = 30. Finn sidene i firkanten uttrykt ved a ved hjelp av trigonometri. Oppgave 7.126 I trapeset er parallell med. Videre er = 2a, = a, = 3a og = 30. Finn den eksakte verdien av arealet av trapeset. 62 cosinus for forkurset > Generell trigonometri

Oppgave 7.127 I trekanten er = 30, = 45 og siden = a. Normalen fra på skjærer i E. I denne oppgaven skal du regne med eksakte verdier. a) estem E, og uttrykt ved a. b) Normalen fra på skjærer forlengelsen av i. Finn uttrykt ved a. c) Et kvadrat KLMN er innskrevet i trekanten. Hjørnene K og L ligger på siden, hjørnet M på og hjørnet N på. Finn siden i kvadratet uttrykt ved a. 7.3 Trigonometriske likninger Oppgave 7.130 a) sin v = 0,75 b) cos v = 0,33 c) tan v = 1,25 d) sin v = 0,25 Oppgave 7.131 a) tan v = 2,5 b) sin v = 0,5 c) cos v = 0,45 d) tan v = 1 Oppgave 7.132 a) sin v = 0 b) cos v = 0 Oppgave 7.133 a) 2 cos v = 1,5 b) 3 sin v = 0,66 c) 1 4 tan v = 1 d) 2 tan v = 0 4 Oppgave 7.134 a) 5 sin v + 3 = 0 b) 1 5 cos v = 0 c) 3 sin v + 2 = 5 d) 2 tan v + 5 = 0 Oppgave 7.135 a) cos v (3 sin v + 1) = 0 b) 2 sin 2 v sin v = 0 c) 2 tan 2 v tan v = 0 d) (sin v 1) (3 sin v 4) = 0 Oppgave 7.136 ruk blant annet den tredje kvadrat setningen og løs likningene når v [0, 360. a) (sin v) 2 1 4 = 0 b) 25 cos 2 v 16 = 0 7.4 realsetningen Oppgave 7.140 I trekanten er = 12,0 m, = 15,0 m og = 28,2. 15,0 m 28,2 12,0 m a) Finn arealet av trekanten. b) Finn høyden i trekanten fra ned på grunnlinja. Oppgave 7.141 En gressplen er formet som en trekant der = 65 m, = 42 m og = 43. a) Tegn en figur av gressplenen og sett på de oppgitte målene. b) Regn ut arealet av trekanten. c) Gressplenen skal få nytt gress. Til det trenger vi et 5 cm tykt lag med ny jord. Hvor mange kubikkmeter (m 3 ) jord trenger vi? 63

Oppgave 7.142 Finn arealet av. 6,2 m 145 7,8 m Oppgave 7.148 Pål har en flat firkantet hyttetomt som han vil finne arealet av. Han har gjort noen målinger og er kommet fram til at = 90, = 105, = 60 m, = 45 m og = 55 m. Oppgave 7.143 I er = 6,5 dm, = 8,8 dm og = 118. a) Tegn trekanten. b) Finn arealet av trekanten. Oppgave 7.144 I er = 8,0 cm, = 6,4 cm og = 30. Finn arealet av trekanten. Oppgave 7.145 I er = 12,0 dm, = 18,4 dm og = 125. Finn arealet av trekanten. Oppgave 7.146 Løs likningene når v er en vinkel mellom 0 og 180. a) sin v = 0,45 b) sin v = 0,85 c) sin v = 0,10 Oppgave 7.147 Ei tomt har mål slik figuren viser. 55 m 105 Finn arealet av tomta til Pål. 45 m 60 m Oppgave 7.149 En trekant har arealet 45,1 cm 2. To av sidene har lengder 8,3 cm og 14,2 cm. Finn vinkelen mellom de to sidene. 7.5 Sinussetningen Oppgave 7.150 I er = 58, = 40 og = 7,5 cm. 30,0 m 36 7,5 cm 65,0 m 28 45,0 m Regn ut arealet av tomta. 58 a) Finn lengden av. b) Finn lengden av. 40 64 cosinus for forkurset > Generell trigonometri

Oppgave 7.151 I er = 26, = 46 og = 18,0 cm. 18,0 cm 26 a) Finn lengden av. b) Finn lengden av. 46 Oppgave 7.152 I er = 62, = 9,0 cm og = 6,5 cm. a) Tegn trekanten. b) Finn og. c) Finn arealet av trekanten. Oppgave 7.153 I er = 125, = 22 m og = 48 m. a) Tegn trekanten. b) Finn og. c) Regn ut arealet av trekanten. Oppgave 7.154 I er = 42, = 28 og = 20. a) Finn. b) Finn og. Oppgave 7.155 I er = 128, = 16 og = 13,6 cm. a) Finn. b) Finn og. Oppgave 7.156 I er = 73, = 20 cm og = 15 cm. a) Finn. b) Finn og. Oppgave 7.157 a) I er = 30, = 14 cm og = 10 cm. Konstruer trekanten. b) Finn. c) Finn. 7.6 osinussetningen Oppgave 7.160 I er = 60, = 6 og = 8. Finn. 8 60 6 Oppgave 7.161 I er = 120, = 5,0 cm og = 7,0 cm. 7,0 cm 120 5,0 cm a) Finn. b) Finn og. c) Finn arealet av trekanten. Oppgave 7.162 I er = 58, = 12,6 cm og = 8,8 cm. a) Finn. b) Finn og. 65

Oppgave 7.163 I er = 135, = 16 og = 25. Oppgave 7.167 En tunnel skal sprenges gjennom et fjell fra til. Ingeniørene har laget denne arbeidstegningen. 16 135 a) Finn. b) Finn og. c) Finn arealet av trekanten. 25 Oppgave 7.164 Tegn og finn lengden av. a) = 18,8 cm, = 15,3 cm, = 61,9 b) = 5,2 cm, = 12,1 cm, = 114,4 Oppgave 7.165 Finn vinklene i en trekant med sider 18,6 cm, 24,5 cm og 26,4 cm. Oppgave 7.166 Inge bor ved, og skolen hans ligger ved. På vei til skolen sykler Inge ofte innom Jan, som bor ved. ruk figuren nedenfor og finn hvor mye lengre vei Inge får til skolen hvis han sykler innom Jan. 2,5 km 760 m 132 1250 m 145 Gjør nødvendige utregninger og finn lengden av tunnelen. 7.7 Noen formler i trigonometrien 405 m Oppgave 7.170 Vis at for alle vinkler v gjelder a) sin ( v) + sin v + cos v cos ( v) = 0 b) sin (180 v) + cos (90 v) = 2 sin v sin (180 v) c) = tan v, cos v 0 sin (90 v) cos (90 v) d) = tan v, cos v 0 cos (180 v) Oppgave 7.171 Vinkelen v [0, 90 ] er gitt ved sin v = 3 5. ruk blant annet at cos 2 v + sin 2 v = 1 til å finne eksakte verdier for a) cos v b) tan v Oppgave 7.172 Vinkelen v [0, 90 er gitt ved cos v = 12 13. Finn eksakte verdier for a) sin v b) tan v 122 1,6 km 66 cosinus for forkurset > Generell trigonometri

Oppgave 7.173 Vinkelen v [180, 270 er gitt ved sin v = 4 5. Finn eksakte verdier for a) cos v b) tan v Oppgave 7.174 Finn eksakte verdier for sin v og tan v. a) cos v = 12, v [90, 180 13 b) cos v = 3, v [270, 360 5 Oppgave 7.191 Finn eksakte verdier for sin 67,5 og cos 67,5. Oppgave 7.192 a) Vis formelen sin 2v tan v = 1 + cos 2v b) ruk formelen til å finne eksakte verdier for 1) tan 22,5 2) tan 15 7.8 Sum og differanse av vinkler Oppgave 7.180 Vis at for alle vinkler v gjelder a) sin (v 30 ) = 1 2 3 sin v 1 2 cos v b) cos (v + 60 ) = 1 2 cos v 1 2 3 sin v Oppgave 7.181 Skriv disse uttrykkene enklere. a) cos (x + 60 ) + sin (x + 30 ) sin x b) sin (x + 30 ) sin (x 30 ) Oppgave 7.182 Finn vinklene u, v [0, 180 slik at for alle x er sin (x + u) + cos (x + v) = 2 cos x 7.9 oble vinkler Oppgave 7.190 Vis formelen 1 tan v + tan v = 2 sin 2v Hvilke vinkler v gjelder formelen for? landede oppgaver Oppgave 7.200 Når en lysstråle går fra luft til vann, blir den brutt i vannflaten slik at innfallsvinkelen er større enn brytningsvinkelen (se figuren). Lysstråle α β Luft Vann Sammenhengen mellom vinklene er gitt ved sin sin = 4 3 Finn når a) = 50 b) = 30 Oppgave 7.201 a) Uttrykk cos 2v ved 1) sin v 2) cos v b) Finn eksakte verdier for sin 15 og cos 15. 67

Oppgave 7.202 a) ruk enhetssirkelen til å vise at sin 2 v + cos 2 v = 1 når v [0, 360. b) ruk definisjonen av tan v til å vise at cos 2 v tan 2 v + cos 2 v = 1 c) Finn cos v uttrykt ved tan v. Oppgave 7.203 a) Gjennom fjellet Nuten skal det sprenges en rett tunnel fra til. Fra et målepunkt er avstanden = 1,2 km og avstanden = 1,6 km. måles til 118. Oppgave 7.204 Figuren viser en oppstilling som kan brukes til å måle lengden av et kulestøt. En radar er plassert ved i avstanden 15,00 m fra. En reflektor står ved, der kula treffer bakken. 14,32 m 86,0 15,00 m 1,6 km 118 1,2 km Ved ett av støtene ble målt til 86,0 og til 14,32 m. a) Hvor langt var dette kulestøtet? b) Et annet kulestøt ble målt til 19,40 m. er 14,32 m som før. Finn i dette tilfellet. 1) Hvor lang blir tunnelen? 2) Lengden av tunnelen blir kontrollert fra et punkt som ligger 0,8 km fra og 1,8 km fra. enne utregningen av gir det samme resultatet som i oppgave 1. Hvor stor er da? b) En metallstang EGF er festet til bakken i to punkter E og F slik figuren viser. Finn lengden av hele stanga. G Oppgave 7.205 På figuren nedenfor er = 3,3 km, = 2 km og = 60. Tore bor ved punktet på strekningen. Vanligvis går han på en 2 km lang sti for å komme til skolen, som ligger ved. På grunn av gravearbeid er det blitt umulig å komme til skolen langs. Tore må derfor gå om eller for å komme til. Finn den korteste veien for Tore. 60 2 km 2 km E 26 53 16,0 m F 3,3 km 68 cosinus for forkurset > Generell trigonometri

Oppgave 7.206 Kåre ønsker å bestemme arealet av en trekantet tomt. Han måler lengden av hver av sidene slik du ser på figuren. Oppgave 7.209 på figuren er en av de ti kongruente trekantene som en regulær tikant er satt sammen av. erfor er =, og = 36. Punktet på er bestemt av at linja halverer. 36 85 m 70 m 62 m Finn arealet av tomta. Oppgave 7.207 a) ruk formlene cos 2 v + sin 2 v = 1 og tan v = sin v cos v til å vise at tan v sin v = ± 1 + tan 2 v 1 cos v = ± 1 + tan 2 v b) Finn eksakte verdier for sin v og cos v når 1) tan v = 4, v [0, 90 ] 3 2) tan v = 1, v [90, 180 ] 3 Oppgave 7.208 Gitt likningen sin x = 2. 5 a) Løs likningen når x [0, 360 ]. b) La nå x [0, 90 ]. Finn den eksakte verdien for 1) cos x 2) tan x c) Løs likningen sin 2 x = 4 5, x [0, 360 ]. Vi setter = = r og = s. a) Vis at vi da får r s s = r s b) Vis at s = r 2 ( 5 1 ) c) ruk oppgave b til å finne eksakte verdier for sin 18 og cos 18. d) ruk oppgave c til å finne de eksakte verdiene til sin 36 og cos 36. Oppgave 7.210 I en trekant er = 45, og = 60. Normalen fra treffer i, og normalen fra treffer i E. essuten er = s. a) Finn eksakte uttrykk for lengdene og. b) Finn eksakte verdier for lengdene og. c) Finn arealet av uttrykt ved s. d) Finn E ved å sette to uttrykk for arealet av lik hverandre. e) Hvor stor er? f) Vis at sin 75 = 6 + 2 4. 69